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Mathematik » Stochastik und Statistik » Wie rechne ich Integrale mit Wahrscheinlichkeitsmaßen aus?
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Universität/Hochschule J Wie rechne ich Integrale mit Wahrscheinlichkeitsmaßen aus?
Potheker
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  Themenstart: 2021-07-29

https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/49091_chrome_iA3GwZgczP.png Ich habe jetzt schon die ganze Stochastik Vorlesung über Probleme überhaupt mit Integralen bei denen \(d\mathbb{P}\) o.ä. am Ende steht etwas anfangen zu können. Obige Aufgabe zielt wahrscheinlich auf die Faltung ab, das Problem lässt sich ja darauf zurückführen dass der Tiefpunkt bei \(\lambda = A\) noch über Null liegen soll (sonst hat das Polynom ja schon 2 reelle Nullstellen). Also ist nach \(\mathbb{P}(B-A^2 > 0)\) gefragt. Muss ich an so einer Stelle nun immer eine Dichtefunktion für beide Zufallsvariablen finden? (also mir anhand der Dichte von A auch eine für \(-A^2\) herleiten) Das habe ich versucht um dann die Dichtefunktion von \(B-A^2\) mit der Faltungsformel zu finden, das wirkte mir aber zu kompliziert mit Fallunterscheidungen bezüglich h und z etc. Ich habe dann versucht die Faltung ohne Dichte zu benutzen, ich interessiere mich ja immerhin auch nur für das Maß eines bestimmten Bereichs, nämlich \(\mathbb{P}_B * \mathbb{P}_{-A^2}((0,\infty))\). Dabei komme ich dann auf \(\int \frac{\sqrt{x}}{h} \mathbb{P}_B(dx)\) und das ist meine eigentliche Frage: Wie fange ich nun irgendetwas mit diesem Integral an? Ich komme mit Lebesgue Integralen sonst nur klar wenn ich sie in Riemann Integrale umwandeln kann... Ich hoffe einfach mal dass ich irgendetwas grundlegendes nicht verstanden habe.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-29

Wenn $A$ und $B$ auf $[0,h]$ gleichverteilt sind, ist $P_A(dx)=P_B(dx)=\frac1h\,dx$. Daraus ergibt sich mit der charakteristischen Funktion $1_{\{(a,b):b>a^2\}}$ sofort$$ \begin{align*} P(B>A^2) &=\int_0^h\int_0^h1_{\{(a,b):b>a^2\}}(x,y)\,P_A(dx)\,P_B(dy) \\[1.5ex] &=\frac1{h^2}\int_0^h\int_0^{\min(h,\sqrt y)}dx\;dy \end{align*} $$und diese iterierten Integrale solltest du leicht ausrechnen können. --zippy


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Potheker
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-29

\quoteon(2021-07-29 18:37 - zippy in Beitrag No. 1) Wenn $A$ und $B$ auf $[0,h]$ gleichverteilt sind, ist $P_A(dx)=P_B(dx)=\frac1h\,dx$. \quoteoff Wie kommt man genau darauf? Ich weiß nicht mal wirklich was \(P_A(dx)\) z.B. überhaupt heißt. Ich kenne dx nur als etwas das hinten im Riemann Integral steht und mir sagt wonach ich integriere. Das ist denke ich so mein größtes Verständnisproblem daran.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, die Dichtefunktion der beiden Zufallsvariablen ist ja jeweils \[f(x)=\bc\frac{1}{h}\quad&,\quad 0\le x\le h\\0\quad&,\quad \text{sonst}\ec\] Die Schreibweise kannte ich auch nicht, aber du hast sie doch selbst im Themenstart verwendet? Um die Vorgehensweise einmal zu veranschaulichen: stelle dir den Definitionsbereich der ZVen \(A\) und \(B\) als Quadrat der Seitenlänge \(h\) in einem Koordinatensystem vor. Das Quadrat steht dann für alle möglichen Paare \((A=a, B=b)\). Aus der Fläche des Quadrats bekommt man sofort die gemeinsame Dichte, die ja dann bei zippy am Ende vor dem Integral steht. \(A^2zippy. Es gibt da allerdings noch eine Klippe zu umgehen. Achte in diesem Zusammenhang insbesondere auf die obere Schranke des inneren Integrals in #1 und mache dir kar, was es damit auf sich hat. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Potheker
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-29

