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Funktionentheorie » Holomorphie » Casorati-WeierstraB-Satz anwenden		Druckversion
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Ausbildung Casorati-WeierstraB-Satz anwenden
Lisamayer98
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-05


Aufgabe:

(a) Beweisen Sie den Satz von Casorati-WeierstraB:
Sei \( z_{0} \in \mathbb{C}, r_{0}>0, f: B_{r_{0}}\left(z_{0}\right) \backslash\left\{z_{0}\right\} \rightarrow \mathbb{C} \) holomorph, und \( z_{0} \) eine wesentliche
singularität. Dann ist \( f\left(B_{r}\left(z_{0}\right) \backslash\left\{z_{0}\right\}\right) \) dicht in \( \mathbb{C} \) für alle \( r \in\left(0, r_{0}\right) \) Bemerkung: Es gilt sogar mehr (großer Satz von Picard): Entweder \( f\left(B_{r}\left(z_{0}\right) \backslash\left\{z_{0}\right\}\right)= \) C oder \( f\left(B_{r}\left(z_{0}\right) \backslash\left\{z_{0}\right\}\right)=\mathbf{C} \backslash\left\{w_{0}\right\} \) für ein \( w_{0} \in \mathbb{C} \)
(b) Zeigen Sie (ohne Verwendung des groBen Satzes von Picard), dass die Funktion
\(
f: \mathbb{C} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{C}, z \mapsto f(z)=e^{\frac{1}{x}}
\)
in jeder punktierten Umgebung von 0 jeden Wert \( w \in \mathbb{C} \backslash\{0\} \) annimmt.


Kann jemand bitte helfen, wie man hier mit dem Casorati-WeierstraB Satz das beweist? Danke im Voraus!


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