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 Lokale Extrema mit Nebenbedingung |
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Sekorita
Aktiv 
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 494
 |  Themenstart: 2022-07-05
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Hallo,
dass ich die lokalen Extrema einer Funktion mit Nebenbedingung mit Hilfe der Lagrange-Multiplikation hinkriege weiß Ich. Meine Rechnung dazu würde ich später zum Kontrollieren hinzufügen. Ich möchte nur nachfragen, ob meine Notation, bzw. mein Ansatz für die Bestimmung der lokalen Extrema auf meiner Menge M richtig ist.
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_bnm.JPG
f(x,y,z) = x-8y+z
M ist gegebene wie auf AB. M ist dann äquivalent zu:
M={(x,y,z) \el\ \IR^3 : x^2+z^2=9}, denn es gilt
x^2+y^2+8y+16+z^2 =25 und x^2+y^2+z^2 = 0
=> 9-8y = 9
<=> -8y = 0
<=> y = 0
=> M= {(x,y,z) \el\ \IR^3 : x^2+16+z^2=25 \and\ x^2+z^2=9}
<=> M= {(x,y,z) \el\ \IR^3: x^2+z^2=9}
Nun kann ich doch dann g(x,y,z)= x^2+z^2-9=0 setzen und als Nebenbedingung führen und dann mit Laplace die lokalen Extrema berechnen, ist das korrekt?
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-05
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Huhu Sekorita,
dein \(M_2\) beschreibt einen (unendlich hohen) Zylinder. \(M_1\) beschreibt den Schnitt zweier Kugeln, also einen Kreis.
Gruß,
Küstenkind
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11545
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-05
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Hallo
Ja, du hast M und damit die Nebenbedingung richtig bestimmt.
Gruß lula
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4968
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-05
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\quoteon(2022-07-05 22:05 - lula in Beitrag No. 2)
Ja, du hast M und damit die Nebenbedingung richtig bestimmt.
\quoteoff
Warum schreibst du so etwas und ignorierst damit Kuestenkinds Beitrag, der das Problem klar benennt: In Sekoritas $M$ fehlt die Bedingung $y=0$.
--zippy
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Sekorita
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Dabei seit: 26.10.2021
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-06
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Hallo, also muss ich ja einfach noch ergänzen, dass y = 0 ist . Ich werde die Rechnung mal durchführen und dann nochmal zur Sicherheit hier reinschicken, weil ich auf dem letzten AB am Besten die volle Punktzahl bräuchte
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Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 494
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-06
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f(x,y,z) = x-8y+z
g(x,y,z)= x^2+z^2-9=0 mit y=0 Nebenbedingung
L(x,y,z,\lambda) = f(x,y) + \lambda * g(x,y,z)
= x-8y+z + \lambda * ( x^2+z^2-9)
mit y=0 =>
L(x,y,z,\lambda) = x+z+ \lambda*x^2 + \lambda* z^2 -9\lambda
Partielle Ableitungen bilden
L_x = 1+2x\lambda
L_y = 0
L_z = 1+2z\lambda
L_\lambda = x^2+z^2-9
Partielle Ableitungen = 0 setzen
1+2x\lambda =0
0 =0
1+2z\lambda =0
x^2+z^2-9 =0
Aus 1 folgt:
2x*\lambda = -1 <=> x*\lambda = -1/2 <=> x = -1/(2\lambda)
Aus 3 folgt
2z*\lambda = -1 <=> z*\lambda = -1/2 <=> z = -1/(2\lambda)
Eisnetzen in 4 ergibt:
(-1/(2\lambda))^2 + (-1/(2\lambda))^2 -9 = 0
<=>
(1/(4\lambda^2)) + (1/(4\lambda^2)) - 9 = 0
<=>
(2/(4\lambda^2)) - 9 = 0
<=>
2 - 36\lambda^2 = 0 <=> 36\lambda^2-2=0 <=> \lambda^2 - 1/18 = 0
=> \lambda_1 = 1/sqrt(18)
\lambda_2 = (-1/sqrt(18)
=> x_1 = -1/(2/sqrt(18)) = -1/(2*sqrt(18)
x_2 = 1/(2*sqrt(18)
z_1 = -1/(2*sqrt(18)
z_2 = 1/(2*sqrt(18)
Es geht also um folgende Punkte (x,y,z) \el\ \IR^3
P_1 ( -1/(2*sqrt(18)), 0, -1/(2*sqrt(18))
P_2 ( -1/(2*sqrt(18)), 0, 1/(2*sqrt(18))
P_3 ( 1/(2*sqrt(18)), 0, -1/(2*sqrt(18))
P_4 ( 1/(2*sqrt(18)), 0, 1/(2*sqrt(18))
ist dies bis hier erstmal richtig ?
