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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Weißes Rauschen + stationäres Rauschsignal
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Universität/Hochschule J Weißes Rauschen + stationäres Rauschsignal
Sinnfrei
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Weißes Rauschen $n(t)$ mit der Rauschleistungsdichte $N_0$ wird zusammen mit einem Gleichsignal $a_0$ auf einen idealen Bandpass (Bandbreite $\Delta f$, Mittenfrequenz $f_0$) gegeben. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_white_noise1.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_white_noise.png 1) Bestimmen Sie das Leistungsdichtespektrum des Ausgangsprozesses $g(t)$ 2) Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion $\varphi_{gg}(\tau)$ des Signals $g(t)$ am Ausgang des Bandpasses 3) Ermitteln Sie den linearen Mittelwert, den quadratischen Mittelwert und die Streuung für $g(t)$ 4) Welche Kreuzkorrelation besteht zwischen dem vollständigen Eingangssignal $s(t)$ des Bandpasses und dem Ausgangsprozess $g(t)$? (Berechnung erforderlich) 5) Ein stationäres Rauschsignal $n(t)$ mit der Autokorrelationsfunktion $\varphi_{nn}(\tau)$ wird mit einem Cosinus-Signal gemäß Bild multipliziert. Zeigen Sie anhand der angegebenen Gleichung für die Definition der Autokorrelationsfunktion, dass $g(t)$ nicht stationär ist. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_white_noise2.png Zum Bild: $\mathcal{E}{\{g(t) \cdot g(t + \tau)\}} = \varphi_{gg}(t,\tau) \neq \varphi_{gg}(\tau)$ Bei der ersten Teilaufgabe komm ich schon nicht weit. Im Buch vom Ohm, Lücke (Signalübertragung) finde ich folgende Formel, zur Berechnung des Leistungsdichtespektrums: $\phi_{ss} = \lim \limits_{T \to \infty}\frac{1}{T}\mathcal{E}\left\{{\left|S^{T}(f,t)\right|}^2\right\}$ Hier wird aber von dem Ausgangsprozess $g(t)$ ausgegangen.


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-22

Hallo Sinnfrei, wie verändert das Bandpassfilter das Leistungsdichtespektrum $\phi_{ss}$? Welche Wirkung hat das konstante Signal $a_0$ auf den Ausgang $g$? Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-24

$a_0$ wird ja auf das weiße Rauschen $n(t)$ gegeben/addiert. Am Ausgang ist ja der Bandpass an der Frequenz-Achse f gespiegelt. Müsste dann nicht s(t) negativ sein? Wie der BP das Leistungsdichtespektrum verändert bin ich noch nicht hinter gekommen.


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-25

Hallo Sinnfrei, ein Bandpassfilter lässt keine Signalanteile mit der Frequenz 0 durch, das Gleichsignal $a_0$ hat daher keine Auswirkung auf das Ausgangssignal $g$. Was hat das Vorzeichen des Eingangssignals $s$ mit dem Verhalten des Bandpassfilters zu tun? Die Leistungsdichte gibt an, wie die Leistung des entsprechenden Signals über die Frequenz verteilt ist. Wie wirkt sich ein Filter darauf aus? Ihr habt dazu bestimmt eine Formel kennengelernt. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-26

Meinst du die Formel: $$\phi_{gg}(f) = \underbrace{\phi_{nn}(f)}_{\text{weisses}\\ \text{Rauschen}} \cdot \underbrace{|H(f)|^2}_{\text{Bandpass}}$$ $$H(f) = \operatorname{rect}{\left(\frac{f-f_0}{\Delta f}\right)} - \operatorname{rect}{\left(\frac{f+f_0}{\Delta f}\right)}$$ $$|H(f)|^2 = \operatorname{rect}{\left(\frac{f-f_0}{\Delta f}\right)}^2 - 2 \cdot \operatorname{rect}{\left(\frac{f-f_0}{\Delta f}\right)}\cdot \operatorname{rect}{\left(\frac{f+f_0}{\Delta f}\right)} + \operatorname{rect}{\left(\frac{f+f_0}{\Delta f}\right)}^2$$ Der mittlere $-2\operatorname{rect}$ Term fällt weg, da beide BP's nicht an der selben Stelle, an der selben Frequenz Werte haben. Wäre man beim linken BP würde sich der Wert $1$ des BP's mit Null des rechten BP's multiplizieren, da dieser erst bei $+\frac{f_0}{2}$ einen Wert $1$ hat und davor Null. Zu 1) $$|H(f)|^2 = \operatorname{rect}\left(\frac{f-f_0}{\Delta f}\right) + \operatorname{rect}\left(\frac{f + f_0}{\Delta f}\right)$$ Weiterhin ergeben die $\operatorname{rect}^2$ wieder den $\operatorname{rect}$, da die Werte nur $1$ innerhalb $\Delta f$ annehmen können und ausserhalb Null sind. Also das Quadrat eines $\operatorname{rect}$ ergibt wieder ein $\operatorname{rect}$ So das sich das Leistungsdichtespektrum des Ausgangsprozesses $\phi_{gg}(f)$ zu $$\phi_{gg}(f) = N_0 \cdot \left(\operatorname{rect}\left(\frac{f-f_0}{\Delta f}\right) + \operatorname{rect}\left(\frac{f+f_0}{\Delta f}\right)\right)$$ Zu 2) Muss man das Leistungsdichtespektrum in den Zeitbereich Transformieren $$\varphi_{gg}(\tau) = N_0 \cdot (\Delta f \cdot \operatorname{si}\left(\pi \Delta f \tau) \cdot e^{+j2\pi f_0\tau} + \Delta f \cdot \operatorname{si}(\pi \Delta f \tau)\cdot e^{-j2\pi f_0 \tau}\right)$$ $$= \underbrace{2 N_0 \cdot \Delta f \operatorname{si}(\pi \Delta f\tau)}_{\color{red}{\text{Einhuellende}}} \cdot \underbrace{\cos{(2\pi f_0 \tau)}}_{\color{red}{\text{Traeger}}}$$ Kannst du mir an der Stelle sagen, was es mit der Einhüllenden und dem Träger auf sich hat? Ich kann es mir momentan nur so vorstellen, dass die si Funktion irgendwie in einen rect des BP-Filters passen soll. Zu 3) Da das weiße Rauschen ergodisch ist, ist somit $$\mathcal{E}\{g(t)\} = \overline{g(t)} = \overline{n(t)} \cdot H(0)$$ An der Stelle $H(f = 0) = 0$, da dort sonst kein anderer Wert feststellbar ist. Die zeitliche Mittelung des weissen Rauschens ist Null. Der quadratische Mittelwert des Ausgangsprozesses ist $$\mathcal{E}\{g^2(t)\} = \overline{g^2(t)} = \varphi_{gg}(\tau = 0) => \text{ da } \varphi_{gg}(\tau = 0) = \overline{g(t)\cdot g(t + (\tau = 0))} = \overline{g^2(t)}$$ $$\overline{g^2(t)} = 2 N_0 \cdot \Delta f\operatorname{si}(0) \cdot \cos{(0)} = 2N_0 \Delta f$$ Sowie die Streuung $$\sigma^2 = \overline{g^2(t)} - \left({\overline{g(t)}}\right)^2$$ $$\sigma^2 = 2 N_0 \cdot \Delta f - 0 = 2 N_0 \cdot \Delta f$$ Bei der Aufgabe 4) weiss ich nicht wie ich die Korrelationen aus Eingangssignal, BP-Filter und Ausgangsprozess bestimmen soll. Geht das vielleicht abwechselnd. Also mal Eingangssignal mit Ausgangssignal und dann mal Eingangssignal mit dem BP-Filter und das selbe dann für den BP-Filter mit $H(f)$ mit dem Ausgang? Man musste glaube ich nicht alle Korrelationen dann nochmal wiederholen, wenn ich z.B. $\varphi_{sh} \text{ und } \varphi_{sg}$ berechnet habe, brauche ich die Korrelation h mit dem Eingang dann nicht mehr machen oder? Also so wie $\varphi_{hs}$. Dann müsste man nur die drei mit dem Eingangssignal durchführen und zum Ende hin dann nur noch die Korrelation h mit dem Ausgang g. Wie korreliere ich denn etwas mit dem System?


