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  Oberflächeninhalt mit Parametrisierung |
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Max_804
Aktiv 
Dabei seit: 29.04.2022
Mitteilungen: 203
 |  Themenstart: 2022-08-17
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Hallo,
Man betrachte die Fläche
F (x;y;z) | sqrt(x^2+y^2)=z, 0 <= x, 0 <= y, 0 <= z <= 5.
Geben Sie mithilfe von Zylinderkoordinaten eine Parametrisierung von F an und berechnen Sie den Oberflächeninhalt O(F) mithilfe dieser Parametrisierung.
Ich habe jetzt alles gemacht, und bin an der Integration. Jedoch habe ich bis $2\pi$ integriert, laut den Lösungen soll es aber nur bis $\pi/2$ gehen. Wieso nur bis $\pi/2$?
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nzimme10
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Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-17
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
am besten zeigst du uns dann auch, was du bisher gemacht hast bzw. wie du auf dein Integral gekommen bist etc.
Sonst wird es schwierig zu schauen, ob du irgendwo einen Denkfehler gemacht hast oder dergleichen.
Mal ins Blaue geraten: Du hast nicht beachtet, dass nur der Teil der Fläche betrachtet wird, der von oben betrachtet im rechten oberen Quadranten der $xy$-Ebene liegt.
LG Nico\(\endgroup\)
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Max_804
Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17
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\quoteon(2022-08-17 19:44 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo,
am besten zeigst du uns dann auch, was du bisher gemacht hast bzw. wie du auf dein Integral gekommen bist etc.
Sonst wird es schwierig zu schauen, ob du irgendwo einen Denkfehler gemacht hast oder dergleichen.
Mal ins Blaue geraten: Du hast nicht beachtet, dass nur der Teil der Fläche betrachtet wird, der von oben betrachtet im rechten oberen Quadranten der $xy$-Ebene liegt.
LG Nico
\quoteoff
Parametrisierung: (es gilt r=z)
\theta (\phi; z) = (z*cos(\phi);z*sin(\phi);z)
pdiff(\theta,\phi) = (-z*sin(\phi);z*cos(\phi);0)
pdiff(\theta,z) = (cos(\phi);sin(\phi);1)
OF = int(norm(b^>),F,F,)
Kreuzprodukt: b^> = pdiff(\theta,\phi) x pdiff(\theta,z) = (-z*cos(\phi);z*sin(\phi);-z)
norm(b^>) = sqrt(2)*z
Gegeben ist ja 0 <= x, 0 <= y, 0 <= z <= 5.
Eine Integralgrenze wäre dann natürlich 0 bis 5.
int(int(sqrt(2)*z),\phi,z,0,5) int(sqrt(2)*z,\phi,0,2\pi)
(Kriege kein Doppelintegral hin)
Gegeben ist ja $0<=x$ und $0<=y$. Liegt es daran, dass es nur bis $\pi/2$ geht, wenn ja warum?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-17
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Nun, bei deiner Parametrisierung fehlt der Definitionsbereich. Nennen wir ihn mal $D$. Dann musst du zum einen sicherstellen, dass $\Theta(D)=F$ gilt (oder sich $\Theta(D)$ von $F$ höchstens um eine Nullmenge unterscheidet) und zum anderen muss solch eine Parametrisierung ja auch bestimmte Voraussetzungen erfüllen, wenn man damit den Oberflächeninhalt ausrechnen will (z.B. injektiv, stetig differenzierbar etc.)
Unabhängig davon muss ja für $(x,y,z)\in F$ nach Voraussetzung $x\geq 0$ und $y\geq 0$ gelten. Der Punkt $(z\cos(\varphi),z\sin(\varphi))$ erfüllt das aber für $z\geq 0$ nicht für jedes $\varphi$. In Anbetracht an meine obigen Bemerkungen kannst du aber $0\leq \varphi\leq \pi/2$ wählen oder theoretisch auch $2k\pi\leq \varphi \leq 2k\pi+\pi/2$ für ein $k\in \mathbb Z$.
Dann kannst du ja mal prüfen, dass deine Abbildung $\Theta$ hier funktioniert, wenn man z.B. $D=(0,\pi/2)\times (0,5)$ setzt.
LG Nico\(\endgroup\)
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Max_804 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Max_804 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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