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-07-06
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Huhu Sekorita,
\quoteon(2022-07-06 11:48 - Sekorita in Beitrag No. 5)
=> x_1 = -1/(2/sqrt(18)) = -1/(2*sqrt(18)
\quoteoff
die Bruchrechnung solltest du noch mal üben.
Gruß,
Küstenkind
edit sagt noch: \(P_2\) und \(P_3\) sind übrigens keine kritischen Punkte, da du beim Lösen des Systems nicht beide Lambdawerte einsetzen darfst. Falls Lagrange nicht vorgeschrieben ist, kannst du auch Polarkoordinaten nutzen und die Aufgabe wird eine einfache eindimensionale Extremwertaufgabe, wie du sie aus der Schule kennst.
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Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 494
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07
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Hallo,
stimmt mit P_2 und P_3 habe ich falsch gedacht.
Bezüglich der Bruchrechnung sehe ich gerade keinen Fehler 😅 für Doppelbrüche gilt a/b/c = a/(b*c)
Und -1/2\lambda <=> -1/2(1/sqrt(18))<=>
-1/(2/sqrt(18)) <=> -1/((2*sqrt(18)))
Lagrange wurde leider vorrausgesetzt
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4968
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-07-07
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\quoteon(2022-07-07 12:43 - Sekorita in Beitrag No. 7)
Bezüglich der Bruchrechnung sehe ich gerade keinen Fehler 😅 für Doppelbrüche gilt a/b/c = a/(b*c)
\quoteoff
$\displaystyle{a\over{b\over c}} =
{a\over\left({b\over c}\right)} \ne
{\left({a\over b}\right)\over c}$
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-07-07
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Huhu Sekorita,
\quoteon(2022-07-07 12:43 - Sekorita in Beitrag No. 7)
für Doppelbrüche gilt a/b/c = a/(b*c)
\quoteoff
keine Ahnung wie du auf diese Regel kommst. Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:
\(\displaystyle \frac{a}{\frac bc}=a:\frac{b}{c}=a\cdot \frac{c}{b}=\frac{ac}{b}\)
Dir sollte dann auch selbst auffallen, dass dein \(P_1\) sicherlich nicht die Nebenbedingung \(x^2+z^2-9=0\) erfüllt, wenn bei dir \(|x|\) und \(|z|\) kleiner als \(1\) sind.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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Sekorita
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Dabei seit: 26.10.2021
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07
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Oh Gott....... Ich weiß nicht, was mich da geritten hat....
Ich mache einfach mal weiter:
P_1 (- sqrt(18)/2, 0, - sqrt(18)/2)
P_2 ( sqrt(18)/2, 0, sqrt(18)/2)
Bildung der 2. partiellen Ableitungen:
L_xx = 2\lambda
L_yy = 0
L_zz = 2\lambda
L_\lambda\lambda = 0
L_xy = 0
L_xz = 0
L_x\lambda =2x
L_yx = 0
L_yz = 0
L_y\lambda = 0
L_zx = 0
L_zy = 0
L_z\lambda = 2z
L_(\lambda x) =2x
L_(\lambda y) = 0
L_(\lambda z) = 2z
Hesse Matrix ist dann:
(0,2x,0,2z;2x,2\lambda,0,0;0,0,0,0;2z,0,0,2\lambda)
Einsetzen von P_1 liefert:
(0,-sqrt(18),0,-sqrt(18);-sqrt(18),2/sqrt(18),0,0;0,0,0,0;-sqrt(18),0,0,2/sqrt(18))
Determinante berechnen:
Determinante ist 0, weil eine Zeile Nur aus 0 besteht. Also positiv semidefinit. Also bringt mich das ja nicht weiter.
