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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Warum ist das invertierbar?
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Universität/Hochschule J Warum ist das invertierbar?
LamyOriginal
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  Themenstart: 2022-09-21

Hallo, ich verstehe eine Aussage in einem Beweis nicht: Zunächst die Situation: seien $X, Y$ Banachräume und $D_xf(x,y)$ stetig für alle $(x,y) \in X\times Y$ und $A:=D_xf(0,0)$ invertierbar. $u(.):=x$ sei eine stetige und differenzierbare Funktion (haben wir aus dem Banachschen Fixpunktsatz hergeleitet). Jetzt die Stelle, die ich nicht verstehe: [...] Wegen der Stetigkeit von $D_xf$ und $u$ gilt $D_xf(u(y),y)\to D_xf(0,0)$ für $y\to 0$. Ich weiß, dass $A$ nach Voraussetzung invertierbar ist, aber jetzt wird behauptet, dass daraus jetzt folgt dass auch $D_xf(u(y),y)$ (Lokal) invertierbar ist? Warum?


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-21

Hallo LamyOriginal, \quoteon(2022-09-21 13:15 - LamyOriginal im Themenstart) Zunächst die Situation: seien $X, Y$ Banachräume und $D_xf(x,y)$ stetig für alle $(x,y) \in X\times Y$ und $A:=D_xf(0,0)$ invertierbar. \quoteoff Ist bei Dir \(f\colon X\times Y\to Z\) für einen Banachraum \(Z\)? Meinst Du wirklich nur, dass \(D_xf(x,y)\) stetig ist für alle \((x,y)\in X\times Y\)? Das sollte eigentlich eh Teil der Definition von Ableitungen sein, da \(D_xf(x,y)\in L(X,Z)\). Ist nicht vielleicht eher gemeint, dass die Abbildung \(X\times Y\to L(X,Z), (x,y)\mapsto D_xf(x,y)\) stetig ist, also dass \(D_xf\) in jedem Punkt \((x,y)\in X\times Y\) stetig ist? \quoteon(2022-09-21 13:15 - LamyOriginal im Themenstart) $u(.):=x$ \quoteoff Was soll das bedeuten? Gilt \(u\colon Y\to X\) und \(u(0)=0\)? Dann würde aus der Stetigkeit von \(u\) folgen, dass \((u(y),y)\to(0,0)\) für \(y\to0\) und aus der Stetigkeit von \(D_xf\) dann \(D_xf(u(y),y)\to D_xf(0,0)=A\). \quoteon(2022-09-21 13:15 - LamyOriginal im Themenstart) [...] Wegen der Stetigkeit von $D_xf$ und $u$ gilt $D_xf(u(y),y)\to D_xf(0,0)$ für $y\to 0$. Ich weiß, dass $A$ nach Voraussetzung invertierbar ist, aber jetzt wird behauptet, dass daraus jetzt folgt dass auch $D_xf(u(y),y)$ (Lokal) invertierbar ist? Warum? \quoteoff Es gibt ein \(\delta>0\), sodass \(\|D_xf(u(y),y)-A\|_{L(X,Z)}<\frac{1}{\|A^{-1}\|_{L(Z,X)}}\) falls \(\|y\|_Y<\delta\). Damit folgt aus der Invertierbarkeit von \(A\), dass auch \(D_xf(u(y),y)\) invertierbar ist falls \(\|y\|_Y<\delta\), siehe hier. [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von sonnenschein96]


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LamyOriginal
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-21

Hallo sonnenschein96 und vielen Dank für deine hilfreiche Antwort! \quoteon Ist nicht vielleicht eher gemeint, dass die Abbildung \(X\times Y\to L(X,Z), (x,y)\mapsto D_xf(x,y)\) stetig ist, also dass \(D_xf\) in jedem Punkt \((x,y)\in X\times Y\) stetig ist? \quoteoff Genau das ist gemeint, sorry, hätte ich ausführlicher definieren sollen... \quoteon Es gibt ein \(\delta>0\), sodass \(\|D_xf(u(y),y)-A\|_{L(X,Z)}<\frac{1}{\|A^{-1}\|_{L(Z,X)}}\) falls \(\|y\|_Y<\delta\). Damit folgt aus der Invertierbarkeit von \(A\), dass auch \(D_xf(u(y),y)\) invertierbar ist falls \(\|y\|_Y<\delta\), siehe hier. \quoteoff Danke für den Link zum Korollar! Genau danach habe ich gesucht, da ich keinen Satz kenne, der die obige Behauptung liefert.


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