Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » komplexe Analysis holomorphe Funktionen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J komplexe Analysis holomorphe Funktionen
Fordanester
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.12.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-12


Ich stehe vor folgender Aufgabe die ich als Übungsbeispiel zur Vorbereitung für einen Test nächste Woche bekommen habe:
Sei \(g: D \rightarrow \mathbb{C}\) eine holomorphe Funktion mit \(g(0) = 0\) und \(g'(0) \neq 0\). Zeige, dass es keine holomorphe Funktion \(h: D \setminus \lbrace 0 \rbrace \rightarrow \mathbb{C}\) mit \(h^2 = g\) gibt.
Mir fehlt der richtige Ansatz. Ich habe versucht verschiedene Sätze aus der Vo zu verwenden (z.B zu verwenden, dass 0 dann eine Nullstelle 1. Ordnung ist und ich g als Produkt schreibe, oder, dass Null in der Nullstellenmenge ein isolierter Punkt ist; Cauchy Riemann Gleichungen wollte ich überprüfen..) aber komme mit nichts auf einen guten Weg.
Würde mich über einen Ansatz freuen, wobei die Sätze die zu verwenden sind (falls man überhaupt einen braucht) sich an der Einführungsvorlesung in die komplexe Analysis im dritten Semester orientieren sollten.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5467
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-12


Es ist sinnvoller, zu zeigen: Wenn $g(0)=0$ und $g=h^2$ für eine holomorphe Funktion $h$ auf $D \setminus \{0\}$, dann ist $g'(0)=0$.

Wenn die Funktion $h$ mit $h(0) := 0$ auch auf $D$ holomorph wäre, bekommt man mit der Produktregel sofort $g'(0)=2 h'(0) h(0) = 0$.

Deine Aufgabe ist es also, zu zeigen, dass sich $h$ auf $D$ holomorph fortsetzen lässt.

PS: Ich habe noch nicht geprüft, ob dieser Beweisansatz funktioniert.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Fordanester
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.12.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-12


Danke Triceratops, mit dem Ansatz (bzw war das schon quasi die Lösung) ist die Aufgabe ein 2 Zeiler. Sobald h mit dieser Fortsetzung stetig ist folgt sofort mit einem Satz aus der VO, dass h auch holomorph ist.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Fordanester hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Fordanester hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Fordanester wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]