Kann ich auch damit argumentieren, dass die Menge M kompakt ist auf der ich Rechne und so in den kritischen Punkten nach dem Satz von Minimum und Maximum diese auch angenommen werden müssen und dann die Funktionswerte vergleichen?
Also das in P_1 Minimum und in P_2 Maximum angenommen werden?
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4968
| Beitrag No.11, eingetragen 2022-07-07
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\quoteon(2022-07-07 17:03 - Sekorita in Beitrag No. 10)
Hesse Matrix ist dann:
\quoteoff
Du kannst bei Problemen mit Nebenbedingungen nicht "einfach so" die Hessematrix betrachten.
Es gibt zwar modifizierte Verfahren, aber üblichweise hilft man sich mit anderen Argumenten.
\quoteon(2022-07-07 17:03 - Sekorita in Beitrag No. 10)
Kann ich auch damit argumentieren, dass die Menge M kompakt ist auf der ich Rechne und so in den kritischen Punkten nach dem Satz von Minimum und Maximum diese auch angenommen werden müssen und dann die Funktionswerte vergleichen?
\quoteoff
Das ist ein sinnvoller Ansatz, du solltest ihn aber etwas konkreter ausformulieren.
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.12, eingetragen 2022-07-07
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Huhu,
als Ergänzung zu zippys Beitrag: Du scheinst ja die geränderte Hesse-Matrix nutzen zu wollen. Das Problem scheint mir dabei zu sein, dass du eine Nebenbedingung eingesetzt hast. Deine Lagrange Funktion hängt dann nicht mehr von \(y\) ab, und lautet dann eben \(L(x,z,\lambda)\). Damit solltest du denn deine Matrix untersuchen können.
Andernfalls müsstest du mit zwei Nebenbedingungen eben \(L(x,y,z,\lambda,\mu)=x-8y+z-\lambda(x^2+z^2-9)-\mu y\) ansetzen und deine geränderte Hesse-Matrix sieht denn so aus:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-07-07_um_19.20.25.png
Damit bekommst du denn auch keine Nullzeile.
Wie zippy dir ja aber schon erzählt hat, solltest du natürlich deinen alternativen Weg weiterverfolgen.
Gruß,
Küstenkind
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Sekorita
Aktiv
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07
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Danke für die Hilfe. Ich sehe selbst, dass mit Hinblick auf die Klausur und der zeitlichen Einschränkung nicht immer die Hesse Matrix zu betrachten ist.
Mein Gedanke in ausformuliert:
f ist auf meine Menge beschränkt
M={(x,y,z):= v | g(v)=0}
Die Menge besteht also nur aus meinen Punkten P_1 und P_4. Die Menge ist also beschränkt und abgeschlossen und somit kompakt. Da f auf dieser Menge Operiert muss sie Nach dem Satz von Minimum und Maximum auf dieser Menge ihr Minimum und Maximum annehmen, wie von mir beschrieben.
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.14, eingetragen 2022-07-08
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Ich verstehe nicht wirklich, was du dir da überlegt hast. \(M\) ist doch dein Kreis - und besteht nicht nur aus zwei Punkten (wieso sprichst du übrigens immer noch von \(P_1\) und \(P_4\)?). Du müsstest also begründen, dass diese Menge kompakt ist. Da dein \(f\) stetig ist, nimmt es somit ein Maximum und Minimum auf dieser Menge an - und es reicht einfach den Funktionswert zu berechnen.
Gruß,
Küstenkind
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Sekorita
Aktiv
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Mitteilungen: 494
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08
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Hallo,
ich habe meine Menge M so verstanden, dass sie alle (x,y,z):=v enthält, für die g(v)=0 gilt..
Das mit dem Kreis verstehe ich leider gerade nicht
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