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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-04

Hallo Sinnfrei, ja, die Formel für das Leistungsdichtespektrum habe ich gemeint. Wie habt ihr $N_0$ definiert? Ist es die zweiseitige Leistungsdichte wie in Deiner Rechnung oder die einseitige Leistungsdichte, wie in jeder mir bekannten Quelle? Die Autokorrelationsfunktion $\phi_{gg}$ ist eine amplitudenmodulierte Schwingung mit der Frequenz $f_0$. Wenn Du diese Funktion skizzierst, sollte klar werden, dass die si-Funktion die Einhüllende des Graphen ist. Deine Frage \quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Ich kann es mir momentan nur so vorstellen, dass die si Funktion irgendwie in einen rect des BP-Filters passen soll. \quoteoff verstehe ich nicht: die si-Funktion lebt im Zeitbereich, die rect-Funktion im Frequenzbereich. \quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) An der Stelle $H(f = 0) = 0$, da dort sonst kein anderer Wert feststellbar ist. \quoteoff Was meinst Du damit? Die Übertragungsfunktion hat an der Stelle $f=0$ den Wert $H(0)=0$. Ich bin mir bei solchen Formulierungen von Deiner Seite nie sicher, ob sich dahinter nicht eine problematische Fehlvorstellung verbirgt. Die Ergebnisse für Mittelwert und Varianz sind richtig. Habt ihr letztere wirklich mit Streuung bezeichnet? \quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Bei der Aufgabe 4) weiss ich nicht wie ich die Korrelationen aus Eingangssignal, BP-Filter und Ausgangsprozess bestimmen soll. Geht das vielleicht abwechselnd. Also mal Eingangssignal mit Ausgangssignal und dann mal Eingangssignal mit dem BP-Filter und das selbe dann für den BP-Filter mit $H(f)$ mit dem Ausgang? Man musste glaube ich nicht alle Korrelationen dann nochmal wiederholen, wenn ich z.B. $\varphi_{sh} \text{ und } \varphi_{sg}$ berechnet habe, brauche ich die Korrelation h mit dem Eingang dann nicht mehr machen oder? Also so wie $\varphi_{hs}$. Dann müsste man nur die drei mit dem Eingangssignal durchführen und zum Ende hin dann nur noch die Korrelation h mit dem Ausgang g. Wie korreliere ich denn etwas mit dem System? \quoteoff Das Ausgangssignal $g$ des Filters kannst Du ja durch Faltung des Eingangssignal mit der Impulsantwort des Filters bestimmen, damit kannst Du die gesuchte Kreuzkorrelation berechnen. Du korrelierst also nicht direkt mit dem System bzw. dessen Impulsantwort. Vielleicht habt ihr Formeln dazu besprochen? Servus, Roland


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-04

\quoteon(2022-03-04 08:28 - rlk in Beitrag No. 5) Hallo Sinnfrei, ja, die Formel für das Leistungsdichtespektrum habe ich gemeint. Wie habt ihr $N_0$ definiert? Ist es die zweiseitige Leistungsdichte wie in Deiner Rechnung oder die einseitige Leistungsdichte, wie in jeder mir bekannten Quelle? \quoteoff Also ich kann mich nicht erinnern, dass wir definiert hatten, ob $N_0$ die zweiseitige oder die einseitige Leistungsdichte ist. Wenn es in der Berechnung die zweiseitige Leistungsdichte gemeint ist, dann wird es die wohl sein, weil wir so auch eine andere Aufgabe gerechnet hatten, die vom Typ her ähnlich war. Da wir als Literatur-Quellen, das Buch Signalübertragung von Ohm/Lüke verwenden können und die Veranstaltung quasi darauf aufbaut, wird dazu folgendes zitiert: "In vielen Veröffentlichungen geht man bei reellwertigen Signalen von einem einseitig, d.h. nur für $f \geq 0$ definierten Leistungsdichtespektrum aus, und berechnet dann die Leistung durch spektrale Integration im Bereich $0 \leq f \leq \infty$. Die so festgelegte Leistungsdichte $N_0$ des weißen Rauschens muss dann im Vergleich zu $\phi_{ss}(f) = N_0$ den doppelten Zahlenwert besitzen. Dies hat u.a. Auswirkungen auf die später verwendeten Parametrierungen von Bitfehlerberechnungen auf der Basis des $E_s/N_0$-Verhältnisses, bei denen dann ggf. ein zusätzlicher Faktor 2 berücksichtigt werden muss." \quoteon Die Autokorrelationsfunktion $\phi_{gg}$ ist eine amplitudenmodulierte Schwingung mit der Frequenz $f_0$. Wenn Du diese Funktion skizzierst, sollte klar werden, dass die si-Funktion die Einhüllende des Graphen ist. Deine Frage \quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Ich kann es mir momentan nur so vorstellen, dass die si Funktion irgendwie in einen rect des BP-Filters passen soll. \quoteoff verstehe ich nicht: die si-Funktion lebt im Zeitbereich, die rect-Funktion im Frequenzbereich. \quoteoff Verstehe, dass heißt dann, dass die $\operatorname{si}$ Funktion so gesehen zweimal existiert, worin sich dann die $\cos$ Funktion befindet. Die zweite Einhüllende $\operatorname{si}$ wäre dann glaube ich gespiegelt , sodass beide, wie der Name schon sagt, den $\cos$ einhüllen. Was man aber nur sieht, wäre der Träger und die Einhüllende wäre dann ausgeblendet und man könnte Sie entlang der Berge und Täler vermuten. \quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon An der Stelle $H(f = 0) = 0$, da dort sonst kein anderer Wert feststellbar ist. \quoteoff Was meinst Du damit? Die Übertragungsfunktion hat an der Stelle $f=0$ den Wert $H(0)=0$. Ich bin mir bei solchen Formulierungen von Deiner Seite nie sicher, ob sich dahinter nicht eine problematische Fehlvorstellung verbirgt. \quoteoff Das war nur eine Feststellung, da aus dem Diagramm für die Übertragungsfunktion hervorgeht, dass an der Stelle $f=0$ für $H(f)$ kein Wert existiert der von null verschieden ist. Das liegt ja daran, dass keins der BP-Filter auf dem Nullpunkt im Diagramm steht - Das eine ist weiter links, dass andere weiter rechts. \quoteon Die Ergebnisse für Mittelwert und Varianz sind richtig. Habt ihr letztere wirklich mit Streuung bezeichnet? \quoteoff Ja genau. So hatten wir es auch für eine ähnliche Aufgabe, die Streuung berechnet. \quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Bei der Aufgabe 4) weiss ich nicht wie ich die Korrelationen aus Eingangssignal, BP-Filter und Ausgangsprozess bestimmen soll. Geht das vielleicht abwechselnd. Also mal Eingangssignal mit Ausgangssignal und dann mal Eingangssignal mit dem BP-Filter und das selbe dann für den BP-Filter mit $H(f)$ mit dem Ausgang? Man musste glaube ich nicht alle Korrelationen dann nochmal wiederholen, wenn ich z.B. $\varphi_{sh} \text{ und } \varphi_{sg}$ berechnet habe, brauche ich die Korrelation h mit dem Eingang dann nicht mehr machen oder? Also so wie $\varphi_{hs}$. Dann müsste man nur die drei mit dem Eingangssignal durchführen und zum Ende hin dann nur noch die Korrelation h mit dem Ausgang g. Wie korreliere ich denn etwas mit dem System? Das Ausgangssignal $g$ des Filters kannst Du ja durch Faltung des Eingangssignal mit der Impulsantwort des Filters bestimmen, damit kannst Du die gesuchte Kreuzkorrelation berechnen. Du korrelierst also nicht direkt mit dem System bzw. dessen Impulsantwort. \quoteoff Also ist es dann das selbe, wie wenn in der Aufgabe stehen würde, welche Kreuzkorrelation zwischen dem Weißen Rauschen am Eingang und dem Ausgangsprozess $g(t)$ besteht? Wie $$g(t) = n(t) \star h(t)$$ Und anschließend muss dann $$\varphi_{ng}(t) = n(-t) \star g(t)$$ Nach Einsetzen von $g(t)$ komm ich dann auf $$\varphi_{ng}(t) = n(-t) \star (n(t) \star h(t))$$ und auf $$\varphi_{ng}(t) = \underbrace{n(-t)\star n(t)}_{\varphi_{nn}(t)} \star h(t)$$ Dazu muss man $H(f)$ in den Zeitbereich Fourier-Rücktransformieren $$\mathcal{F^{-1}}\{H(f)\} = h(t) = \Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t) e^{j2\pi f_0 t} + \Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t)e^{-j2\pi f_0 t}$$ Nach ausklammern, der $\Delta f \operatorname{si}$ Terme komme ich auf $$h(t) = 2 \Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t) \cos{(2\pi f_0 t)}$$ Für die KKF erhalte ich dann $$\varphi_{ng}(t) = \varphi_{nn}(t) \star h(t)$$ $$= N_0 \delta(t) \star 2 \Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t) \cos{(2\pi f_0 t)}$$ gefaltet fällt der Dirac nur weg und wird dann zu einer Konstanten 1 weil die t's in den Argumenten mit $-0$ verschoben würden, lässt man die ja weg. Dann ist die KKF, wie folgt $$\varphi_{ng}(t) = 2 N_0\Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t) \cos{(2\pi f_0 t)}$$ Wie gehe ich bei der 5) vor?


