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Mechanik » Dynamik des starren Körpers » Körper mit Translation und Rotation
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Universität/Hochschule J Körper mit Translation und Rotation
tomte
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  Themenstart: 2022-06-26

Guten Abend, Ich stecke gerade fest bei einer Aufgabe wie folgt: Auf eine frei schwebende Stange wird etwas abseits von deren Schwerpunkt senkrecht ein Impuls P übertragen. Das resultiert natürlich in einer Translation sowie Rotation der Stange. Ich habe aber ein totales Brett vorm Kopf, wenn es darum geht Winkel- bzw. Schwerpunktgeschwindigkeit zu berechnen. Ich wüsste nicht, wie sich die Energie des Impulses auf Rotation bzw. Translation aufteilt. Auch wichtig: es genügt in der Aufgabe die Betrachtung der Geschwindigkeiten unmittelbar nach der Impulsübertragung Hoffe sehr Ihr könnt mir da weiterhelfen Vielen Dank im Voraus Tom


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wladimir_1989
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-27

Hallo tomte und willkommen auf dem Matheplaneten! du kannst ja wie bei Kräften den Impuls \(\vec P\) am Schwerpunkt dazuaddieren und wieder substrahieren. Dann hast einen Impulsübertrag \(\vec P\) der sich in eine Schwerpunktsgeschwindigkeit \(\vec V=\frac{\vec P}{m}\) übersetzt und einen Drehimpulsübertrag \(\vec L=\vec r\times \vec P=rP\vec e_z\), falls die Stange parallel zur Achse liegt und der Impuls senkrecht dazu in die y-Richtung zeigt. r ist natürlich der Abstand zwischen dem Auftreffpunkt und dem Schwerpunkt. Jetzt kann du den Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit berechnen. lg Wladimir


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tomte
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-28

Hoffe ich mache das hier richtig mit dem Antworten :) Das ist leider ziemlich sicher nicht die richtige Lösung. Der Haken an der Aufgabe ist ja, dass P sich auf den Schwerpunktimpuls und Drehimpuls verteilt. Die Schwerpunktgeschwindigkeit muss daher geringer als P/m ausfallen. Habe die Aufgabe aber eh schon abgegeben. Morgen bekomme ich hoffentlich in der Übung eine Lösung. Trotzdem Dankeschön! Tom


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wladimir_1989
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-29

Hallo Tom, darf ich fragen, ob du nun eine Lösung hast? :) Ich sehe gerade nicht, warum die Lösung aus Beitrag 1 falsch sein sollte. Schließlich sollten ja sowohl die Impuls- als auch die Drehimpulserhaltung separat erfüllt sein. lg Wladimir


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tomte
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Hi, habe tatsächlich eine Lösung, der Prof hat das genau so gelöst wie du. Tue mir trotzdem schwer das zu verstehen, hatte den Lösungsweg intuitiv aus Energetischer Betrachtung als nicht möglich betrachtet. Meine Überlegung war da wie folgt: Besagte Stange bekommt wie in der Aufgabe beschrieben den Impuls übertragen und fliegt dann mit einem Drehimpuls vom Betrag rP und dem Schwerpunktimpuls mit Betrag P durch den Raum. Die Stange stößt nun auf Höhe des Schwerpunkts auf einen nicht ausgedehnten ruhenden Körper und überträgt den gesamten Schwerpunktimpuls auf diesen Körper A. Der Drehimpuls der Stange ist davon nicht beeinflusst, da die Stange mit Abstand r=0 vom Schwerpunkt getroffen wurde. Jetzt haben wir aber den Körper A mit Impuls P und die Stange die immer noch den Drehimpuls rP in sich trägt. Damit haben wir im System doch jetzt doppelt so viel Impuls und damit mehr kinetische Energie, als wir reingesteckt haben, oder? Ich bin mir zwar mittlerweile sicher, dass deine Lösung richtig ist, aber ich kann mir nicht weiß machen wieso. Viele Grüße Tom


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wladimir_1989
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-30

Hallo, ich glaube das Problem bei deiner Überlegung ist, dass du annimmst, dass Drehimpuls nur eine mögliche Form des Impulses ist. Dem ist aber nicht so, Impuls und Drehimpuls sind zwei verschiedene physikalische Größen, was man schon daran sieht, dass sie unterschiedliche Dimensionen haben. Daher kann man sie auch nicht addieren. Solange der Raum gewisse Symmetrieeigenschaften besitzt (Stichwort Noether-Theorem) müssen sowohl der Impuls als auch der Drehimpuls getrennt voneinander erhalten bleiben. Das ist ja in deinem Gedankenexperiment gegeben. Worüber man aber ein bisschen nachdenken muss, ist die Erhaltung der kinetischen Energie, denn hier darf man natürlich Translations- und Rotationsenergien addieren. Wenn wir annehmen, dass alle Impulsüberträge elastisch ablaufen, also keine kinetische Energie in Wärme oder innere Verformungen geht, muss bei gleichem Impulsübertrag bei einem nicht-zentralen Stoß mehr kinetische Energie übertragen worden sein als bei einem zentralen. lg Wladimir


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tomte
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-02

Guten Abend, danke erstmal für die Antworten! das mit der kinetischen Energie war am eine auch für mich der Stein des Anstoßes bei der Lösung. Der Impuls P der auf die Stange übertragen wurde ist ja fix und P^2 auch direkt proportional zur kinetischen Energie. Dann kann das ja eigentlich nicht sein, dass wir durch einen dezentralen Stoß auf die Stange mehr kinetische Energie ins System bekommen, oder? Viele Grüße Tom


