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  Stationäre Verteilung einer Markov-Kette |
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JaFode
Junior 
Dabei seit: 22.01.2022
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2022-01-22
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Guten Tag,
ich sitze zur Zeit mitten in der Prüfungsvorbereitung und komme einfach nicht auf die Lösung der folgenden Aufgabe.
Die Übergangswahrscheinlichkeiten einer homogenen Markov-Kette seien gegeben durch die Matrix:
(1-a a 0 )
P = ( 0 1-b b )
( y 0 1-y)
Berechnen Sie die eindeutig stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung p in Abhängigkeit von 0 < a, b, y <= 1.
Bis jetzt habe ich das Gleichungssystem wie folgt aufgelöst.
π*P = π => π(P-E) = 0 mit
(-a a 0)
P-E = ( 0 -b b)
( y 0 -y)
-a*π1 + y*π3 = 0 => a*π1 = y*π3
a*π1 - b*π2 = 0 => a*π1 = b*π2
b*π2 - y*π3 = 0 => b*π2 = y*π3
π1 + π2 + π3 = 1
ab diesem Moment weiß ich leider nicht, wie ich das Gleichungssystem auflösen kann, um auf die Verteilung zu kommen.
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen. Vielen Dank!
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10676
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-22
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\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Zunächst sorry dafür, dass ich meine vorige Antwort hier wieder gelöscht hatte (falls du sie schon gesehen hattest). Ich hatte vorhin einen Denkfehler begangen, hatte dann aber keine Zeit mehr, ihn zu korigieren.
Nun, du hast das LGS korrekt aufgestellt. Das ganze hat nun zunächst unendlich viele Lösungen (einen eindimensionalen Lösungsraum).
Den könntest du ja einmal in Abhängigkeit eines zusätzlichen Parameters darstellen und diesen dann so skalieren, dass \(\pi_1+\pi_2+\pi_3=1\) gilt.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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JaFode
Junior
Dabei seit: 22.01.2022
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-22
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Vielen Dank für die Vorschläge!
Ja ich habe die gelöschte Nachricht von Ihnen gelesen und bin mit dem Gaußverfahren auf eine Nullzeile gekommen, also wie sie schon sagten unendlich viele Lösungen.
Zu der Frage aus der gelöschten Nachricht:
Ja π1+π2+π3=1 ist gegeben da die Summe von allen Verteilungen 1 ergeben soll.
Leider verstehe ich ihre neue Idee noch nicht ganz. Könnten Sie mir eventuell ein Beispiel oder einen Ansatz geben?
Vielen Dank!
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10676
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-22
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Hallo,
das mit dem Gaußverfahren (wie gewohnt auf die Matrix \(P-E\) angewendet) war hier der Flop: das geht ja nur für Spaltenvektoren bzw. Gleichungssysteme der Form \(Ax=b\). Hier müsstest du es wenn dann auf \((P-E)^T\) anwenden.
Soweit wie du bist ist das aber nicht mehr notwendig: setze etwa \(\pi_3=t\), drücke die beiden anderen Komponenten mit Hilfe deiner drei Gleichungen ebenfalls als Vielfache von \(t\) aus und schreibe deinen Lösungsvektor einmal hin. Optional kannst du ihn jetzt noch mit \(\alpha\cdot\beta\) multiplizieren (meine Kristallkugel sagt: die Variablen sind in Wirklichkeit griechische Buchstaben. 😉). Dann setzt du die Summe der drei Komponenten gleich 1 und löst nach t auf...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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JaFode
Junior
Dabei seit: 22.01.2022
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23
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Guten Tag,
Ja a, b und c stehen für \alpha, \beta und \gamma. Ich wusste leider noch nicht wie man griechische Buchstaben in dem Editor schreibt, ohne diese zu kopieren. Der Einfachheit halber bleibe ich aber erstmal bei den römischen Buchstaben.
Wenn ich das richtig verstanden habe setzte ich \pi_3 = t und rechne damit \pi_1 und \pi_2 aus.
Daraus erhalte ich \pi_1 = yt / a und \pi_2 = yt / b.
Mein Vektor hat also die Form:
p = (yt / a, yt / b, t)
Wenn ich jetzt alle Komponenten in die letzte Gleichung einsetzte komme ich aber leider nicht weiter.
Ich erhalte:
yt/a + yt/b + t = 1
hier erweitere ich damit ich auf den selben Nenner komme
byt/ab + ayt/ab + abt/ab = 1
(byt+ayt+abt)/ab = 1
byt+ayt+abt = ab
Hier komme ich nicht mehr weiter, aber ich befürchte schon vorher einen Fehler gemacht oder etwas missverstanden zu haben.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10676
Wohnort: Rosenfeld, BW
|  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
das sieht doch ganz gut aus bis hierher. Wie gesagt: wenn du jetzt noch nach \(t\) auflöst, dann bekommst du für \(t\) denjenigen Wert heraus, für den die Summe der drei Komponenten gleich 1 ist. Und diesen Wert setzt du in allen drei Fällen für t ein, das ergibt dann die stationäre Verteilung.
(Einfacher wäre es gewesen, meinem Rat zu folgen und anstatt die Brüche auf der linken Seite zu erweitern einfach den Vektor mit \(ab\) zu multiplizieren.)
PS: im fedgeo-Formeleditor, mit dem du jetzt gearbeitet hast, hast du doch eine klickbare Auswahl an griechischen Buchstaben. Da für diesen Formeleditor eigentlich die Devise gilt "es gibt nichts, was es nicht gibt" (😉), kann man die fehlenden vermutlich auch irgendwie hinbekommen. Ich habe damit leider schon zu lange nichts mehr gemacht...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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JaFode
Junior
Dabei seit: 22.01.2022
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-24
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Hallo,
ich habe schon verstanden, dass ich auf t auflösen muss, nur leider stehe ich auf dem Schlauch und weiß nicht, wie ich das anstelle 😁
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-24
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Klammere mal auf der linken Seite t aus. Dann kannst du den Rest wie üblich auf die andere Seite bringen.