\quoteon(2021-07-29 19:47 - Diophant in Beitrag No. 3) Die Schreibweise kannte ich auch nicht, aber du hast sie doch selbst im Themenstart verwendet? \quoteoff Ja denn (tut mir leid dass ich es etwas schlecht ausgedrückt habe) genau das ist mein Problem. Diese Schreibweise steht bei uns so im Skript, manchmal steht stattdessen auch \(d\mathbb{P}_B(x)\), also wird das wohl einfach eine andere Schreibweise dafür sein. Dabei verstehe ich nun wenigstens was gemeint ist, ich kenne ja Lebesgue Integrale aus der Ana3. Ich verstehe jedoch nicht wie man sie berechnet wenn hinten nicht das Lebesgue-Maß steht sondern wie hier z.B. ein Wahrscheinlichkeitsmaß steht. Die Lösung von zippy zu meiner Aufgabe habe ich gewissermaßen verstanden. Der Integrationsbereich ist die Fläche aller (A,B) sodass \(B > A^2\) gilt und es wird bezüglich der Maße \(\mathbb{P}_A,\mathbb{P}_B\) integriert um die entsprechende Verteilung der Zufallsvariablen mit ein zu berechnen. Ich verstehe nur nicht wie man nun dazu übergeht ganz normal "dx dx" also bezüglich des Lebesgue-Maßes zu integrieren (das was bei zippy das letzte Gleichheitszeichen ist). Kann ich bei einer Zufallsvariable A mit dichte \(f_A\) immer \(\mathbb{P}_A(dx) = f_A(x) dx\) umschreiben? Und was wenn die Variable keine Dichte hat? Muss ich dann eine Dichte finden um erfolgreich ein solches Integral berechnen zu können?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-07-29 20:51 - Potheker in Beitrag No. 4) Ja denn (tut mir leid dass ich es etwas schlecht ausgedrückt habe) genau das ist mein Problem. Diese Schreibweise steht bei uns so im Skript, manchmal steht stattdessen auch \(d\mathbb{P}_B(x)\), also wird das wohl einfach eine andere Schreibweise dafür sein. \quoteoff Hm, soweit ich weiß, nicht so ganz (hier aber schon). Die Schreibweise aus deinem Skript ist allgemeiner, die von zippy nutzt man soweit ich weiß bzw. herausgefunden habe nur für Wahrscheinlichkeitsmaße auf \(\IR\) (oder auch auf \(\overline{\IR}\)). Dann kann man sowohl \(\dd P\) als auch \(P(\dd x)\) schreiben, das ist dann synonym. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-03

Zur Notation: Es gab letztens auf dem MP eine Diskussion dazu: hier. Vielleicht ist sie hilfreich.


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-08-03 12:26 - Diophant in Beitrag No. 5) Die Schreibweise aus deinem Skript ist allgemeiner, die von zippy nutzt man soweit ich weiß bzw. herausgefunden habe nur für Wahrscheinlichkeitsmaße auf \(\IR\) (ode auch auf \(\overline{\IR}\)). Dann kann man sowohl \(\dd P\) als auch \(P(\dd x)\) schreiben, das ist dann synonym. \quoteoff Das ist nicht auf Wahrscheinlichkeitsmaße beschränkt. Für beliebige Maße kann man die äquivalenten Schreibweisen$$ \int f\,\mathrm d\mu\;,\quad \int f(x)\,\mathrm d\mu(x)\;,\quad \int f(x)\,\mu(\mathrm dx) $$finden. Nach meinem Eindruck ist $\mathrm d\mu(x)$ verbreiteter. $\mu(\mathrm dx)$ sieht auf den ersten Blick suggestiver aus, passt aber beispielsweise nicht gut zur üblichen Schreibweise der Radon-Nikodym-Ableitung. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Potheker
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Das mit der Schreibweise wird nun für meine Prüfung wahrscheinlich gar nicht mal so relevant sein, viel mehr am Herzen würde mir diese Frage liegen: \quoteon(2021-07-29 20:51 - Potheker in Beitrag No. 4) Kann ich bei einer Zufallsvariable A mit dichte \(f_A\) immer \(\mathbb{P}_A(dx) = f_A(x) dx\) umschreiben? Und was wenn die Variable keine Dichte hat? Muss ich dann eine Dichte finden um erfolgreich ein solches Integral berechnen zu können? \quoteoff Bzw. falls es nicht immer so ist, wie man denn bei dieser Aufgabe darauf kommt.


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-07-29 20:51 - Potheker in Beitrag No. 4) Kann ich bei einer Zufallsvariable A mit dichte \(f_A\) immer \(\mathbb{P}_A(dx) = f_A(x) dx\) umschreiben? \quoteoff Ja, das ist genau die Definition einer Dichte. Dabei sollte man diese Gleichung als Randon-Nikodym-Ableitung lesen:$$ {\mathrm d\mathbb{P}_A\over\mathrm dx}=f_A(x)\;, $$ wobei $\mathrm dx$ das Lebesgue-Maß bezeichnet. \quoteon(2021-07-29 20:51 - Potheker in Beitrag No. 4) Und was wenn die Variable keine Dichte hat? Muss ich dann eine Dichte finden um erfolgreich ein solches Integral berechnen zu können? \quoteoff Nein, es muss keine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes geben und man muss auch keine finden, um so ein Integral berechnen zu können. Maße mit diskretem Träger, für die das Integral zu einer (unendlichen) Summe wird, sind ein Beispiel, wie es auch ohne so eine Dichte geht. \quoteon(2021-08-03 18:57 - Potheker in Beitrag No. 8) Bzw. falls es nicht immer so ist, wie man denn bei dieser Aufgabe darauf kommt. \quoteoff In der Aufgabenstellung ist von "Gleichverteilung auf $[0,h]$" die Rede, und man muss wissen, was das bedeutet.


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Potheker
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-04

Super, vielen dank! Wenn das mit einer Dichte immer so geht dann ist mir natürlich auch klar wie man hier anhand der Gleichverteilung darauf kommt.


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