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| Autor |
 Fluchtgeschwindigkeit |
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bruhdanone
Junior 
Dabei seit: 05.11.2019
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2019-11-28
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Hallo liebe Community,
ich hänge gerade an folgender Aufgabe fest und würde mich über hilfreiche Tipps freuen. In der Vorlesung hatten wir die Fluchtgeschwindikeit am Beispiel einer Rakete gehabt, die mit der Zeit ihre Gesamtmassse durch das Verbrauchen von Treibstoff ändert.
Was mich bei dieser Aufgabe verwirrt, ist das von einer Rakete nicht die Rede ist. Kann ich einfach annehmen, dass er sich in einer befindet und mit
m(t)=m_0-\lambda*t
die Änderung der Masse in der Bewegungsgleichung
m*a=-mg-m`*v_0
(m` sollte Ableitung von m nach der Zeit darstellen, entschuldigt die fehlenden Latex skills) einsetzen?
Ich bin für jeden Tipp dankbar!
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52161_aufgabe_4_gravitation.PNG
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3286
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-28
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Hallo
Die Masse der Person sollte sich hier nicht ändern. Ich würde benutzen, dass die Geschwindigkeit das Integral der Beschleunigung ist.
Über F/m erhält man a=G*M/r^2 als Erdbeschleunigung.
Gruß Caban
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trunx
Senior
Dabei seit: 16.08.2003
Mitteilungen: 2867
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-28
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hallo und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten,
die Aufgabe ist so gemeint, dass es nicht interessiert, wie die Person die fragliche Geschwindigkeit erreicht (da müsste dann tatsächlich eine Rakete berücksichtigt werden), sondern deutlich einfacher, nämlich nur, welche Geschwindigkeit das sein muss.
Hilft dir das schon?
bye trunx
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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bruhdanone
Junior 
Dabei seit: 05.11.2019
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-28
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trunx, Caban vielen Dank für eure Antworten!
\quoteon(2019-11-28 10:46 - trunx in Beitrag No. 2)
Hilft dir das schon?
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\quoteoff
Ja, das hat die Angelegenheit erheblich erleichtert.
\quoteon(2019-11-28 10:45 - Caban in Beitrag No. 1)
Die Masse der Person sollte sich hier nicht ändern. Ich würde benutzen, dass die Geschwindigkeit das Integral der Beschleunigung ist.
Über F/m erhält man a=G*M/r^2 als Erdbeschleunigung.
\quoteoff
Ist es also so, dass die Fluchtgeschschwindigkeit nicht von der Masse des Objektes abhängt? Die Formel der 2. kosmischen Geschwindigkeit lautet ja
V_F=sqrt(2*G*(M_Erde/r_Erde))
Wobei ich nun auch an meiner vorgeschlagenen Bewegungsgleichung zweifle. Selbst wenn ich für a die Erdbeschleunigung einsetzte, verstehe ich nicht ganz wie ich daraus zu einer Geschwindigkeit kommen soll.
LG Done
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jacha2
Senior
Dabei seit: 28.05.2013
Mitteilungen: 1218
Wohnort: Namur
|  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-28
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Salut & bienvenu sur la planète de la mathématique,
da Du für jeden Tip Dank bekundest, auch noch folgendes:
\quoteon(2019-11-28 02:55 - bruhdanone im Themenstart)...ich hänge gerade an folgender Aufgabe fest und würde mich über hilfreiche Tipps freuen. In der Vorlesung hatten wir die Fluchtgeschwindikeit am Beispiel einer Rakete gehabt, die mit der Zeit ihre Gesamtmassse durch das Verbrauchen von Treibstoff ändert.
Was mich bei dieser Aufgabe verwirrt, ist das von einer Rakete nicht die Rede ist. Kann ich einfach annehmen, dass er sich in einer befindet und mit
m(t)=m_0-\lambda*t
die Änderung der Masse in der Bewegungsgleichung
m*a=-mg-m`*v_0
...Ich bin für jeden Tipp dankbar!
\quoteoff
Die uns gezeigte Aufgabenstellung ist mißverständlich und womöglich unvollständig.
Sie tritt normalerweise im Zusammenhang mit der Erörterung des Graviationspotentials und im Rahmen der "Himmelsmechanik" auf.
Sie ist weiterhin mißverständlich, da nicht gesagt wird, wo und womit diese Geschwindigkeit erreicht werden soll. Deswegen könnte allein vom Text her erwidert werden, daß die Geschwindigkeit relativ zur Erdoberfläche nur dauerhaft > 0 sein muß, damit die Testmasse irgendwie, irgendwann in die Weiten des Weltalls entschwunden sein wird.
Deswegen wird die Fluchtgeschwindigkeit, wie das womöglich gesuchte Ergebnis genannt wird, in verständlichen Aufgabenstellungen in eine artilleristische Frage gekleidet: Wie schnell muß ein Geschoß mindestens abgefeuert werden (Luftwiderstand vernachlässigend), um nicht mehr zur Erde zurück zu fallen?
