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Universität/Hochschule Zweite Quantisierung für zeitabhängige Potenziale
Skalhoef
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Mitteilungen: 233
Wohnort: Uppsala (Schweden)
  Themenstart: 2021-10-21

Hej, ich hatte gehofft, dass mir jemand mal mit einer Unklarheit auf die Sprünge helfen könnte. Ich verstehe nicht ganz wie (ob überhaupt?) das Konzept der zweiten Quantisierung auf zeitabhängige Potenziale übertragen wird. Hier ist, wie ich es bisher für zeitunabhängige Potenziale verstanden habe: Ausgehend von einer fermionischen ein-Teilchen Schrödinger-Gleichung $$ \mathrm{i} \hbar \partial_t \psi( \vec{r} , t) = \left( - \frac{ \hbar^2 }{2m} \Delta + V( \vec{r} ) \right) \psi ( \vec{r} , t ) $$ macht meinen Separationsansatz $\psi( \vec{r} , t) = \phi ( \vec{r}) \varphi(t) $ um die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung $$ E \phi ( \vec{r} ) = \left( - \frac{ \hbar^2 }{2m} \Delta + V( \vec{r} ) \right) \phi ( \vec{r} ) $$ herzuleiten. Jetzt geht man davon aus, dass man die Eigenzustände $\phi_1 , \phi_2 , \ldots$ und die Eigenenergien $E_1 , E_2 , \ldots$ dieser Gleichung kennt. Dann korrespondieren die zweitquantisierten Zustände zu Slater-Determinanten, etwa $$ \langle \vec{x}_1 , \vec{x}_2 | c_1^{\dagger} c_2^{\dagger} | \text{vac.} \rangle = \frac{1}{ \sqrt{2}} \left( \phi_1( \vec{x}_1) \phi_2 ( \vec{x}_2 ) - \phi_1 ( \vec{x}_2 ) \phi_2 ( \vec{x}_1) \right). $$ Zeitabhängige Zustände erhält man dann, indem man auf $\phi_i (\vec{r})$ (bzw. auf $ c_1^{\dagger} c_2^{\dagger} | \text{vac.} \rangle $) den Zeitentwicklungsoperator $U(t) = \mathrm{exp} - \frac{ \mathrm{i}}{ \hbar} H t$ (bzw. $U(t) = \mathrm{exp} - \frac{ \mathrm{i}}{ \hbar} H^{SQ} t$) anwendet. (Oder vertue ich mich jetzt bereits irgendwo?) Wie sieht das ganze denn für zeitabhängige Potenziale aus? Da klappt dann ja der Separationsansatz nicht mehr. Hat man dann unmittelbar zeitabhängige Erzeuger- und Vernichter? Bzw. kann jemand Literatur empfehlen? Ich würde mich über Rückmeldung bzw. Hilfe sehr freuen. :) Många hälsningar Skalhoef


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