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Mechanik » Gravitation » Störpotential - Lenz'scher Vektor
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Universität/Hochschule Störpotential - Lenz'scher Vektor
thomas_zenk
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  Themenstart: 2022-05-10

Betrachten Sie das Keplerproblem \[m \ddot{\vec{r}} = -\alpha \frac{\vec{r}}{r^3}, \quad \alpha = GMm\] Eine Erhaltungsgröße ist der Lenz'sche Vektor \[\vec{F}_L = \vec{p} \times \vec{L} - m \alpha \frac{\vec{r}}{r}\] Die Gravitationskraft sei durch eine zusätzliche Zentralkraft gestört: \[\vec{F}' = f(r) \frac{\vec{r}}{r}\] wobei \[f(r) \sim 1/r^3\] gelte. Der Lenz'sche Vektor wird dadurch zeitabhängig. Bestimmen Sie \[\frac{\mathrm{d}\vec{F}_L}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec{F}}_L\] und diskutieren Sie qualitativ den Effekt der Störung auf die Bewegung ----------------------------- Mir ist nicht wirklich klar, wie ich das Störpotential in den Ausdruck für den Lenz'schen Vektor integrieren kann, wenn er doch oben nur mit dem Gravitationspotential definiert wurde. Wie kann man das interpretieren? Gibt es eine allgemeinere Definition?


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-10

Moin Thomas, leite einfach die definierende Gleichung \quoteon(2022-05-10 17:35 - thomas_zenk im Themenstart) \[\vec{F}_L = \vec{p} \times \vec{L} - m \alpha \frac{\vec{r}}{r}\] \quoteoff nach der Zeit ab und benutze \[\dot{\vec{p}} = \left(-\frac{\alpha}{r^2}+\frac{\beta}{r^3}\right) \frac{\vec{r}}{r},\] wobei ich die Proportionalität von $f(r)$ und $1/r^3$ gleich eingebaut habe. Dabei kannst du, wie beim Keplerproblem, gleich zur Vereinfachung der Problemstellung ausnutzen, dass auch mit Störung ein Zentralkraftfeld vorliegt und der Drehimpuls $\vec{L}$ daher nach wie vor eine Erhaltungsgröße ist. LG, semasch


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thomas_zenk
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-11

\quoteon(2022-05-10 21:18 - semasch in Beitrag No. 1) Moin Thomas, leite einfach die definierende Gleichung \quoteon(2022-05-10 17:35 - thomas_zenk im Themenstart) \[\vec{F}_L = \vec{p} \times \vec{L} - m \alpha \frac{\vec{r}}{r}\] \quoteoff nach der Zeit ab und benutze \[\dot{\vec{p}} = \left(-\frac{\alpha}{r^2}+\frac{\beta}{r^3}\right) \frac{\vec{r}}{r},\] LG, semasch \quoteoff Hallo semasch, Danke erstmal für den Tipp! Ich erhalte jetzt Folgendes: \[ \begin{align*} \dot{\vec{F}}_L &= \dot{\vec{p}} \times \vec{L} + \underbrace{\vec{p} \times \dot{\vec{L}}}_{=\vec{0}} - m \alpha \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec{e}_r \\ &= \left( -\frac{\alpha}{r^2} + \frac{\beta}{r^3} \right) \vec{e}_r \times \vec{L} - m \alpha (\dot{\phi} \vec{e}_\phi) \end{align*} \] Mit \(\vec{L} = mr^2 \dot{\phi} \vec{e}_z\) weiter: \[ \begin{align*} m \dot{\phi} \left(-\alpha + \frac{\beta}{r}\right) \vec{e}_r \times \vec{e}_\phi - m \alpha \dot{\phi} \vec{e}_\phi \end{align*} \] Jetzt noch \(\vec{e}_r \times \vec{e}_z = -\vec{e}_\phi\), dann kriege ich \[ m \dot{\phi} \left(\alpha - \frac{\beta}{r}\right) \vec{e}_\phi - m\alpha \dot{\phi} \vec{e}_\phi = m \dot{\phi} \left(-\frac{\beta}{r}\right) \vec{e}_\phi \] Ist das soweit richtig? Kann man noch etwas vereinfachen?


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-12

Ja, das passt so. Du könntest noch den konstanten Drehimpulsbetrag $m r^2 \dot{\phi} = L = \text{const.}$ verwenden, um $\dot{\phi}$ aus deinem finalen Ausdruck zu eliminieren. LG, semasch


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