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 3 DGLen durch 2 DGLen ersetzen |
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crepes12
Aktiv 
Dabei seit: 06.07.2014
Mitteilungen: 58
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Hallo,
Angenommen man hat in einem Punkt die Variablen \(c_1\), \(c_2\) und \(c_3\). Diese sind aber miteinander verbunden über \(c_1 + c_2 + c_3 = 1\).
In diesem Punkt sollen sich diese Variablen nun zeitlich entwickeln über
\[
\frac{\partial c_1}{\partial t} = -\frac{\partial \psi}{\partial c_1} \\
\frac{\partial c_2}{\partial t} = -\frac{\partial \psi}{\partial c_2} \\
\frac{\partial c_3}{\partial t} = -\frac{\partial \psi}{\partial c_3}
\]
Man kennt jetzt z.B.
\[
\psi = \sum_{i=1}^{3}\left( g_i c_i + c_i \ln(c_i) \right)
\]
Da wir ja \(c_1 + c_2 + c_3 = 1\) haben, braucht man eigentlich nur 2 dieser 3 Entwicklungsgleichungen. Man kann dann vorher \(\psi\) umschreiben und dabei \(c_3\) ersetzen
\[
\psi = \sum_{i=1}^{2}\left( g_i c_i + c_i \ln(c_i) \right) + g_3(1-c_1-c_2) + (1-c_1-c_2) \ln(1-c_1 - c_2)
\]
und bekommt dann
\[
\frac{\partial c_1}{\partial t} ~~=~~ -\left[ g_1 - g_3 + \ln(c_1) - \ln(1 - c_1 - c_2) \right] ~~=~~-\left[ g_1 - g_3 + \ln(c_1) - \ln(c_3) \right] \\
\frac{\partial c_2}{\partial t} ~~=~~ -\left[ g_2 - g_3 + \ln(c_2) - \ln(1-c_1-c_2) \right] ~~=~~-\left[ g_2 - g_3 + \ln(c_2) - \ln(c_3) \right]
\]
was das gleiche ist, wie wenn man direkt schreiben würde
\[
\frac{\partial c_1}{\partial t} = -\left(\frac{\partial \psi}{\partial c_1} - \frac{\partial \psi}{\partial c_3} \right) \\
\frac{\partial c_2}{\partial t} = -\left(\frac{\partial \psi}{\partial c_2} - \frac{\partial \psi}{\partial c_3} \right)
\]
ohne bei \(\psi\) das \(c_1 + c_2 + c_3 = 1\) einzusetzen.
Gibt es da irgendwie ein Stichwort, das mir helfen könnte zu verstehen, wie man vielleicht direkt auf diese letzten zwei Gleichungen kommt bei der Verkleinerung des Differentialgleichungssystems?
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haerter
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-21
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Hallo,
zuerst eine kleine Rückfrage: Ich erkenne überhaupt nicht, warum die Relation $c_1+c_2+c_3 =1$ entlang von Lösungen erhalten bleiben soll. Übersehe ich da etwas?
Viele Grüße,
haerter
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crepes12
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21
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Hallo haerter,
Danke für die Antwort. Zur Rückfrage: zu \(c_1 + c_2 + c_3 = 1\) kann ich lediglich sagen, dass es mehr oder weniger von dem zugehörigen physikalischen System so vorgegeben wird. (Und die Differentialgleichungen die ich da zeige, sehen eigentlich anders aus, habe das etwas vereinfacht, aber gehe davon aus, dass die vereinfachte Version für die Frage hinreichend ist. Eigentlich sind da u.a. auch noch Divergenzen und Gradienten. Geht um Diffusion und \(c_i\) sind Stoffmengenanteile. Wenn ich da mit der Verwendung der Vereinfachung falsch zu liegen scheine, kann ich das auch nochmal etwas erweitert aufschreiben.)
