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Universität/Hochschule Gruppeneigenschaften der S_3-Gruppe
Dirk_8484
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  Themenstart: 2021-12-01

Liebes Forum, ich soll von der S3-Gruppe (also die Gruppe mit 3 Drehungen und 3 Spiegelungen) bezüglich der Nacheinanderausführung die Gruppeneigenschaften nachweisen. Ich habe nun eine Frage zur Assoziativität. Ich könnte natürlich alle 6^3 möglichen Kombinationen an Nacheinanderausführung aufschreiben und die Assoziativität überprüfen. Meinetwegen auch noch die Drehung um 0 Grad rauslassen, weil das das neutrale Element ist. Aber dann habe ich noch immer 125 Möglichkeiten. Gibt es einen kürzeren (und damit schöneren) Weg, die Assoziativität nachzuweisen? Vielen Dank für eure Ideen.


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-01

Hallo, in welcher Form genau hast du die Gruppe denn gegeben? Wenn es sich bei den Elementen bspw. um spezielle Abbildungen handelt und bei der Gruppenoperation um die Hintereinanderausführung von Abbildungen, dann kannst du dich darauf berufen, dass diese bekanntermaßen assoziativ ist. Versuche ggf. auch das Untergruppenkriterium anzuwenden. [Verschoben aus Forum 'Geometrie' in Forum 'Gruppen' von ligning]


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Dirk_8484
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Natürlich, da war ich zu unpräzise... Es handelt sich um die Menge der Deckbewegungen in einem gleichseitigen Dreieck und um die Hintereinanderausführung dieser Bewegungen. Also die Drehungen um 0, 120 und 240 Grad um den Umkreismittelpunkt, und die Spiegelungen an den Mittelsenkrechten der Seiten. Ich denke also, dass ich es nicht einfach als gegeben hinnehmen kann, dass diese Bewegungen assoziativ sind, auch wenn natürlich die jeweiligen Eckpunkte des Dreiecks aufeinander abgebildet werden 😐


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
ligning
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-05

Ich hoffe, du hast dich inzwischen dazu durchgerungen, meinem Wink mit dem Zaunpfahl zu folgen und die Elemente von S3 als Abbildungen zu interpretieren. Hunderte von Tripeln per Hand durchzurechnen wäre ja der helle Wahnsinn.


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juergenX
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-06

\quoteon(2021-12-01 12:54 - ligning in Beitrag No. 1) Hallo, in welcher Form genau hast du die Gruppe denn gegeben? Wenn es sich bei den Elementen bspw. um spezielle Abbildungen handelt und bei der Gruppenoperation um die Hintereinanderausführung von Abbildungen, dann kannst du dich darauf berufen, dass diese bekanntermaßen assoziativ ist. Versuche ggf. auch das Untergruppenkriterium anzuwenden. [Verschoben aus Forum 'Geometrie' in Forum 'Gruppen' von ligning] \quoteoff "diese bekanntermaßen assoziativ ist " weiß ich nicht woher du das so hast. Man nimmt Assoziativität, sonst waere S3 kein Gruppe, immer als gegeben an, aber so trivial scheint mir das nicht. Allein zu zeigen, dass in IntegritätsRingen $\displaystyle (a+b)+c = a+(b+c)$ bzw. $\displaystyle (a*b)*c = a*(b*c)$ ist nicht so leicht zu zeigen. Welches Untergruppenkriterium meinst Du?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-06

\quoteon(2021-12-06 19:05 - juergenX in Beitrag No. 4) \quoteon(2021-12-01 12:54 - ligning in Beitrag No. 1) Wenn es sich bei den Elementen bspw. um spezielle Abbildungen handelt und bei der Gruppenoperation um die Hintereinanderausführung von Abbildungen, dann kannst du dich darauf berufen, dass diese bekanntermaßen assoziativ ist. \quoteoff "diese bekanntermaßen assoziativ ist " weiß ich nicht woher du das so hast. \quoteoff Wenn \(f,g,h:X\to X\) Funktionen sind, dann gilt immer \((f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)\), denn \(((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ(g\circ h))(x)=f(g(h(x)))\) für alle \(x\in X\).


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