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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-13

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-03-04 08:28 - rlk in Beitrag No. 5) Wie habt ihr $N_0$ definiert? Ist es die zweiseitige Leistungsdichte wie in Deiner Rechnung oder die einseitige Leistungsdichte, wie in jeder mir bekannten Quelle? \quoteoff Also ich kann mich nicht erinnern, dass wir definiert hatten, ob $N_0$ die zweiseitige oder die einseitige Leistungsdichte ist. Wenn es in der Berechnung die zweiseitige Leistungsdichte gemeint ist, dann wird es die wohl sein, weil wir so auch eine andere Aufgabe gerechnet hatten, die vom Typ her ähnlich war. Da wir als Literatur-Quellen, das Buch Signalübertragung von Ohm/Lüke verwenden können und die Veranstaltung quasi darauf aufbaut, wird dazu folgendes zitiert: "In vielen Veröffentlichungen geht man bei reellwertigen Signalen von einem einseitig, d.h. nur für $f \geq 0$ definierten Leistungsdichtespektrum aus, und berechnet dann die Leistung durch spektrale Integration im Bereich $0 \leq f \leq \infty$. Die so festgelegte Leistungsdichte $N_0$ des weißen Rauschens muss dann im Vergleich zu $\phi_{ss}(f) = N_0$ den doppelten Zahlenwert besitzen. Dies hat u.a. Auswirkungen auf die später verwendeten Parametrierungen von Bitfehlerberechnungen auf der Basis des $E_s/N_0$-Verhältnisses, bei denen dann ggf. ein zusätzlicher Faktor 2 berücksichtigt werden muss." \quoteoff Das ist schade. Ich habe schon einige Empfehlungen zum Buch von Lüke gehört, es aber noch nie angesehen. Zumindest mir passieren ab und zu Rechenfehler, die das Ergebnis um einen Faktor 2 verfälschen. Eine weitere Unsicherheit in der Definition der Rauschleistungsdichte ist dann sehr störend. \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Verstehe, dass heißt dann, dass die $\operatorname{si}$ Funktion so gesehen zweimal existiert, worin sich dann die $\cos$ Funktion befindet. Die zweite Einhüllende $\operatorname{si}$ wäre dann glaube ich gespiegelt , sodass beide, wie der Name schon sagt, den $\cos$ einhüllen. Was man aber nur sieht, wäre der Träger und die Einhüllende wäre dann ausgeblendet und man könnte Sie entlang der Berge und Täler vermuten. \quoteoff Du meinst wohl das richtige, verwendest aber die Bezeichnung "Träger" falsch. Der Träger $\cos(2\pi f_0 t)$ erfüllt die Ungleichungen \[ -1 \leq \cos(2\pi f_0 t) \leq 1. \] Für ein mit $f(t)$ amplitudenmoduliertes Signal folgt daraus \[ -|f(t)| \leq f(t) \cos(2\pi f_0 t) \leq |f(t)|. \] \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon An der Stelle $H(f = 0) = 0$, da dort sonst kein anderer Wert feststellbar ist. \quoteoff Was meinst Du damit? Die Übertragungsfunktion hat an der Stelle $f=0$ den Wert $H(0)=0$. Ich bin mir bei solchen Formulierungen von Deiner Seite nie sicher, ob sich dahinter nicht eine problematische Fehlvorstellung verbirgt. \quoteoff Das war nur eine Feststellung, da aus dem Diagramm für die Übertragungsfunktion hervorgeht, dass an der Stelle $f=0$ für $H(f)$ kein Wert existiert der von null verschieden ist. Das liegt ja daran, dass keins der BP-Filter auf dem Nullpunkt im Diagramm steht - Das eine ist weiter links, dass andere weiter rechts. \quoteoff Die Übertragungsfunktion hat wie jede Funktion für jedes Argument im Definitionsbereich einen Wert, hier $H(0)=0$. Auf diesen Wert kommt es an, daher verstehe ich nicht, warum Du Dir über andere Werte Gedanken machst. Was Du als Bandpassfilter bezeichnest, sind die Durchlassbereiche des Filters. \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon Die Ergebnisse für Mittelwert und Varianz sind richtig. Habt ihr letztere wirklich mit Streuung bezeichnet? \quoteoff Ja genau. So hatten wir es auch für eine ähnliche Aufgabe, die Streuung berechnet. \quoteoff Die üblichen Bezeichnungen für $\sigma^2$ ist Varianz und zentrales zweites Moment. Es ist eines von vielen Streuungsmaßen. Aber wenn ihr es Streung genannt habt, ist die Antwort richtig. \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Bei der Aufgabe 4) weiss ich nicht wie ich die Korrelationen aus Eingangssignal, BP-Filter und Ausgangsprozess bestimmen soll. \quoteoff Also ist es dann das selbe, wie wenn in der Aufgabe stehen würde, welche Kreuzkorrelation zwischen dem Weißen Rauschen am Eingang und dem Ausgangsprozess $g(t)$ besteht? \quoteoff Nicht ganz. Hier noch einmal die Frage: \quoteon(2022-02-22 03:17 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Welche Kreuzkorrelation besteht zwischen dem vollständigen Eingangssignal $s(t)$ des Bandpasses und dem Ausgangsprozess $g(t)$? (Berechnung erforderlich) \quoteoff Es geht um die Kreuzkorrelation $\varphi_{sg}(t)=\varphi_{(n+a_0)g}(t)=\varphi_{ng}(t)+\varphi_{a_0g}(t)$. Du musst begründen, dass der zweite Summand den Wert Null hat. \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Wie $$g(t) = n(t) \star h(t)$$ Und anschließend muss dann $$\varphi_{ng}(t) = n(-t) \star g(t)$$ Nach Einsetzen von $g(t)$ komm ich dann auf $$\varphi_{ng}(t) = n(-t) \star (s(t) \star h(t))$$ \quoteoff Hier muss $n$ statt $s$ stehen. Der Rest der Rechnung ist richtig. \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Wie gehe ich bei der 5) vor? \quoteoff Welche Gleichung für die Autokorrelationsfunktion ist mit der angegebenen gemeint? Servus, Roland


