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  Analyse eines Signalflussgraphen 3 |
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Sinnfrei
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 |  Themenstart: 2022-03-04
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Signalflussgraph3.png
1) Ermitteln Sie aus dem Signalflussgraphen die Differenzengleichung des Systems
2) Bestimmen Sie die z-Übertragungsfunktion des System.
3) Zeichnen Sie das Pol-/Nullstellen-Diagramm des Systems.
4) Fragen zu den Eigenschaften des Systems:
a. Ermitteln Sie die Stabilitätseigenschaften des Systems.
b. Erläutern Sie, wofür die Begriffe FIR und IIR stehen.
c. Erläutern Sie, wodurch die z-Übertragungsfunktion eines FIR-Systems eindeutig gekennzeichnet ist.
d. Erläutern Sie, ob es sich um ein FIR- oder ein IIR-System handelt.
5) Geben Sie die z-Übertragungsfunktion eines äquivalenten Systems, das durch die Kaskadenschaltung/Serienschaltung von 2 Systemen 1.Ordnung charakterisiert ist und zeichnen Sie einen Signalflussgraphen. Erläutern Sie, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten für die Kaskadenschaltung/Serienschaltung existieren.
6) Erläutern Sie, ob es mögliche ist, für dieses System den Frequenzgang anzugeben.
Zu 1)
$$y[n] = ((x[n] - y[n]) \star \delta[n-1] + 2x[n] + 2y[n])\star \delta[n-1] + x[n]$$
$$y[n] = (x[n] - y[n])\star\delta[n-2] + 2x[n-1] + 2y[n-1] + x[n]$$
$$y[n] = x[n-2] - y[n-2] + 2x[n-1] + 2y[n-1] + x[n]$$
2)
$$y(z) = x(z)z^{-2} - y(z)z^{-2} + 2x(z)z^{-1} + 2y(z)z^{-1} + x(z)$$
$$H(z) = \frac{z^{-2} + 2z^{-1} + 1}{1 + z^{-2} - 2z^{-1}} = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^2}$$
3)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_PN_Diagramm1.png
4)
a. Nicht stabil, da $|z_{xi}| = 1$ und nicht $|z_{xi}| < 1$.
Kausal da Anz.-Nullstellen $\leq$ Anz.-Polstellen.
Linearphasig, da Nullstellen auf dem Einheitskreis.
Minimalphasig, da $|z_{oi}| < 1$
b.Finite-Impulse-Response (FIR) und Infinite Impulse Response (IIR)
FIR: Filter mit endlicher Impulsantwort und nicht rekursive Systeme
IIR: Filter mit unendlicher Impulsantwort und rekursive Systeme
c. Das die z-Übertragungsfunktion Nulstellen auf dem Einheitskreis hat.
d. Es handelt sich um ein IIR-Filter, da es Rückkopplungszweige im Signalflussgraphen enthält.
Fragen:
1. Ist bis hierhin erstmal alles richtig?
2. Wie gehe ich bei der 5) vor? Ich weiss das man das irgendwie aufsplitten kann aber der Summationspunkt in der Mitte sitzt da so komisch. Im Oppenheim gibt es ein Bild mit Summationspunkten, einmal am Eingang und einmal am Ausgang also bei $y[n]$. Hier haben wir aber ein Summationspunkt in der Mitte. Kann ich diesen Summationspunkt in zwei Teilen, sodass ich dann links und recht diesen Summationspunkt habe?
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rlk
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-06
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
Zu 1)
$$y[n] = \color{red}{(}(x[n] - y[n]) \star \delta[n-\color{red}{2}] + \color{red}{(}2x[n] + 2y[n])\star \delta[n-1] + x[n]$$
$$y[n] = (x[n] - y[n])\star\delta[n-2] + 2x[n-1] + 2y[n-1] + x[n]$$
$$y[n] = x[n-2] - y[n-2] + 2x[n-1] + 2y[n-1] + x[n]$$
\quoteoff
Bis auf ein paar rot markierte Tippfehler ist das richtig. Die Übertragungsfunktion und das Pol-Nullstellen-Diagramm sind auch richtig.
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
4)
a. Nicht stabil, da $|z_{xi}| = 1$ und nicht $|z_{xi}| < 1$. $\color{black}{\checkmark}$
Kausal da Anz.-Nullstellen $\leq$ Anz.-Polstellen. $\color{black}{\checkmark}$
Linearphasig, da Nullstellen auf dem Einheitskreis.
\quoteoff
Was ist mit den Polstellen?
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
Minimalphasig, da $|z_{oi}| < 1$
\quoteoff
Die doppelte Nullstelle liegt auf dem Einheitskreis, daher ist die Ungleichung nicht erfüllt.
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
b.Finite-Impulse-Response (FIR) und Infinite Impulse Response (IIR) $\color{black}{\checkmark}$
FIR: Filter mit endlicher Impulsantwort und nicht rekursive Systeme $\color{black}{\checkmark}$
IIR: Filter mit unendlicher Impulsantwort und rekursive Systeme $\color{black}{\checkmark}$
c. Das die z-Übertragungsfunktion Nulstellen auf dem Einheitskreis hat.
\quoteoff
Ich bin nicht sicher, welche Antwort der Fragesteller hier erwartet, aber es müssen keine Nullstellen auf dem Einheitskreis liegen, wie etwa in den Beispielen aus
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257420
zu sehen ist. Bist Du mit der Aufgabe dort schon weitergekommen oder brauchst Du noch Hilfe?
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
d. Es handelt sich um ein IIR-Filter, da es Rückkopplungszweige im Signalflussgraphen enthält. $\color{black}{\checkmark}$
Fragen:
1. Ist bis hierhin erstmal alles richtig?
\quoteoff
Nicht alles, aber das meiste.
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
2. Wie gehe ich bei der 5) vor? Ich weiss das man das irgendwie aufsplitten kann aber der Summationspunkt in der Mitte sitzt da so komisch. Im Oppenheim gibt es ein Bild mit Summationspunkten, einmal am Eingang und einmal am Ausgang also bei $y[n]$. Hier haben wir aber ein Summationspunkt in der Mitte. Kann ich diesen Summationspunkt in zwei Teilen, sodass ich dann links und recht diesen Summationspunkt habe?
\quoteoff
Bevor Du Dir Gedanken zum Signalflussgraphen machst, überlege Dir, wie die Übertragungsfunktionen $H_1$ und $H_2$ der beiden kaskadierten Systeme aussehen müssen.
Servus,
Roland
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Sinnfrei
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-07
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\quoteon(2022-03-06 17:54 - rlk in Beitrag No. 1)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
Zu 1)
$$y[n] = \color{red}{(}(x[n] - y[n]) \star \delta[n-\color{red}{2}] + \color{red}{(}2x[n] + 2y[n])\star \delta[n-1] + x[n]$$
$$y[n] = (x[n] - y[n])\star\delta[n-2] + 2x[n-1] + 2y[n-1] + x[n]$$
$$y[n] = x[n-2] - y[n-2] + 2x[n-1] + 2y[n-1] + x[n]$$
\quoteoff
Bis auf ein paar rot markierte Tippfehler ist das richtig.
\quoteoff
Das war ja so beabsichtigt, ich bin ja die ganz äussersten Pfade entlang gegangen und das dann in Klammern gesetzt, um das dann mit der ersten Verzögerung von unten zu falten. So wie du das markiert hast, würde ja noch eine geschlossene Klammer fehlen und an der Stelle ist die Verzögerung $\delta[n-1]$ und nicht $\delta[n-2]$. Ganz aussen habe ich nochmal die Faltung mit dem $\delta[n-1]$ geschrieben. Das hier meinte ich $$y[n] = \color{green}{(}(x[n] - y[n]) \star \delta[n-1] + \color{red}{(}2x[n] + 2y[n]\color{red}{)}\color{green}{)}\star \delta[n-1] + x[n]$$ Die in rot markierten Klammern, habe ich ausgelassen, weil das für mich an der Stelle bereits klar war und die Klammern auch sparen konnte. Die in Grün markierten Klammern waren beabsichtigt und damit musste ich für die äusserste Dirac Distribution nur noch das distributiv Gesetz anwenden.
\quoteon
Die Übertragungsfunktion und das Pol-Nullstellen-Diagramm sind auch richtig.
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
4)
a. Nicht stabil, da $|z_{xi}| = 1$ und nicht $|z_{xi}| < 1$. $\color{black}{\checkmark}$
Kausal da Anz.-Nullstellen $\leq$ Anz.-Polstellen. $\color{black}{\checkmark}$
Linearphasig, da Nullstellen auf dem Einheitskreis.
\quoteoff
Was ist mit den Polstellen?
\quoteoff
Bei der Bedingung um linearphasige Systeme, schaut man sich doch nur die Lage der Nullstellen, im Pol-Nullstellen Diagramm an - S. Tab. 8.1 unten Systemtheorie Online hier
\quoteon
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
Minimalphasig, da $|z_{oi}| < 1$
\quoteoff
Die doppelte Nullstelle liegt auf dem Einheitskreis, daher ist die Ungleichung nicht erfüllt.
\quoteoff
Das sollte ein gleich sein, also das die auf dem Einheitskreis liegen.
