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 Störungstheorie H-Atom im E-Feld |
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Muon
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Hi,
bin mir nicht ganz sicher, ob ich die folgende Aufgabe richtig gelöst habe:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-06-30_um_19.57.29.png
Da ja von linearer Ordnung gesprochen wird, bedeutet es ja die Korrektur der 1. Ordnung, wenn also \lambda=1 ist.
Dann müsste ich ja für die Wellenfunktion die folgende Formel verwenden (99):
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-06-30_um_20.05.17.png
Diese müsste ich ja dann in die Formel für die Polarisation P einfügen und genau da bin ich mir nicht ganz sicher. Da z weder in Fett noch einen Pfeil besitzt, bin ich davon ausgegangen, dass es sich bei z jetzt einfach um ein Skalar handelt. Das kann ich ja dann einfach aus dem inneren Produkt hinausziehen.
P= abs(-e)*bra(\psi(\lambda)) z ket(\psi(\lambda)=abs(-e)*z*braket(\psi(\lambda),\psi(\lambda))
mit braket(\psi(\lambda),\psi(\lambda))=1
P=abs(-e)*z
Stimmt das so?
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wladimir_1989
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|  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-30
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Hallo Muon,
\quoteon(2022-06-30 20:19 - Muon im Themenstart)
Da ja von linearer Ordnung gesprochen wird, bedeutet es ja die Korrektur der 1. Ordnung, wenn also \lambda=1 ist.
\quoteoff
lineare Ordnung bedeutet hier: linear im elektrischen Feld, der ja im Störungshamiltonian drin steckt. Ich bin mir nicht sicher, was du mit \(\lambda=1\) meinst. \(\lambda\) sollte wohl der Ordnungsparameter sein? Falls ja, sollte er deutlich kleiner als 1 sein, damit die Störungstheorie anwendbar ist. Hier bedeutet dies einfach, dass das externe Feld viel schwächer als das elektrische Feld des Kerns in der Nähe des Kerns ist, was ja sicherlich gegeben ist.
\quoteon(2022-06-30 20:19 - Muon im Themenstart)
Da z weder in Fett noch einen Pfeil besitzt, bin ich davon ausgegangen, dass es sich bei z jetzt einfach um ein Skalar handelt. Das kann ich ja dann einfach aus dem inneren Produkt hinausziehen.
P= abs(-e)*bra(\psi(\lambda)) z ket(\psi(\lambda)=abs(-e)*z*braket(\psi(\lambda),\psi(\lambda))
mit braket(\psi(\lambda),\psi(\lambda))=1
P=abs(-e)*z
Stimmt das so?
\quoteoff
Das stimmt so leider nicht. z ist hier die z-Komponente des Ortsoperators, man kann sie nicht einfach aus dem Erwartungswert herausziehen. Falls du dir nicht sicher bist, überlege einfach, wie der Erwartungswert explizit im Ortsraum aussieht.
Nun zur Aufgabe: Fange damit an, die Entwicklung (99) in deine Formel für die Polarisation einzusetzen und breche nach linearer Ordnung ab. Überlege dir, wie dein \(\mathbf{H}_1\) konkret aussieht. Was ist n bei uns?
lg Wladimir
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Muon
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-01
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Danke Wladimir für deine Hilfe
Jetzt wo ich mir die Formel noch einmal genauer angeschaut habe, hatte ich mich leider falsch ausgedrückt. Um die Wellenfunktion zu erhalten, muss ich ja eine Taylorentwicklung vornehmen und danach macht man ja einen Koeffizientenvergleich und dort meinte ich, dass ich nur \lambda^1 betrachten muss, sorry für das missverständis.
Kann ich dann z wie folgt interpretieren? z^>=(0;0;z)
Bei H_1 handelt es sich ja um den Störterm, dieser müsste für das elektrische Feld dann wie folgt aussehen H_1=V^~=e*E*z
ket(n) ist wiederum die Wellenfunktion, wenn die Störung nicht vorkommen würde.
Würde dann wie du gesagt hast die Formel (99) mit diesen Informationen in die Gleichung für die Polarisation einsetzen.