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-14

\quoteon(2022-03-13 14:44 - rlk in Beitrag No. 7) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-03-04 08:28 - rlk in Beitrag No. 5) Wie habt ihr $N_0$ definiert? Ist es die zweiseitige Leistungsdichte wie in Deiner Rechnung oder die einseitige Leistungsdichte, wie in jeder mir bekannten Quelle? \quoteoff Also ich kann mich nicht erinnern, dass wir definiert hatten, ob $N_0$ die zweiseitige oder die einseitige Leistungsdichte ist. Wenn es in der Berechnung die zweiseitige Leistungsdichte gemeint ist, dann wird es die wohl sein, weil wir so auch eine andere Aufgabe gerechnet hatten, die vom Typ her ähnlich war. Da wir als Literatur-Quellen, das Buch Signalübertragung von Ohm/Lüke verwenden können und die Veranstaltung quasi darauf aufbaut, wird dazu folgendes zitiert: "In vielen Veröffentlichungen geht man bei reellwertigen Signalen von einem einseitig, d.h. nur für $f \geq 0$ definierten Leistungsdichtespektrum aus, und berechnet dann die Leistung durch spektrale Integration im Bereich $0 \leq f \leq \infty$. Die so festgelegte Leistungsdichte $N_0$ des weißen Rauschens muss dann im Vergleich zu $\phi_{ss}(f) = N_0$ den doppelten Zahlenwert besitzen. Dies hat u.a. Auswirkungen auf die später verwendeten Parametrierungen von Bitfehlerberechnungen auf der Basis des $E_s/N_0$-Verhältnisses, bei denen dann ggf. ein zusätzlicher Faktor 2 berücksichtigt werden muss." \quoteoff Das ist schade. Ich habe schon einige Empfehlungen zum Buch von Lüke gehört, es aber noch nie angesehen. Zumindest mir passieren ab und zu Rechenfehler, die das Ergebnis um einen Faktor 2 verfälschen. Eine weitere Unsicherheit in der Definition der Rauschleistungsdichte ist dann sehr störend. \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Verstehe, dass heißt dann, dass die $\operatorname{si}$ Funktion so gesehen zweimal existiert, worin sich dann die $\cos$ Funktion befindet. Die zweite Einhüllende $\operatorname{si}$ wäre dann glaube ich gespiegelt , sodass beide, wie der Name schon sagt, den $\cos$ einhüllen. Was man aber nur sieht, wäre der Träger und die Einhüllende wäre dann ausgeblendet und man könnte Sie entlang der Berge und Täler vermuten. \quoteoff Du meinst wohl das richtige, verwendest aber die Bezeichnung "Träger" falsch. Der Träger $\cos(2\pi f_0 t)$ erfüllt die Ungleichungen \[ -1 \leq \cos(2\pi f_0 t) \leq 1. \] Für ein mit $f(t)$ amplitudenmoduliertes Signal folgt daraus \[ -|f(t)| \leq f(t) \cos(2\pi f_0 t) \leq |f(t)|. \] \quoteoff Also meinst du damit, dass $f(t)$ die einhüllende und zugleich der Faktor ist, der das Signal des $\cos$ in der Amplitude moduliert oder verändert und sich die Amplitudenwerte dann an den Faktor, vom Betrag des $f(t)$ orientieren oder? \quoteon(2022-03-13 14:44 - rlk in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Bei der Aufgabe 4) weiss ich nicht wie ich die Korrelationen aus Eingangssignal, BP-Filter und Ausgangsprozess bestimmen soll. \quoteoff Also ist es dann das selbe, wie wenn in der Aufgabe stehen würde, welche Kreuzkorrelation zwischen dem Weißen Rauschen am Eingang und dem Ausgangsprozess $g(t)$ besteht? \quoteoff Nicht ganz. Hier noch einmal die Frage: \quoteon(2022-02-22 03:17 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Welche Kreuzkorrelation besteht zwischen dem vollständigen Eingangssignal $s(t)$ des Bandpasses und dem Ausgangsprozess $g(t)$? (Berechnung erforderlich) \quoteoff Es geht um die Kreuzkorrelation $\varphi_{sg}(t)=\varphi_{(n+a_0)g}(t)=\varphi_{ng}(t)+\varphi_{a_0g}(t)$. Du musst begründen, dass der zweite Summand den Wert Null hat. \quoteoff $a_0$ war ja das Gleichsignal der die Frequenz $0$ hat. Der BP-Filter würde keine Anteile mit Frequenz $0$ durchlassen aber wie man das jetzt mathematisch zeigt oder das so versteht, dass die KKF von $n(t)$ und $g(t)$ $0$ weiss ich jetzt nicht. Orthogonal sind die beiden anscheinend nicht aber das Argument der KKF wäre auch glaube ich $0$, da die beiden Signale nicht voneinander entfernt sind. Das eine ist ja ein Gleichsignal, was zu jedem Zeitpunkt anliegt einen konstanten Wert an und $g(t)$ wäre eine Funktion, die ja von $s(t)$ abhängt. Ich hatte da was von der linearen Abhängigkeit der Amplitudenwerte, im Buch gelesen, dass war aber für Energiesignale, also $p^E_{sg} = p^E_{gs} = 0$ und das die Signale dadurch orthogonal sind aber ein Gleichsignal geht ja nie durch den Nullpunkt oder, ausser das Gleichsignal wäre bereits $0$. Das Ausgangssignal wäre abhängig vom Eingangssignal, welches das weiße Rauschen ist, da bin ich mir aber unsicher. Die KKF ist ja ein Maß für die Ähnlichkeit aber was sagt denn jetzt die lineare Abhängigkeit der Amplitudenwerte damit aus, dass die lineare Abhängigkeit der Amplitudenwerte von $g(t)$ vom weißen Rauschen am Eingang $n(t)$ abhängt und $a_0$ nicht, weil es durch den BP-Filter nicht durchgelassen wird? Dann gibt es ja noch das Korrelationsintegral, wenn die Signale $a_0$ und $g(t)$ im Integral zu Null werden, würden sich die Flächen der Graphen zu Null werden. Eigentlich wäre das auch der Punkt, von dem ich eher ausgehe, dass sich die Flächen im Intervall wegheben, nur weiss ich nicht warum. Das eine ist ein konstantes Signal ($a_0$) und das andere hängt vom weißen Rauschen $n(t)$ ab. \quoteoff \quoteon \quoteon(2022-03-13 14:44 - rlk in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Wie $$g(t) = n(t) \star h(t)$$ Und anschließend muss dann $$\varphi_{ng}(t) = n(-t) \star g(t)$$ Nach Einsetzen von $g(t)$ komm ich dann auf $$\varphi_{ng}(t) = n(-t) \star (s(t) \star h(t))$$ \quoteoff Hier muss $n$ statt $s$ stehen. Der Rest der Rechnung ist richtig. \quoteoff Geändert \quoteon(2022-03-13 14:44 - rlk in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Wie gehe ich bei der 5) vor? \quoteoff Welche Gleichung für die Autokorrelationsfunktion ist mit der angegebenen gemeint? \quoteoff $\varphi_{nn}(\tau) = N_0 \cdot \delta(\tau)$


