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  Erhält Skalarerweiterung von Moduln Exaktheit? |
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lu1998
Junior 
Dabei seit: 28.08.2022
Mitteilungen: 13
 |  Themenstart: 2022-09-30
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Hallo zusammen 🙂
Ich betrachte die Ringe \(A, B\) mit einem Ringhomomorphismus \(f:A\to B\), \(B\) aufgefasst als \(A\)-Modul sei flach.
Für eine gegebene kurze exakte Folge von \(A\)-Moduln \[E:=(0\to M'\to M\to M''\to 0)\] ist damit dann ja auch \(E\otimes_A B\) als Folge von \(A\)-Moduln exakt.
Gleichzeitig kann ich ja \(M\otimes_A B\) betrachtet als Skalarerweiterung von \(M\) entlang \(f\) auch als \(B\)-Modul auffasen, ebenso für \(M',M''\).
\(E\otimes_A B\) ist als Folge von \(B\)-Moduln dann ebenfalls exakt, oder?
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 Profil
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-30
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Ich würde vorschlagen die Definition auszuschreiben, wahrscheinlich beantwortet sich deine Frage dann bereits von selbst.
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Profil
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Mandelbluete
Senior 
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 648
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-30
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Huhu! 🙂
Die Frage ist, wenn ich das richtig verstehe, ob bei gegebener kurzer exakter Sequenz
$$\require{AMScd}
\begin{CD}
0 @>>> M' @>{u}>> M @>{v}>> M'' @>>> 0
\end{CD}$$
in der Kategorie der rechten $A$-Moduln die tensorierte kurze exakte Sequenz
$$\require{AMScd}
\begin{CD}
0 @>>> M' \otimes_A B @>{u \otimes 1}>> M \otimes_A B @>{v \otimes 1}>> M'' \otimes_A B @>>> 0,
\end{CD}$$
hierbei $B$ flach, eine solche in der Kategorie der rechten $B$-Moduln ist.
Das ist trivialerweise der Fall und liegt letzlich daran, daß sich die Tensorprodukte assoziativ verhalten. Insbesondere ist $B$ hier ein $(A,B)$-Bimodul. Man sieht leicht, daß die Morphismen dieser Sequenz rechts $B$-linear sind, wenn $B$ durch Heranmultiplizieren von rechts auf dem zweiten Faktor operiert, also zum Beispiel $(m \otimes b_1)b_2 := m \otimes (b_1b_2)$ in $M \otimes_A B$.
Beantwortet das die Frage?
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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lu1998
Junior 
Dabei seit: 28.08.2022
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-30
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\quoteon(2022-09-30 19:08 - Mandelbluete in Beitrag No. 2)
Beantwortet das die Frage?
\quoteoff
Super, ja, vielen Dank! 😄
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