$|z_{oi}| = 1$
\quoteon
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
b.Finite-Impulse-Response (FIR) und Infinite Impulse Response (IIR) $\color{black}{\checkmark}$
FIR: Filter mit endlicher Impulsantwort und nicht rekursive Systeme $\color{black}{\checkmark}$
IIR: Filter mit unendlicher Impulsantwort und rekursive Systeme $\color{black}{\checkmark}$
c. Das die z-Übertragungsfunktion Nulstellen auf dem Einheitskreis hat.
\quoteoff
Ich bin nicht sicher, welche Antwort der Fragesteller hier erwartet, aber es müssen keine Nullstellen auf dem Einheitskreis liegen, wie etwa in den Beispielen aus
\quoteoff
Dann würde ich direkt aus der Formel, für die z-Übertragungsfunktion eines FIR-Filters die Polstellen nennen, dass diese im Nullpunkt/Ursprung liegen müssen, sprich $|z_{xi}| = 0$. Das gibt die z-Übertragungsfunktion für FIR-Filter ja her.
\quoteon
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257420
zu sehen ist. Bist Du mit der Aufgabe dort schon weitergekommen oder brauchst Du noch Hilfe?
\quoteoff
Ich bräuchte da noch Hilfe ja.
\quoteon
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
d. Es handelt sich um ein IIR-Filter, da es Rückkopplungszweige im Signalflussgraphen enthält. $\color{black}{\checkmark}$
Fragen:
1. Ist bis hierhin erstmal alles richtig?
\quoteoff
Nicht alles, aber das meiste.
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
2. Wie gehe ich bei der 5) vor? Ich weiss das man das irgendwie aufsplitten kann aber der Summationspunkt in der Mitte sitzt da so komisch. Im Oppenheim gibt es ein Bild mit Summationspunkten, einmal am Eingang und einmal am Ausgang also bei $y[n]$. Hier haben wir aber ein Summationspunkt in der Mitte. Kann ich diesen Summationspunkt in zwei Teilen, sodass ich dann links und recht diesen Summationspunkt habe?
\quoteoff
Bevor Du Dir Gedanken zum Signalflussgraphen machst, überlege Dir, wie die Übertragungsfunktionen $H_1$ und $H_2$ der beiden kaskadierten Systeme aussehen müssen.
\quoteoff
Hab das gerade aus dem Buch aufgeschnappt, da wurde was von der transponierten geredet, habe aber genau das selbe Ergebnis raus
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_H_1_und_H_2.png
Und die Rechnung für die $H_1(z)$:
$$w(z) = x(z) + (2x(z)z^{-1} + x(z)z^{-2})$$
$$H_1(z) = (1 + 2z^{-1} + z^{-2}) \cdot \frac{z^2}{z^2} = \frac{(z+1)^2}{z^2}$$
Für $H_2(z)$:
$$y(z) = w(z) + (2y(z)z^{-1} - y(z)z^{-2})$$
$$H_2(z) = \frac{1}{1 - 2z^{-1} + z^{-2}} \cdot \frac{z^2}{z^2} = \frac{z^2}{(z-1)^2}$$
Dann beide in Kette geschaltet ergibt
$$H(z) = H_1(z) \cdot H_2(z) = \frac{(z+1)^2}{z^2} \cdot \frac{z^2}{(z-1)^2} = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^2}$$
Wie viele Möglichkeiten es für die Kaskaden/Serienschaltung gibt, konnte ich dabei nicht herausfinden. Vielleicht 2, weil man beide Teilsysteme tauschen kann?!
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rlk
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-10
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-03-07 00:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
Das war ja so beabsichtigt, ich bin ja die ganz äussersten Pfade entlang gegangen und das dann in Klammern gesetzt, um das dann mit der ersten Verzögerung von unten zu falten. So wie du das markiert hast, würde ja noch eine geschlossene Klammer fehlen und an der Stelle ist die Verzögerung $\delta[n-1]$ und nicht $\delta[n-2]$. Ganz aussen habe ich nochmal die Faltung mit dem $\delta[n-1]$ geschrieben. Das hier meinte ich $$y[n] = \color{green}{(}(x[n] - y[n]) \star \delta[n-1] + \color{red}{(}2x[n] + 2y[n]\color{red}{)}\color{green}{)}\star \delta[n-1] + x[n]$$ Die in rot markierten Klammern, habe ich ausgelassen, weil das für mich an der Stelle bereits klar war und die Klammern auch sparen konnte. Die in Grün markierten Klammern waren beabsichtigt und damit musste ich für die äusserste Dirac Distribution nur noch das distributiv Gesetz anwenden.
\quoteoff
Du hast recht, entschuldige bitte den falschen Alarm.
\quoteon(2022-03-07 00:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
4) Linearphasig, da Nullstellen auf dem Einheitskreis.
\quoteon(2022-03-06 17:54 - rlk in Beitrag No. 1)
Was ist mit den Polstellen?
\quoteoff
\quoteoff
Bei der Bedingung um linearphasige Systeme, schaut man sich doch nur die Lage der Nullstellen, im Pol-Nullstellen Diagramm an - S. Tab. 8.1 unten Systemtheorie Online hier
\quoteoff
Dort geht es um FIR Filter.
\quoteon(2022-03-07 00:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
Minimalphasig, da $|z_{oi}| < 1$
\quoteon(2022-03-06 17:54 - rlk in Beitrag No. 1)
Die doppelte Nullstelle liegt auf dem Einheitskreis, daher ist die Ungleichung nicht erfüllt.
\quoteoff
\quoteoff
Das sollte ein gleich sein, also das die auf dem Einheitskreis liegen.
$|z_{oi}| = 1$
\quoteoff
Was ist die Bedingung für minimale Phase? Ist sie für dieses Filter erfüllt?
\quoteon(2022-03-07 00:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
\quoteon(2022-03-06 17:54 - rlk in Beitrag No. 1)
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
c. Das die z-Übertragungsfunktion Nulstellen auf dem Einheitskreis hat.
\quoteoff
Ich bin nicht sicher, welche Antwort der Fragesteller hier erwartet, aber es müssen keine Nullstellen auf dem Einheitskreis liegen, wie etwa in den Beispielen aus
\quoteoff
Dann würde ich direkt aus der Formel, für die z-Übertragungsfunktion eines FIR-Filters die Polstellen nennen, dass diese im Nullpunkt/Ursprung liegen müssen, sprich $|z_{xi}| = 0$. Das gibt die z-Übertragungsfunktion für FIR-Filter ja her.
\quoteoff
Das stimmt.
Auch die Faktorisierung der Übertragungsfunktion stimmt, löst aber nicht Aufgabe 5:
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
5) Geben Sie die z-Übertragungsfunktion eines äquivalenten Systems, das durch die Kaskadenschaltung/Serienschaltung von 2 Systemen 1.Ordnung charakterisiert ist und zeichnen Sie einen Signalflussgraphen. Erläutern Sie, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten für die Kaskadenschaltung/Serienschaltung existieren.
\quoteoff
Die Faktoren sollen Systeme 1. Ordnung sein.
Servus,
Roland
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Sinnfrei
Aktiv
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 583
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-12
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\quoteon(2022-03-10 21:46 - rlk in Beitrag No. 3)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-03-07 00:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
Das war ja so beabsichtigt, ich bin ja die ganz äussersten Pfade entlang gegangen und das dann in Klammern gesetzt, um das dann mit der ersten Verzögerung von unten zu falten. So wie du das markiert hast, würde ja noch eine geschlossene Klammer fehlen und an der Stelle ist die Verzögerung $\delta[n-1]$ und nicht $\delta[n-2]$. Ganz aussen habe ich nochmal die Faltung mit dem $\delta[n-1]$ geschrieben. Das hier meinte ich $$y[n] = \color{green}{(}(x[n] - y[n]) \star \delta[n-1] + \color{red}{(}2x[n] + 2y[n]\color{red}{)}\color{green}{)}\star \delta[n-1] + x[n]$$ Die in rot markierten Klammern, habe ich ausgelassen, weil das für mich an der Stelle bereits klar war und die Klammern auch sparen konnte. Die in Grün markierten Klammern waren beabsichtigt und damit musste ich für die äusserste Dirac Distribution nur noch das distributiv Gesetz anwenden.
\quoteoff
Du hast recht, entschuldige bitte den falschen Alarm.
\quoteon(2022-03-07 00:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
4) Linearphasig, da Nullstellen auf dem Einheitskreis.
\quoteon(2022-03-06 17:54 - rlk in Beitrag No. 1)
Was ist mit den Polstellen?
\quoteoff
\quoteoff
Bei der Bedingung um linearphasige Systeme, schaut man sich doch nur die Lage der Nullstellen, im Pol-Nullstellen Diagramm an - S. Tab. 8.1 unten Systemtheorie Online hier
\quoteoff
Dort geht es um FIR Filter.
