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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Untersuchen, wo diese Funktion komplex differenzierbar ist, ohne Cauchy-Riemann-DGL zu verwenden
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Universität/Hochschule J Untersuchen, wo diese Funktion komplex differenzierbar ist, ohne Cauchy-Riemann-DGL zu verwenden
inception
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  Themenstart: 2022-07-08

Guten Tag liebe MathematikerInnen, wir sollen auf dem ersten Übungsblatt der Funktionentheorie VL die Punkte bestimmen, in denen die Funktion \[f(z) = (z^2 - 1)*(\bar{z}-1)\] komplex differenzierbar ist und das ganze, ohne die Cauchy-Riemann-DGL zu verwenden. Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte? Ich probiere seit Stunden herum, aber komme nicht voran. Bin sehr dankbar für jeglichen Tipp! Vielen Dank.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-08

Die $\mathbb R$-lineare Ableitung von $f$ an der Stelle $z$ ist$$ h\mapsto 2z\,(\bar z-1)\,h+(z^2-1)\,\bar h \;. $$Und diese Ableitung ist $\mathbb C$-linear (also in der Form "komplexe Zahl $\cdot\;h$" darstellbar), wenn der Faktor $z^2-1$ vor $\bar h$ verschwindet. --zippy


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inception
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08

Vielen Dank erstmal für deine Mühe. Die Aussage, dass die Ableitung \(\mathbb{C}\)-linear ist scheint mir jedoch sehr stark verwandt mit den Cauchy-Riemann-DGL. Wir wurden explizit angewiesen nur die Definition der komplexen Diffbarkeit zu verwenden. Diese lautet bei uns wie folgt: Eine Funktion \( f:\mathbb C \mapsto \mathbb C \) heißt komplex differenzierbar in \(z_0\in\mathbb C\) genau dann, wenn es eine in \(z_0\) stetige Funktion \(\delta:\mathbb C\mapsto\mathbb C\) gibt, für die gilt: \[f(z) = f(z_0) + \delta(z)*(z-z_0)\] Hättest du vielleicht noch einen anderen Ansatz, den man da anwenden könnte? Liebe Grüße, Inception


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-08

Du kannst einfach prüfen, ob $\lim_{z\to z_0}\delta(z)$ existiert. Ein Kriterium dafür, dass dieser komplexe Grenzwert nicht existiert, ist, dass die beiden reellen Grenzwerte$$ \lim_{t\to0}\delta(z_0+t) \;,\quad \lim_{t\to0}\delta(z_0+it) $$existieren, aber nicht übereinstimmen. (Das ist im Wesentlichen nur eine Umformulierung von "die Ableitung ist $\mathbb R$-linear, aber nicht $\mathbb C$-linear".) Hier ist offenbar$$ \lim_{t\to0}\delta(z_0+t) = 2z_0\,(\bar z_0-1)+(z_0^2-1) \;,\quad \lim_{t\to0}\delta(z_0+it) = 2z_0\,(\bar z_0-1)-(z_0^2-1) \;. $$


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inception
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-09

Das war genau das, wonach ich gesucht habe!! Vielen lieben Dank!!


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inception hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
inception hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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