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Universität/Hochschule Stochastische Matrizen
Nici22
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  Themenstart: 2021-12-01

Hallo :) Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Es sei K ein beliebiger Körper und St(n×n,K) bezeichne die Teilmenge von Mat(n×n,K), die aus allen Matrizen A besteht, für welche alle Zeilensummen den gemeinsamen Wert σ(A) haben. Man zeige, dass St(n×n,K) ein Untervektorraum der Dimension n^2 − n + 1 ist. Ich habe mir schon überlegt, dass die erste Zeile ja frei wählbar ist und dann die Zeilensumme ja feststeht. (Die ist ja nicht angegeben). In der nächsten Zeile wären dass dann ja n-1 freie Parameter und so weiter. Damit könnte man dann ja auf die Dimension kommen oder nicht? Bin momentan noch ratlos wie ich das genau angehen soll und wäre um jede Hilfe dankbar :)🤔 Bin übrigens neu hier also sorry falls ich etwas falsch mache beim Stellen der Fragen


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkomen hier im Forum! Hm, einmal ein "Schuss ins Blaue": kann es sein, dass du die Aufgabe falsch verstanden hast? Es geht hier nicht um den Rang von Matrizen, sondern die konkreten Fragen sind: - warum bilden die stochastischen Matrizen einen Unterraum des jeweiligen \(n\times n\)-Matrizenraums? - welche Dimension besitzt dieser Unterraum, also aus wie vielen solcher Matrizen muss eine Basis dieses UVR bestehen? Vielleicht hilft dir das ja, eine eigene Idee zu entwickeln? \quoteon(2021-12-01 10:27 - Nici22 im Themenstart) Bin übrigens neu hier also sorry falls ich etwas falsch mache beim Stellen der Fragen \quoteoff Keine Sorge: du hast alles richtig gemacht. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-12-01

\quoteon(2021-12-01 10:27 - Nici22 im Themenstart) Ich habe mir schon überlegt, dass die erste Zeile ja frei wählbar ist und dann die Zeilensumme ja feststeht. (Die ist ja nicht angegeben). In der nächsten Zeile wären dass dann ja n-1 freie Parameter und so weiter. Damit könnte man dann ja auf die Dimension kommen oder nicht? \quoteoff Das ist im Wesentlichen wohl schon die richtige Intuition. n freie Parameter für die erste Zeile und je n-1 freie Parameter für die restlichen n-1 Zeilen. Macht n + (n-1)*(n-1) = n² - n + 1. Wie könnte eine Basis aussehen?


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