\quoteoff
Dann das ein BIBO stabiles Filter seine Polstellen innerhalb des Einheitskreises hat, sprich $|z_{xi}| < 1$, damit das Filter eine lineare Phase aufweist. IIR Filter müssten dann konjugiert reziproke Polstellen außerhalb des Einheitskreises aufweisen, damit IIR-Filter linearphasig wären, was sie jedoch wieder BIBO-instabil werden lässt. Man könnte die Polstellen aber irgendwie in den Einheitskreis, mittels AP-Filter hineinbekommen aber soweit waren wir in der Veranstaltung nicht gekommen oder es steht auch nicht im Skript. Ich denke mal das damit gemeint ist, dass folgende Bedingungen gelten müssen $|z_{oi}| = 1$, also alle Nullstellen auf dem Einheitskreis und $|z_{xi}| < 1$, alle Polstellen im Einheitskreis und da die zweite Bedingung nicht erfüllt wäre, und das mit den Nullstellen erfüllt wäre, würde ich jetzt sagen, dass das System nicht linearphasig ist.
\quoteon(2022-03-07 00:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
Minimalphasig, da $|z_{oi}| < 1$
\quoteon(2022-03-06 17:54 - rlk in Beitrag No. 1)
Die doppelte Nullstelle liegt auf dem Einheitskreis, daher ist die Ungleichung nicht erfüllt.
\quoteoff
Das sollte ein gleich sein, also das die auf dem Einheitskreis liegen.
$|z_{oi}| = 1$
\quoteoff
Was ist die Bedingung für minimale Phase? Ist sie für dieses Filter erfüllt?
\quoteoff
Die Nullstellen müssen innerhalb des Einheitskreises liegen und weil die Nullstellen auf dem Einheitskreis mit $|z_{oi}| = 1$ und nicht mit $|z_{oi}| < 1$ im Einheitskreis liegen, wäre das System nicht minimalphasig. Also wie anfangs fälschicherweise erwähnt wäre das System nicht minimalphasig.
\quoteon(2022-03-10 21:46 - rlk in Beitrag No. 3)
\quoteon(2022-03-07 00:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
\quoteon(2022-03-06 17:54 - rlk in Beitrag No. 1)
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
c. Das die z-Übertragungsfunktion Nulstellen auf dem Einheitskreis hat.
\quoteoff
Ich bin nicht sicher, welche Antwort der Fragesteller hier erwartet, aber es müssen keine Nullstellen auf dem Einheitskreis liegen, wie etwa in den Beispielen aus
\quoteoff
Dann würde ich direkt aus der Formel, für die z-Übertragungsfunktion eines FIR-Filters die Polstellen nennen, dass diese im Nullpunkt/Ursprung liegen müssen, sprich $|z_{xi}| = 0$. Das gibt die z-Übertragungsfunktion für FIR-Filter ja her.
\quoteoff
Das stimmt.
Auch die Faktorisierung der Übertragungsfunktion stimmt, löst aber nicht Aufgabe 5:
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
5) Geben Sie die z-Übertragungsfunktion eines äquivalenten Systems, das durch die Kaskadenschaltung/Serienschaltung von 2 Systemen 1.Ordnung charakterisiert ist und zeichnen Sie einen Signalflussgraphen. Erläutern Sie, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten für die Kaskadenschaltung/Serienschaltung existieren.
\quoteoff
Die Faktoren sollen Systeme 1. Ordnung sein.
\quoteoff
Da war wohl die Euphorie einwenig zu hoch. Ich wüsste aber jetzt nicht wie man da weiter rangeht ohne das in weitere Teilsysteme zu strukturieren.
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rlk
Senior
Dabei seit: 16.03.2007
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-15
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-03-12 23:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 4)
Dann das ein BIBO stabiles Filter seine Polstellen innerhalb des Einheitskreises hat, sprich $|z_{xi}| < 1$, damit das Filter eine lineare Phase aufweist. IIR Filter müssten dann konjugiert reziproke Polstellen außerhalb des Einheitskreises aufweisen, damit IIR-Filter linearphasig wären, was sie jedoch wieder BIBO-instabil werden lässt. Man könnte die Polstellen aber irgendwie in den Einheitskreis, mittels AP-Filter hineinbekommen aber soweit waren wir in der Veranstaltung nicht gekommen oder es steht auch nicht im Skript. Ich denke mal das damit gemeint ist, dass folgende Bedingungen gelten müssen $|z_{oi}| = 1$, also alle Nullstellen auf dem Einheitskreis und $|z_{xi}| < 1$, alle Polstellen im Einheitskreis und da die zweite Bedingung nicht erfüllt wäre, und das mit den Nullstellen erfüllt wäre, würde ich jetzt sagen, dass das System nicht linearphasig ist.
\quoteoff
Das von Dir genannte (offenbar hinreichende, aber nicht notwendige) Kriterium ist nicht erfüllt. Wenn ich much nicht verrechnet habe, ist das Filter linearphasig, was mich überrascht hat, weil wie Du richtig schreibst, stabile IIR Filter nicht linearphasig sind.
\quoteon(2022-03-12 23:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 4)
\quoteon(2022-03-10 21:46 - rlk in Beitrag No. 3)
Was ist die Bedingung für minimale Phase? Ist sie für dieses Filter erfüllt?
\quoteoff
Die Nullstellen müssen innerhalb des Einheitskreises liegen und weil die Nullstellen auf dem Einheitskreis mit $|z_{oi}| = 1$ und nicht mit $|z_{oi}| < 1$ im Einheitskreis liegen, wäre das System nicht minimalphasig. Also wie anfangs fälschicherweise erwähnt wäre das System nicht minimalphasig.
\quoteoff
Das ist richtig.
\quoteon(2022-03-12 23:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 4)
\quoteon(2022-03-10 21:46 - rlk in Beitrag No. 3)
Die Faktoren sollen Systeme 1. Ordnung sein.
\quoteoff
Da war wohl die Euphorie einwenig zu hoch. Ich wüsste aber jetzt nicht wie man da weiter rangeht ohne das in weitere Teilsysteme zu strukturieren.
\quoteoff
Überlege Dir, wie die Faktoren 1. Ordnung der Übertragungsfunktion
$$H(z) = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^2}$$
aussehen. Danach kannst Du die Anzahl der Faktorisierungen ermitteln und Signalflussgraphen zeichnen.
Servus,
Roland
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-15
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\quoteon(2022-03-15 17:49 - rlk in Beitrag No. 5)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-03-12 23:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 4)
Dann das ein BIBO stabiles Filter seine Polstellen innerhalb des Einheitskreises hat, sprich $|z_{xi}| < 1$, damit das Filter eine lineare Phase aufweist. IIR Filter müssten dann konjugiert reziproke Polstellen außerhalb des Einheitskreises aufweisen, damit IIR-Filter linearphasig wären, was sie jedoch wieder BIBO-instabil werden lässt. Man könnte die Polstellen aber irgendwie in den Einheitskreis, mittels AP-Filter hineinbekommen aber soweit waren wir in der Veranstaltung nicht gekommen oder es steht auch nicht im Skript. Ich denke mal das damit gemeint ist, dass folgende Bedingungen gelten müssen $|z_{oi}| = 1$, also alle Nullstellen auf dem Einheitskreis und $|z_{xi}| < 1$, alle Polstellen im Einheitskreis und da die zweite Bedingung nicht erfüllt wäre, und das mit den Nullstellen erfüllt wäre, würde ich jetzt sagen, dass das System nicht linearphasig ist.
\quoteoff
Das von Dir genannte (offenbar hinreichende, aber nicht notwendige) Kriterium ist nicht erfüllt. Wenn ich much nicht verrechnet habe, ist das Filter linearphasig, was mich überrascht hat, weil wie Du richtig schreibst, stabile IIR Filter nicht linearphasig sind.
\quoteoff
Es handelt sich ja hierbei, aufgrund von Rückkopplungen, um ein IIR-Filter und dieses wäre dann ja laut dem Kriterium nicht linearphasig. Also ist die Aussage damit richtig oder ist es jetzt doch linearphasig?
\quoteon(2022-03-12 23:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 4)
\quoteon(2022-03-10 21:46 - rlk in Beitrag No. 3)
Was ist die Bedingung für minimale Phase? Ist sie für dieses Filter erfüllt?
\quoteoff
Die Nullstellen müssen innerhalb des Einheitskreises liegen und weil die Nullstellen auf dem Einheitskreis mit $|z_{oi}| = 1$ und nicht mit $|z_{oi}| < 1$ im Einheitskreis liegen, wäre das System nicht minimalphasig. Also wie anfangs fälschicherweise erwähnt wäre das System nicht minimalphasig.
\quoteoff
Das ist richtig.
\quoteon(2022-03-15 17:49 - rlk in Beitrag No. 5)
\quoteon(2022-03-12 23:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 4)
\quoteon(2022-03-10 21:46 - rlk in Beitrag No. 3)
Die Faktoren sollen Systeme 1. Ordnung sein.
\quoteoff
Da war wohl die Euphorie einwenig zu hoch. Ich wüsste aber jetzt nicht wie man da weiter rangeht ohne das in weitere Teilsysteme zu strukturieren.
\quoteoff
Überlege Dir, wie die Faktoren 1. Ordnung der Übertragungsfunktion
$$H(z) = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^2}$$
aussehen. Danach kannst Du die Anzahl der Faktorisierungen ermitteln und Signalflussgraphen zeichnen.