P= abs(-e)*bra(\psi(\lambda)) z^> ket(\psi(\lambda)
Würde dann erst einmal den Term z^> ket(\psi(\lambda) berechnen
z^> ket(\psi(\lambda))=z^>*ket(n)+z^>*sum()*(ket(m)*bra(m) H_1 ket(n))/(\epsilon_n-\epsilon_m)
Bei sum((ket(m)*bra(m)) handelt es sich doch 3X3 Einheitsmatrix
kann ich eigentlich den Term (sum((ket(m)*bra(m))/(\epsilon_n-\epsilon_m))* wie folgt schreiben?
1/(\epsilon_n-\epsilon_m)*(1,0,0;0,1,0;0,0,1)=1/(\epsilon_n-\epsilon_m)*\big\1
Damit würde dann z^> ket(\psi(\lambda)) wie folgt aussehen
z^> ket(\psi(\lambda))=z^>*ket(n)+z^>*1/(\epsilon_n-\epsilon_m)*\big\1\normal\ *H_1 ket(n)
Jetzt habe ich nur ein Problem, was H_1*ket(n) ist.
Bei H_1 handelt es sich ja um den Hamiltonian der Störung, angewendet auf die ungestörte Wellenfunktion, nur weiß ich nicht, was dabei herauskommt?
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wladimir_1989
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-01
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Hallo,
\quoteon(2022-07-01 14:19 - Muon in Beitrag No. 2)
Bei H_1 handelt es sich ja um den Störterm, dieser müsste für das elektrische Feld dann wie folgt aussehen H_1=V^~=e*E*z
ket(n) ist wiederum die Wellenfunktion, wenn die Störung nicht vorkommen würde.
\quoteoff
das ist richtig.
\quoteon(2022-07-01 14:19 - Muon in Beitrag No. 2)
Kann ich dann z wie folgt interpretieren? z^>=(0;0;z)
\quoteoff
Nein z ist einfach die z-Komponente des Ortsoperators, beachte, dass P hier für den Betrag der Polarisation steht, also \(\vec P=P\vec e_z\).
\quoteon(2022-07-01 14:19 - Muon in Beitrag No. 2)
Würde dann erst einmal den Term z^> ket(\psi(\lambda) berechnen
z^> ket(\psi(\lambda))=z^>*ket(n)+z^>*sum()*(ket(m)*bra(m) H_1 ket(n))/(\epsilon_n-\epsilon_m)
Bei sum((ket(m)*bra(m)) handelt es sich doch 3X3 Einheitsmatrix
kann ich eigentlich den Term (sum((ket(m)*bra(m))/(\epsilon_n-\epsilon_m))* wie folgt schreiben?
1/(\epsilon_n-\epsilon_m)*(1,0,0;0,1,0;0,0,1)=1/(\epsilon_n-\epsilon_m)*\big\1
Damit würde dann z^> ket(\psi(\lambda)) wie folgt aussehen
z^> ket(\psi(\lambda))=z^>*ket(n)+z^>*1/(\epsilon_n-\epsilon_m)*\big\1\normal\ *H_1 ket(n)
\quoteoff
Wieso sollte \(\sum_{m\neq n} |m\rangle \langle m|\) dreidimensional sein. Die Matrix ist unendlich-dimensional, da es unendlich viele linear unabhängige Zustände gibt, nämlich für jedes m eines. Ist dir de Unterschied zwischen dem drei-dimensionalen Anschauungsraum und dem Hilbertraum der quantenmechanischen Zustände klar? Die Gleichung \(\sum_{m\neq n}|m\rangle\langle m|=\mathbf{1}\) wäre tatsächlich richtig , falls die Summe über alle m laufen würde, hier wird aber explizit der Fall \(m=n\) ausgeschlossen. Beachte, dass auch die \(\mathbf{1}\) unendlich-dimensional ist, also einfach der Einheitsoperator auf dem Hilbert-Raum der Energieeigenzustände.