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Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-14 00:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-03-13 14:44 - rlk in Beitrag No. 7) Der Träger $\cos(2\pi f_0 t)$ erfüllt die Ungleichungen \[ -1 \leq \cos(2\pi f_0 t) \leq 1. \] Für ein mit $f(t)$ amplitudenmoduliertes Signal folgt daraus \[ -|f(t)| \leq f(t) \cos(2\pi f_0 t) \leq |f(t)|. \] \quoteoff Also meinst du damit, dass $f(t)$ die einhüllende und zugleich der Faktor ist, der das Signal des $\cos$ in der Amplitude moduliert oder verändert und sich die Amplitudenwerte dann an den Faktor, vom Betrag des $f(t)$ orientieren oder? \quoteoff Genau. \quoteon(2022-03-14 00:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-03-13 14:44 - rlk in Beitrag No. 7) Es geht um die Kreuzkorrelation $\varphi_{sg}(t)=\varphi_{(n+a_0)g}(t)=\varphi_{ng}(t)+\varphi_{a_0g}(t)$. Du musst begründen, dass der zweite Summand den Wert Null hat. \quoteoff $a_0$ war ja das Gleichsignal der die Frequenz $0$ hat. Der BP-Filter würde keine Anteile mit Frequenz $0$ durchlassen aber wie man das jetzt mathematisch zeigt oder das so versteht, dass die KKF von $n(t)$ und $g(t)$ $0$ weiss ich jetzt nicht. \quoteoff Weil das Bandpassfilter keine Gleichsignale durchlässt, ist das Ausgangssignal von der Eingangsgleichspannung $a_0$ unabhängig. Warum rechnest Du die Korrelationsfunktion nicht einfach aus? \[ \varphi_{a_0g}(t) = \mathcal{E}(a_0 g) = a_0 \mathcal{E}(g) = 0 \] weil der Gleichanteil (=Erwartungswert) von $g$ den Wert 0 hat. \quoteon(2022-03-14 00:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Orthogonal sind die beiden anscheinend nicht aber das Argument der KKF wäre auch glaube ich $0$, da die beiden Signale nicht voneinander entfernt sind. \quoteoff Was meinst Du mit orthogonal? Das Argument der KKF ist eine reelle Zahl, die Du wählen kannst, wieso sollte es den Wert 0 haben? \quoteon(2022-03-14 00:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Das eine ist ja ein Gleichsignal, was zu jedem Zeitpunkt anliegt einen konstanten Wert an und $g(t)$ wäre eine Funktion, die ja von $s(t)$ abhängt. Ich hatte da was von der linearen Abhängigkeit der Amplitudenwerte, im Buch gelesen, dass war aber für Energiesignale, also $p^E_{sg} = p^E_{gs} = 0$ und das die Signale dadurch orthogonal sind aber ein Gleichsignal geht ja nie durch den Nullpunkt oder, ausser das Gleichsignal wäre bereits $0$. \quoteoff Was meinst Du mit $p^E_{sg}$? Wie Du siehst, reicht es, dass das Signal $g$ mittelwertfrei ist, was bedeutet, das es durch die Nulllinie, aber nicht unbedingt durch den Nullpunkt geht. \quoteon(2022-03-14 00:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Das Ausgangssignal wäre abhängig vom Eingangssignal, welches das weiße Rauschen ist, da bin ich mir aber unsicher. Die KKF ist ja ein Maß für die Ähnlichkeit aber was sagt denn jetzt die lineare Abhängigkeit der Amplitudenwerte damit aus, dass die lineare Abhängigkeit der Amplitudenwerte von $g(t)$ vom weißen Rauschen am Eingang $n(t)$ abhängt und $a_0$ nicht, weil es durch den BP-Filter nicht durchgelassen wird? \quoteoff Genau, die Kreuzkorrelation $\varphi_{a_0g}(t)$ liefert ja Informationen zu dem Zusammenhang zwischen den Signale $a_0$ und $g$. \quoteon(2022-03-14 00:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Dann gibt es ja noch das Korrelationsintegral, wenn die Signale $a_0$ und $g(t)$ im Integral zu Null werden, würden sich die Flächen der Graphen zu Null werden. Eigentlich wäre das auch der Punkt, von dem ich eher ausgehe, dass sich die Flächen im Intervall wegheben, nur weiss ich nicht warum. Das eine ist ein konstantes Signal ($a_0$) und das andere hängt vom weißen Rauschen $n(t)$ ab. \quoteoff Der entscheidende Punkt ist, dass der Mittelwert von $g$ verschwindet. \quoteon(2022-03-14 00:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-03-13 14:44 - rlk in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Wie gehe ich bei der 5) vor? \quoteoff Welche Gleichung für die Autokorrelationsfunktion ist mit der angegebenen gemeint? \quoteoff $\varphi_{nn}(\tau) = N_0 \cdot \delta(\tau)$ \quoteoff Hast Du schon versucht, die Autokorrelationsfunktion $\varphi_{gg}(t_1,t_2)$ zu berechnen? Servus, Roland


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\quoteon(2022-03-29 23:41 - rlk in Beitrag No. 9) Weil das Bandpassfilter keine Gleichsignale durchlässt, ist das Ausgangssignal von der Eingangsgleichspannung $a_0$ unabhängig. Warum rechnest Du die Korrelationsfunktion nicht einfach aus? \[ \varphi_{a_0g}(t) = \mathcal{E}(a_0 g) = a_0 \mathcal{E}(g) = 0 \] weil der Gleichanteil (=Erwartungswert) von $g$ den Wert 0 hat. \quoteoff Woher kommt das $$\mathcal{E}\{g(t)\} = 0$$ ist? In meinem Skript, sowie im Buch finde ich nichts dazu. \quoteon(2022-03-14 00:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Orthogonal sind die beiden anscheinend nicht aber das Argument der KKF wäre auch glaube ich $0$, da die beiden Signale nicht voneinander entfernt sind. \quoteoff \quoteon(2022-03-29 23:41 - rlk in Beitrag No. 9) Was meinst Du mit orthogonal? Das Argument der KKF ist eine reelle Zahl, die Du wählen kannst, wieso sollte es den Wert 0 haben? \quoteoff Ich bin die Möglichkeiten durchgegangen weil mir nicht klar ist, warum der Term $0$ ist. Dabei bin ich auf die Orthogonalität zweier Signale eingegangen aber das hat ja nichts damit zu tun. \quoteon(2022-03-29 23:41 - rlk in Beitrag No. 9) Was meinst Du mit $p^E_{sg}$? Wie Du siehst, reicht es, dass das Signal $g$ mittelwertfrei ist, was bedeutet, das es durch die Nulllinie, aber nicht unbedingt durch den Nullpunkt geht. \quoteoff Mit $p^E_{sg}$ meinte ich die Impulskorrelationsfunktion aber die war ja damit nicht gemeint. Ich bin die ganzen Möglichkeiten durchgegangen. \quoteon(2022-03-29 23:41 - rlk in Beitrag No. 9) Hast Du schon versucht, die Autokorrelationsfunktion $\varphi_{gg}(t_1,t_2)$ zu berechnen? \quoteoff Nein, weiss nicht wie ich da heran gehen soll.


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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-03-30

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-30 03:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-03-29 23:41 - rlk in Beitrag No. 9) Weil das Bandpassfilter keine Gleichsignale durchlässt, ist das Ausgangssignal von der Eingangsgleichspannung $a_0$ unabhängig. Warum rechnest Du die Korrelationsfunktion nicht einfach aus? \[ \varphi_{a_0g}(t) = \mathcal{E}(a_0 g) = a_0 \mathcal{E}(g) = 0 \] weil der Gleichanteil (=Erwartungswert) von $g$ den Wert 0 hat. \quoteoff Woher kommt das $$\mathcal{E}\{g(t)\} = 0$$ ist? In meinem Skript, sowie im Buch finde ich nichts dazu. \quoteoff Du hast es doch schon selbst ausgerechnet. \quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Zu 3) Da das weiße Rauschen ergodisch ist, ist somit $$\mathcal{E}\{g(t)\} = \overline{g(t)} = \overline{n(t)} \cdot H(0)$$ An der Stelle $H(f = 0) = 0$, da dort sonst kein anderer Wert feststellbar ist. Die zeitliche Mittelung des weissen Rauschens ist Null. \quoteoff Die Autokorrelationsfunktion des anderen Signals, das ich jetzt $k$ nenne, um Verwechslungen mit dem gefilterten Rauschen zu vermeiden berechnest Du mit Hilfe der Definition: \[ \varphi_{kk}(t_1,t_2) = \mathcal{E}\left(k(t_1)k(t_2)\right) = \mathcal{E}\left(n(t_1)\cos(2\pi f_0 t_1) n(t_2)\cos(2\pi f_0 t_2) \right) \] Überlege, welche der beteiligten Signale stochastische Prozesse sind und nutze diese Information, um den Erwartungswert zu vereinfachen. Servus, Roland


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-01

\quoteon(2022-03-30 14:11 - rlk in Beitrag No. 11) Die Autokorrelationsfunktion des anderen Signals, das ich jetzt $k$ nenne, um Verwechslungen mit dem gefilterten Rauschen zu vermeiden berechnest Du mit Hilfe der Definition: \[ \varphi_{kk}(t_1,t_2) = \mathcal{E}\left(k(t_1)k(t_2)\right) = \mathcal{E}\left(n(t_1)\cos(2\pi f_0 t_1) n(t_2)\cos(2\pi f_0 t_2) \right) \] Überlege, welche der beteiligten Signale stochastische Prozesse sind und nutze diese Information, um den Erwartungswert zu vereinfachen. \quoteoff Das weiße Rauschen $n(t)$ wäre ja ein stochastischer Prozess aber wie vereinfache ich das, kann ich die beiden $\cos$ Terme vor den Erwartungswert schreiben, wie $$\cos(2\pi f_0 t_1)\cdot \cos(2\pi f_0 t_2)\mathcal{E}\{n(t_1)\cdot n(t_2)\}$$ Welche Regel kommt denn hier zum Einsatz?