\quoteoff
Kann man hier vielleicht eine Polynomdivision machen und anschließend aus dem Ergebnis, den Signalflussgraphen ablesen?🤔
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rlk
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-15
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Hallo Sinnfrei,
das Kriterium für stabile IIR-Filter ist nicht erfüllt, aber es ist auf dieses instabile Filter nicht anwendbar.
Die Phase der Übertragungsfunktion kannst Du berechnen.
Bitte versuche, richtig zu zitieren, den Satz "Das ist richtig." habe ich in Beitrag 5 geschrieben, in Beitrag 6 sieht es so aus, als hättest Du ihn geschrieben. Für andere, die vielleicht hier mitlesen, ist das wahrscheinlich verwirrend.
Eine Polynomdivision ist hier nicht angebracht. Du willst die Übertragungsfunktion $H$, eine rationale Funktion vom Grad 2 in ein Produkt von zwei rationalen Funktionen vom Grad 1 zerlegen. Nachdem Zähler und Nenner Quadrate sind, gibt es naheliegende Faktoren.
Servus,
Roland
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-16
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\quoteon(2022-03-15 22:49 - rlk in Beitrag No. 7)
Hallo Sinnfrei,
das Kriterium für stabile IIR-Filter ist nicht erfüllt, aber es ist auf dieses instabile Filter nicht anwendbar.
Die Phase der Übertragungsfunktion kannst Du berechnen.
Bitte versuche, richtig zu zitieren, den Satz "Das ist richtig." habe ich in Beitrag 5 geschrieben, in Beitrag 6 sieht es so aus, als hättest Du ihn geschrieben. Für andere, die vielleicht hier mitlesen, ist das wahrscheinlich verwirrend.
\quoteoff
Ich hatte versucht, deinen Beitrag mit meinem aus Beitrag 6, in Verbindung zu bringen. Was bedeutet dann "konjugiert reziproke Polstellen außerhalb des Einheitskreises"? Reziprok wäre doch der Kehrwert der Polstelle und konjugiert wäre dann, wenn man eine komplexe Polstelle hätte, dass der Imaginärteil das andere Vorzeichen hat aber hier ist es ja reell. Wenn aber die Polstelle reziprok die selbe $1$ ist, wie normal also nicht reziprok, dann müsste doch trotzdem die Aussage greifen, dass für linearphasige IIR-Filter die reellen Polstellen außerhalb des Einheitskreises liegen müssen, ob es nun BIBO-stabil oder instabil ist, spielt ja für die Linearphasigkeit lt. der Aussage keine Rolle, wird aber mit Bezug auf die Stabilität in Verbindung gebracht.
Die Polstelle $1$ liegt ja auf dem Einheitskreis und nicht außerhalb des Einheitskreises, wenn man sich jetzt nur auf die Aussage verlässt, hätte das Filter keine lineare Phase, ohne sich den Phasengang anzuschauen.
An der Stelle haben wir aber auch nie den Phasengang gezeichnet. Meistens konnte man sich die Aussagen aus dem Einheitskreis oder aus der negativen s-Halbebene ableiten.
\quoteon
Eine Polynomdivision ist hier nicht angebracht. Du willst die Übertragungsfunktion $H$, eine rationale Funktion vom Grad 2 in ein Produkt von zwei rationalen Funktionen vom Grad 1 zerlegen. Nachdem Zähler und Nenner Quadrate sind, gibt es naheliegende Faktoren.
\quoteoff
Ahhhh du meinst wohl
$$H(z) = H_1(z)\cdot H_2(z) = \frac{z+1}{z-1}\cdot \frac{z+1}{z-1}$$
und ein möglicher Signalflussgraph wäre dann
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_H_1_H_2_neu.png
Dann würde noch die Anzahl von Möglichkeiten der Kaskaden-/Serienschaltung fehlen. Ich habe das im Buch von Oppenheim nicht finden können. Ist auch sicher nur ein Wert den man mal gehört/gelesen haben muss oder?
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rlk
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-12
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-03-16 04:30 - Sinnfrei in Beitrag No. 8)
Was bedeutet dann "konjugiert reziproke Polstellen außerhalb des Einheitskreises"? Reziprok wäre doch der Kehrwert der Polstelle und konjugiert wäre dann, wenn man eine komplexe Polstelle hätte, dass der Imaginärteil das andere Vorzeichen hat aber hier ist es ja reell.
\quoteoff
Wenn die ursprüngliche Polstelle den Wert $p$ hat, ist die konjugiert reziproke Polstelle $q=\left(\frac{1}{p}\right)^*=\frac{1}{p^*}$ wenn wir Konjugation mit einem hochgestellten Stern bezeichnen. Für $p=1$ ergibt sich $q=1$.
\quoteon(2022-03-16 04:30 - Sinnfrei in Beitrag No. 8)
Wenn aber die Polstelle reziprok die selbe $1$ ist, wie normal also nicht reziprok, dann müsste doch trotzdem die Aussage greifen, dass für linearphasige IIR-Filter die reellen Polstellen außerhalb des Einheitskreises liegen müssen, ob es nun BIBO-stabil oder instabil ist, spielt ja für die Linearphasigkeit lt. der Aussage keine Rolle, wird aber mit Bezug auf die Stabilität in Verbindung gebracht.
Die Polstelle $1$ liegt ja auf dem Einheitskreis und nicht außerhalb des Einheitskreises, wenn man sich jetzt nur auf die Aussage verlässt, hätte das Filter keine lineare Phase, ohne sich den Phasengang anzuschauen.
\quoteoff
Das hängt davon ab, wie die Aussage zur linearen Phase genau aussieht. Hier haben wir einen doppelten Pol an der Stelle $p=1$, die man als Grenzfall eines Polpaars auffassen kann.
Es ist hier aber sehr einfach, den Phasengang zu berechnen, hast Du das schon versucht?
Die (In)Stabilität des Filters ist wichtig, ich vermute, dass sich die Frage
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
6) Erläutern Sie, ob es mögliche ist, für dieses System den Frequenzgang anzugeben.
\quoteoff
darauf bezieht.
\quoteon(2022-03-16 04:30 - Sinnfrei in Beitrag No. 8)
An der Stelle haben wir aber auch nie den Phasengang gezeichnet. Meistens konnte man sich die Aussagen aus dem Einheitskreis oder aus der negativen s-Halbebene ableiten.
\quoteon(2022-03-15 22:49 - rlk in Beitrag No. 7)
Eine Polynomdivision ist hier nicht angebracht. Du willst die Übertragungsfunktion $H$, eine rationale Funktion vom Grad 2 in ein Produkt von zwei rationalen Funktionen vom Grad 1 zerlegen. Nachdem Zähler und Nenner Quadrate sind, gibt es naheliegende Faktoren.
\quoteoff
Ahhhh du meinst wohl
$$H(z) = H_1(z)\cdot H_2(z) = \frac{z+1}{z-1}\cdot \frac{z+1}{z-1}$$
und ein möglicher Signalflussgraph wäre dann
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_H_1_H_2_neu.png
Dann würde noch die Anzahl von Möglichkeiten der Kaskaden-/Serienschaltung fehlen. Ich habe das im Buch von Oppenheim nicht finden können. Ist auch sicher nur ein Wert den man mal gehört/gelesen haben muss oder?
\quoteoff
Genau. Wenn es verschiedene Polstellen $p_1 \neq p_2$ und Nullstellen $n_1 \neq n_2$ gäbe, könnte man sie auf unterschiedliche Weise zu Systemen 1. Ordnung kombinieren, hier gibt es wegen $p_1 = p_2 = 1$ und $n_1 = n_2 = -1$ nur eine Möglichkeit für die Kettenschaltung. Die Teilsysteme 1. Ordnung kann man auch anders realisieren.
Servus,
Roland
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-12
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\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Es ist hier aber sehr einfach, den Phasengang zu berechnen, hast Du das schon versucht?
\quoteoff
Wie bereits erwähnt haben wir es an der Stelle, im z-Bereich, nie gemacht. Allgemein ist aber der Phasengang für ein Übertragungssystem ja wie folgt definiert
$$\varphi(\omega) = \arctan{\left(\frac{\operatorname{Im}(H(j\omega))}{\operatorname{Re}(H(j\omega))}\right)}$$
Wenn ich dann dort die Unabhängige Variable gegen $z$ austausche. Wäre das Argument der $\arctan$ Fkt. $0$ und man hätte eine Phase von $0^°$. Daher denke ich nicht, dass man damit den Phasengang der z-Übertragungsfunktion bestimmen kann.
Vielleicht erklärst du es mir ja. In den Literaturen finde ich dazu jetzt auch nichts konkretes.
Den Teil mit der Instabilität verstehe ich nicht.
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Die (In)Stabilität des Filters ist wichtig, ich vermute, dass sich die Frage
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
6) Erläutern Sie, ob es mögliche ist, für dieses System den Frequenzgang anzugeben.
\quoteoff
darauf bezieht.
\quoteoff
Wie ist Sie denn definiert?
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Die Teilsysteme 1. Ordnung kann man auch anders realisieren.
\quoteoff
Das wären dann aber keine Teilsysteme 1. Ordnung mehr sondern
Wie aus Beitrag No. 2 oder?
