| |
| Autor |
 Ist das schon ein Beweis durch Kontraposition oder Widerspruch |
|
spikespiegel43
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 50
 |  Themenstart: 2022-10-06
|
Wenn ich zeigen möchte, dass eine Funktion injektiv ist, dann nehme ich mir i.d.R ein n Element aus Bild(f) und zwei Elemente m und m' als die beiden Urpunkte aus M und versuche durch f(m) = f(m') zu zeigen, dass m = m' ist.
Denn wenn ich annehme, es gibt zwei Urbilder m und m' zu n Element aus Bild(f) existieren, dann ist ja die Annahme B(f sei injektiv) negiert. Aus nicht B(also die Funktion ist nicht injektiv) folgt, dass diese beide Urbilder gleich sind m = m', was in Widerspruch steht dazu, dass m und m' zwei Urbilder sind.
Jezt ist meine Frage, ist das hier ein Beweis durch Kontraposition oder indirekt? Für mich sieht das wie eine Mischung zwischen den beiden aus?
Für Kontrapoistion spricht, dass wir statt A => B von nicht B => A? folgern.
Für Indirekt steht, dass sich am Ende ein Widerspruch ergibt. Ich kann mich nicht entscheiden, was es genau ist. Vllt. eine Mischung? Also Nicht B => A(was falsch ist, was zum wiederspruch führt da m=m') und dieser sowohl Kontraposition als auch indirekt ist?
|
 Profil
| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2023
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-06
|
Hey spikespiegel43,
es kommt ganz auf die Formulierung an.
Wenn du etwa schreibst:
"Seien \(m,m' \in M\) mit \(f(m)=f(m')\). Dann gilt: [...]. Somit folgt \(m=m'\)"
dann hast du einen direkten Beweis.
Wenn du z.B. schreibst:
"Angenommen, die Voraussetzung A gilt und es existieren \(m,m' \in M\) mit \(m\neq m'\), sodass \(f(m)=f(m')\) gilt. Dann gilt: [...]. Somit folgt \(m=m'\), also ein Widerspruch zu \(m\neq m'\)"
dann ist es ein Beweis per Widerspruch.
Wenn du allerdings schreibst:
"Sei \(f:M \to N\) nicht injektiv. Dann existieren \(m,m' \in M\) mit \(m\neq m'\), sodass \(f(m)=f(m')\). Weiter gilt: [...]. Somit folgt \(m=m'\), also gilt nicht A." (wobei 'nicht A' etwa bedeuten kann, dass die Funktion \(f\) anders definiert sein müsste als in A angegeben)
dann ist es ein Beweis durch Kontraposition.
In aller Regel sieht der Beweis, die Injektivität einer Funktion zu zeigen, fast immer gleich aus, egal welche Beweismethode man wählt. Am praktikabelsten sehen mMn aber die erste und zweite Methode aus
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-07
|
Moin,
ich sehe das so:
Definition:
f ist injektiv, wenn aus \(m\neq m'\) folgt, dass \(f(m)\neq f(m')\)
Kontraposition:
f ist injektiv, wenn aus \(f(m)=f(m')\) folgt, dass \(m= m'\)
Beweis durch Widerspruch:
f ist injektiv, wenn aus \(m\neq m'\) und \(f(m)=f(m')\) folgt, dass 0 = 1 (oder irgend eine andere falsche Aussage)
|
Profil
|
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
