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Differentialgleichungen » Partielle DGL » Koordinatentransformation
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Universität/Hochschule J Koordinatentransformation
NffN1
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  Themenstart: 2021-11-30

Guten Tag, betrachte die Gleichung $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$ Jetzt muss ich eine Koordinatentransformation $\xi=x+y,\eta=x-y$ durchführen. Dann hab ich ja $x=\frac{\xi+\eta}{2}, y=\frac{\xi-\eta}{2}$. Und die Gleichung würde dann so aussehen: $(\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\eta})^2u-(\frac{\partial}{\partial\xi}-\frac{\partial}{\partial\eta})^2u=0$ Jetzt soll ich diese durch Integration lösen. Da Differentialgleichungen nicht gerade meine Stärke ist weiss ich nicht wirklich wie man das macht. Kann man das so umschreiben: $\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}+2\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\frac{\partial^2u}{\partial\eta^2}=\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}-2\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\frac{\partial^2u}{\partial\eta^2}$ Daraus würde ja dann folgen: $\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}=0$ und somit $u=const\cdot\eta$ oder $u=const\cdot\xi$? MfG, Noah


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, Noah, alles sieht richtig aus bis auf den letzten Schritt. Aus \( \D \frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}=0\) folgt zunächst \( \D \frac{\partial u}{\partial\eta}=C(\eta)\). Kommst du damit weiter? Sonst überleg dir doch mal, wie alle Funktionen \( f:\IR^2\to \IR\) ausehen, die \( f_{xy}=0\) erfüllen. Tipp: \( e^x+ \arctan \sin y\) tut's. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-30

Huhu Noah, \quoteon(2021-11-30 11:17 - NffN1 im Themenstart) Kann man das so umschreiben: $\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}+2\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\frac{\partial^2u}{\partial\eta^2}=\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}-2\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\frac{\partial^2u}{\partial\eta^2}$ \quoteoff wenn dir das nicht klar ist, frage ich: Wie kommst du darauf? Welchen Satz hast du benutzt? Ist dir klar, was das Quadrat hier bedeutet? Was wäre z. B. \(\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{x}\right)^2f(x)\) deiner Meinung nach? Gruß, Küstenkind


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NffN1
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Ich weiss noch nicht recht, wie ich von $\frac{\partial u}{\partial\eta}=C(\eta)$ weiter machen kann. $C(\eta)$ ist doch nur irgendeine Funktion, die von $\eta$ abhängig ist. Also weiss ich nicht wie ich für u etwas genaueres als "Integral von $C(\eta)$ bekomme." [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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NffN1
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Zur Antwort von Kuestenkind: wie ich darauf komme ist, dass ich mir gedacht habe ich kann einfach die Binomialformel anwenden. Dein Beispiel wäre ja dann $(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+2\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})f(x)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x)-\frac{1}{x^2}f(x)$


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Kuestenkind
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-30

Siehe dort: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=111534 Damit dein Ergebnis richtig ist, bräuchtest du denn noch einen Satz, dass du die partiellen Ableitungen vertauschen darfst. Gruß, Küstenkind


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Ok ich habs verstanden. Da die Stetigkeit der partiellen Ableitungen von u nicht gegeben sind kann ich den Satz von Schwarz nicht anwenden. Ich habe also: $\frac{\partial }{\partial\xi}\frac{\partial u}{\partial\eta}+\frac{\partial }{\partial\eta}\frac{\partial u}{\partial\xi}=0$ Aber dann weiss ich noch immer nicht wie ich weitermachen soll. Oder kann ich etwa annehmen, dass die Konditionen für den Satz von Schwarz erfüllt sind?


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Wally
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Ich würde bei dieser Aufgabe einfach davon ausgehen, etwa "Sei \( u\in C^2(\IR^2)\)" drüberschreiben. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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NffN1
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Okay, das vereinfacht die Sache zwar, aber ich weiss wie gesagt noch immer nicht wie ich mit $\frac{\partial u}{\partial\eta}=C(\eta)$ bzw $\frac{\partial u}{\partial\xi}=C(\xi)$ weitermachen soll.


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Wally
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-12-01

Integriere beides und vergleiche. Viele Grüße Wally


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Ich verstehe irgendwie nicht wie ich $C(\eta)$ integrieren soll. Wie gesagt, ich nicht gerade gut in solchen Sachen. Will man etwa darauf hinaus, dass $C(\xi)=C(\eta)$?


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Wally
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-12-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Sei \( D\) eine Stammfunktion von \( C\). Dann ist \( u(\eta, \xi)=D(\eta)+ ?\) Was kommt dazu? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Eine Konstante. Dann hat man $u=D(\eta)+c_1=D(\xi)+c_2$. Wäre die Lösung dann $u=D(x+y)+c_1$ bzw $u=D(x-y)+c_2$? Oder hängen die c's noch von $\xi$ bzw $\eta$ ab?


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Wally
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-12-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Eine Konstante, die aber noch von \( \xi\) abhängen kann (Beweis durch Ableiten). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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NffN1
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Aber ist das u dann einfach $u=D(x+y)+C(x-y)$ oder $u=D(x-y)+C(x+y)$ Kann man das u denn nicht genauer berechnen? Die Lösung erscheint mir sehr vage.


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Wally
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-12-01

Nein, das ist genau das, was heraus kommt. Partielle Differentialgleichungen haben da Funktionen, wo gewöhnliche Dgl. Anfangswerte haben. Viele Grüße Wally


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Kuestenkind
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  Beitrag No.16, eingetragen 2021-12-01

Huhu Noah, ich sehe gerade nicht den Unterschied zwischen deinen Funktionen. Zu deiner Frage: https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung#Rand-_und_Anfangswertprobleme Das hatte Wally dir doch schon hier versucht zu vermitteln: \quoteon(2021-11-30 16:32 - Wally in Beitrag No. 1) Sonst überleg dir doch mal, wie alle Funktionen \( f:\IR^2\to \IR\) ausehen, die \( f_{xy}=0\) erfüllen. Tipp: \( e^x+ \arctan \sin y\) tut's. \quoteoff Die Funktion löst deine Funktion eben nun auch, siehe hier. Genau so gut können wir eben auch \(\ln(x+y)+\exp(\cos(x+y))\) nehmen, siehe hier. Für \(c=1\) kannst du auch dort mal schauen: https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula Gruß, Küstenkind [Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]


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NffN1
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Achso. Ok, habs verstanden. Danke euch beiden :)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.18, eingetragen 2021-12-01

Gerne! Wenn deine Frage damit geklärt ist, darfst du den Thread gerne abhaken. Gruß, Küstenkind [Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Partielle DGL' von Kuestenkind]


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