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-15
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Es ist hier aber sehr einfach, den Phasengang zu berechnen, hast Du das schon versucht?
\quoteoff
Wie bereits erwähnt haben wir es an der Stelle, im z-Bereich, nie gemacht.
\quoteoff
Dann ist es höchste Zeit, das nachzuholen.
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
Allgemein ist aber der Phasengang für ein Übertragungssystem ja wie folgt definiert
$$\varphi(\omega) = \arctan{\left(\frac{\operatorname{Im}(H(j\omega))}{\operatorname{Re}(H(j\omega))}\right)}$$
Wenn ich dann dort die Unabhängige Variable gegen $z$ austausche.
\quoteoff
Aus der Übertragungsfunktion $H(z)$ eines zeitdiskreten Systems kannst Du den Frequenzgang bestimmen, indem Du $z=\exp(j\Omega)$ einsetzt, wobei $\Omega=2\pi f T_S$ die normierte Kreisfrequenz und $T_S$ die Abtastperiode sind. Die Formel
$$\arg(H)=\arctan\left(\frac{\operatorname{Im}(H)}{\operatorname{Re}(H)}\right)$$
gilt nur für $\operatorname{Re}(H) > 0$, siehe dazu auch die Diskussion in
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=174163&post_id=1285297
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
Wäre das Argument der $\arctan$ Fkt. $0$ und man hätte eine Phase von $0^°$. Daher denke ich nicht, dass man damit den Phasengang der z-Übertragungsfunktion bestimmen kann.
\quoteoff
Warum sollte die Phase nicht den Wert 0 annehmen können?
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
Vielleicht erklärst du es mir ja. In den Literaturen finde ich dazu jetzt auch nichts konkretes.
\quoteoff
In dem Skript der Hochschule Karlsruhe, auf das Du in Beitrag No. 2 verwiesen hast, wird in
https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/frequenzgang-zeitdiskreter-systeme/pol-nullstellen-diagramm-und-frequenzgang-eines-systems/frequenzgang-eines-systems-mit-einer-nullstelle.html
der Frequenzgang eines Systems 1. Ordnung mit einer Nullstelle berechnet, auf ähnliche Weise kannst Du das für $H_p(z) = \frac{1}{z-p}$ und $H_{p,n}(z) = \frac{z-n}{z-p}$ machen.
Für $H_1(z)=\frac{z+1}{z-1}$ ist es besonders einfach: mit $z=\exp(j\Omega)$ ergibt sich
$$H_1(\exp(j\Omega))=\frac{\exp(j\Omega)+1}{\exp(j\Omega)-1}$$
erweitern mit $\exp(-j\Omega/2)$ liefert
$$H_1(\exp(j\Omega))=\frac{\exp(j\Omega/2)+\exp(-j\Omega/2)}{\exp(j\Omega/2)-\exp(-j\Omega/2)}=\frac{2\cos(\Omega/2)}{2j\sin(\Omega/2)}=-j\cot(\Omega/2)$$
wovon man die Phase
$$\arg(H_1(\exp(j\Omega)))=\arg(-j)\operatorname{sign}(\Omega)=-\frac{\pi}{2}\operatorname{sign}(\Omega)$$
ablesen kann. Sie ist für $\Omega > 0$ konstant und daher dort eine affin-lineare Funktion der Kreisfrequenz $\Omega$.
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
Den Teil mit der Instabilität verstehe ich nicht.
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Die (In)Stabilität des Filters ist wichtig, ich vermute, dass sich die Frage
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
6) Erläutern Sie, ob es mögliche ist, für dieses System den Frequenzgang anzugeben.
\quoteoff
darauf bezieht.
\quoteoff
Wie ist Sie denn definiert?
\quoteoff
Was meinst Du mit "Sie"? Vielleicht die Stabilität? Auf
https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/frequenzgang-zeitdiskreter-systeme/motivation-und-herleitung/reaktion-zeitdiskreter-systeme-auf-eine-kausale-harmonische-anregung.html
wird erklärt, dass sich die Antwort auf eine bei $t=0$ eingeschaltete harmonische Schwingung aus einer harmonischen Schwingung und einem Einschwingvorgang zusammensetzt. Bei stabilen Systemen klingt der Einschwingvorgang ab und für ausreichend großes $t$ bleibt eine harmonische Schwingung am Ausgang übrig, deren Amplitude und Phase Du mit Hilfe der Übertragungsfunktion bestimmen kannst. Bei instabilen Systemen funktioniert das nicht und die Frage nach der Bedeutung der Übertragungsfunktion ist daher berechtigt.
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Die Teilsysteme 1. Ordnung kann man auch anders realisieren.
\quoteoff
Das wären dann aber keine Teilsysteme 1. Ordnung mehr sondern
Wie aus Beitrag No. 2 oder?
\quoteoff
Nein, ich meinte andere Realisierungen für die Teilsysteme 1. Ordnung. In Beitrag No. 2 hast Du das System 2. Ordnung aus dem Themenstart in eine andere Form gebracht. Die ursprüngliche Form hat die kleinstmögliche Zahl an Verzögerungsgliedern, die aus Beitrag No. 2 hat mehr. Was sind die entsprechenden Zahlen für das System mit der Übertragungsfunktion $H_1(z)=H_2(z)$ aus Beitrag No. 8?
Servus,
Roland
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
Warum sollte die Phase nicht den Wert 0 annehmen können?
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
\quoteoff
\quoteoff
Es ging mir dabei um die Vorgehensweise, angefangen bei der Substitution mit $z$. Der Winkel kann durchaus $0°$ sein.
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
In dem Skript der Hochschule Karlsruhe, auf das Du in Beitrag No. 2 verwiesen hast, wird in
https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/frequenzgang-zeitdiskreter-systeme/pol-nullstellen-diagramm-und-frequenzgang-eines-systems/frequenzgang-eines-systems-mit-einer-nullstelle.html
der Frequenzgang eines Systems 1. Ordnung mit einer Nullstelle berechnet, auf ähnliche Weise kannst Du das für $H_p(z) = \frac{1}{z-p}$ und $H_{p,n}(z) = \frac{z-n}{z-p}$ machen.
Für $H_1(z)=\frac{z+1}{z-1}$ ist es besonders einfach: mit $z=\exp(j\Omega)$ ergibt sich
$$H_1(\exp(j\Omega))=\frac{\exp(j\Omega)+1}{\exp(j\Omega)-1}\quad (1)$$
erweitern mit $\exp(-j\Omega/2)$ liefert
$$H_1(\exp(j\Omega))=\frac{\exp(j\Omega/2)+\exp(-j\Omega/2)}{\exp(j\Omega/2)-\exp(-j\Omega/2)}=\frac{2\cos(\Omega/2)}{2j\sin(\Omega/2)}=-j\cot(\Omega/2)\quad (2)$$
wovon man die Phase
$$\arg(H_1(\exp(j\Omega)))=\arg(-j)\operatorname{sign}(\Omega)=-\frac{\pi}{2}\operatorname{sign}(\Omega)\quad (3)$$
ablesen kann. Sie ist für $\Omega > 0$ konstant und daher dort eine affin-lineare Funktion der Kreisfrequenz $\Omega$.
\quoteoff
Wie bist du auf die Signum Funktion aus (2) nach (3) gekommen und müsste hier das Argument der Signum Funktion nicht $\Omega/2$ sein?
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
Den Teil mit der Instabilität verstehe ich nicht.
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Die (In)Stabilität des Filters ist wichtig, ich vermute, dass sich die Frage
\quoteon(2022-03-04 07:20 - Sinnfrei im Themenstart)
6) Erläutern Sie, ob es mögliche ist, für dieses System den Frequenzgang anzugeben.
\quoteoff
darauf bezieht.
\quoteoff
Wie ist Sie denn definiert?
\quoteoff
Was meinst Du mit "Sie"? Vielleicht die Stabilität? Auf
https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/frequenzgang-zeitdiskreter-systeme/motivation-und-herleitung/reaktion-zeitdiskreter-systeme-auf-eine-kausale-harmonische-anregung.html
wird erklärt, dass sich die Antwort auf eine bei $t=0$ eingeschaltete harmonische Schwingung aus einer harmonischen Schwingung und einem Einschwingvorgang zusammensetzt. Bei stabilen Systemen klingt der Einschwingvorgang ab und für ausreichend großes $t$ bleibt eine harmonische Schwingung am Ausgang übrig, deren Amplitude und Phase Du mit Hilfe der Übertragungsfunktion bestimmen kannst. Bei instabilen Systemen funktioniert das nicht und die Frage nach der Bedeutung der Übertragungsfunktion ist daher berechtigt.
\quoteoff
Also könnte ich dann hier sagen, wenn die Nullstellen außerhalb des Einheitskreises liegen, ist das System instabil und damit wäre die Bestimmung des Frequenzgangs sowie der Phase nicht möglich oder - Also wenn ich dich richtig verstanden habe.
Hier wäre das System dann quasi oder grenzstabil, da die Nullstellen auf dem Einheitskreis liegen und damit wäre die Bestimmung des Frequenzgangs und seiner Phase nicht möglich, obwohl man die z-Übertragungsfunktion bestimmen konnte.
