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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Rationale Punkte induzieren Morphismen
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Universität/Hochschule J Rationale Punkte induzieren Morphismen
Saki17
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Mitteilungen: 799
  Themenstart: 2020-07-30

Hallo, ich lese folgenden Text(+eigene Übersetzung): Sei $V$ eine glatte projektive Varietät* über einem Funktionskörper $K:=k(C)$, wobei $k$ ein Körper und $C$ eine glatte projektive Kurve über $k$ sind (im Notfall nehme man an, dass $k$ alg. abgeschlossen ist). Man könne eine ("genügend glatte") projektive Varietät $V'$ über $k$ konstruieren mit der Eigenschaft, dass ein Morphismus $\pi: V'\to C$ existiert, sodass die generische Faser von $\pi$ $K$-isomorph zu $V$ ist. Nun kommen die fraglichen Behauptungen: Sei $P\in V(K)$ ein $K$-rationaler Punkt. 1. Dann induziert $P$ eine rationale Abbildung $f_P: C\to V'$. 2. Tatsächlich ist $f_P$ ein Morphismus (von Varietäten), weil $C$ glatt und $V'$ projektiv sind. Welche Fakten werden verwendet, um Beh. 1 & 2 zu zeigen? (Vielleicht liegt die Antwort in der Konstruktion von $V'$, die ich noch nicht gesehen habe.) *: Mit "Varietäten" meine ich separierte und geometrisch integrale Schemata, die von endlichem Typ über Körper sind.


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Seligman
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-03

Könntest du die Quelle dazu angeben?


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Saki17
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-03

@Seligman Hindry&Silverman, "Diophantine Geometry", Seite 243.


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Saki17
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-24

Die beiden Behauptungen sollten aus https://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf#page104 Prop.3.6.5 folgen.


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Saki17 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Saki17 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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