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Mathematik » Geometrie » Basis des Tangentialraums an 2-Sphäre
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Universität/Hochschule J Basis des Tangentialraums an 2-Sphäre
Clvrhammer
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  Themenstart: 2022-04-22

Hallo, Ich muss für eine Aufgabe die Basisvektoren des Tangentialraums einer 2-Sphäre in einem beliebigen Punkt berechnen. Nun habe ich dabei folgendes Problem: Sei $M$ die 2-Sphäre ohne den halben Großkreis vom Nordpol zum Südpol entsprechend der Parametrisierung $$f(\theta, \varphi) \enspace = \enspace \left( \begin{matrix} \sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta \end{matrix} \right) \quad ,$$ wobei $$ \theta \in (0, \pi) \quad , \qquad \varphi \in (-\pi, \pi) \quad .$$ Nun erhalte ich die Basisvektoren in einem Punkt $M \ni p = f(\theta_0, \varphi_0)$ über die Jacobi-Matrix, d.h. $$ b_{\theta} \enspace = \enspace \left( \begin{matrix} \cos \theta_0 \cos \varphi_0 \\ \cos \theta_0 \sin \varphi_0 \\ - \sin \theta_0 \end{matrix} \right) \quad , \qquad b_{\varphi} \enspace = \enspace \left( \begin{matrix} - \sin \theta_0 \sin \varphi_0 \\ \sin \theta_0 \cos \varphi_0 \\ 0 \end{matrix} \right) \quad .$$ Jetzt lautet meine Frage: in der Literatur wird für die Berechnung der Basisvektoren des Tangentialraumes oft vorausgesetzt, dass für die Parametrisierung im Punkt $p$ gilt $f(0) = p$. Ich verstehe nun nicht ganz inwiefern dies in diesem Beispiel (und im Allgemeinen) relevant und gefordert ist? Eine Translation im Koordinatenraum entfällt durch die Ableitung doch sowieso? Beste Grüße, Clvrhammer


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Alif
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-24

Hallo Clvrhammer, ich versuche dir jetzt einfach Mal soweit zu helfen, wie ich es verstanden habe. Wobei es nicht ganz schlecht wäre, wenn du Startraum und Zielraum der Funktion \(f\) genauer benennen würdest. Sind diese \(S^2\) oder nur eine Teilmenge der 2-Sphäre, also \(U \subset S^2\)? In der Tat wird \(f(0) = p\) in der Literatur oft auf Mannigfaltigkeiten \(M\) vorausgesetzt, das hat zum Beispiel den Sinn, dass Pfade somit einen fixen Startpunkt haben, meist haben sie dann auch einen fixen Zielpunkt in deinem Fall könnte dieser zum Beispiel \(f(\pi) = q\) lauten. Das was ich jetzt allerdings für naheliegender halten würde, wenn ich die Funktion \(f\) betrachte, ist dass \(f(0) = \begin{pmatrix} \sin(0)\cos(0) \\ \sin(0)\sin(0) \\ \cos(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\), sodass für deine Mannigfaltigkeit sowieso gilt \(f(0) \notin M\), da du aus \(S^2\) den entsprechenden Großkreis ausschließt. Sehe ich das aber richtig, ist es für dieses Beispiel sowieso nicht relevant \(f(0) = p\) zu fordern, da du für \(f\) eine konkrete Funktion vorgibst. Wichtiger ist das bei allgemeinen Funktionen, wenn insbesondere auch Translationen gemacht werden können. Melde dich gerne nochmal, ob ich dich denn richtig verstanden habe und ob dir meine Antwort hilft. Schöne Grüße Alif


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Clvrhammer
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-25

