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Funktionentheorie » Holomorphie » Laurentreihen anwenden, transzendente Funktionen
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Universität/Hochschule Laurentreihen anwenden, transzendente Funktionen
mathe22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-05


Moin, habe folgende Aufgabe erhalten:

Es sei \( K \subset \mathbb{C} \) kompakt und \( f: \mathrm{C} \backslash K \rightarrow \mathbb{C} \) holomorph. Zeigen Sie, dass das Verhalten von \( f \) für \( z \rightarrow \infty \) durch genau einen der folgenden drei Falle beschricben wird:
(a) Es gibt ein \( w_{0} \in \mathbb{C}, \) sodass \( f(z) \rightarrow w_{0} \) für \( z \rightarrow \infty \)
(b) Es gibt ein \( a \in \mathbb{C} \backslash\{0\} \) mit \( f(z) \approx a z^{m} \) für \( z \rightarrow \infty \)
(c) Zu jedem \( w \in \mathbb{C} \) gibt es \( z_{n} \rightarrow \infty \) mit \( f\left(z_{n}\right) \rightarrow w \).
Zeigen Sie weiterhin, dass ganze Funktionen \( f \) im Fall (a) konstant sind, im Fall (b) ein Polynom, und im Fall (c) transzendent (d.h. kein Polynom).

Ich denke man muss hier \( f\left(\frac{1}{2}\right) . \) betrachten. Für b) benötigen wir Laurentreihen, das weiß ich

Mir fällt hier leider mehr als das nichts ein, hat jemand Ahnung wie man hier das weiter zu lösen hat?
Vielen Dank im Voraus!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9112
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Was erhälst du denn mit \( f(\frac{1}{2})\)? Es könnte natürlich der gefährliche Fall auftreten, dass \( K=\lbrace \frac{1}{2}\rbrace\) ist.
Wie geht es dann weiter?

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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