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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-04-01

Hallo Sinnfrei, ja, so habe ich es gemeint. Hier wird die Linearität des Erwartungswerts verwendet. Das Produkt der Kosinusterme kannst Du umformen, den verbleibenden Erwartungswert kennst Du. Damit kannst Du die Frage nach der Stationarität beantworten. Servus, Roland


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-02

Ich glaube nicht, dass das Additionstheorem angewandt auf den Vorfaktor des Erwartungswerts etwas vereinfacht oder ob das so gemeint ist aber ich komme mit $$\varphi_{nn}(t_1,t_2) = \mathcal{E}\{n(t_1)\cdot n(t_2)\}$$ auf $$\varphi_{gg}(t_1,t_2) = {1\over 2}\left[\cos(2\pi f_0 (t_1+t_2)) + \cos(2\pi f_0(t_1-t_2))\right]\varphi_{nn}(t_1,t_2)$$ Daraus erkenne ich aber immer noch nicht, ob's jetzt stationär ist. Stationarität sagt doch aus, dass zu jedem Beobachtungszeitpunkt, der Wert konstant sein muss oder? Woran erkenne ich das denn hieraus? Wie ist denn die Zeile $$\mathcal{E}\{g(t)\cdot g(t+\tau)\} = \varphi_{gg}(t_1,t_2) \neq \varphi_{gg}(\tau)$$ gemeint? Eigentlich ist doch $$\varphi_{gg}(\tau) = \mathcal{E}\{g(t)\cdot g(t+\tau)\}$$


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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-04-02

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-02 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) Ich glaube nicht, dass das Additionstheorem angewandt auf den Vorfaktor des Erwartungswerts etwas vereinfacht oder ob das so gemeint ist aber ich komme mit $$\varphi_{nn}(t_1,t_2) = \mathcal{E}\{n(t_1)\cdot n(t_2)\}\qquad (14.1)$$ auf $$\varphi_{gg}(t_1,t_2) = {1\over 2}\left[\cos(2\pi f_0 (t_1+t_2)) + \cos(2\pi f_0(t_1-t_2))\right]\varphi_{nn}(t_1,t_2)$$ Daraus erkenne ich aber immer noch nicht, ob's jetzt stationär ist. \quoteoff Du kannst noch die bekannte Autokorrelationsfunktion $\varphi_{nn}(t_1,t_2)=N_0 \delta(t_1 - t_2)$ einsetzen. \quoteon(2022-04-02 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) Stationarität sagt doch aus, dass zu jedem Beobachtungszeitpunkt, der Wert konstant sein muss oder? \quoteoff Nein das gilt nur für den Erwartungswert, der bei einem stationären Prozess nicht von der Zeit abhängt. Fällt Dir nicht auf, dass in Deiner Frage weder "Wert" noch "Beobachtungszeitpunkt" definierte Größen sind? \quoteon(2022-04-02 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) Woran erkenne ich das denn hieraus? Wie ist denn die Zeile $$\mathcal{E}\{g(t)\cdot g(t+\tau)\} = \varphi_{gg}(t_1,t_2) \neq \varphi_{gg}(\tau)$$ gemeint? \quoteoff Das ist eine Erinnerung an die Definition der Stationarität der Korrelationsfunktion: bei stationären Prozessen hängt die Korrelationsfunktion $\varphi_{gg}(t_1,t_2)$ nur von der Differenz $t_1-t_2$ ab. Ist das für die Funktion in $(14.1)$ der Fall? Was schließt Du daraus? Servus, Roland


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-03

\quoteon(2022-04-02 13:41 - rlk in Beitrag No. 15) Du kannst noch die bekannte Autokorrelationsfunktion $\varphi_{nn}(t_1,t_2)=N_0 \delta(t_1 - t_2)$ einsetzen. \quoteoff Wie bist du darauf gekommen, dass $$\varphi_{nn}(t_1,t_2) = \mathcal{E}\{n(t_1)\cdot n(t_2)\} \overbrace{=}^{?} N_0\delta(t_1-t_2) \quad (14.1)$$ ist? Den Schritt mit dem Fragezeichen verstehe ich nicht. Wäre es denn dasselbe wie $\varphi_{ss}(\tau) = N_0\delta(\tau)$ mit $\tau = t_1 - t_2$? \quoteon(2022-04-02 13:41 - rlk in Beitrag No. 15) \quoteon(2022-04-02 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) Stationarität sagt doch aus, dass zu jedem Beobachtungszeitpunkt, der Wert konstant sein muss oder? \quoteoff Nein das gilt nur für den Erwartungswert, der bei einem stationären Prozess nicht von der Zeit abhängt. Fällt Dir nicht auf, dass in Deiner Frage weder "Wert" noch "Beobachtungszeitpunkt" definierte Größen sind? \quoteoff Das habe ich an der Stelle mit der AKF durcheinander gebracht. Hast Recht. \quoteon(2022-04-02 13:41 - rlk in Beitrag No. 15) \quoteon(2022-04-02 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) Woran erkenne ich das denn hieraus? Wie ist denn die Zeile $$\mathcal{E}\{g(t)\cdot g(t+\tau)\} = \varphi_{gg}(t_1,t_2) \neq \varphi_{gg}(\tau)$$ gemeint? \quoteoff Das ist eine Erinnerung an die Definition der Stationarität der Korrelationsfunktion: bei stationären Prozessen hängt die Korrelationsfunktion $\varphi_{gg}(t_1,t_2)$ nur von der Differenz $t_1-t_2$ ab. Ist das für die Funktion in $(14.1)$ der Fall? Was schließt Du daraus? \quoteoff Das da dieses Ungleichheitszeichen steht, verwirrt mich an der Stelle. Müsste es nicht heißen $$\varphi_{gg}(\tau) = \mathcal{E}\{g(t)\cdot g(t+\tau)\} \neq \varphi_{gg}(t,\tau)$$ weil $$\varphi_{gg}(t,\tau) = \mathcal{E}\{g(t)\cdot g(\tau)\}$$ Und zu deiner Frage Im Buch wird es so erklärt, dass der Prozess stationär ist, wenn die AKF nur noch von der Differenz $\tau = t_2 - t_1$ abhängt und dessen Mittelwert zeitunabhängig ist. Bei der Differenz würde ich schon vermuten, dass es stationär sein könnte, bis auf den Teil mit dem zeitunabhängigen Mittelwert. Da weiss ich nicht, wie man darauf kommt.


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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-04-03

