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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Produkt endlicher Körper Elemente gleich -1
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Universität/Hochschule J Produkt endlicher Körper Elemente gleich -1
LukasNiessen Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-07-04
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Hey,

man soll zeigen, dass das Produkt der Elemente von $G=K^*$, mit K endlicher Körper, -1 ist.

Mein Ansatz:
Sei etwa char K = p.
Wir haben bereits bewiesen, dass G zyklisch ist, sei etwa <a> = G.
Es gibt nun ein n mit $\text{ord}(K) = p^n$ und damit gilt $p^n-1$ = ord(a)

Sei $s = \sum_0^{p^n-2} i$
Folglich ist:
$\prod_{i \in G}i = a^{s} = a^{\frac{1}{2}(p^n-2)(p^n-1)}$

Aber wie daraus nun die additive Inversität zur 1 folgen soll, ist mir unklar.

Jemand einen Tipp?

Danke!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄
\(\endgroup\)


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Buri Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 02.08.2003, Mitteilungen: 46239, aus: Dresden
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-04

Hi Lukas,
diese Aufgabe wurde schon oft gestellt, siehe hier.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-04

Quadriere doch mal deinen Ausdruck.

Man kann diese Aussage auch leichter beweisen, ohne explizit zu verwenden, dass die Einheitengruppe eines endlichen Körpers zyklisch ist.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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LukasNiessen Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04

Danke für die Hinweise, ist nun gelöst.


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne :-)



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LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LukasNiessen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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