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 Funktionalgleichung f(2a) - f(2b) = 2 f(a) - 2 f(b) |
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MasterWizz
Aktiv 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 163
 |  Themenstart: 2022-08-15
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Hi Leute,
Gesucht sind alle Funktionen \(f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\), die folgende Gleichung erfüllen:
\[f(2a)-f(2b) = 2f(a)-2f(b)\]
Angeblich ist die Antwort, dass die Funktion linear sein muss. Mittels einer Probe kann ich das auch bestätigen, aber wie genau kommt man zu dieser Erkenntnis? Und wie kann gezeigt werden, dass wirklich alle Lösungen diese Form haben und es nicht noch weitere Funktionen geben kann, die die Gleichung erfüllen?
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-15
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Hallo,
kann man hier nicht einfach argumentieren, dass die geforderte Eigenschaft äquivalent ist zur Definition von linearen Abbildungen?
Gruß, Diophant
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MasterWizz
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-15
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Das war auch mein erster Gedanke, aber aus der Gleichung folgt ja nicht einmal zwingend, dass \(f(2a)=2f(a)\) sein muss, geschweige denn, dass die Homogenität für beliebige Faktoren gilt. Und die Additivität erkenne ich daraus auch nicht.
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zippy
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-15
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\quoteon(2022-08-15 15:26 - MasterWizz im Themenstart)
Angeblich ist die Antwort, dass die Funktion linear sein muss.
\quoteoff
Kannst du nicht einfach $f$ auf den ungeraden Zahlen beliebig vorgeben und dann mit $f(0)=0$ und $f\left(2^k\,u\right)=2^kf(u)$ für $u$ ungerade auf ganz $\mathbb Z$ fortsetzen?
--zippy
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
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\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo,
zippy's Idee führt in die richtige Richtung.
Es muss aber nicht $f(0)=0$ gelten.
Sei $c:=f(0)$. Sei $u\in \IZ$ ungerade und $m_u:=f(u)-c$. Welchen Wert hat dann $f(2^ku)$ für $k\in \IN$?\(\endgroup\)
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zippy
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-15
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\quoteon(2022-08-15 16:12 - Nuramon in Beitrag No. 4)
zippy's Idee ist beinahe richtig.
\quoteoff
Ich habe nicht behauptet, dass das die allgemeine Lösung ist, sondern nur zeigen wollen, dass $f$ nicht linear sein muss.
Hättest du mit der allgemeinen Lösung nicht noch etwas warten können?
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
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\quoteon(2022-08-15 16:21 - zippy in Beitrag No. 5)
\quoteon(2022-08-15 16:12 - Nuramon in Beitrag No. 4)
zippy's Idee ist beinahe richtig.
\quoteoff
\quoteoff
Ich habe zwischenzeitlich die Formulierung geändert.
\quoteon
Ich habe nicht behauptet, dass das die allgemeine Lösung ist, sondern nur zeigen wollen, dass $f$ nicht linear sein muss.
\quoteoff
Ich hatte den Eindruck, dass alle Beiträge bisher die Annahme, dass $f(0)=0$ gelten müsste, gemacht haben.
\quoteon
Hättest du mit der allgemeinen Lösung nicht noch etwas warten können?
\quoteoff
Ich würde meinen Beitrag noch nicht als Komplettlösung ansehen, sehe aber ein, dass ich weniger explizit hätte sein können. Ein Problem ist aber auch , dass Dein Beitrag 3 noch nicht existierte, als ich angefangen habe, meinem zu tippen. Tut mir leid, dass es daher zu diesem "Konflikt" kam.
\(\endgroup\)
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MasterWizz
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16
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\quoteon(2022-08-15 15:54 - zippy in Beitrag No. 3)
Kannst du nicht einfach $f$ auf den ungeraden Zahlen beliebig vorgeben und dann mit $f(0)=0$ und $f\left(2^k\,u\right)=2^kf(u)$ für $u$ ungerade auf ganz $\mathbb Z$ fortsetzen?
\quoteoff
Wenn ich mir \(f\) beliebig vorgebe, z.B. \(f(u)=\mathrm{e}^u\) mit \(f(0)=1\), dann gilt ja nicht \(f(2^k\cdot u)=2^k\cdot f(u)\). In diesem Sinn versteh ich leider die Idee nicht so recht.
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-08-16
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Um eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen zu definieren, kann man sich die Werte auf einer Basis beliebig vorgeben und diese Definition dann linear fortsetzen.
So ähnlich ist es hier bei dieser Funktionalgleichung. Du kannst die Funktionswerte auf den ungeraden Zahlen beliebig vorgeben und dann die passenden Funktionswerte auf den geraden Zahlen aus der Funktionalgleichung herleiten.
