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Mathematik » Topologie » Topologie durch Konvergenzbegriff definieren?
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Universität/Hochschule J Topologie durch Konvergenzbegriff definieren?
nzimme10
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  Themenstart: 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo miteinander, in der Funktionentheorie spricht man z.B. häufig von der Topologie der kompakten Konvergenz, also gleichmäßiger Konvergenz auf Kompakta. Zum Beispiel könnte man für $\mathbb D:=B_1(0)\subset \mathbb C$ die Klasse $$ \mathcal S:=\lbrace f\colon \mathbb D\to\mathbb C\mid f \text{ schlicht}, f(0)=0,f'(0)=1\rbrace $$ der schlichten Funktionen (mit den entsprechenden Normalisierungen) betrachten. Nun verstehe ich das so, dass man darauf eine Topologie erklären kann, deren Konvergenzbegriff gerade die kompakte Konvergenz ist. Ist nun $(K_j)_{j\in \mathbb N}$ eine kompakte Ausschöpfung von $\mathbb D$ so definiere die Abbildung $$ d\colon \mathcal S\times \mathcal S\to [0,\infty), \ d(f,g):=\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{2^j}\frac{\lVert f-g\rVert_{K_j}}{1+\lVert f-g\rVert_{K_j}}, $$ wobei $\lVert h\rVert_{K_j}:=\sup_{z\in K_j}|h(z)|$. Da $\mathcal S$ eine normale Familie ist, kann man nun zeigen, dass eine Folge $(f_n)_{n\in \mathbb N}\in \mathcal S^{\mathbb N}$ genau dann kompakt gegen eine Funktion $f\colon \mathbb D\to \mathbb C$ konvergiert, wenn $d(f_n,f)\to 0$ gilt. Nach meinem Verständnis müsste diese Topologie der kompakten Konvergenz in diesem Fall dann also durch $d$ metrisierbar sein, d.h. diese Topologie ist gerade die, die von dieser Metrik induziert wird. Ist das alles korrekt soweit? Wie kann man sich solch eine über einen Konvergenzbegriff definierte Topologie vorstellen, wenn diese nicht metrisierbar ist? Warum wird durch Angabe eines Konvergenzbegriffes überhaupt eindeutig eine Topologie erklärt? Danke für jegliche Hinweise! LG Nico\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-27

Ich glaube um diese Frage zu stellen, musst du erstmal definieren, was ein Konvergenzbegriff für dich ist. Kompakte Konvergenz wird z.B. durch die kompakt-offene Topologie erreicht, welche aus kategorientheoretischen Gründen nützlich in der Theorie der algebraischen Topologie ist. Der Link MSE/2493715 scheint nützlich für deine Frage. (Sorry für die schwammige Antwort, bin ein Analysis-Noob. 👌)


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nzimme10
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Vielen Dank Kezer, gerade der MSE Link hat mir in der Tat geholfen. Konkret ging es mir eigentlich darum, dass $\mathcal S$ mit dieser Topologie kompakt ist. Nun könnte ich also prinzipiell auch auf dem metrischen Raum $(\mathcal S,d)$ arbeiten und mit den entsprechenden Begriffen der Kompaktheit in metrischen Räumen, oder? LG Nico\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}\) Ich habe deine Metrik nicht nachgeprüft, aber ja, du kannst nun alle topologischen Begriffe (z.B. Kompaktheit) bezüglich dieser Topologie/Metrik anwenden/studieren, schließlich hast du $(\mathcal{S}, d)$ zu einem metrischen Raum gemacht.\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Vielen Dank für deine Hilfe. LG Nico


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