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-03 03:09 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) \quoteon(2022-04-02 13:41 - rlk in Beitrag No. 15) Du kannst noch die bekannte Autokorrelationsfunktion \(\varphi_{nn}(t_1,t_2)=N_0 \delta(t_1 - t_2)\) einsetzen. \quoteoff Wie bist du darauf gekommen, dass $$\varphi_{nn}(t_1,t_2) = \mathcal{E}\{n(t_1)\cdot n(t_2)\} \overbrace{=}^{?} N_0\delta(t_1-t_2) \quad (14.1)$$ ist? Den Schritt mit dem Fragezeichen verstehe ich nicht. \quoteoff Das ist die Autokorrelationsfunktion des weißen Rauschprozesses $n(t)$. \quoteon(2022-03-14 00:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-03-13 14:44 - rlk in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Wie gehe ich bei der 5) vor? \quoteoff Welche Gleichung für die Autokorrelationsfunktion ist mit der angegebenen gemeint? \quoteoff $\varphi_{nn}(\tau) = N_0 \cdot \delta(\tau)$ \quoteoff \quoteon(2022-04-03 03:09 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) Wäre es denn dasselbe wie $\varphi_{ss}(\tau) = N_0\delta(\tau)$ mit $\tau = t_1 - t_2$? \quoteoff Du meinst vermutlich das richtige, bist aber wieder ungenau: in dieser Aufgabe kommt kein Prozess $s$ vor. Weil weißes Rauschen ein stationärer Prozess ist, gilt $\varphi_{nn}(t_1,t_2)=\varphi_{nn}(t_1-t_2)$. \quoteon(2022-04-03 03:09 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) \quoteon(2022-04-02 13:41 - rlk in Beitrag No. 15) \quoteon(2022-04-02 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) Woran erkenne ich das denn hieraus? Wie ist denn die Zeile $\mathcal{E}\{g(t)\cdot g(t+\tau)\} = \varphi_{gg}(t_1,t_2) \neq \varphi_{gg}(\tau)$ gemeint? \quoteoff Das ist eine Erinnerung an die Definition der Stationarität der Korrelationsfunktion: bei stationären Prozessen hängt die Korrelationsfunktion $\varphi_{gg}(t_1,t_2)$ nur von der Differenz $t_1-t_2$ ab. Ist das für die Funktion in $(14.1)$ der Fall? Was schließt Du daraus? \quoteoff Das da dieses Ungleichheitszeichen steht, verwirrt mich an der Stelle. Müsste es nicht heißen $$\varphi_{gg}(\tau) = \mathcal{E}\{g(t)\cdot g(t+\tau)\} \neq \varphi_{gg}(t,\tau)$$ weil $$\varphi_{gg}(t,\tau) = \mathcal{E}\{g(t)\cdot g(\tau)\}$$ \quoteoff Das Ungleichheitszeichen sollte nicht das Problem sein, sondern die falschen Argumente. Für einen stationären Prozess $s$ gilt \[ \varphi_{ss}(t_1,t_2) = \varphi_{ss}(t_1-t_2). \] Für einen instationären Prozess $i$ ist diese Gleichung nicht erfüllt, es gilt daher \[ \varphi_{ii}(t_1,t_2) \neq \varphi_{ii}(t_1-t_2). \] Für $i=g$, $t_1=t$ und $t_2=t+\tau$ wird daraus \[ \varphi_{gg}(t,t+\tau) \neq \varphi_{gg}(-\tau) = \varphi_{gg}(\tau). \] Ich hatte beim Schreiben von Beitrag 15 überlegt, ob ich auf diese Ungenauigkeit hinweisen sollt, mich aber dann entschieden, nicht zu sehr vom eigentlichen Thema abzulenken. Manchmal frage ich mich auch, ob ich Dir mit meinen Antworten nicht mehr schade als nütze, wenn ich jeden kleinen Schritt erkläre, weil ich befürchte, Dich zur Unselbstständigkeit zu erziehen. Wie denkst Du darüber? Falls das zu persönlich wird, können wir versuchen, das über PNs zu klären. \quoteon(2022-04-03 03:09 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) Und zu deiner Frage Im Buch wird es so erklärt, dass der Prozess stationär ist, wenn die AKF nur noch von der Differenz $\tau = t_2 - t_1$ abhängt und dessen Mittelwert zeitunabhängig ist. Bei der Differenz würde ich schon vermuten, dass es stationär sein könnte, bis auf den Teil mit dem zeitunabhängigen Mittelwert. Da weiss ich nicht, wie man darauf kommt. \quoteoff Meinst Du mit "es" den Prozess $g$? Siehe Dir die Gleichung für die Autokorrelationsfunktion $\varphi_{gg}(t_1,t_2)$ nocheinmal genau an. Für einen stationären Prozess müssen beide Bedingungen erfüllt sein, es reicht daher, dass eine verletzt wird, um ihn als instationär zu erkennen. Servus, Roland


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-03

\quoteon(2022-04-03 12:34 - rlk in Beitrag No. 17) Ich hatte beim Schreiben von Beitrag 15 überlegt, ob ich auf diese Ungenauigkeit hinweisen sollt, mich aber dann entschieden, nicht zu sehr vom eigentlichen Thema abzulenken. Manchmal frage ich mich auch, ob ich Dir mit meinen Antworten nicht mehr schade als nütze, wenn ich jeden kleinen Schritt erkläre, weil ich befürchte, Dich zur Unselbstständigkeit zu erziehen. Wie denkst Du darüber? Falls das zu persönlich wird, können wir versuchen, das über PNs zu klären. \quoteoff Ich denke das es daran liegt, dass ich das Thema um die AKF bezogen auf eine reale Aufgabe, wie Sie in diesem Fall darstellt, noch nicht wirklich hatte. In einer anderen Aufgabe wo wir über den Nicht-invertierenden Verstärker geredet hatten, kam später wieder eine ähnliche Aufgabe, wo die Eingänge des OPV auf Masse gelegt waren. Dort konnte ich dann direkt aus deinem Beitrag, der mir schon davor in einer anderen Aufgabe geholfen hatte, wo du eine Tabelle mit Anschlüssen geschrieben hattest, den Beitrag nachvollziehen, so dass ich die Übertragungsfunktion mit nur wenig Mühe berechnen konnte. Ich denke, dass es sich hierbei um etwas ähnliches handelt, sobald ich das Thema AKF, wie hier mit Systemen und allem drum und dran einmal verstanden habe. Deswegen finde ich die herangehensweise, wie du das machst schon richtig. Woher willst du denn auch wissen, wie weit ich das Thema AKF durchdrungen habe? Lieber pö a pö als alles auf einmal, wie in diesem Fall, da man so auch bei Problemen hilft, die zuvor nicht ersichtlich sind. Schaden tut da nichts. \quoteon(2022-04-03 12:34 - rlk in Beitrag No. 17) \quoteon(2022-04-03 03:09 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) Und zu deiner Frage Im Buch wird es so erklärt, dass der Prozess stationär ist, wenn die AKF nur noch von der Differenz $\tau = t_2 - t_1$ abhängt und dessen Mittelwert zeitunabhängig ist. Bei der Differenz würde ich schon vermuten, dass es stationär sein könnte, bis auf den Teil mit dem zeitunabhängigen Mittelwert. Da weiss ich nicht, wie man darauf kommt. \quoteoff Meinst Du mit "es" den Prozess $g$? Siehe Dir die Gleichung für die Autokorrelationsfunktion $\varphi_{gg}(t_1,t_2)$ nocheinmal genau an. Für einen stationären Prozess müssen beide Bedingungen erfüllt sein, es reicht daher, dass eine verletzt wird, um ihn als instationär zu erkennen. \quoteoff Also ich habe das jetzt nochmal ausführlich geschrieben $$\varphi_{gg}(t_1,t_2) = \mathcal{E}\{g(t_1)\cdot g(t_2)\}= \mathcal{E}\{\underbrace{n(t_1)\cos(2\pi f_0 t_1)}_{g(t_1)} \cdot \underbrace{n(t_2)\cos(2\pi f_0 t_2)}_{g(t_2)}\}$$ $$= \cos(2\pi f_0 t_1)\cdot\cos(2\pi f_0 t_2) \cdot \underbrace{\mathcal{E}\{n(t_1)\cdot n(t_2)\}}_{\varphi_{nn}(t_1,t_2) = \varphi_{nn}(\tau)}$$ $$= {1\over 2} \left[\cos(2\pi f_0(\underbrace{t_1+t_2}_{\neq \tau})) + \cos(2\pi f_0(\underbrace{t_1-t_2}_{=\tau}))\right]\cdot N_0\delta(\underbrace{t_1-t_2}_{=\tau})$$ Und das wäre dann $$\varphi_{gg}(t_1,t_2) = {1\over 2} \left[\cos(2\pi f_0(\underbrace{t_1+t_2}_{\neq \tau})) + \cos(2\pi f_0(\underbrace{t_1-t_2}_{=\tau}))\right]\cdot N_0\delta(\underbrace{t_1-t_2}_{=\tau}) \neq \varphi_{gg}(\tau)$$ Da $\cos(2\pi f_0(\underbrace{t_1+t_2}_{\neq \tau}))$ Nicht von der Differenz $t_1 - t_2$ abhängt sondern ungleich der Differenz abhängt. Ist das so gemeint?


