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Analysis » Funktionalanalysis » Skalarprodukt eindeutig definiert
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Universität/Hochschule Skalarprodukt eindeutig definiert
NffN1
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  Themenstart: 2021-10-20

Guten Tag, ich muss folgende Aufgabe lösen: Sei $(V,<·, ·>)$ ein Vektorraum mit Skalarprodukt, der bezüglich der induzierten Norm unvollständig ist. Man zeige, dass das Skalarprodukt auf dem vervollständigten Raum eindeutig definiert ist. Ist die Formulierung nicht komisch? Heisst das nicht einfach, dass man in einem Hilbertraum die Wohldefiniertheit vom Skalarprodukt zeigen soll? Wie würde man da vorgehen? MfG, Noah


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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-21

Hallo NffN1! Ich bin sicherlich kein Analysis-Profi, weiß deshalb nicht, inwiefern die Vollständigkeit hier eine Rolle spielt. Aber Eindeutigkeit zu zeigen, würde ich so beginnen ... Man nehme an es gibt zwei verschiedene Skalarprodukte $\langle . , . \rangle_1$ und $\langle ., .\rangle_2$, und man zeigt einen Widerspruch. Alternativ dazu kann man zwei Skalarprodukte $\langle .,.\rangle_1$ und $\langle .,.\rangle_2$ wählen und zeigen, dass sie dann schon ident sein mussten. Ich nehme mal an, es handelt sich um die Vollständigkeit metrischer Räume, da ja das Skalarprodukt eine Norm und die Norm eine Metrik induziert.


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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-21

Nach ein bisschen Recherche im Internet, denke ich Folgendes: Wenn man ein Skalarprodukt eindeutig gegeben hat (zum Beispiel im nicht-vollständigen Raum), dann kann man sich fragen, ob das konstruierte Skalaprodukt (durch Vervollständigung) dann eindeutig ist. Du brauchst wahrscheinlich als Vorwissen: * Cauchy-Folgen * Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen bezüglich deiner Norm (im unvollständigen Raum) * Vervollständigten Raum konstruieren durch Quotientenraum * Norm auf vervollständigen Raum durch Grenzwertbildung definieren * Auf dem vervollständigten Raum ein Skalarprodukt definieren durch Grenzwertbildung Zu zeigen: Dieses konstruierte Skalarprodukt ist eindeutig.


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