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| Autor |
  Warum sind die Tschebyschev-Polynome eigentlich Polynome? |
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6259
Herkunft: Wien
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Hallo! Wenn die Tschebyschev-Polynome so definiert wurden: T_n(x):=cos(n*arccos(x)) | | | | | x\el\ intervall(-1,1) Was antwortet man dann auf die gefürchtete Zusatzfrage, warum das überhaupt Polynome sind? Es wird kein langatmiger Beweis erwartet, sondern eine kurze Begründung. Hat jemand eine Idee? Danke Radix
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2667
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-02
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
man kann $\cos(ny)$ als ein Polynom in $\cos(y)$ und $\sin(y)$ schreiben (z.B. durch wiederholte Anwendung von Additionstheoremen).
Aufgrund der Symmetrie $\cos(ny) = \cos(-ny)$ kann man dieses Polynom so wählen, dass nur gerade Potenzen von $\sin(y)$ auftreten.
Wegen $\sin^2(y) = 1-\cos^2(y)$ folgt, dass $\cos(ny)$ sogar ein Polynom in $\cos(y)$ ist.
Für $y=\arccos(x), x\in[-1,1]$ folgt wegen $\cos(\arccos (x))= x$, dass $T_n(x)$ ein Polynom in $x$ ist.\(\endgroup\)
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6259
Herkunft: Wien
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02
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Meine eigenen Überlegungen waren recht ähnlich. Der entscheidende Mosaikstein, der mir fehlt, ist aber:
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-03-02 17:59 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Aufgrund der Symmetrie $\cos(ny) = \cos(-ny)$ kann man dieses Polynom so wählen, dass nur gerade Potenzen von $\sin(y)$ auftreten. \(\endgroup\)
Kannst du das näher erläutern?
Danke
Radix
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2667
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-02
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hilft dir die Gleichung $\cos (ny) = \frac 12(\cos(ny)+\cos(-ny))$ weiter?\(\endgroup\)
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6259
Herkunft: Wien
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02
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Clever. Ich versuchte zu verhindern, dass die ungeraden Sinuspotenzen entstehen. Du hingegen zauberst sie im Nachhinein weg.
Vielen Dank
Radix
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5541
Herkunft: Berlin
 |  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-04
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Alternativ folgt das auch aus der Rekursionsformel $T_{n+1}(x)=2 x T_n(x) - T_{n-1}(x)$ (mit Anfangswerten $T_0(x)=1$, $T_1(x)=x$). Diese Beschreibung ist vielleicht ohnehin besser, weil hier keine Beschränkung auf $x \in [-1,1]$ nötig ist (bzw. ja $x$ sogar als formale Variable angesehen werden kann).
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