Ich weiß nicht, ob die Relation bereits in den 3 DGLen am Anfang irgendwie eingebaut sein muss. Bzgl. korrekter mathematischer Formulierungen bin ich leider nicht sehr gut ausgebildet bzw. mein Wissen ist da ziemlich lückenhaft.
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haerter
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-21
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Hallo,
ich hatte erstmal nur die drei Gleichungen
\[
\frac{\partial c_1}{\partial t} = -\frac{\partial \psi}{\partial c_1} \\
\frac{\partial c_2}{\partial t} = -\frac{\partial \psi}{\partial c_2} \\
\frac{\partial c_3}{\partial t} = -\frac{\partial \psi}{\partial c_3}
\]
addiert zu
\[
\frac{\partial}{\partial t}(c_1+c_2+c_3) = -\frac{\partial \psi}{\partial c_1} -\frac{\partial \psi}{\partial c_2}-\frac{\partial \psi}{\partial c_3}
\]
und soweit ich das sehe, ist die rechte Seite für das von Dir angegebene  nicht Null.
Ich hätte nämlich erwartet, dass Du einfach nur die ersten beiden von den drei Differentialgleichungen lösen musst (und ggf. noch  dort anwendest) und die dritte DGL dann automatisch erfüllt sein sollte.
Viele Grüße,
haerter
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crepes12
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22
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Ja das stimmt.. ich glaube, das, was ich meine ist eher so, dass man zunächst diese 3 DGLen hat, weil man sich das vielleicht so aus der Physik hergeleitet hat und nun möchte man anschließend noch eine Art Zwang einbauen, dass \(c_1 + c_2 + c_3 = 1\) gilt.
Soweit ich weiß könnte man ja diese Relation nachträglich einbauen, indem man sowas in der Art macht:
\[
\frac{\partial c_1}{\partial t} = -\frac{\partial \psi}{\partial c_1} + \beta\\
\frac{\partial c_2}{\partial t} = -\frac{\partial \psi}{\partial c_2}+\beta\\
\frac{\partial c_3}{\partial t} = -\frac{\partial \psi}{\partial c_3} + \beta
\]
und alle drei Gleichungen aufaddiert:
\[
0 = -\left( \frac{\partial \psi}{\partial c_1} + \frac{\partial \psi}{\partial c_2} + \frac{\partial \psi}{\partial c_3} \right) +3\beta
\]
\[
\beta = \frac{1}{3} \left( \frac{\partial \psi}{\partial c_1} + \frac{\partial \psi}{\partial c_2} + \frac{\partial \psi}{\partial c_3} \right)
\]
Wenn mich nicht alles täuscht, müssten dann zwei dieser drei neu entstehenden DGLen mit \(\beta\) eingesetzt dann ausreichen um eine Entwicklung zu beschreiben, bei der stets \(c_1 + c_2 + c_3 = 1\) erfüllt ist. (Ich hab das mal mit einem einfacheren \(\psi = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2\) ausprobiert, was dann im Grunde \(\frac{\partial c_i}{\partial t} = -2c_i + \frac{2}{3} = 2(\frac{1}{3} - c_i)\) liefert.)
Naja und diese Sache hier:
\[
\frac{\partial c_1}{\partial t} = -\left(\frac{\partial \psi}{\partial c_1} -\frac{\partial \psi}{\partial c_3} \right)\\
\frac{\partial c_2}{\partial t} = -\left(\frac{\partial \psi}{\partial c_2} - \frac{\partial \psi}{\partial c_3}\right)
\]
kann man anscheinend auch irgendwie als ein nachträgliches "einbauen" von \(c_1 + c_2 + c_3 = 1\) sehen. Und wenn das so ist, dann suche ich im Grunde eine Art Begründung wieso das funktioniert. Bzw. ich hatte eigentlich gehofft, dass sowas eine ganz typische Methode ist und man zu sowas dann viel im Internet findet sobald ich da einen Namen für kenne
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