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Integration » Integration im IR^n » Doppelintegral und Grenzwerte der Stammfunktion tanh(x)
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Universität/Hochschule Doppelintegral und Grenzwerte der Stammfunktion tanh(x)
EntangledCatState
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-06


Hallo zusammen,

ich habe ein Problem beim Lösen eines verschachtelten Doppelintergrals und den Grenzwerten der Stammfunktion. Folgendes Beispiel:

\[\int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy ~~f(x) g(x,y)  = \int_{-\infty}^{\infty} dx f(x) \left[\tanh(y-x) \Bigg|_{-\infty}^{\infty} \right]  \]
Für den tanh(x) gelten die Grenzwerte \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty} \tanh(x)=\pm 1\) wohingegen \(\tanh(0)=0\). Wie verfahre ich jetzt korrekt mit dem Einsetzen der Grenzen und der zweiten Integration? Die Grenzwerte für den tanh(x) kann ich ja nicht annehmen wenn danach über alle Werte von x (auch \(x\rightarrow \pm \infty\)) integriert wird oder? Hat jemand eine Idee oder Literatur zum nachlesen?

Viele Grüße



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-06

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Hallo und willkommen hier im Forum!

Da die innere Integration nach \(y\) geht, musst du die Schranken auch für \(y\) einsetzen und kannst die Grenzwerte des Tangens hyperbolicus somit getrost verwenden.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration im IR^n' von Diophant]
\(\endgroup\)


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EntangledCatState
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Hallo Diophant,

super vielen Dank. Das heißt bei der inneren Integration über y bleibt das Argument x endlich. Erst bei der zweiten Integration über x wird dann der Grenzwert von \(x\rightarrow \pm \infty \) betrachtet?

viele Grüße



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-06

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Hallo,

2021-05-06 11:57 - EntangledCatState in Beitrag No. 2 schreibt:
super vielen Dank. Das heißt bei der inneren Integration über y bleibt das Argument x endlich. Erst bei der zweiten Integration über x wird dann der Grenzwert von \(x\rightarrow \pm \infty \) betrachtet?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ganz genau. 👍

(Mit der gleichen Logik bleibt ja auch der Faktor \(f(x)\) von dieser inneren Integration unberührt, da er als konstant angenommen wird.)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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