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MasterWizz
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16
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\quoteon(2022-08-16 11:08 - Nuramon in Beitrag No. 8)
So ähnlich ist es hier bei dieser Funktionalgleichung. Du kannst die Funktionswerte auf den ungeraden Zahlen beliebig vorgeben und dann die passenden Funktionswerte auf den geraden Zahlen aus der Funktionalgleichung herleiten.
\quoteoff
Wie funktioniert das hier, um auf die Funktionen \(f\) zu kommen, die die Gleichung erfüllen? Die Exponentialfunktion erfüllt die Gleichung ja zB nicht.
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-08-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Angenommen man kennt $f(0)$ und $f(1)$. Wie kann man dann $f(2)$ berechnen? Wie $f(4)$?\(\endgroup\)
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MasterWizz
Aktiv
Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16
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\quoteon(2022-08-16 12:21 - Nuramon in Beitrag No. 10)
Angenommen man kennt $f(0)$ und $f(1)$. Wie kann man dann $f(2)$ berechnen? Wie $f(4)$?
\quoteoff
\[f(2)-f(0) = 2\left(f(1)-f(0)\right),\quad\dots,\quad f(2^k)-f(0)=2^k\left(f(1)-f(0)\right)\]
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.12, eingetragen 2022-08-16
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\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
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Richtig.
Angenommen man kennt jetzt zusätzlich noch $f(3)$. Welche Werte kann man damit dann berechnen?\(\endgroup\)
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MasterWizz
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16
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Ah ok, also zusammengefasst können wir zu jedem bekannten Funktionswert \(f(u)\) (zusammen mit \(f(0)\)) auch die Funktionswerte \(f(2^ku)\) berechnen und damit auf alle Funktionswerte kommen. Wie hilft das jedoch weiter, um auf alle Funktionsgleichungen selbst zu kommen?
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.14, eingetragen 2022-08-16
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Du weißt jetzt also, wie man aus den Werten bei $0$ und den ungeraden Zahlen alle anderen Werte berechnen kann.
Du solltest jetzt prüfen, ob man sich die Werte bei $0$ und den ungeraden Zahlen beliebig vorgeben kann oder ob es noch weitere Bedingungen gibt, die erfüllt werden müssen. Dazu musst Du testen, ob jede Wahl dieser Funktionswerte wirklich für alle $a,b\in \IZ$ die Funktionalgleichung $f(2a)-f(2b)=2f(a)-2f(b)$ erfüllt. (Bisher hast Du nur den Fall $b=0$ betrachtet.)\(\endgroup\)
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MasterWizz
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16
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Wow, deine Weitsicht hätte ich gerne!! Ok ich lasse mich auf das Spiel ein haha.
Seien \(u,v\in\mathbb{Z}\) ungerade und \(a=2^ku\) und \(b=2^\ell v\). Dann ergibt
\[f(2^ku)-f(2^\ell v) = 2^kf(u)-2^\ell f(v)-f(0)\cdot\left(2^k-2^\ell\right).\]
Die Funktionalgleichung ist aber nur dann erfüllt, wenn \(k=\ell\), also falls \(a=2^ku\) und \(b=2^kv\). Ist das soweit richtig und worauf du hinaus wolltest? Leider erkenne ich noch immer noch den größeren Zusammenhang, auch wenn wir gefühlt der Lösung schon sehr nahe sind.
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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
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| Beitrag No.16, eingetragen 2022-08-16
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\quoteon
Die Funktionalgleichung ist aber nur dann erfüllt, wenn \(k=\ell\), also falls \(a=2^ku\) und \(b=2^kv\).
\quoteoff
Das ging mir jetzt zu schnell. Bisher hast Du nur die linke Seite die Hälfte der rechten Seite der Funktionalgleichung vereinfacht. \(\endgroup\)
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MasterWizz
Aktiv
Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16
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Das verstehe ich nicht ganz. Wenn ich die Funktionalgleichung auf die linke Seite anwende (mit \(k,\ell\geq1\)), ergibt sich
\[f(2^ku)-f(2^\ell v) = 2f(2^{k-1}u)-2f(2^{\ell-1}v)\]
Muss das jetzt mit unsere vorherigen Erkenntnis
\[f(2^ku)-f(2^\ell v) = 2^kf(u)-2^\ell f(v)-f(0)\cdot\left(2^k-2^\ell\right)\]
zusammengefasst werden? Ich sehe leider nicht so ganz worauf das hinausläuft.
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.18, eingetragen 2022-08-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Zu prüfen ist, ob $f(2a)-f(2b) = 2(f(a)-f(b))$ ist.
In No. 15 hast Du $f(a)-f(b)$ ausgerechnet (also die Hälfte der rechten Seite).
