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| Autor |
 Zwischenwertsatz periodische Funktion |
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Das_Fragezeichen
Junior 
Dabei seit: 23.04.2020
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2022-06-25
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Hallo liebes Forum,
ich bekomme folgende Aufgabe nicht gelöst:
Sei f eine periodische Funktion mit \(f(x)=f(x+2)\).
Beweisen sie, dass ein x0 existiert sodass
f(x0)=f(x0+k) mit k aus den ganzen Zahlen.
Danke für Antworten
Das Fragezeichen
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2577
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
$f$ ist bestimmt auch als stetig vorausgesetzt, oder? (Immerhin hast du den Zwischenwertsatz im Titel stehen^^) Weiter fehlt der Definitions- und Zielbereich von $f$. Die gehören zur Definition einer Funktion immer dazu.
Betrachte eventuell die Funktion $g(x):=f(x)-f(x+k)$ (mit dem entsprechenden Definitionsbereich).
Ich gehe nun mal davon aus, dass $f$ auf $\mathbb R$ definiert ist. Überlege dir nun, warum $f(\mathbb R)=f([0,2])$ gilt. Warum folgt dann, dass es ein $\xi\in \mathbb R$ mit $f(x)\leq f(\xi)$ für alle $x\in \mathbb R$ gibt?
Was kannst du nun über $g(\xi)$ und $g(\xi-k)$ aussagen?
LG Nico\(\endgroup\)
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Das_Fragezeichen
Junior
Dabei seit: 23.04.2020
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25
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Hallo,
genau f von R nach R und stetig.
Also:
\(g(\xi + k+ 1 ) = -g(\xi + k)\)
Also existiert nach dem Zwischenwertsatz ein \(\gamma\)
sodass \(g(\xi + \gamma) = 0\).
Es folgt \(f(\xi + \gamma) = f(\xi +\gamma + 1)\)
Vielen Dank
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2577
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
du bist nicht auf meinen obigen Ansatz eingegangen mit deiner Antwort. In deiner vorgeschlagenen Lösung zeigst du doch auch gar nicht das, was du eigentlich zeigen willst? Das $k$ kommt am Ende ja gar nicht mehr vor. Auch kann ich gar nicht nachvollziehen, was du da genau machst.
Ich schlage dir folgendes vor: Beantworte am besten erstmal alle von mir gestellten Fragen. Bei $g(\xi)$ und $g(\xi-k)$ bin ich (sind wir) eigentlich nur auf eine Aussage über das jeweilige Vorzeichen aus. Am Ende des Tages wollen wir zeigen, dass $g$ eine Nullstelle haben muss.
LG Nico\(\endgroup\)
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