Man kann nur rätseln, weswegen die Frage nicht so gestellt wird. Wollte man dagegen tatsächlich biologische Gegebenheiten berücksichtigen müssen, wäre mindestens eine Tafel über die Beziehung zwischen Beschleunigung und deren Dauer beizufügen. Mehr als 40 m/s² sind ohne Training kaum mehr als ein paar Minuten erträglich. Aber ob eine Person mehr oder weniger aushält, hängt nicht von ihrer Masse ab.
Schließlich sollte bedacht werden, daß der Betrag der Masse, solange sie nur klein genug gegenüber der Erdmasse ist, bedeutungslos ist: Ob Sofakartoffel oder Kartoffel: Haben alle beide dieselbe Fluchtgeschwindigkeit.
Adieu
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3286
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-28
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G*M/r^2=a
Daraus wird
G*M/(x+r_e)^2=x^**
G*M/(x+r_e)^2*x^*=x^**(*)(x^*)
Jetzt kommst du sicher selber weiter bzw. Nutze Kettenregel rückwärts.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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trunx
Senior
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Wohnort: Berlin
| Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-28
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\quoteon(2019-11-28 20:09 - Caban in Beitrag No. 5)
G*M/r^2=a
Daraus wird
G*M/(x+r_e)^2=x^**
G*M/(x+r_e)^2*x^*=x^**(*)(x^*)
Jetzt kommst du sicher selber weiter bzw. Nutze Kettenregel rückwärts.
\quoteoff
man könnte auch gleich mit dem Energiesatz starten und erhält natürlich das Gleiche, nämlich das in Beitrag #3 genannte Resultat. Diese Geschwindigkeit gilt allerdings für eine Reise ins Unendliche (gäbe es keine Sonne und keine sonstige Masse im Universum), daher kann für eine Reise zum Mond eine kleinere Geschwindigkeit genutzt werden. Genau genommen, muss sogar nur der Lagrangepunkt L1 erreicht werden, von dort aus zieht dann der Mond ausreichend an.
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bruhdanone
Junior
Dabei seit: 05.11.2019
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-29
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\quoteon(2019-11-28 20:38 - trunx in Beitrag No. 6)
\quoteon(2019-11-28 20:09 - Caban in Beitrag No. 5)
G*M/r^2=a
Daraus wird
G*M/(x+r_e)^2=x^**
G*M/(x+r_e)^2*x^*=x^**(*)(x^*)
Jetzt kommst du sicher selber weiter bzw. Nutze Kettenregel rückwärts.
\quoteoff
man könnte auch gleich mit dem Energiesatz starten und erhält natürlich das Gleiche, nämlich das in Beitrag #3 genannte Resultat. Diese Geschwindigkeit gilt allerdings für eine Reise ins Unendliche (gäbe es keine Sonne und keine sonstige Masse im Universum), daher kann für eine Reise zum Mond eine kleinere Geschwindigkeit genutzt werden. Genau genommen, muss sogar nur der Lagrangepunkt L1 erreicht werden, von dort aus zieht dann der Mond ausreichend an.
\quoteoff
Danke trunx, an die Energie hab ich garnicht gedacht.
Um dem Gravitationsfeld zu entkommen muss
E_kin=E_pot
also m*g*r_Erde=1/2*m*V_F^2
wenn ich nach V umstelle erhalte ich:
V_F=sqrt(2*g*r_Erde)=sqrt(2*G*M/r)
mit allen Konstanten eingesetzt erhalte ich die berüchtigten 11,2 km/s.
Für den Mond muss ich die Zentrifugalkraft mit der Gravitationskraft gleichsetzten, also
(m*v^2)/r=G*(mM)/r^2
v=sqrt(G*M/r) = 7,9 km/s
Ist die Aufgabe somit erledigt oder fehlt noch etwas?
\quoteon(2019-11-28 20:09 - Caban in Beitrag No. 5)
G*M/r^2=a
Daraus wird
G*M/(x+r_e)^2=x^**
G*M/(x+r_e)^2*x^*=x^**(*)(x^*)
Jetzt kommst du sicher selber weiter bzw. Nutze Kettenregel rückwärts.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\quoteoff
Caban, ich bedanke mich wirklich für deine Bemühungen, aber irgendwie will es bei mir nicht zünden. Sollte ich damit ein DGL lösen oder einfach nur a integrieren? Vielleicht denke ich komplizierter nach als ich sollte.
\quoteon(2019-11-28 20:04 - jacha2 in Beitrag No. 4)
Salut & bienvenu sur la planète de la mathématique,
da Du für jeden Tip Dank bekundest, auch noch folgendes:
\quoteon(2019-11-28 02:55 - bruhdanone im Themenstart)...ich hänge gerade an folgender Aufgabe fest und würde mich über hilfreiche Tipps freuen. In der Vorlesung hatten wir die Fluchtgeschwindikeit am Beispiel einer Rakete gehabt, die mit der Zeit ihre Gesamtmassse durch das Verbrauchen von Treibstoff ändert.
