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Mathematik » Topologie » relative Abgeschlossenheit
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Beruf relative Abgeschlossenheit
sulky
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  Themenstart: 2021-09-16

Hallo zusammen, Ich konnte die Definition von relativer Abgeschlossenheit nicht finden. Genauer suche ich den Begriff (relatively closed). Dabei geht es um den Beweis folgender Aufgabe: Sei $\mathcal{P}$ die Menge aller stochstischen Matrizen, sodass für $P\in \mathcal{P}$ eine Ratenmatrix $A$ existiert sodass $P=exp(A)$. Zeige dass $\mathcal{P}$ relativ abgeschlossen ist im Raume aller stochastischen $n\times n$ Matrizen positiver Determinante. Wer weiss was man unter "relativer Abgeschlossenheit" versteht?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-16

Der erste Treffer einer Suche nach "relatively closed" beantwortet die Frage: What does relatively closed mean? --zippy


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sulky
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-16

Hallo Zippy und vielen Dank für die schnelle Antwort. Im zitierten Artikel geht es um eine Untermenge von $U \subset \mathbb{R}^n$. Habe ich richtig verstanden, dass $S$ relativ abgeschlossen ist in $U$ wenn ein abgeschlossenes $\tilde S\subset \mathbb{R}^n$ existiert, sodass $S=\tilde S\cap U$ ? Falls ja, dann kann man sagen, dass jedes $S\subset U$, welches bereits abgeschlossen in $U$ ist relativ abgescholssen ist, weil $S=S\cap \mathbb{R}^n$ und somit die relative abgeschlossenheit ein weniger starker begriff als "abgeschlossen ist? Stimmt das so? Stimmt es denn auch, dass die Aussage $S$ ist relativ abgeschlossen in $U$ nur in Bezug auf eine Obermenge von $U$ (in diesem Falle $\mathbb{R}^n$) beurteilt werden kann?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-16

\quoteon(2021-09-16 15:17 - sulky in Beitrag No. 2) Habe ich richtig verstanden, dass $S$ relativ abgeschlossen ist in $U$ wenn ein abgeschlossenes $\tilde S\subset \mathbb{R}^n$ existiert, sodass $S=\tilde S\cap U$ ? \quoteoff Ja. \quoteon(2021-09-16 15:17 - sulky in Beitrag No. 2) Falls ja, dann kann man sagen, dass jedes $S\subset U$, welches bereits abgeschlossen in $U$ ist relativ abgescholssen ist, weil $S=S\cap \mathbb{R}^n$ und somit die relative abgeschlossenheit ein weniger starker begriff als "abgeschlossen ist? \quoteoff Diese Aussage wird richtig, wenn du "bereits abgeschlossen in $U$" durch "bereits abgeschlossen in $\mathbb R^n$" ersetzt. \quoteon(2021-09-16 15:17 - sulky in Beitrag No. 2) Stimmt es denn auch, dass die Aussage $S$ ist relativ abgeschlossen in $U$ nur in Bezug auf eine Obermenge von $U$ (in diesem Falle $\mathbb{R}^n$) beurteilt werden kann? \quoteoff Für $A\subseteq U\subseteq X$ ist "$A$ ist relativ abgeschlossen in $U$" nur eine Kurzform von "$A$ ist abgeschlossen in dem topologischen Raum, der ensteht, wenn man $U$ mit der Relativtopologie von $X$ ausstattet". Also geht in die Definition der relativen Abgeschlossenheit die Topologie von $X$ ein.


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sulky
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-16

Ja, dann passt das ja alles auf das Beispiel und ich kann mich daran machen, den Beweis nachzuvollziehen. Es geht ja um die Obermenge der $n\times n$ Matrizen und und die Frage ob $\mathcal{P}$ relativ abgeschlossen ist im Raume der Sochasischen Matrizen mit positiver Deteriminante. Ich lasse den Beitrag noch offen. Erfahrungsgemäss werden beim Studieren des Beweises weitere Fragen kommen.


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sulky
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-16

Dieser Beweis verwendet einen Zusammenhang zwischen den Diagonalelementen der Ratenmatrix und den Eigenwerten. Uch früher schon in diesem (sehr alten) Text ist mir aufgefallen, dass es da einen Zusammenhang gibt. Wer weiss da mehr darüber? Wenn ich mich richtig erinnere, dann haben wir in der linearen Algebra bewiesen, dass wenn $\lambda_i$ Eigenwert von $A$ ist, dann ist $e^{\lambda_i}$ Eigenwert von $e^A$. Ganz sicher bin ich mir nicht mehr. nun steht hier aber (| | für Determinante): $|P|=\prod_{i}e^{\lambda_i}=exp \sum_i \lambda_i=exp(tr A)$ So irgendwie, als ob ein Diagonalelement und ein Eigenwert dassselbe wäre. Da gibt es offensichtlich einen Zusammenhang, speziell bei Ratenmatrizen. Schon früher ist mir aufgefallen dass $tr(A)\ge -k \Rightarrow |e^A|\ge e^{-k}$


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-16

\quoteon(2021-09-16 21:30 - sulky in Beitrag No. 5) So irgendwie, als ob ein Diagonalelement und ein Eigenwert dassselbe wäre. \quoteoff Die Spur ist invariant gegen Basiswechsel. Also fällt die Summe der Diagonalelemente mit der Summe der Eigenwerte zusammen.


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sulky
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-16

Ja genai, jetzt erinnere ich mich wieder. Vielen Dank


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sulky
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-16

Aber nun verstehe ich nicht ganz, weshalb man von relativer Abgeschlossenheit spricht. In diesem Beweis geht man genauso vor, wie wir dies mehrfach im Topologiekurs gesehen haben um Abgeschlossenheit zu zeigen. Man nimmt eine konvergente Folge innerhalb einer Untermenge und wenn der Grenzwert dieser Folge auch in dieser Untermenge liegt, dann ist die Untermenge Abgeschlossen. Daher verstehe ich nicht, weshalb man von relativer Abgeschlossenheit anstatt nur von Abgeschlossenheit spricht. Jedenfalls wird hier nicht die Existenz von $\tilde S$, wie in Beitrag 3 und 4 beschrieben wurde, bewiesen. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27687_proof.png


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-09-17

\quoteon(2021-09-16 22:59 - sulky in Beitrag No. 8) Daher verstehe ich nicht, weshalb man von relativer Abgeschlossenheit anstatt nur von Abgeschlossenheit spricht. \quoteoff Die relative Abgeschlossenheit kommt ins Spiel, weil man annimmt, dass $B$ eine positive Determinante hat. Betrachten wir die allgemeine Situation $A\subseteq U\subseteq X$ mit einem metrischen Raum $X$. * $A$ ist abgeschlossen $\iff$ jeder Grenzwert einer Folge aus $A$ liegt wieder in $A$. * $A$ ist relativ abgeschlossen $\iff$ jeder Grenzwert einer Folge aus $A$ liegt wieder in $A$, falls er in $U$ liegt. Die Rolle von $\tilde S$ spielt hier der Abschluss $\bar A$, denn man kann den zweiten Punkt auch so formulieren: $A$ ist relativ abschlossen $\iff$ $\bar A\cap U=A$.


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