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Die Teilsysteme 1. Ordnung kann man auch anders realisieren.
\quoteoff
Das wären dann aber keine Teilsysteme 1. Ordnung mehr sondern
Wie aus Beitrag No. 2 oder?
\quoteoff
Nein, ich meinte andere Realisierungen für die Teilsysteme 1. Ordnung. In Beitrag No. 2 hast Du das System 2. Ordnung aus dem Themenstart in eine andere Form gebracht. Die ursprüngliche Form hat die kleinstmögliche Zahl an Verzögerungsgliedern, die aus Beitrag No. 2 hat mehr. Was sind die entsprechenden Zahlen für das System mit der Übertragungsfunktion $H_1(z)=H_2(z)$ aus Beitrag No. 8?
\quoteoff
\quoteoff
Der kaskadierende Entwurf aus Beitrag No. 8 hat in jeder Stufe $2$ Verzögerungsglieder, einmal in der Hinführung und einmal in der Rückführung. In der Summe sind das dann 4 Verzögerungsglieder, aber als Kaskade kann man dieses System in 1.Ordnung nur so wie in Beitrag No. 8 darstellen.
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rlk
Senior
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11602
Wohnort: Wien
| Beitrag No.13, eingetragen 2022-05-16
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
Warum sollte die Phase nicht den Wert 0 annehmen können?
\quoteoff
Es ging mir dabei um die Vorgehensweise, angefangen bei der Substitution mit $z$. Der Winkel kann durchaus $0°$ sein.
\quoteoff
warum schreibst Du nicht, was Dir unklar ist? Also etwa "Wie komme ich von der Übertragungsfunktion zum Phasengang" statt "Wäre das Argument der arctan Fkt. 0 und man hätte eine Phase von 0∘. Daher denke ich nicht, dass man damit den Phasengang der z-Übertragungsfunktion bestimmen kann."?
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
$$H_1(\exp(j\Omega))=\frac{\exp(j\Omega/2)+\exp(-j\Omega/2)}{\exp(j\Omega/2)-\exp(-j\Omega/2)}=\frac{2\cos(\Omega/2)}{2j\sin(\Omega/2)}=-j\cot(\Omega/2)\quad (2)$$
wovon man die Phase
$$\arg(H_1(\exp(j\Omega)))=\arg(-j)\operatorname{sign}(\Omega)=-\frac{\pi}{2}\operatorname{sign}(\Omega)\quad (3)$$
ablesen kann. Sie ist für $\Omega > 0$ konstant und daher dort eine affin-lineare Funktion der Kreisfrequenz $\Omega$.
\quoteoff
Wie bist du auf die Signum Funktion aus (2) nach (3) gekommen und müsste hier das Argument der Signum Funktion nicht $\Omega/2$ sein?
\quoteoff
Indem ich das Vorzeichen der reellen Funktion $\cot(\Omega/2)$ untersuche: für $0 < \Omega< \pi$ ist sie positiv, $-j\cot(\Omega/2)$ liegt dann auf der imaginären Koordinatenachse zwischen dem 3. und 4. Quadranten, das Argument (Winkel) dieser Zahlen hat den Wert $-\frac{\pi}{2}$. Für $-\pi < \Omega< 0$ hat der Kotangens negative Werte, $-j\cot(\Omega/2)$ liegt auf der positiven imaginären Achse zwischen dem 1. und 2. Quadranten, die Argumente dieser Zahlen haben den Wert $+\frac{\pi}{2}$. Diesen Vorzeichenwechsel bei $\Omega = 0$ beschreibt die Signum-Funktion. Die anderen Vorzeichenwechsel von $\cot(\Omega/2)$ liegen außerhalb des Bereichs $-\pi < \Omega < \pi$.
Die Phase ist wegen dieses Sprungs keine lineare Funktion auf $-\pi < \Omega < \pi$.
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
Bei stabilen Systemen klingt der Einschwingvorgang ab und für ausreichend
großes $t$ bleibt eine harmonische Schwingung am Ausgang übrig, deren Amplitude und Phase Du mit Hilfe der Übertragungsfunktion bestimmen kannst. Bei instabilen Systemen funktioniert das nicht und die Frage nach der Bedeutung der Übertragungsfunktion ist daher berechtigt.
\quoteoff
Also könnte ich dann hier sagen, wenn die Nullstellen außerhalb des Einheitskreises liegen, ist das System instabil und damit wäre die Bestimmung des Frequenzgangs sowie der Phase nicht möglich oder - Also wenn ich dich richtig verstanden habe.
Hier wäre das System dann quasi oder grenzstabil, da die Nullstellen auf dem Einheitskreis liegen und damit wäre die Bestimmung des Frequenzgangs und seiner Phase nicht möglich, obwohl man die z-Übertragungsfunktion bestimmen konnte.
\quoteoff
Wenn Du die Nullstellen des Nenners, also die Polstellen der Übertragungsfunktion meinst, ist das richtig. Ich vermute, dass die Frage 6 der Aufgabe darauf abzielt.
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Die Teilsysteme 1. Ordnung kann man auch anders realisieren.
\quoteoff
Das wären dann aber keine Teilsysteme 1. Ordnung mehr sondern
Wie aus Beitrag No. 2 oder?
\quoteoff
Nein, ich meinte andere Realisierungen für die Teilsysteme 1. Ordnung. In Beitrag No. 2 hast Du das System 2. Ordnung aus dem Themenstart in eine andere Form gebracht. Die ursprüngliche Form hat die kleinstmögliche Zahl an Verzögerungsgliedern, die aus Beitrag No. 2 hat mehr. Was sind die entsprechenden Zahlen für das System mit der Übertragungsfunktion $H_1(z)=H_2(z)$ aus Beitrag No. 8?
\quoteoff
Der kaskadierende Entwurf aus Beitrag No. 8 hat in jeder Stufe $2$ Verzögerungsglieder, einmal in der Hinführung und einmal in der Rückführung.
\quoteoff
Das ist richtig. Was Du Stufen nennst sind die Teilsysteme 1. Ordnung.
Im ursprünglichen System 2. Ordnung
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Signalflussgraph3.png
sind nur 2 Verzögerungsglieder, weil sie für den rekursiven und nichtrekursiven Teil des Filters genutzt werden. Das kann man auch bei den Teilsystemen 1. Ordnung machen und so die Anzahl der Verzögerungsglieder für das Gesamtsystem auf 2 verkleinern.
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
In der Summe sind das dann 4 Verzögerungsglieder, aber als Kaskade kann man dieses System in 1.Ordnung nur so wie in Beitrag No. 8 darstellen.
\quoteoff
Was meinst Du hier mit "in 1.Ordnung"?
Servus,
Roland
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Sinnfrei
Aktiv
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 583
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-16 10:18 - rlk in Beitrag No. 13)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
Warum sollte die Phase nicht den Wert 0 annehmen können?
\quoteoff
Es ging mir dabei um die Vorgehensweise, angefangen bei der Substitution mit $z$. Der Winkel kann durchaus $0°$ sein.
\quoteoff
warum schreibst Du nicht, was Dir unklar ist? Also etwa "Wie komme ich von der Übertragungsfunktion zum Phasengang" statt "Wäre das Argument der arctan Fkt. 0 und man hätte eine Phase von 0∘. Daher denke ich nicht, dass man damit den Phasengang der z-Übertragungsfunktion bestimmen kann."?
\quoteoff
Ja du hast Recht. Daran habe ich nicht gedacht. Sorry.
\quoteon(2022-05-16 10:18 - rlk in Beitrag No. 13)
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
$$H_1(\exp(j\Omega))=\frac{\exp(j\Omega/2)+\exp(-j\Omega/2)}{\exp(j\Omega/2)-\exp(-j\Omega/2)}=\frac{2\cos(\Omega/2)}{2j\sin(\Omega/2)}=-j\cot(\Omega/2)\quad (2)$$
wovon man die Phase
$$\arg(H_1(\exp(j\Omega)))=\arg(-j)\operatorname{sign}(\Omega)=-\frac{\pi}{2}\operatorname{sign}(\Omega)\quad (3)$$
ablesen kann. Sie ist für $\Omega > 0$ konstant und daher dort eine affin-lineare Funktion der Kreisfrequenz $\Omega$.
\quoteoff
Wie bist du auf die Signum Funktion aus (2) nach (3) gekommen und müsste hier das Argument der Signum Funktion nicht $\Omega/2$ sein?
\quoteoff
Indem ich das Vorzeichen der reellen Funktion $\cot(\Omega/2)$ untersuche: für $0 < \Omega< \pi$ ist sie positiv, $-j\cot(\Omega/2)$ liegt dann auf der imaginären Koordinatenachse zwischen dem 3. und 4. Quadranten, das Argument (Winkel) dieser Zahlen hat den Wert $-\frac{\pi}{2}$. Für $-\pi < \Omega< 0$ hat der Kotangens negative Werte, $-j\cot(\Omega/2)$ liegt auf der positiven imaginären Achse zwischen dem 1. und 2. Quadranten, die Argumente dieser Zahlen haben den Wert $+\frac{\pi}{2}$. Diesen Vorzeichenwechsel bei $\Omega = 0$ beschreibt die Signum-Funktion. Die anderen Vorzeichenwechsel von $\cot(\Omega/2)$ liegen außerhalb des Bereichs $-\pi < \Omega < \pi$.
