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Universität/Hochschule J Hilbertraum für zeitabhängige Wellenfunktionen
Skalhoef
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  Themenstart: 2021-10-21

Hej, der ein-Teilchen Hilbert-Raum eines spinlosen Elektrons ist bekanntlich $L^2 ( \mathbb{R}^3)$. Das schlußfolgert man (so, wie ich es verstehe) daraus, dass genau dieser Raum von den Lösungen $\phi_{ n \, l \, m} ( r , \phi, \theta)$ der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein Elektron in Wasserstoff-ähnlichen Atomen aufgespannt wird. Man sagt dann i.d.R., dass der ein physikalischer Zustand ein Einheitsstrahl in eben diesem Hilbertraum ist. Frage / Unklarheit: Die "vollständige" Wellenfunktion besitzt aber doch eigentlich eine Zeitabhängigkeit! Also $$ \psi( \vec{r} , t) = \phi_{ n \, l \, m } ( r , \phi , \theta) \cdot \varphi(t) \text{.} $$ In welchem "Raum" liegt denn jetzt $\psi$? Bzw.: Wie sehen denn die Hilberträume (in denen die physikalischen Zustände liegen) für zeitabhängige Potenziale aus? Ich würde mich über Rückmeldung bzw. Hilfe sehr freuen. :) Många hälsningar Skalhoef


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PhysikRabe
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-21

Hallo Skalhoef, nur eine kurze (unvollständige) Antwort aus Zeitgründen: Es gibt einerseits einen Hilbertraum von abstrakten Zustandsvektoren $|\psi\rangle$ ("Kets") für das Teilchen. Andererseits liefern die "Komponenten" $\psi(x)\equiv\langle x|\psi\rangle$ von Vektoren in der uneigentlichen Ortsbasis die Wellenfunktionen, welche den Hilbertraum $L^2 (\mathbb{R}^3)$ (oder $L^2 (\mathbb{R}^3) \otimes \mathbb{C}^2$, wenn du das Elektron betrachtest) bilden. Du kannst auch eine zeitabhängige Darstellung wählen (Schrödingerbild), aber der abstrakte Hilbertraum ist aber immer zeitunabhängig, denn er beschreibt alle Zustände des Systems. Grüße, PhysikRabe


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capstrovor
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-21

Zur Vervollständigung der Antwort von PhysikRabe: 1. Der Hilbertraum für (gebundene) Zustände ist der \(L^2(\mathbb{R}^3)\), da dies genau die quadratintegrierbaren Funktionen auf dem \(\mathbb{R}^3\) sind, also (Wellen-)Funktionen \(\Psi: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{C}\) mit \(\int |\Psi(\vec{r})|^2d^3r < \infty\). Wenn du das Betragsquadrat der Wellenfunktion gemäß Born als die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte interpretieren willst, dann ist durch \(\Psi(\vec{r}) \in L^2(\mathbb{R}^3)\) gewährleistet, dass die Wellenfunktion normierbar ist. 2. Da die zwei Vektoren im Hilbertraum \(|\Psi\rangle\) und \(|\Psi'\rangle = e^{i\phi}|\Psi\rangle\) das selbe Betragsquadrat haben, beschreiben sie den selben physikalischen Zustand. Das ist der Grund weshalb ein physikalischer Zustand mit einem Strahl im Hilbertraum (auf dem alle Vektoren die selbe Länge aber unterschiedliche Phase haben) identifiziert wird, statt mit einem einzelnen Vektor. 3. \(\Psi(\vec{r},t) = \Phi(\vec{r})\chi(t)\) kannst du nur schreiben, falls das Problem seperierbar in Ort und Zeit ist. Das geht immer, wenn der Hamiltonian zeitunabhängig ist: Dann lautet die Zeitabhängige Schrödingergleichung für einen allfälligen Eigenvektor von \(H\) \(i\hbar \partial_t |\Psi_0\rangle = H|\Psi_0\rangle = E|\Psi_0\rangle\). Also ist dann \(|\Psi_t\rangle = |\Psi_0\rangle e^{-iEt/\hbar}\) Allgemeiner (also auch falls H zeitabhängig ist), kann man \(|\Psi_t\rangle\) finden, in dem man den s.g. Zeitevolutionsoperator \(U(t_0,t)\) auf die Anfangsbedingung anwendet: Dieser nimmt den Vektor zur Anfangsbedingung zur Zeit \(t_0\) und bildet diesen Vektor auf einen Vektor ab, der die (zeitabhängige) Schrödingergleichung zur Zeit t löst: \(U: H \rightarrow H, \ |\Psi_{t_0}\rangle \rightarrow U(t_0,t)|\Psi_{t_0}\rangle = |\Psi_t\rangle \). Wie man U aus dem gegebenen H (formell) berechnet, kannst du in jedem QM Buch nachschlagen (für zeitunabhängige H ist das einfacher) Das heißt also zusammenfassend, dass auch für einen zeitabhängigen Hamiltonoperator die Lösung zu jeder Zeit ein Vektor (Strahl) im Hilbertraum ist.


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Skalhoef
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25

Hej, kann es vielleicht so sein, dass die Wellenfunktion $\psi( \vec{r} , t)$ eines spinlosen Schrödinger-Teilchens zwar zeitabhängig ist, aber einfach nur für jedes feste $ t_{ \star} \in \mathbb{R}$ dann die Funktion $ \mathbb{R} \ni \vec{r} \longmapsto \psi ( \vec{r} , t_{ \star } )$ im Raum $ L^2( \mathbb{R}^3 ) $ liegt? Många hälsningar Skalhoef


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-25

\quoteon(2021-10-25 15:53 - Skalhoef in Beitrag No. 3) kann es vielleicht so sein, dass die Wellenfunktion $\psi( \vec{r} , t)$ eines spinlosen Schrödinger-Teilchens zwar zeitabhängig ist, aber einfach nur für jedes feste $ t_{ \star} \in \mathbb{R}$ dann die Funktion $ \mathbb{R} \ni \vec{r} \longmapsto \psi ( \vec{r} , t_{ \star } )$ im Raum $ L^2( \mathbb{R}^3 ) $ liegt? \quoteoff Genauso ist es. Allgemein ist im Schrödingerbild der zeitabhängige Zustand eine Funktion $\psi\colon\mathbb R\to\mathcal H$, die jeder Zeit einen Vektor im Hilbertraum zuordnet. In der Ortsdarstellung eines spinlosen Teilchens ist $\mathcal H=L^2(\mathbb R^3)$ und der Zustand $\psi(t)$ zum Zeitpunkt $t$ eine Funktion von $\vec r$. Statt $\psi(t)(\vec r)$ schreibt man üblicherweise $\psi(\vec r,t)$ und das ist genau deine zeitabhängige Wellenfunktion. --zippy


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Skalhoef
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26

Ich danke. Ich mache hier zu. Hälsningar Skalhoef


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Skalhoef hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Skalhoef hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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