Als nächstes setze diese Entwicklung in den Erwartungswert ein und beachte, dass du nur lineare Terme in \(E\) und damit in \(H_1\) beibehälst. Du musst hier tatsächlich einige Matrixelemente ausrechnen, der Aufgabenteil b) suggeriert aber, dass ihr diese Matrixelemente in der Vorlesung berechnet habt. Konkret brauchst du \(\langle m|z|n\rangle\) für \(m\neq n\) und \(\langle n|z|n\rangle\). Notfalls kannst du diese Erwartungswerte ausch explizit berechnen, z.B. indem du die konkrete Form der Einergieeigenwerte im Ortsraum und die Integraldarstellung des Erwartungswertes verwendest. Im Übrigen hast du nicht geschrieben, welchen Wert wir für n einsetzen sollen.
lg Wladimir
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Muon
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-02
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Danke wladimir für deine Hilfe 👍👍
\quoteon(2022-07-01 23:45 - wladimir_1989 in Beitrag No. 3)
Ist dir de Unterschied zwischen dem drei-dimensionalen Anschauungsraum und dem Hilbertraum der quantenmechanischen Zustände klar?
\quoteoff
Ich glaube schon, wie der Name schon sagt, besitzt der drei-dimensionalen Anschauungsraum nur Dreidimensionen, wohin entgegen doch der Hilbertraum über unendliche viele Dimensionen verfügt.
\quoteon(2022-07-01 23:45 - wladimir_1989 in Beitrag No. 3)
Im Übrigen hast du nicht geschrieben, welchen Wert wir für n einsetzen sollen.
\quoteoff
Leider wurde dies auf dem Aufgabenblatt nicht konkretisiert. Das Bild in meinen Post No.1 ist die gesamte Aufgabe.
\quoteon(2022-07-01 23:45 - wladimir_1989 in Beitrag No. 3)
Als nächstes setze diese Entwicklung in den Erwartungswert ein
\quoteoff
Was genau meinst du, welche Entwicklung ich in den Erwartungswert einsetzen soll? Irgendwie stehe ich leider auf dem Schlauch, sorry.
Meinst du das?
z ket(\psi(\lambda))=z*ket(n)+z*sum()*(ket(m)*bra(m) H_1 ket(n))/(\epsilon_n-\epsilon_m)
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wladimir_1989
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-02
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Hallo,
\quoteon(2022-07-02 21:59 - Muon in Beitrag No. 4)
Ich glaube schon, wie der Name schon sagt, besitzt der drei-dimensionalen Anschauungsraum nur Dreidimensionen, wohin entgegen doch der Hilbertraum über unendliche viele Dimensionen verfügt.
\quoteoff
das ist hier richtig. Beachte aber, dass es natürlich durchaus Fälle gibt, in denen der Hilbertraum endlich dimensional ist.
\quoteon(2022-07-02 21:59 - Muon in Beitrag No. 4)
Leider wurde dies auf dem Aufgabenblatt nicht konkretisiert. Das Bild in meinen Post No.1 ist die gesamte Aufgabe.
\quoteoff
Doch, der Wert ist bekannt, denn der Wasserstoffatom befindet sich im Grundzustand und damit gilt \(n=1\).
\quoteon(2022-07-02 21:59 - Muon in Beitrag No. 4)
Was genau meinst du, welche Entwicklung ich in den Erwartungswert einsetzen soll? Irgendwie stehe ich leider auf dem Schlauch, sorry.
Meinst du das?
z ket(\psi(\lambda))=z*ket(n)+z*sum()*(ket(m)*bra(m) H_1 ket(n))/(\epsilon_n-\epsilon_m)
\quoteoff
Wir haben ja in der Ausgangsformel \(P=-|e|\langle\Psi|z|\Psi\rangle\). Nun entwickeln wir
\[|\Psi\rangle=|1\rangle+\frac{\sum_{m=2}^\infty |m\rangle\langle m|H_1|1\rangle}{\epsilon_1-\epsilon_m}+\mathcal{O}(H_1^2).\]
Damit haben wir
\[P=-|e|\left(\langle 1|z|1\rangle+\frac{\sum_{m=2}^\infty \langle 1|z|m\rangle\langle m|H_1|1\rangle}{\epsilon_1-\epsilon_m}+\frac{\sum_{m=2}^\infty \langle m|z|1\rangle\langle 1|H_1|m|\rangle}{\epsilon_1-\epsilon_m}+\mathcal{O}(H_1^2)\right).\]
Jetzt müsstest du in der Lage sein, die Matrixelemente aus deiner Vorlesung zu benutzen.
lg Wladimir
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Muon
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03
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Vielen Dank für deine Hilfe wladimir 👍👍 Das sich das Wasserstoffatom im Grundzustand befindet, hatte ich komplett vergessen, weswegen ich mir so unsicher war, wie man diese Aufgabe berechnen soll, wenn n nicht angegeben ist.
