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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » dim(span) Addition
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Universität/Hochschule dim(span) Addition
Perry420
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  Themenstart: 2021-12-06

Hi Leute, habe Momentan ein Problem mit folgendem Beweis: Sei K ein beliebiger Körper, A, B ∈ Mm,n(K) und C ∈ Mr,m(K). Wir schreiben rang(A) für den Rang von A. aufg: Ist rang(A + B) ≤ rang(A) + rang(B)? Ich habe als erstes versucht den Rang so aufzuschreiben: Rang(A)=dim(span(a_1,...,a_n)) Rang(B)=dim(span(b_1,...,b_n)) Eingefügt in die Gleichung die zu beweisen ist...: dim(span(a_1,...,a_n) + span(b_1,...,b_n)) ≤ dim(span(a_1,...,a_n)) + dim(span(b_1,...,b_n)) nun weis ich aber nicht, wie man hier den Beweis herausbekommt. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte :).


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Das ist ja offensichtlich nur Teil einer größeren Aufgabe, da die Matrix C hier ja keine Rolle spielt? Für den Rang von A, B sowie A+B könntest du dir einmal etwas mit dem Minimum \(\min(m,n)\) überlegen... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Nuramon
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-12-06

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, \quoteon(2021-12-06 15:18 - Perry420 im Themenstart) Eingefügt in die Gleichung die zu beweisen ist...: dim(span(a_1,...,a_n) + span(b_1,...,b_n)) ≤ dim(span(a_1,...,a_n)) + dim(span(b_1,...,b_n)) \quoteoff Nein, das ist nicht die Ungleichung, die zu beweisen ist. Deine linke Seite ist nämlich nicht gleich $\opn{rang}(A+B)$.\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-07

Mit linearen Abbildungen ist das sehr einfach zu durchschauen. Für lineare Abbildungen $f,g : V \to W$ gilt sicherlich $\mathrm{im}(f+g) \subseteq \mathrm{im}(f) + \mathrm{im}(g),$ und außerdem gilt generell $\mathrm{rang}(f) = \dim(\mathrm{im}(f))$ (per Definition) sowie $\dim(U+U') \leq \dim(U)+\dim(U')$ (weil es einen Epimorphismus $U \oplus U' \twoheadrightarrow U + U'$ gibt). Es folgt sofort die Behauptung.


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