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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-04-04

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-03 22:21 - Sinnfrei in Beitrag No. 18) Ich denke das es daran liegt, dass ich das Thema um die AKF bezogen auf eine reale Aufgabe, wie Sie in diesem Fall darstellt, noch nicht wirklich hatte. In einer anderen Aufgabe wo wir über den Nicht-invertierenden Verstärker geredet hatten, kam später wieder eine ähnliche Aufgabe, wo die Eingänge des OPV auf Masse gelegt waren. Dort konnte ich dann direkt aus deinem Beitrag, der mir schon davor in einer anderen Aufgabe geholfen hatte, wo du eine Tabelle mit Anschlüssen geschrieben hattest, den Beitrag nachvollziehen, so dass ich die Übertragungsfunktion mit nur wenig Mühe berechnen konnte. Ich denke, dass es sich hierbei um etwas ähnliches handelt, sobald ich das Thema AKF, wie hier mit Systemen und allem drum und dran einmal verstanden habe. Deswegen finde ich die herangehensweise, wie du das machst schon richtig. Woher willst du denn auch wissen, wie weit ich das Thema AKF durchdrungen habe? Lieber pö a pö als alles auf einmal, wie in diesem Fall, da man so auch bei Problemen hilft, die zuvor nicht ersichtlich sind. Schaden tut da nichts. \quoteoff Gut. \quoteon(2022-04-03 22:21 - Sinnfrei in Beitrag No. 18) Also ich habe das jetzt nochmal ausführlich geschrieben $$\varphi_{gg}(t_1,t_2) = \mathcal{E}\{g(t_1)\cdot g(t_2)\}= \mathcal{E}\{\underbrace{n(t_1)\cos(2\pi f_0 t_1)}_{g(t_1)} \cdot \underbrace{n(t_2)\cos(2\pi f_0 t_2)}_{g(t_2)}\}$$ $$= \cos(2\pi f_0 t_1)\cdot\cos(2\pi f_0 t_2) \cdot \underbrace{\mathcal{E}\{n(t_1)\cdot n(t_2)\}}_{\varphi_{nn}(t_1,t_2) = \varphi_{nn}(\tau)}$$ $$= {1\over 2} \left[\cos(2\pi f_0(\underbrace{t_1+t_2}_{\neq \tau})) + \cos(2\pi f_0(\underbrace{t_1-t_2}_{=\tau}))\right]\cdot N_0\delta(\underbrace{t_1-t_2}_{=\tau})$$ Und das wäre dann $$\varphi_{gg}(t_1,t_2) = {1\over 2} \left[\cos(2\pi f_0(\underbrace{t_1+t_2}_{\neq \tau})) + \cos(2\pi f_0(\underbrace{t_1-t_2}_{=\tau}))\right]\cdot N_0\delta(\underbrace{t_1-t_2}_{=\tau}) \neq \varphi_{gg}(\tau)$$ Da $\cos(2\pi f_0(\underbrace{t_1+t_2}_{\neq \tau}))$ Nicht von der Differenz $t_1 - t_2$ abhängt sondern ungleich der Differenz abhängt. \quoteoff Ich würde sagen, dass die AKF nicht nur von der Differenz $t_1 - t_2$ sondern auch von der Summe $t_1 + t_2$ abhängt, das Signal ist daher nicht stationär. Das liegt daran, dass die Multiplikation mit einem zeitabhängigen Signal ein zeitvariantes System darstellt, wie wir in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257862&post_id=1873869 schon festgestellt haben. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-05

Folgende Zeile stört mich immer noch. $$\mathcal{E}\{n(t_1)\cdot n(t_2)\} = \varphi_{nn}(t_1,t_2) \overbrace{=}^{?} \varphi_{nn}(\tau)$$ Kann man diese Beziehung irgendwie beweisen? Ich weiss, dass das weiße Rauschen ein stationärer Prozess ist, aber irgendwie will ich das noch nicht so ganz akzeptieren. Im Buch wird da auf die Unabhängigkeit einer Zeitverschiebung um $+t_0$ eingegangen. Anschließend wird dann für $t_0 = -t_1$ eingesetzt. Hat das irgendwie etwas damit zu tun?


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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-04-05

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-05 03:13 - Sinnfrei in Beitrag No. 20) Folgende Zeile stört mich immer noch. $$\mathcal{E}\{n(t_1)\cdot n(t_2)\} = \varphi_{nn}(t_1,t_2) \overbrace{=}^{?} \varphi_{nn}(\tau)$$ Kann man diese Beziehung irgendwie beweisen? Ich weiss, dass das weiße Rauschen ein stationärer Prozess ist, aber irgendwie will ich das noch nicht so ganz akzeptieren. \quoteoff ich hoffe, dass Du die Stationarität des weißen Rauschens akzeptierst und nur eine Begründung der Ungleichung suchst. Ein Beweis muss auf der verwendeten Definition der (schwachen) Stationarität aufbauen. Manche Autoren verwenden die Gleichung \[ \mathcal{E}\{x(t_1)\cdot x(t_2)\} = \varphi_{xx}(t_1,t_2) = \varphi_{xx}(t_1 - t_2) \] als Teil der Definition der (schwachen) Stationarität des Prozesses $x(t)$, dann gibt es nichts zu beweisen. \quoteon(2022-04-05 03:13 - Sinnfrei in Beitrag No. 20) Im Buch wird da auf die Unabhängigkeit einer Zeitverschiebung um $+t_0$ eingegangen. Anschließend wird dann für $t_0 = -t_1$ eingesetzt. Hat das irgendwie etwas damit zu tun? \quoteoff Ich nehme an, dass Du das Buch "Signalübertragung" von Ohm und Lüke meinst. Vermutlich wird dort Stationarität als Invarianz von Erwartungswert und Autokorrelationsfunktion gegenüber einer Zeitverschiebung um $t_0$ definiert. \[ \mathcal{E}\{x(t_1)\cdot x(t_2)\} = \mathcal{E}\{x(t_0 + t_1)\cdot x(t_0 + t_2)\} = \varphi_{xx}(t_0 + t_1, t_0 + t_2) \] Wenn Du $t_0=-t_2$ setzt, erhältst Du \[ \mathcal{E}\{x(t_1)\cdot x(t_2)\} = \varphi_{xx}(t_1 - t_2, 0) \] für die rechte Seite schreibt man dann $\varphi_{xx}(t_1 - t_2)$. Der andere Teil ist die Zeitunabhängigkeit des Erwartungswerts \[ \mathcal{E}(x(t)) = \overline{x} \] Servus, Roland


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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-06

Die schwache Stationarität war damit, genau. Im Buch von Ohm/Lüke Signalübertragung wird die AKF mit der zeitlichen Differenz $\tau$ nicht explizit, mit der AKF, der absoluten Zeitpunkte $t_1,t_2$ gleichgesetzt. Also das $\varphi_{ss}(t_1,t_2) = \varphi_{ss}(\tau)$ gilt. Daher konnte ich nicht erkennen, dass die gleichgesetzt werden können. Mit der schwachen Stationarität, die ja die Unabhängigkeit des Beobachtungszeitpunktes vorsieht, wird es dann möglich, die beiden $\varphi_{ss}(t_1,t_2)$ und $\varphi_{ss}(\tau)$ gleichzusetzen. Das sehe ich jetzt ein. Vielen Dank


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  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-01

\quoteon(2022-03-04 23:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Dazu muss man $H(f)$ in den Zeitbereich Fourier-Rücktransformieren $$\mathcal{F^{-1}}\{H(f)\} = h(t) = \Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t) e^{j2\pi f_0 t} \color{red}{+} \Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t)e^{-j2\pi f_0 t}$$ Nach ausklammern, der $\Delta f \operatorname{si}$ Terme komme ich auf $$h(t) = 2 \Delta f \operatorname{si}(\pi\Delta f t) \cos{(2\pi f_0 t)}$$ \quoteoff Bei dem in rot markierten ist mir ein Fehler unterlaufen. Hier müsste es ja ein minus sein, da wir ja nicht mehr das Betragsquadrat von $H(f)$ vorliegen haben. Dann komme ich auf $$h(\tau) = 2j\Delta f\operatorname{si}(\pi \Delta f\tau)\sin(2\pi f_0\tau)$$ In der Aufgabe müsste die unabhängige Variable zudem $\tau$ heissen.


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