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Universität/Hochschule mehrdimensionale, stetige Funktionen
mathilde01
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  Themenstart: 2021-08-02

Es seien $d,p\in \mathbb N ,G \subseteq \mathbb R^d$ offen und $f: G\rightarrow \mathbb R^p$ sei in $x_0$ total differenzierbar. Zeigen Sie, dass es ein $\delta >0$ gibt, sodass für alle $h\in U_\delta(0)$ gilt: $\| f(x_0+h)-f(x_0)\|_\infty \leq (\|J_f(x_0)\|_{ZS}+1)\|h\|$ Könnte mir jemand einen Hinweis geben?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-02

Aufgrund der Differenzierbarkeit von $f$ findest du ein $\delta$ mit$$ \|f(x_0+h)-f(x_0)-J_f(x_0)\,h\|_\infty<\varepsilon\,\|h\|_\infty $$für $h\in U_\delta(0)$. Jetzt wende die Dreiecksungleichung auf$$ f(x_0+h)-f(x_0) = \bigl[f(x_0+h)-f(x_0)-J_f(x_0)\,h\bigr]+J_f(x_0)\,h $$an, schätze das Produkt $J_f(x_0)\,h$ ab, indem du den Zusammenhang zwischen Zeilensummennorm und Maximumsnorm ausnutzt, und wähle dann $\varepsilon$ geeignet. --zippy


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mathilde01
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Woher bekommst du dein Epsilon in der ersten Ungleichung?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-08-03 19:26 - mathilde01 in Beitrag No. 2) Woher bekommst du dein Epsilon in der ersten Ungleichung? \quoteoff Aus$$ f(x_0+h)-f(x_0)-J_f(x_0)\,h=o(\|h\|_\infty) $$bzw.$$ \lim\limits_{h\to0}\frac1{\,\|h\|_\infty\!}\, \|f(x_0+h)-f(x_0)-J_f(x_0)\,h\|_\infty=0\;.$$


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mathilde01
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

$\|f(x_0+h)-f(x_0)\|_\infty=\|f(x_0+h)-f(x_0)+J_f(x_0)h-J_f(x_0)h\|_\infty\leq\|f(x_0+h)-f(x_0)+J_f(x_0)h\|_\infty+\|J_f(x_0)h\|\leq \epsilon \|h\|_\infty+max_{j=1}^p|\sum_{k=1}^d \partial_k f_j(x_0)h_k|\leq \epsilon\|h\|_\infty\|h\|_\infty max_{j=1}^p\sum_{k=1}^d\partial_kf_j(x_0)=\|J_f(x_0)\|_{ZS}\|h\|_\infty+\epsilon\|h\|_\infty=(\|J_f(x_0)\|_{ZS}+\epsilon)\|h\|_\infty$ Wenn ich jetzt $\epsilon \leq 1$ wähle, bin ich fertig, oder?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-04

\quoteon(2021-08-03 22:31 - mathilde01 in Beitrag No. 4) Wenn ich jetzt $\epsilon \leq 1$ wähle, bin ich fertig, oder? \quoteoff Ja. Bei der Rechnung fehlen zwischendurch allerdings ein paar Betragsstriche.


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