Hallo Alif, vielen Dank für deine Antwort! Ich denke, im Wesentlichen hast du meine Frage damit beantwortet. :) Auch wenn dir diese Dinge vermutlich klar sind, dein Rat nach Rigorosität ist natürlich berechtigt und daher hier der Vollständigkeit wegen nochmal im Detail: 1.) Die Funktion (Parametrisierung) der 2-Sphäre ist die Funktion $$f \, : \, \mathbb{R}^2 \supseteq (0,\pi) \times (-\pi,\pi) \longrightarrow S^2 \subseteq \mathbb{R}^3 \, : \, (\theta, \varphi) \longmapsto \left( \begin{matrix} \sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta \end{matrix} \right) \quad .$$ Bezugsrichtung des Winkels $\theta$ ist die $z$-Achse, der Winkel $\varphi$ hingegen misst Drehung um die $z$-Achse. Das Bild von $f$ ist dann natürlich nicht die gesamte Sphäre. 2.) Ja, für dieses Beispiel ist die Forderung $f(0) = p$ tatsächlich nicht relevant. Würde man an dieser Forderung nun allerdings festhalten, so könnte man stattdessen z.B. die Parametrisierung $$g \, : \, (-\theta_0, \pi - \theta_0) \times (-\pi - \varphi_0, \pi - \varphi_0) \longrightarrow S^2 \subseteq \mathbb{R}^3 : (\theta, \varphi) \longmapsto \left( \begin{matrix} \sin (\theta + \theta_0) \cos (\varphi + \varphi_0) \\ \sin (\theta + \theta_0) \sin (\varphi + \varphi_0) \\ \cos (\theta + \theta_0) \end{matrix} \right)$$ verwenden, wobei $(\theta_0, \varphi_0)$ die Koordinaten eines Punktes $p = (\sin \theta_0 \cos \varphi_0, \sin \theta_0 \sin \varphi_0, \cos \theta_0)$ mit $\theta_0 \in (0,\pi)$ und $\varphi_0 \in (-\pi, \pi)$ sind. Dann gilt nämlich offenbar: $$g(0) = p \quad .$$ Wie gesagt, für die Berechnung der Basisvektoren macht eine solche "alternative Parametrisierung" jedoch keinen Unterschied. 3.) Meine Frage ist/war nun also ob - da im Zusammenhang mit Differenzierung eine solche Translation eben irrelevant ist und i. A. aufgrund der Differenzierung entfällt - die Festlegung auf $g(0) = p$ wichtig ist bzw. ob in der Differentialgeometrie später Konzepte eingeführt werden die diese Forderung notwendig machen, oder ob dies nur eine Konvention ist um nicht immer einen beliebigen Punkt z.B. $x_0 \in \mathbb{R}^2$ mitführen zu müssen, sodass die Gleichung dann die Form $g(x_0) = p$ hätte. Wenn ich dich nun aber richig verstand habe, ist diese Festlegung eher willkürlich; soll heißen: würde man den Apparat der Differentialgeometrie bei solchen Fragestellungen statt dem Ursprung $0$ mit einem allgemeineren Punkt $x_0$ beschreiben, würde sich nur die Notation "ver-umständlichen", die Inhalte blieben davon jedoch unberührt. (Korrekt?) Beste Grüße, Clvrhammer


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Alif
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-27

Hallo Clvhammer, danke für die Punkte 1) und 2), jetzt ist alles klar, wobei meine vorherige Antwort soweit schon gepasst hat. Zu deiner Anmerkung 3) und der Frage danach, ich würde sagen, dass es dein "eher willkürlich" ganz gut trifft. Bedenke aber, dass es in manchen Definitionen nicht willkürlich ist. Es ist schon auch so, dass manche Definitionen zum Beispiel die Homotopie für den Anfangs- und den Endpunkt eine bestimmte Bedingung fordern. Mit Vereinfachung hat das ebenfalls nichts wirklich zu tun, denn die beliebigen Punkte dazwischen \(g(x) = p\) existieren immer noch, es ist lediglich irrelevant, was an diesen Punkten genau passiert. Bedenkt man zum Beispiel den Zwischenwertsatz, so dienen hier zwei fixe Punkte, damit ich eine Aussage über die beliebigen Punkte dazwischen treffen kann, diese beiden Fälle musst du schon berücksichtigen. In deinem Fall ist die Festlegung auf \(g(0) = p\) nicht wichtig, aber es gibt schon Konzepte, die solche Forderungen notwendig machen. Wobei dessen Sinn nicht ist keinen beliebigen Punkt mehr mitzuführen. Vieles anderes kann aber durch Translationen sozusagen revidiert werden. Es gibt nämlich viele Fälle, in denen Punkte fixiert werden, obwohl dies willkürlich ist, auch wenn natürlich immer ein Gedanke dahinter steckt. Sieh dir dazu vielleicht Mal die Wikipedia-Artikel der Konzepte an, die ich erwähnt habe, um dir auch nicht-willkürliche Fälle klar zu machen. Sollte dann noch etwas unklar sein, melde dich einfach nochmal. Schöne Grüße Alif


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