Gruß, Diophant
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JaFode
Junior
Dabei seit: 22.01.2022
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-25
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Hallo,
da bin ich gestern zwar auch noch drauf gekommen, aber es hat leider viel zu lange gedauert 😄.
Ich habe jetzt alle stationären Verteilungen wie folgt ausgerechnet:
byt + ayt + abt = ab
t = ab / (byt + ayt + abt) => \pi_3 = ab / (byt + ayt + abt)
eingesetzt in I (a*\pi_1 = y * \pi_3):
\pi_1 = (y*\pi_3)/a = aby / (aby + a^2*y+ a^2*b) = aby / (aby + a^2*(b + y))
selbes für II (b*\pi_2 = y * \pi_3):
\pi_2 = (y*\pi_3) / b = aby / (aby + b^2*y + b^2*a) = aby / (aby + b^2*(a+y))
Damit hätte ich als Verteilungsvektor:
p = (\pi_1 \pi_2 \pi_3)
p = (aby / (aby + a^2*(b + y)) aby / (aby + b^2*(a+y)) ab / (byt + ayt + abt))
Da Sie in einer früheren Nachricht geschrieben haben, man könne auch (P - E) transponieren habe ich das auch ausprobiert, aber bin leider nicht zum gleichen Ergebnis gelangt.
Durch das transponieren der Matrix erhalte ich das LGS:
(I) -a\pi_1 + a\pi_2 = 0 => \pi_1 = \pi_2
(II) -b\pi_2 + b\pi_3 = 0 => \pi_2 = \pi_3
(III) y\pi_1 - y\pi_3 = 0 => \pi_1 = \pi_3
Daraus folgt: \pi_1 = \pi_2 = \pi_3
in (IV) 3*\pi_1 = 1 => \pi_1 = 1/3
p = (1/3 1/3 1/3)
Das Ergebnis der transponierten Matrix sieht zwar schöner aus, ist aber wohl genau deswegen das Falsche nehme ich mal an 😃
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10676
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-25
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Hallo,
wenn man eine Gleichung nach t auflöst, dann bedeutet das eine neue Gleichung der Form "t=irgendwas", wobei das "irgendwas" die Variable t nicht mehr enthält.
Die korrekte Lösung für t ist schlicht und ergreifend
\[t=\frac{\alpha\beta}{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}\]
Und die musst du jetzt in deinen ursprünglichen Lösungsvektor noch einsetzen.
\quoteon(2022-01-25 11:49 - JaFode in Beitrag No. 8)
Da Sie in einer früheren Nachricht geschrieben haben, man könne auch (P - E) transponieren...
\quoteoff
Das hast du falsch verstanden. Ich hatte das so gemeint, dass man mit der transponierten Matrix arbeiten könnte, dann aber entsprechend mit Spaltenvektoren. Dann wäre dein Gleichungssystem gegeben durch
\[P^T\cdot\pi^T=\pi^T\]
Und das Resultat wieder das gleiche.
Der einzige Vorteil, den diese Vorgehensweise theoretisch hätte, wäre die Möglichkeit, das Gauß-Verfahren wie gewohnt anwenden zu können (was ich zunächst versehentlich getan hatte). Das war aber nicht mehr notwendig, da du das LGS ja selbst schon so weit vereinfacht hattest, dass man die Lösungen direkt ableiten konnte.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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JaFode
Junior
Dabei seit: 22.01.2022
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-25
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Oh da habe ich von meinen Zettel falsch abgeschrieben.
Richtig wäre:
\beta\gamma*t + \alpha\gamma*t + \alpha\beta*t = \alpha\beta
t(\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta) = \alpha\beta
t = \alpha\beta / (\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta)
Der Rest meiner Rechnung aus meiner letzten Antwort sollte aber passen.
Haben Sie den Lösungsvektor eventuell selber ausgerechnet und können mir sagen ob meiner mit Ihrem übereinstimmt?
Den Lösungsweg mit der transponierten Matrix habe ich aber wohl falsch verstanden.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10676
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-25
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2022-01-25 13:13 - JaFode in Beitrag No. 10)
Der Rest meiner Rechnung aus meiner letzten Antwort sollte aber passen.
\quoteoff
passen: ja, aber bei solchen Sachen sollte man die Möglichkeit zu Kürzen nicht ungenutzt lassen. Ich rechne dir mal \(\pi_1\) aus, dann kannst du dich an der noch fehlenden Komponente \(\pi_2\) ja nochmal selbst versuchen.
\[\ba
t&=\frac{\alpha\beta}{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}\\
\\
\text{Nun folgt:}\\
\\
\pi_1&=\frac{\gamma}{\alpha}\cdot t\\
\\
&=\frac{\gamma}{\alpha}\cdot\frac{\alpha\beta}{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}\\
\\
&=\frac{\beta\gamma}{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}
\ea\]
Indem sich nämlich einfach \(\alpha\) herauskürzt...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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JaFode
Junior
Dabei seit: 22.01.2022
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-25
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Alles klar. Diese "Kleinigkeiten" vernachlässige ich leider zu oft, obwohl diese mir die Folgerechnungen stark vereinfachen können.
Gut dann wären alle meine Fragen beantwortet.
Vielen Dank für die Hilfe und die Zeit die Sie sich für mich genommen haben!
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JaFode hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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