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Universität/Hochschule J Kommutator Drehimpuls Hamiltonoperator
Quantenfreak
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-04


Hallo Matheplanet!
Ich möchte zeigen, dass der Drehimpulsoperator mit dem Hamiltonoperator vertauscht (zentralsym. Potential). In meinem Skript ist hierzu folgende Formel angeschrieben

\[\begin{split}[L,H] & =\frac{1}{2m}[r\times p,p^2]+[r\times p,V] \\ &= \frac{1}{2m}[r,p^2]\times p+r\times [p,V]\end{split} \tag{1}\]
Natürlich könnte man auch komponentenweise rechnen aber das wäre sehr mühsam. Eleganter finde ich da schon den obigen Ansatz. Mir ist aber nicht klar wie das Kreuzprodukt aus dem Kommutator "herausgezogen" wird. Kann mir hierzu jemand einen Tipp geben?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04


2021-03-04 16:20 - Quantenfreak im Themenstart schreibt:
Mir ist aber nicht klar wie das Kreuzprodukt aus dem Kommutator "herausgezogen" wird.

Schreib es in Komponenten hin, zieh es heraus, und fass es wieder zusammen:$$ \begin{align*}
&\bigl(\,[\mathbf a\times\mathbf b,c]\,\bigr)_i =
[\varepsilon_{ijk}\,a_j\,b_k,c] =
\varepsilon_{ijk}\,a_j[b_k,c]+\varepsilon_{ijk}\,[a_j,b_k,c] =
\bigl(\,\mathbf a\times[\mathbf b,c]
  +[\mathbf a,c]\times\mathbf b\,\bigr)_i\\[1.5ex]
&\implies\quad
[\mathbf a\times\mathbf b,c] =
\mathbf a\times[\mathbf b,c]
  +[\mathbf a,c]\times\mathbf b
\end{align*}$$--zippy



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Quantenfreak
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05


Danke für deine Nachricht. Im Grunde muss man also mit Null addieren oder?

\[\begin{split} \bigl([\mathbf{a}\times \mathbf{b},c]\bigr)_i & =\varepsilon_{ijk}\bigl(a_jb_kc-ca_jb_k+\underbrace{a_jcb_k-a_jcb_k}_{=0}\bigr) \\ & = \varepsilon_{ijk}(a_jb_kc-a_jcb_k+a_jcb_k-ca_jb_k) \\ & = \varepsilon_{ijk} a_j[b_k,c]+\varepsilon_{ijk}[a_j,c]b_k \\ & = \bigl(\mathbf{a}\times [\mathbf{b},c]+[\mathbf{a},c]\times \mathbf{b}\bigr)_i\end{split}\]



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-05


2021-03-05 11:16 - Quantenfreak in Beitrag No. 2 schreibt:
Im Grunde muss man also mit Null addieren oder?

Ja, auf diesen Punkt war ich gar nicht eingegangen. Ganz unabhängig vom Thema Kreuzprodukt gilt für den Kommutator eine Produktregel:$$ [ab,c]=a\,[b,c]+[a,c]\,b$$



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Quantenfreak
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05


Super. Danke für deine Hilfe!



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