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-02

\quoteon(2022-07-02 18:18 - tomte in Beitrag No. 6) Der Impuls P der auf die Stange übertragen wurde ist ja fix und P^2 auch direkt proportional zur kinetischen Energie. \quoteoff "Proportional" ist ein gutes Stichwort, denn das sagt ja schon, dass es neben dem fest vorgegebenen Impuls $P$ auch noch einen nicht fest vorgegebenen Proportionalitätsfaktor gibt. \quoteon(2022-07-02 18:18 - tomte in Beitrag No. 6) Dann kann das ja eigentlich nicht sein, dass wir durch einen dezentralen Stoß auf die Stange mehr kinetische Energie ins System bekommen, oder? \quoteoff Es ist $\mathrm dE=v\,\mathrm dp$ und damit $E=\int_0^Pv(p)\,\mathrm dp$, wobei $v$ die Geschwindigkeit der Stange in Richtung von $P$ ist. Bei einem zentralen Stoß fällt $v(p)$ mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit der Stange zusammen, bei einem dezentralen Stoß kommt die Rotationsgeschwindigkeit dazu. Also ist bei einem dezentralen Stoß $v(p)$ und somit auch die übertragene Energie größer. --zippy


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tomte
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-02

Beachte, ich meinte proportional zu P^2. Da hätten wir dann ja den festen Proportionalitätsfaktor 1/2m. Hätten wir hier einen Körper mit Masse und Geschwindigkeit gegeben, der seinen Impuls mehr oder weniger auf die Stange überträgt könnte ich die verschiedenen Werte für die Energien bei zentralen oder dezentralem Stoß eher nachvollziehen. So wie gegeben, also mit fest übertragenem Impuls P, unabhängig davon wo auf der Stange er wirkt kommt mir das nach wie vor seltsam vor, dass die Stange P durch einen dezentralen Stoß erst absorbieren kann, dann durch einen zweiten zentralen Stoß vollständig wieder abgeben kann ohne dabei die in ihrer Rotation gespeicherten Energie zu verlieren. Liegt das Problem in der Aufgabe vielleicht darin, dass der in der Aufgabenstellung nicht definierte Körper der P auf die Stange übertragen soll mehr oder weniger Impuls übertragen kann, je nach dem wie zentral er die Stange trifft. Das wäre so meine intuitive Vermutung. Wenn ich eine Stange mit dem Fuß kicke und abseits des Schwerpunkts treffe kann ich meinen Impuls ja auch nur vermindert auf übertragen.


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DrStupid
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-07-02

\quoteon(2022-07-02 19:53 - tomte in Beitrag No. 8) Beachte, ich meinte proportional zu P^2. Da hätten wir dann ja den festen Proportionalitätsfaktor 1/2m. \quoteoff Offenbar denkst Du nur an die kinetische Energie der Translation und vergisst, dass zusätzlich dazu auch noch Energie in der Rotation steckt. \quoteon(2022-07-02 19:53 - tomte in Beitrag No. 8) Liegt das Problem in der Aufgabe vielleicht darin, dass der in der Aufgabenstellung nicht definierte Körper der P auf die Stange übertragen soll mehr oder weniger Impuls übertragen kann, je nach dem wie zentral er die Stange trifft. \quoteoff Nein, das ist nicht nötig. Bei einem vollständig unelastischen Stoß würde der Körper immer denselben Impuls auf die Stange übertragen, aber je nachdem wo er trifft, unterschiedliche Drehimpulse und kinetische Energien.


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tomte
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-02

Ok, also versteh ich das richtig, dass ein Impuls P verschiedene Mengen Energien übertragen kann? Die Masse und Geschwindigkeit des (nicht rotierenden) Körpers der anfangs den Impuls auf die Stange überträgt ist ja bekannt, sonst könnten wir dessen Impuls nicht bestimmen. Der Einfachheit halber haben mal besagter Körper und die Stange die gleiche Masse. Mit m und v können wir ja aber auch die kinetische Energie des Körpers eindeutig bestimmen. Betone eindeutig. Beim Stoß wird P vollständig übertragen und v geht auf 0 => Ekin geht auf null => Ekin vollständig übertragen. Wie kann die Stange jetzt die selbe Ekin wie der Körper plus eine variabel große Rotationsenergie tragen? Für mich sieht das so aus als würde da die Rotationsenergie aus dem Nichts entstehen.


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zippy
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-07-02

\quoteon(2022-07-02 21:02 - tomte in Beitrag No. 10) Ok, also versteh ich das richtig, dass ein Impuls P verschiedene Mengen Energien übertragen kann? \quoteoff Genau so ist es. In Beitrag Nr. 7 siehst du, dass ein fester Impulsübertrag umso mehr Energie überträgt, je schneller er den Körper, auf den er übertragen wird, beschleunigt. Aus diesem Grunde wird z.B. auf einen Körper mit einer geringeren Masse mehr Energie übertragen als auf einen mit einer höheren Masse. Und völlig analog erklärt sich der Unterschied zwischen dem dezentralen und dem zentralen Stoß. \quoteon(2022-07-02 21:02 - tomte in Beitrag No. 10) Der Einfachheit halber haben mal besagter Körper und die Stange die gleiche Masse. \quoteoff Wenn du dir den Impulsübertrag als inelastischen Stoß vorstellen willst, musst du beachten, dass ein inelastischer Stoß mit einem Körper des Impulses $P$ nicht den Impuls $P$ überträgt.


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tomte
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-02

Okay, dann klärt das meinen Trugschluss mit der energetische Betrachtung und damit diesen Thread. Vielen Dank


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