Das Video zu der Vorlesung ging gestern online, dort wurde der Stark-Effekt mit der Störungstheorie für das Wasserstoffatom hergeleitet, dabei hat mein Professor wiederum das Potenzial des elektrischen Felds in Kugelkoordinaten angegeben und auch die Rechnung, welche aufgeteilt wurde in Winkelanteil und Radialanteil, da ja die Wellenfunktion mithilfe der Kugelflächenfunktionen hergeleitet wurde.
\quoteon(2022-07-02 23:43 - wladimir_1989 in Beitrag No. 5)
Wir haben ja in der Ausgangsformel \(P=-|e|\langle\Psi|z|\Psi\rangle\). Nun entwickeln wir
\[|\Psi\rangle=|1\rangle+\frac{\sum_{m=2}^\infty |m\rangle\langle m|H_1|1\rangle}{\epsilon_1-\epsilon_m}+\mathcal{O}(H_1^2).\]
Damit haben wir
\[P=-|e|\left(\langle 1|z|1\rangle+\frac{\sum_{m=2}^\infty \langle 1|z|m\rangle\langle m|H_1|1\rangle}{\epsilon_1-\epsilon_m}+\frac{\sum_{m=2}^\infty \langle m|z|1\rangle\langle 1|H_1|m|\rangle}{\epsilon_1-\epsilon_m}+\mathcal{O}(H_1^2)\right).\]
\quoteoff
Kann man eigentlich diese Gleichung jetzt umschreiben in die Kugelkoordinaten?
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wladimir_1989
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-04
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Hallo,
man kann die Matrixelemente durchaus in Kugelkoordinaten schreiben, das sollte aber eigentlich nicht nötig sein. Könntest du bitte nochmals nachschauen, ob ihr die benötigten Matrixelemente nicht schon ausgerechnet habt.
lg Wladimir
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Muon
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04
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Das hier sind die Matrixelemente, welcher mein Professor an der Tafel gerechnet hat:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_1.jpg
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_2.jpg
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_3.jpg
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-07-04_um_20.19.42.jpg
Für die Terme bra(m) H_1 ket(1) und bra(1) H_1 ket(n) kann ich ja die Formel benutzen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-07-04_um_20.31.24.png
Leider fehlt mir jetzt nur noch, was die Terme bra(1) z ket(1) , bra(1) z ket(m) und bra(m) z ket(1) ergeben, oder kann man die anhand der Rechnungen an der Tafel dennoch bestimmen?
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wladimir_1989
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-07-04
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Hallo,
das sieht doch schon gut aus :). Könntest du bitte noch die fraglichen Matrixelemente hier eintippen, die Bilder sind nur schwer zu lesen. Überlege dir, dass die Terme \(\langle 1|H_1|n\rangle\) und \(\langle 1|z|n\rangle\)
sehr eng verwandt sind. Damit müssen die letzteren nicht getrennt berechnet werden.
lg Wladimir
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Muon
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
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Sorry für die schlechte Auflösung, die entscheidende Ergebnisse lauten wie folgt:
abs(bra(n^' l^' m^') H_1 ket(100))^2=(\delta_(l^' ,1)*\delta_(m^' ,0))/3*(a_B)^2*f_n^'
mit (a_B)^2*f_n^'=(2^8*n^7*(n-1)^(2*n-5))/(n+1)^(2*n+5)*(a_B)^2
Dann hat mein Professor die Korrektur für die Energie berechnet.
