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 Lineare Funktionen finden |
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Max_804
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 29.04.2022
Mitteilungen: 187
 |  Themenstart: 2022-08-13
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Hallo, bin mir nicht sicher, ob es hier rein gehört. Falls nein, tut mir Leid.
Die Aufgabe:
Es sei n \el\ \IR^3 ein Vektor. Bestimmen Sie alle linearen Funktionen f:\IR^3->\IR, sodass für alle c \el\ \IR die Faser f^(-1)(c) eine Ebene im \IR^3 mit Normalenvektor n ist. Berechnen Sie des Weiteren die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt a \el\ f^(-1)(c). Was fällt Ihnen auf?
Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier vorgehen kann, würde mich um Hilfe freuen.
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Qing
Senior 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 344
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-13
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Hallo,
im ersten Schritt solltest du dir alle Begriffe klar machen.
Was ist denn eine Ebene im $\mathbb{R}^3$.
Was ist ein Normalenvektor?
Was ist eine Tangentialebene, und was ist mit Faser $f^{-1}(c)$ gemeint?
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Profil
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Max_804
Wenig Aktiv
Dabei seit: 29.04.2022
Mitteilungen: 187
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13
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\quoteon(2022-08-13 21:54 - Qing in Beitrag No. 1)
Hallo,
im ersten Schritt solltest du dir alle Begriffe klar machen.
Was ist denn eine Ebene im $\mathbb{R}^3$.
Was ist ein Normalenvektor?
Was ist eine Tangentialebene, und was ist mit Faser $f^{-1}(c)$ gemeint?
\quoteoff
Eine Ebene im ${R}^3$ kann ich entweder in Parameterform oder Koordinatenform angeben. Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene. Bei ersterem kann ich den durch das Kreuzprodukt ausrechnen, und beim zweiten einfach die Vorfaktoren ablesen. Eine Tangentialebene berührt die Ebene in einem Punkt, und eine Faser ist der ausgerechnete Wert der Funktion (also der Wert einer Funktion f(x) = c, mit $f^{-1}(c)$ erhalten wir x.
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2577
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
mit der Faser $f^{-1}(c)$ ist hier eigentlich das Urbild $f^{-1}(\lbrace c\rbrace)$ also die Menge
$$
f^{-1}(\lbrace c\rbrace)=\lbrace (x,y,z)\in \mathbb R^3\mid f(x,y,z)=c\rbrace
$$
gemeint. $f$ kann nicht bijektiv sein, weshalb deine "Interpretation" der Faser keinen Sinn ergibt.
Ist $n\in \mathbb R^3$, dann wird durch $n$ eine Familie von Ebenen definiert (eine Ebene im $\mathbb R^3$ ist hier ein $2$-dimensionaler affiner Untervektorraum). Solch eine Ebene kann man in der Form
$$
E_d:=\lbrace (x,y,z)\in \mathbb R^3\mid n_1x+n_2y+n_3z=d\rbrace
$$
für $d\in \mathbb R$ darstellen, wobei $n=(n_1,n_2,n_3)$ ist.
Deine Aufgabe ist es nun eine lineare Funktion $f\colon \mathbb R^3\to \mathbb R$ anzugeben, so dass $f^{-1}(\lbrace c\rbrace)$ für jedes $c\in \mathbb R$ eine Ebene mit Normalenvektor $n$ ist, es also für jedes $c\in \mathbb R$ ein $d\in \mathbb R$ mit $f^{-1}(\lbrace c\rbrace)=E_d$ gibt.
LG Nico\(\endgroup\)
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