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Mathematik » Analysis » Übung über das Vertauschen von Grenzwert und Integral.
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Universität/Hochschule J Übung über das Vertauschen von Grenzwert und Integral.
Strandkorb
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  Themenstart: 2021-10-24

Ich habe das folgende Problem: Sei $f:\Omega \rightarrow [0,\infty)$ eine integrierbare Funktion. Zeigen Sie, dass für die Funktionen $$g_n(x)=\log\left(1+\frac{f(x)}{n}\right)$$ gilt $$\lim_{n\rightarrow \infty} n\int_\Omega g_n \,d\mu=\int_\Omega f\, d\mu$$ Ich habe soeben gezeigt, dass $g_n$ integrabel ist. Nun wollte ich die obige Aussage wie folgt beweisen: **Beweis** Beachten wir zunächst, dass $$\lim_{n\rightarrow \infty} n\int_\Omega g_n \,d\mu=\lim_{n\rightarrow \infty} \int_\Omega \log\left(\left(1+\frac{f(x)}{n}\right)^n\right) d\mu$$. Definieren wir nun $h_n(x)=\log\left(\left(1+\frac{f(x)}{n}\right)^n\right)$, dann ist $\lim_{n\rightarrow \infty} h_n(x)=f(x)$ punktweise. Außerdem können wir sehen, dass $|h_n(x)|=h_n(x)\leq f(x)$ für alle $n\geq 1$. Da f(x) per Annahme integrierbar ist, können wir den Satz der dominierten Konvergenz verwenden und erhalten:$$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_\Omega \log\left(\left(1+\frac{f(x)}{n}\right)^n\right)=\int_\Omega \lim_{n\rightarrow \infty}\log\left(\left(1+\frac{f(x)}{n}\right)^n\right)\stackrel{\text{log is continuous}}{=} \int_\Omega \log\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{f(x)}{n}\right)^n\right)=\int_\Omega f(x)\, d\mu$$ Funktioniert das so? Danke für eure Hilfe.


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, wenn du die Konstanten $l,o,g,i,m$ noch definierst, könnte ich dir sagen ob das so passt. Es sei denn du meinst $\log$ und $\lim$😉 Die bekommt man über \log,\lim etc. Das sieht auf den ersten Blick in Ordnung aus sonst. LG Nico \(\endgroup\)


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Strandkorb
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

hahah 😂 ja ich meine den Logarithmus und den Limes, vielen Dank für die Anmerkung habe ich nicht gewusst! Super das freut micht!


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