Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Mathematik » Geometrie » "Inversion" von Quadrik an Gerade und zwei Punkten
Autor
Universität/Hochschule "Inversion" von Quadrik an Gerade und zwei Punkten
Bozzo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2228
Wohnort: Franken
  Themenstart: 2022-05-09

Hallo, mir ist folgende Konstruktion untergekommen und wollte fragen, ob sie jemand erkennt und einen Namen oder Referenz dazu hat. Im zweidimensionalen projektiven Raum seien eine Gerade g und zwei Punkte A und B sowie eine Quadrik q gegeben (ggf. mit Zusatzannahmen wie A und B verschieden und nicht oder nicht beide auf g und/oder q). Jeder Punkt F auf q wird mit der folgenden Konstruktion auf einen Punkt E übertragen: - C sei der Schnittpunkt von g mit der Geraden durch A und F - D sei der Schnittpunkt von g mit der Geraden durch B und F - E ist der Schnittpunkt von der Geraden durch A und D mit der Geraden durch B und C Die Punkte E liegen dann selbst wieder auf einer zweiten Quadrik k, die sozusagen die bzgl. A und B an g "invertierte" Quadrik q darstellt. Ich nenne das "invertiert", da man zurück zu q kommt, wenn man dieselbe Konstruktion auf k anwendet. "Dual" oder "reflektiert" würde auch passen.
Complete Quadrangle A und B sind fest; g ist die Gerade, auf der C, D und G liegen; C und D können sich auf g bewegen; F durchläuft die Punkte der Quadrik q und E die derer "inversen" Quadrik k (Bild Quelle)
Erkennt jemand diese Konstruktion? Zum Hintergrund: Diese Konstruktion ist mir zum ersten mal bei katadioptrischen Kameras begegnet.
Prinzip: katadioptrische Kamera (Bild Quelle: J. Zeng et al. Incorporating lens distortion into the design of undistorted catadioptric omnidirectional cameras. Applied Optics 45, 2006.)
Diese Kameras bilden eine Rundumsicht der Umgebung über einen Parabolspiegel ab, wodurch das Bild radial verzeichnet wird. Es ist hier relativ einfach zu berechnen, woher ein abgebildeter Punkt stammt, um jedoch berechnen zu können, wohin ein bestimmter Weltpunkt abgebildet wird, ist es sinnvoll, über die in obigem Sinne "inverse" Quadrik des Parabolspiegels zu gehen. Jetzt ist mir dieselbe Situation wieder bei Satellitenbildern der Erde begegnet. Diese erscheinen aufgrund der Erdkrümmung nach außenhin gestaucht und wärend es einfach ist von einem bestimmten Erdpunkt zu sagen, wohin er abgebildet wird, ist es dagegen sinnvoll über die in obigem Sinne "inverse" Quadrik des Erdellipsoids zu gehen, um anzugeben woher ein bestimmter Bildpunkt stammt. Anmerkung: In meiner Situaton liegt A im Koordinatenursprung und ist der Brennpunkt einer Kamera mit Abbildungsebene g (im 2D-Schnitt). B kann ich üblicherweise im Unendlichen orthogonal zu g wählen (Stichwort "telezentrisches Objektiv" bei katadioptrischen Kameras) wodurch eine der beiden Richtungen zur Orthogonalprojektion wird und bei geeigneter Parametrisierung der Quadrik besonders einfach zu berechnen ist. Viele Grüße Bozzo



   Profil

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]