Die Phase ist wegen dieses Sprungs keine lineare Funktion auf $-\pi < \Omega < \pi$.
\quoteoff
Aber dann ist es doch richtig, wie ich in Beitrag No. 4 bereits geschrieben habe, dass die Phase nicht linear ist. Somit kann man es ja doch anhand des PN-Diagramms feststellen - Jetzt nachdem du es auch bestätigt hast. Ob das nun eine notwendige oder keine notwendige Bedingung für eine lineare Phase darstellt, wäre dann doch hinfällig oder? Also das die Polstellen auf und nicht im Einheitskreis liegen führt dann dazu, dass die Phase nicht linear ist. Somit könnte man es ja doch anhand des PN-Diagramms ablesen oder sehe ich da was falsch?
\quoteon(2022-05-16 10:18 - rlk in Beitrag No. 13)
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
Bei stabilen Systemen klingt der Einschwingvorgang ab und für ausreichend
großes $t$ bleibt eine harmonische Schwingung am Ausgang übrig, deren Amplitude und Phase Du mit Hilfe der Übertragungsfunktion bestimmen kannst. Bei instabilen Systemen funktioniert das nicht und die Frage nach der Bedeutung der Übertragungsfunktion ist daher berechtigt.
\quoteoff
Also könnte ich dann hier sagen, wenn die Nullstellen außerhalb des Einheitskreises liegen, ist das System instabil und damit wäre die Bestimmung des Frequenzgangs sowie der Phase nicht möglich oder - Also wenn ich dich richtig verstanden habe.
Hier wäre das System dann quasi oder grenzstabil, da die Nullstellen auf dem Einheitskreis liegen und damit wäre die Bestimmung des Frequenzgangs und seiner Phase nicht möglich, obwohl man die z-Übertragungsfunktion bestimmen konnte.
\quoteoff
Wenn Du die Nullstellen des Nenners, also die Polstellen der Übertragungsfunktion meinst, ist das richtig. Ich vermute, dass die Frage 6 der Aufgabe darauf abzielt.
\quoteoff
Ja genau die $P.S.$ sorry an der Stelle. Da war ich wohl einwenig zu schnell.
\quoteon(2022-05-16 10:18 - rlk in Beitrag No. 13)
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Die Teilsysteme 1. Ordnung kann man auch anders realisieren.
\quoteoff
Das wären dann aber keine Teilsysteme 1. Ordnung mehr sondern
Wie aus Beitrag No. 2 oder?
\quoteoff
Nein, ich meinte andere Realisierungen für die Teilsysteme 1. Ordnung. In Beitrag No. 2 hast Du das System 2. Ordnung aus dem Themenstart in eine andere Form gebracht. Die ursprüngliche Form hat die kleinstmögliche Zahl an Verzögerungsgliedern, die aus Beitrag No. 2 hat mehr. Was sind die entsprechenden Zahlen für das System mit der Übertragungsfunktion $H_1(z)=H_2(z)$ aus Beitrag No. 8?
\quoteoff
Der kaskadierende Entwurf aus Beitrag No. 8 hat in jeder Stufe $2$ Verzögerungsglieder, einmal in der Hinführung und einmal in der Rückführung.
\quoteoff
Das ist richtig. Was Du Stufen nennst sind die Teilsysteme 1. Ordnung.
Im ursprünglichen System 2. Ordnung
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Signalflussgraph3.png
sind nur 2 Verzögerungsglieder, weil sie für den rekursiven und nichtrekursiven Teil des Filters genutzt werden. Das kann man auch bei den Teilsystemen 1. Ordnung machen und so die Anzahl der Verzögerungsglieder für das Gesamtsystem auf 2 verkleinern.
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
In der Summe sind das dann 4 Verzögerungsglieder, aber als Kaskade kann man dieses System in 1.Ordnung nur so wie in Beitrag No. 8 darstellen.
\quoteoff
Was meinst Du hier mit "in 1.Ordnung"?
\quoteoff
Du schreibst in
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9) hier gibt es wegen $p_1 = p_2 = 1$ und $n_1 = n_2 = -1$ nur eine Möglichkeit für die Kettenschaltung.
\quoteoff
Jetzt lese ich aber, dass es wohl noch eine zweite Möglichkeit gibt, die Kettenschaltung mit 2 Teilsystemen 1.Ordnung zu realisieren aber mit minimaler Anzahl Speicher/Verzögerungsglieder. Also was stimmt denn jetzt?
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| Beitrag No.15, eingetragen 2022-05-16
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-05-16 14:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 14)
\quoteon(2022-05-16 10:18 - rlk in Beitrag No. 13)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
Es ging mir dabei um die Vorgehensweise, angefangen bei der Substitution mit $z$. Der Winkel kann durchaus $0°$ sein.
\quoteoff
warum schreibst Du nicht, was Dir unklar ist? Also etwa "Wie komme ich von der Übertragungsfunktion zum Phasengang" statt "Wäre das Argument der arctan Fkt. 0 und man hätte eine Phase von 0∘. Daher denke ich nicht, dass man damit den Phasengang der z-Übertragungsfunktion bestimmen kann."?
\quoteoff
Ja du hast Recht. Daran habe ich nicht gedacht. Sorry.
\quoteoff
Ich denke, dass wir in Zukunft schneller ans Ziel kommen, wenn Du möglichst genau beschreibst, was Dir unklar ist oder welche Informationen Dir fehlen.
\quoteon(2022-05-16 14:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 14)
\quoteon(2022-05-16 10:18 - rlk in Beitrag No. 13)
Die Phase ist wegen dieses Sprungs keine lineare Funktion auf $-\pi < \Omega < \pi$.
\quoteoff
Aber dann ist es doch richtig, wie ich in Beitrag No. 4 bereits geschrieben habe, dass die Phase nicht linear ist. Somit kann man es ja doch anhand des PN-Diagramms feststellen - Jetzt nachdem du es auch bestätigt hast. Ob das nun eine notwendige oder keine notwendige Bedingung für eine lineare Phase darstellt, wäre dann doch hinfällig oder? Also das die Polstellen auf und nicht im Einheitskreis liegen führt dann dazu, dass die Phase nicht linear ist. Somit könnte man es ja doch anhand des PN-Diagramms ablesen oder sehe ich da was falsch?
\quoteoff
Es stimmt, dass die Phase keine lineare Funktion der Frequenz ist, aber es ist nicht klar, ob das aus der Lage der Polstellen folgt.
Ich habe zwar noch keinen Beweis gefunden, bin aber ziemlich sicher, dass die folgenden Bedingungen hinreichend und vermutlich auch notwendig sind, damit ein Filter linearphasig ist.
1. Alle Polstellen müssen im Ursprung liegen, es handelt sich um ein FIR-Filter.
2. Die Nullstellen müssen auf dem Einheitskreis oder symmetrisch dazu liegen: wenn eine Nullstelle $n$ im Inneren des Einheitskreis liegt, muss auch $n′=\frac{1}{n^*}$ eine Nullstelle sein.
\quoteon(2022-05-16 14:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 14)
\quoteon(2022-05-16 10:18 - rlk in Beitrag No. 13)
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
Also könnte ich dann hier sagen, wenn die Nullstellen außerhalb des Einheitskreises liegen, ist das System instabil und damit wäre die Bestimmung des Frequenzgangs sowie der Phase nicht möglich oder - Also wenn ich dich richtig verstanden habe.
Hier wäre das System dann quasi oder grenzstabil, da die Nullstellen auf dem Einheitskreis liegen und damit wäre die Bestimmung des Frequenzgangs und seiner Phase nicht möglich, obwohl man die z-Übertragungsfunktion bestimmen konnte.
\quoteoff
Wenn Du die Nullstellen des Nenners, also die Polstellen der Übertragungsfunktion meinst, ist das richtig. Ich vermute, dass die Frage 6 der Aufgabe darauf abzielt.
\quoteoff
Ja genau die $P.S.$ sorry an der Stelle. Da war ich wohl einwenig zu schnell.
\quoteoff
Kein Problem, das kann passieren.
\quoteon(2022-05-16 14:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 14)
\quoteon(2022-05-16 10:18 - rlk in Beitrag No. 13)
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-05-15 13:10 - rlk in Beitrag No. 11)
\quoteon(2022-05-12 23:23 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9)
Die Teilsysteme 1. Ordnung kann man auch anders realisieren.
\quoteoff
Das wären dann aber keine Teilsysteme 1. Ordnung mehr sondern
Wie aus Beitrag No. 2 oder?
\quoteoff
Nein, ich meinte andere Realisierungen für die Teilsysteme 1. Ordnung. In Beitrag No. 2 hast Du das System 2. Ordnung aus dem Themenstart in eine andere Form gebracht. Die ursprüngliche Form hat die kleinstmögliche Zahl an Verzögerungsgliedern, die aus Beitrag No. 2 hat mehr. Was sind die entsprechenden Zahlen für das System mit der Übertragungsfunktion $H_1(z)=H_2(z)$ aus Beitrag No. 8?
