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Funktionentheorie » Holomorphie » Cauchy-Riemannsche DGL benutzen
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Universität/Hochschule Cauchy-Riemannsche DGL benutzen
lolabecker78
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-05


Moin Leute, ich muss einmal mit elementaren Mitteln (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen) und einmal mit dem Satz über Gebietstreue folgende Aussage zeigen: Ist \( f: \Omega \rightarrow \mathrm{C} \) holomorph, \( \Omega \subset \mathbb{C} \) ein Gebiet und \( f=u+i v \) mit \( u=\chi \circ v \) für eine differenzierbare Funktion \( \chi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \) dann ist \( f \) konstant.

Wisst ihr, wie man hier vorgeht?

LG



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-05


Fang mal an zu rechnen, dann sehen wir weiter.

Wally



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janewill
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-05


Na Klar, immer gerne!!! 🤗

Mit Cauchy-Riemann: Es muß $u_x=v_y$ und $u_y=-v_x$ gelten. Aus $u_x = \chi'\circ v \cdot v_x$ und $u_y = \chi'\circ v \cdot v_x$ folgt
$$-v_x = u_y = \chi'\circ v \cdot v_y = \chi'\circ v \cdot u_x = (\chi'\circ v )^2 \cdot v_x$$ Ebenso gilt  $ v_y=-(\chi'\circ v )^2 \cdot v_y$. Falls $f$ nicht konstant ist gibt es einen Punkt an der die partiellen Ableitungen nicht verschwinden und daher gilt dort $-1 =(\chi'\circ v )^2>0$, was ein Widerspruch ist.

Lösung mittels Gebietstreue folgt...



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-05


Hallo jane,

herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Sehr freundlich von dir, deine Lösung gleich reinzustellen.
Aber es ist besser für Lola, wenn sie erstmal zeigt, was sie selbst gerechnet und verstanden hat - nur vom Ansehen von Lösungen lernt man es ja leider nicht.

Viele Grüße

Wally



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janewill
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-05


Hallo Wally,

vielen Dank für die netten Worte. Mir ist aufgefallen, dass Du schon ein einartig intensives Interesse an Lola zu haben scheinst. Möglicherweise lohnt es sich ein wenig darüber zu meditieren, ob Lola ebenfalls den Wunsch nach "Privatunterricht" teilt (oder eher nicht).

nun zur Gebietstreue. aus $u=\chi\circ v$ folgt, dass $f(z)$ die Gestalt $f(c)+ic$ hat. Insbesondere gilt $f(\Omega)\subseteq G$ mit $G:=\{\chi(x)+ix\mid| x\in\mathbb{R} \}$. $G$ beschreibt einfach den Graph von $\chi$ in $\mathbb{C}$. Vor allem enthält $G$ an keiner Stelle $f(c)+ic$ einen offene Kreisscheibe. Daher kann $f(\Omega)$ nicht offen sein. Somit ist $f$ konstant.



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lolabecker78
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-05


Hallo Janewill,

danke für deine ausführliche Hilfestellung!

Ah mach dir um den Wally keine Sorgen, er ist ein feiner junge, manchmal hat er nur seine Phasen.. ;)



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