| Autor |
 Zielfunktion auflösen |
|
William_Wallace
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.03.2009
Mitteilungen: 277
Wohnort: Stirling
 |  Themenstart: 2022-01-26
|
Hallo,
es mir gerade fast peinlich diese Frage zu stellen, aber ich steh grad auf dem Schlauch.
Ich habe hier eine Zielfunktion. (Stichwort Schafe am Fluss, aber irrelevant)
sqrt(100^2+x^2)+sqrt((200-x^2)+50^2)
Wann ist x minimal?
Wie geht es denn da weiter - ohne die Analysis (ohne Ableitung)?
Ich habe hier doch keine Gleichung die ich nach x auflösen kann, sondern eine Funktion.
Danke
|
 Profil
|
LetsLearnTogether
Aktiv 
Dabei seit: 27.06.2021
Mitteilungen: 134
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-26
|
Hallo,
ich kann gerade nur raten (eventuell doch den Kontext, also die Aufgabenstellung angeben), aber wenn du die Funktion
$f(x)=\sqrt{100^2+x^2}+\sqrt{200-x^2+50^2}$ (was ist der Definitionsbereich?)
minimieren möchtest, so kannst du dazu die erste Ableitung gleich Null setzen.
Eventuell sind auch Randwerte zu betrachten.
So bekommst du dann auch eine Gleichung die du nach x auflösen könntest.
|
Profil
|
JoeM
Aktiv 
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 848
Wohnort: Oberpfalz
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-26
|
Hallo William_Wallace,
Deine Funktion ist definiert für den Bereich: (- 2700)^0.5 <= x <= + 2700^0.5 .
Für andere Bereiche von x wird der Wert unter der 2. Wurzel negativ.
Wie lautet der genaue Text der Aufgabe ?
viele Grüße
JoeM
|
Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3589
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-26
|
Ist vielleicht$$
f(x)=\sqrt{\vphantom{(x)^2}100^2+x^2}+\sqrt{(200-x)^2+50^2}$$gemeint? Diese Funktion hat ein hübsches Minimum.
--zippy
|
Profil
|
William_Wallace
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.03.2009
Mitteilungen: 277
Wohnort: Stirling
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26
|
Sorry.... Es war doch schon spät...
Welch Schmach. Hast recht, JoeM.
zippy, du GlaskuglerIn hast erst recht recht.
Geht das dann ohne Ableitung?
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9070
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-26
|
Hallo,
wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung? (Also das, was außer der Funktionsgleichung noch gegeben ist.)
Und welche Hilfsmittel hast du zur Verfügung?
Es gibt zwar einen theoretischen Weg, wie man hier ein Minimum ohne Differentialrechnung nachweisen kann, aber dieser Weg führt (sofern ich mich nicht vertan habe) über eine Gleichung 4. Ordnung, und das kann hier sicherlich nicht gemeint sein.
Kann es eventuell sein, dass man das Minimum hier einfach mit einem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) ermitteln soll?
Generell solltest du jeweils mehr zum Hintegrund deiner Fragen sagen: damit man deine Anliegen besser versteht.
Gruß, Diophant
|
Profil
|
JoeM
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 848
Wohnort: Oberpfalz
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-01-26
|
Hallo William_Wallace,
wie schon im Beitrag 2 erwähnt, ist der Grenzwert für x <= 2700^0.5 = 51,962;
--> somit (ohne Ableitung): x = 51 !!
Damit ergibt Deine Gleichung für min. x = 51 den Wert 122,204
Den gleichen Wert erhält Wally mit x = 400/3 (> min. x = 51)
viele Grüße
JoeM
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3589
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-26
|
\quoteon(2022-01-26 11:41 - JoeM in Beitrag No. 6)
wie schon im Beitrag 2 erwähnt, ist der Grenzwert für x <= 2700^0.5 = 51,962;
\quoteoff
Wir haben doch inzwischen festgestellt, dass die dort betrachtete Funktion nur das Ergebnis eines Tippfehlers war.
|
Profil
|
William_Wallace
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.03.2009
Mitteilungen: 277
Wohnort: Stirling
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26
|
So, also es im Grunde um die Aufgabe 70 www.oebv.at/flippingbook/9783209084729/25/
Nur mit anderen Zahlen, wir können uns aber gerne auf die Zahlen im Buch beziehen...
Hinten im Buch stehen die Lösungen...
Ich dachte irgendwo gehört zu haben, dass das auch schlichter ohne Ableitung geht, aber ich kann mich auch täuschen... Ihr werdet das wohl besser wissen.
Insbesondere war mein Anliegen auch, ob ich das so richtig gesehen habe, dass man die Wurzelterme nicht weiter vereinfachen kann, und womöglich das x isolieren kann.
Gut, dann nehme ich an, bleibt es beim Schema F, also Ableitung für das Minimum!?
Vielen Dank euch
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9070
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-26
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
dann stimmt aber deine Zielfunktion nicht. Die korrekte Zielfunktion für die verlinkte Aufgabe lautet:
\[d(x)=\sqrt{x^2+60^2}+\sqrt{(150-x)^2+100^2}\quad;\quad 0\le x\le 150\]
Und wenn die Kapitelüberschrift in einem Schulbuch "Extremwertaufgaben" heißt, dann darf man davon ausgehen, dass an eine Bearbeitung mittels Differentialrechnung und/oder grafikfähigem Taschenrechner gedacht ist. Sicherlich aber nicht daran, diese Funktion mit irgendwelchen algebraischen Tricks zu minimieren.
\quoteon(2022-01-26 13:37 - William_Wallace in Beitrag No. 8)
Ich dachte irgendwo gehört zu haben, dass das auch schlichter ohne Ableitung geht...
\quoteoff
Nur in Sonderfällen, wie bspw. bei quadratischen Funktionen. Generell geht es nur per Differentialrechnung.
Nachtrag:
Tatsächlich geht es bei dieser Art Aufgaben auch. Wie, kannst du im folgenden Beitrag nachlesen (Spiegelungsprinzip: das Licht sucht sich immer den kürzesten Weg...).
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Extremwertaufgaben' von Diophant]\(\endgroup\)
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2372
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-01-26
|
Huhu William_Wallace,
das geht hier nach Spiegelungsprinzip natürlich auch ohne Ableitung. Das Minimum von zippys Funktion aus #2 liegt an der Stelle \(x=\frac{100\cdot 200}{50+100}=\frac{400}{3}\) bzw. für die Funktion von Diophant aus #9 eben \(x=\frac{60\cdot 150}{100+60}=\frac{225}{4}\).
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7720
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-26
|
\quoteon(2022-01-26 15:34 - Kuestenkind in Beitrag No. 10)
das geht hier nach Spiegelungsprinzip natürlich auch ohne Ableitung. \quoteoff
(Hervorhebung von mir)
@Kuestenkind: Hm, was besagt denn dieses Spiegelungsprinzip? Mir ist das gerade nicht geläufig. 🙄
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2372
| Beitrag No.12, eingetragen 2022-01-26
|
Huhu StrgAltEntf,
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-01-26_um_15.28.24.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-01-26_um_15.28.43.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-01-26_um_15.28.58.png
Quelle: Maxima and Minima without Calculus von Ivan Niven.
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3589
| Beitrag No.13, eingetragen 2022-01-26
|
Das ist übrigens genau die Überlegung, mit der aus dem Fermatschen Prinzip die Regel "Einfallswinkel = Ausfallswinkel" gefolgert wird.
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7720
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.14, eingetragen 2022-01-26
|
Herzlichen Dank fürs Aufschlauen!
Das ist wirklich elegant. 👍
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