Dabei kam heraus, dass der lineare Term bra(1) H_1 ket(1)=0 ist und der quadratische Term wiederum -E^2*(a_B)*1.83
Wenn bra(1) z ket(m) und bra(1) H_1 ket(m) sehr eng verwandt sind, darf ich dann
bra(1) z ket(m)=bra(1) H_1 ket(m) annehmen?
Kann ich dann P wie folgt schreiben?
P=-abs(e)*(bra(1) z ket(1)+2*sum((bra(1) H_1 ket(m)*bra(m) H_1 ket(1))/(\epsilon_1 -\epsilon_m),k=2,\inf)
Jetzt kann ich ja die Ergebnisse von meinen Professor einsetzen:
P=-abs(e)*(0+2*(-E^2*(a_B)^3*1,83))
P=abs(e)*E^2*(a_B)^3*3,66
Stimmt das so?
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wladimir_1989
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-07-05
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Hallo,
ich habe mir noch nicht alles angeschaut, aber schon Mal ein schneller Kommentar:
1)
\quoteon(2022-07-05 14:25 - Muon in Beitrag No. 10)
Wenn bra(1) z ket(m) und bra(1) H_1 ket(m) sehr eng verwandt sind, darf ich dann
bra(1) z ket(m)=bra(1) H_1 ket(m) annehmen?
\quoteoff
Wir haben doch im Beitrag 2 festgestellt, dass \(H_1=e\mathcal{E}z\) (ich verwende \(\mathcal{E}\) für die elektrische Feldstärke und E für Energie) ist. Da \(e\mathcal{E}\) einfach eine Zahl ist, kann man sie aus dem Matrixelement herausziehen und dann gilt \(\langle 1|H_1|m\rangle=e\mathcal{E}\langle 1|z|m\rangle\). Insbesondere sollte das Ergebnis ja linear und nicht quadratisch in \(\mathcal{E}\) sein.
2) Ok, aus dem Foto sehe ich, dass \(\Delta E=-\mathcal{E}^2 a_B^3\cdot 1,83\), vergleiche die Summen für \(\Delta E\) und \(P\).
4) Der Index in der Summe sollte m und nicht k lauten.
lg Wladimir
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Muon
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
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Danke noch einmal für deine Hilfe Wladimir 👍👍
\quoteon(2022-07-05 15:27 - wladimir_1989 in Beitrag No. 11)
Wir haben doch im Beitrag 2 festgestellt, dass \(H_1=e\mathcal{E}z\) (ich verwende \(\mathcal{E}\) für die elektrische Feldstärke und E für Energie) ist. Da \(e\mathcal{E}\) einfach eine Zahl ist, kann man sie aus dem Matrixelement herausziehen und dann gilt \(\langle 1|H_1|m\rangle=e\mathcal{E}\langle 1|z|m\rangle\). Insbesondere sollte das Ergebnis ja linear und nicht quadratisch in \(\mathcal{E}\) sein.
\quoteoff
Stimmt, das habe ich komplett übersehen, dadurch kann ich ja dann folgendes Schreiben:
(e\epsilon)/(e\epsilon)*bra(1) z ket(m)=1/(e\epsilon)*bra(1) e\epsilon*z ket(m)=1/(e\epsilon)*bra(1) H_1 ket(m)
Damit erhalte ich dann P=\epsilon*(a_B)^3*3,66
Dieses Ergebnis habe ich auch bei der 1c erhalten 😃
\quoteon(2022-07-05 15:27 - wladimir_1989 in Beitrag No. 11)
4) Der Index in der Summe sollte m und nicht k lauten.
\quoteoff
Stimmt, hatte leider vergessen, bei dem Formeleditor, das k durch ein m zu ersetzen :-)
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wladimir_1989
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-07-05
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Hallo,
\quoteon(2022-07-05 18:42 - Muon in Beitrag No. 12)
Dieses Ergebnis habe ich auch bei der 1c erhalten 😃
\quoteoff
So sollte es auch sein :)
lg Wladimir
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Muon
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05
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Super 😃 nochmals vielen Dank für deine Hilfe👍👍👍👍
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wladimir_1989
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| Beitrag No.15, eingetragen 2022-07-05
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