\quoteoff
Der kaskadierende Entwurf aus Beitrag No. 8 hat in jeder Stufe $2$ Verzögerungsglieder, einmal in der Hinführung und einmal in der Rückführung.
\quoteoff
Das ist richtig. Was Du Stufen nennst sind die Teilsysteme 1. Ordnung.
Im ursprünglichen System 2. Ordnung
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Signalflussgraph3.png
sind nur 2 Verzögerungsglieder, weil sie für den rekursiven und nichtrekursiven Teil des Filters genutzt werden. Das kann man auch bei den Teilsystemen 1. Ordnung machen und so die Anzahl der Verzögerungsglieder für das Gesamtsystem auf 2 verkleinern.
\quoteon(2022-05-16 02:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
In der Summe sind das dann 4 Verzögerungsglieder, aber als Kaskade kann man dieses System in 1.Ordnung nur so wie in Beitrag No. 8 darstellen.
\quoteoff
Was meinst Du hier mit "in 1.Ordnung"?
\quoteoff
\quoteoff
Auf diese Frage bist Du nicht eingegangen. Ich stelle diese und andere Fragen, um herauszufinden, was Dir unklar ist. Ohne Antworten dauert es länger.
\quoteon(2022-05-16 14:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 14)
Du schreibst in
\quoteon(2022-05-12 21:43 - rlk in Beitrag No. 9) hier gibt es wegen $p_1 = p_2 = 1$ und $n_1 = n_2 = -1$ nur eine Möglichkeit für die Kettenschaltung.
\quoteoff
Jetzt lese ich aber, dass es wohl noch eine zweite Möglichkeit gibt, die Kettenschaltung mit 2 Teilsystemen 1.Ordnung zu realisieren aber mit minimaler Anzahl Speicher/Verzögerungsglieder. Also was stimmt denn jetzt?
\quoteoff
Es gibt nur eine Möglichkeit, die Übertragungsfunktion $H(z)=H_1^2(z)$ als Produkt von zwei Übertragungsfunktionen 1. Ordnung darzustellen. Jedes der beiden Teilsysteme mit der Übertragungsfunktion $H_1(z)$ kann man auf unterschiedliche Weise realisieren: so wie in Beitrag No. 8 mit je zwei Verzögerungsgliedern oder analog zum System 2. Ordnung aus dem Startbeitrag mit jeweils nur einem Verzögerungsglied (solche Darstellungen nennt man kanonisch).
Servus,
Roland
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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\quoteon(2022-05-16 21:00 - rlk in Beitrag No. 15)
Auf diese Frage bist Du nicht eingegangen. Ich stelle diese und andere Fragen, um herauszufinden, was Dir unklar ist. Ohne Antworten dauert es länger.
\quoteoff
Da du den Satz nicht verstanden hast bzw. ich den Satz nicht konkretisiert habe, hatte ich den Absatz neu formuliert und den hast du in dem Beitrag No. 15 ganz unten beantwortet. Da hätte ich einen Hinweis zu schreiben sollen.
\quoteon(2022-05-16 21:00 - rlk in Beitrag No. 15)
Es gibt nur eine Möglichkeit, die Übertragungsfunktion $H(z)=H_1^2(z)$ als Produkt von zwei Übertragungsfunktionen 1. Ordnung darzustellen. Jedes der beiden Teilsysteme mit der Übertragungsfunktion $H_1(z)$ kann man auf unterschiedliche Weise realisieren: so wie in Beitrag No. 8 mit je zwei Verzögerungsgliedern oder analog zum System 2. Ordnung aus dem Startbeitrag mit jeweils nur einem Verzögerungsglied (solche Darstellungen nennt man kanonisch).
\quoteoff
1)Wie würde dann das Teilsystem $H_1$ aussehen, wenn es nur ein Verzögerungsglied hätte?
2)Wenn die Teilsysteme 1.Ordnung auch anders realisiert werden können, hätte man doch schon mehrere Möglichkeiten für eine Kettenschaltung. Also nicht nur, wie in Beitrag No. 8 aber trotzdem noch in Reihe. Somit würde die kanonische Darstellung ja auch schon eine weitere Möglichkeit der Kettenschaltung der Teilsysteme 1.Ordnung darstellen. Die Aufgabe lautet ja "...für die Kettenschaltung" und wenn ich die Teilsysteme $H_1$ und $H_2$ auch anders als in Beitrag No. 8 darstellen kann, dann habe ich ja schon mehr Möglichkeiten, diese Serienschaltung mit Teilsystemen 1.Ordnung zu realisieren.
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2022-05-17 01:35 - Sinnfrei in Beitrag No. 16)
\quoteon(2022-05-16 21:00 - rlk in Beitrag No. 15)
Auf diese Frage bist Du nicht eingegangen. Ich stelle diese und andere Fragen, um herauszufinden, was Dir unklar ist. Ohne Antworten dauert es länger.
\quoteoff
Da du den Satz nicht verstanden hast bzw. ich den Satz nicht konkretisiert habe, hatte ich den Absatz neu formuliert und den hast du in dem Beitrag No. 15 ganz unten beantwortet. Da hätte ich einen Hinweis zu schreiben sollen.
\quoteoff
Ich hatte vermutet, dass sich hinter der Formulierung "in 1. Ordnung" ein Missverständnis versteckt, gut wenn das geklärt ist.
\quoteon(2022-05-17 01:35 - Sinnfrei in Beitrag No. 16)
\quoteon(2022-05-16 21:00 - rlk in Beitrag No. 15)
Es gibt nur eine Möglichkeit, die Übertragungsfunktion $H(z)=H_1^2(z)$ als Produkt von zwei Übertragungsfunktionen 1. Ordnung darzustellen. Jedes der beiden Teilsysteme mit der Übertragungsfunktion $H_1(z)$ kann man auf unterschiedliche Weise realisieren: so wie in Beitrag No. 8 mit je zwei Verzögerungsgliedern oder analog zum System 2. Ordnung aus dem Startbeitrag mit jeweils nur einem Verzögerungsglied (solche Darstellungen nennt man kanonisch).
\quoteoff
1)Wie würde dann das Teilsystem $H_1$ aussehen, wenn es nur ein Verzögerungsglied hätte?
\quoteoff
So wie das Bild des ursprünglichen Systems 2. Ordnung
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Signalflussgraph3.png
ohne das untere Verzögerungsglied und mit angepassten Faktoren statt den beiden Zweien. Oppenheim und Schafer nennen das direct structure II.
\quoteon(2022-05-17 01:35 - Sinnfrei in Beitrag No. 16)
2)Wenn die Teilsysteme 1.Ordnung auch anders realisiert werden können, hätte man doch schon mehrere Möglichkeiten für eine Kettenschaltung. Also nicht nur, wie in Beitrag No. 8 aber trotzdem noch in Reihe. Somit würde die kanonische Darstellung ja auch schon eine weitere Möglichkeit der Kettenschaltung der Teilsysteme 1.Ordnung darstellen. Die Aufgabe lautet ja "...für die Kettenschaltung" und wenn ich die Teilsysteme $H_1$ und $H_2$ auch anders als in Beitrag No. 8 darstellen kann, dann habe ich ja schon mehr Möglichkeiten, diese Serienschaltung mit Teilsystemen 1.Ordnung zu realisieren.
\quoteoff
Ich verstehe die Frage so, dass nach unterschiedlichen Faktorisierungen gefragt wird (die es hier nicht gibt).
Dass man die Teilsysteme auf verschiedene Weise realisieren kann, ist eine andere Frage.
Servus,
Roland
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\quoteon(2022-05-18 19:11 - rlk in Beitrag No. 17)
Ich verstehe die Frage so, dass nach unterschiedlichen Faktorisierungen gefragt wird (die es hier nicht gibt).
Dass man die Teilsysteme auf verschiedene Weise realisieren kann, ist eine andere Frage.
\quoteoff
Dann finde ich, dass die Frage nicht präzise formuliert ist oder ist das für dich direkt klar, was damit gemeint ist, wenn gefragt ist, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten es für die Serien/Kaskadenschaltung gibt.
Auf der anderen Seite denke ich mir dann aber, die kanonische Form, hier direct structure 2, führt ja auf die selbe Übertragungsfunktion $H(z)$, bloß der Graph ist dann halt aufgrund der kanonischen Form ein anderer. Ich denke, dass du es so gemeint hast oder?
Und den von dir genannten Graphen, aus dem Themenstart konnte ich auch direkt für die Teilsysteme 1.Ordnung ableiten. Danke :)
Ohne Graph & nur für ein Teilsystem:
$$y[n] = x[n] + (x[n] + y[n])\star\delta[n-1]\quad (1)$$
$$\mathcal{Z}\{y[n]\} = y(z) = x(z) + x(z)z^{-1} + y(z)z^{-1}\quad(2)$$
$$H_1(z) = {1+z^{-1}\over{1-z^{-1}}} = {z+1\over{z-1}}\quad(3)$$
Hier ist nur $(1)$ entscheidend, für die kanonische Darstellung.
Jetzt kann ich endlich nach langem diese Aufgabe abhaken.
Vielen Dank Roland
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Sinnfrei hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sinnfrei hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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