Jetzt solltest Du noch die linke Seite ausrechnen und die Ergebnisse vergleichen.\(\endgroup\)
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Bozzo
Senior 
Dabei seit: 11.04.2011
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Wohnort: Franken
 | Beitrag No.19, eingetragen 2022-08-16
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Hallo MasterWizz,
aus f(2a) - f(2b) = 2f(a) - 2f(b) folgt durch umstellen f(2a) - 2f(a) = f(2b) - 2f(b), woraus wiederum folgt, dass f(2a) - 2f(a) = k eine Konstante sein muss. Mit a = 0 ist f(0) - 2 f(0) = -f(0) = k und daher kann man die Funktionalgleichung vereinfachen zu f(2a) - 2f(a) = -f(0) oder f(2a) = 2f(a) - f(0). Substituiert man darin f(x) = g(x) + f(0), so folgt g(2x) + f(0) = 2(g(x) + f(0)) - f(0) = 2g(x) + f(0), woraus g(2x) = 2g(x) folgt. D. h. alle Lösungen f können als Summe f(x) = g(x) + f(0) mit einem beliebigen "Startwert" f(0) und einer Funktion g dargestellt werden, wobei g die Gleichung g(2a) = 2g(a) erfüllt. Offenbar gilt g(0) = 0 und g(2ka) = 2kg(a).
Ich glaube, das ist der aktuelle Stand nochmal zusammengefasst. Welche Vermutungen stehen nur für g noch im Raum und wie sind diese zu beweisen?
Gruß
Bozzo
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]
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MasterWizz
Aktiv
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17
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\quoteon(2022-08-16 14:57 - Bozzo in Beitrag No. 19)
Offenbar gilt g(0) = 0 und g(2ka) = 2kg(a).
\quoteoff
Eine Vermutung könnte sein, dass wegen der Homogenität die Funktion \(g\)linear ist, aber dafür fehlt noch die Additivität.
EDIT:
Wie wäre es damit zu argumentieren, dass die Sekante zwischen beliebigen Punkten den gleichen Anstieg hat? Denn es gilt ja:
\[\frac{f(2a)-f(2b)}{2a-2b}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\]
Jetzt müsste nur geschlussfolgert werden, dass der Zusammenhang für beliebige Argumente der Funktion gilt. Steckt das nicht schon mit in dem, was wir bisher besprochen haben?
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Bozzo
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Dabei seit: 11.04.2011
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Wohnort: Franken
| Beitrag No.21, eingetragen 2022-08-17
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Die Sekante zwischen zwei beliebigen Punkten (a|f(a)) und (b|f(b)) auf dem Graphen der Funktion hat denselben Anstieg wie die Sekante zwischen den (nicht beliebigen) Punkten (2a|f(2a)) und (2b|f(2b)).
Ich denke, es ist schon alles da, was benötigt wird. Es fehlt nur noch einmal scharf hinschauen und alle Puzzlestücke im Kopf richtig zusammenzusetzen, so dass sich das richtige Gesamtbild ergibt.
Lies dir evtl. auch nochmal die ersten Beiträge von zippy und Nuramon durch und guck, ob du denen mittlerweile mehr entnehmen kannst.
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MasterWizz
Aktiv
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-19
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Sry für die späte Antwort, ich komme leider erst jetzt wieder dazu mich in das Thema reinzudenken.
Allerdings verstehe ich jetzt, dass die linke und rechte Seite gleich sind bei der Wahl von \(a=2^ku\) und \(b=2^{\ell}v\), einfach durch simples Einsetzen. Die Funktionsvorschrift scheint also immer erfüllt zu sein, sobald ich mir Funktionswerte auf den ungeraden Zahlen beliebig vorgebe, so wie es zippy in Beitrag No. 3 gesagt hat und mit \(f(0)=c\) beliebig fortsetzen.
Aber wie gehts dann weiter? Wie können wir aus dieser Information eine Funktionvorschrift bestimmen? Gehts das überhaupt allgemein?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.23, eingetragen 2022-09-22
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Für den Fall $f(0)=0$ hatte ich in Beitrag Nr. 3 schon angegeben, wie sich $f$ für einen beliebigen Wert aus den Werten für die ungeraden Zahlen berechnen lässt.
Im allgemeinen Fall betrachte einfach $\tilde f(z)=f(z)-f(0)$. Diese Funktion erfüllt immer noch die Funktionalgleichung und es ist $\tilde f(0)=0$.
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MasterWizz
Aktiv
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 163
| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26
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All right, habe verstanden. Es gibt also unendlich viele Funktionen, die die Gleichung erfüllen. Vielen Dank für eure Hilfe! :)
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