Was mich bei dieser Aufgabe verwirrt, ist das von einer Rakete nicht die Rede ist. Kann ich einfach annehmen, dass er sich in einer befindet und mit
m(t)=m_0-\lambda*t
die Änderung der Masse in der Bewegungsgleichung
m*a=-mg-m`*v_0
...Ich bin für jeden Tipp dankbar!
\quoteoff
Die uns gezeigte Aufgabenstellung ist mißverständlich und womöglich unvollständig.
Sie tritt normalerweise im Zusammenhang mit der Erörterung des Graviationspotentials und im Rahmen der "Himmelsmechanik" auf.
Sie ist weiterhin mißverständlich, da nicht gesagt wird, wo und womit diese Geschwindigkeit erreicht werden soll. Deswegen könnte allein vom Text her erwidert werden, daß die Geschwindigkeit relativ zur Erdoberfläche nur dauerhaft > 0 sein muß, damit die Testmasse irgendwie, irgendwann in die Weiten des Weltalls entschwunden sein wird.
Deswegen wird die Fluchtgeschwindigkeit, wie das womöglich gesuchte Ergebnis genannt wird, in verständlichen Aufgabenstellungen in eine artilleristische Frage gekleidet: Wie schnell muß ein Geschoß mindestens abgefeuert werden (Luftwiderstand vernachlässigend), um nicht mehr zur Erde zurück zu fallen?
Man kann nur rätseln, weswegen die Frage nicht so gestellt wird. Wollte man dagegen tatsächlich biologische Gegebenheiten berücksichtigen müssen, wäre mindestens eine Tafel über die Beziehung zwischen Beschleunigung und deren Dauer beizufügen. Mehr als 40 m/s² sind ohne Training kaum mehr als ein paar Minuten erträglich. Aber ob eine Person mehr oder weniger aushält, hängt nicht von ihrer Masse ab.
Schließlich sollte bedacht werden, daß der Betrag der Masse, solange sie nur klein genug gegenüber der Erdmasse ist, bedeutungslos ist: Ob Sofakartoffel oder Kartoffel: Haben alle beide dieselbe Fluchtgeschwindigkeit.
Adieu
\quoteoff
bonsoir monsieur jacha,
ich dachte mir genau dasselbe beim lesen der Aufgabenstellung. In der Tat kürzt sich die Masse des Objektes raus.
LG Done
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Caban
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-29
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Hallo
Die Fluchtgeschwindigkeit hast du richtig berechnet. Aber dein Ansatz für den Mond ist falsch. Mit diesem Ansatz berechnest du die Geschwindigkeit mit der eine stabile Umlaufbahn erreicht wird.
Bei meinen Ansatz muss man die Differentialgleichung lösen, durch die Anfangsbedingung kannst du dann festlegen, ob du unendlich weit weg oder nur auf den Mond willst.
Gruß Caban
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bruhdanone
Junior
Dabei seit: 05.11.2019
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-01
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\quoteon(2019-11-29 20:50 - Caban in Beitrag No. 8)
Hallo
Die Fluchtgeschwindigkeit hast du richtig berechnet. Aber dein Ansatz für den Mond ist falsch. Mit diesem Ansatz berechnest du die Geschwindigkeit mit der eine stabile Umlaufbahn erreicht wird.
Bei meinen Ansatz muss man die Differentialgleichung lösen, durch die Anfangsbedingung kannst du dann festlegen, ob du unendlich weit weg oder nur auf den Mond willst.
Gruß Caban
\quoteoff
oh okay, dachte mir schon das es mir nicht so einfach gemacht wird. Ich bin leider nicht ganz so fit was DGL´s angeht, hänge beim mathematischen Teil noch etwas hinterher. Könntest du mir eventuell sagen, um was es sich für eine DGL handelt und wie ich da am besten rangehen sollte? Ich wäre dir sehr dankbar!
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trunx
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Dabei seit: 16.08.2003
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| Beitrag No.10, eingetragen 2019-12-01
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\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
hallo,
die von caban angegebene DGL ist ja noch einfach zu handhaben, sie ist auf beiden Seiten (bis auf ein fehlendes Minuszeichen) von der Form \(f^k \cdot f'\), das nach "Kürzen" von dx (oder bei dir dt) eben als \(f^k df\) zu integrieren ist.
Was die Sache mit dem Mond betrifft, kannst du auch andersherum denken, sprich der Körper startet vom Mond (oder L1) aus und fliegt zur Erde. Mit welcher Geschwindigkeit startet denn der Körper dann, wodurch beschleunigt er usw.?
bye trunx\(\endgroup\)
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bruhdanone
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-01
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\quoteon(2019-12-01 08:31 - trunx in Beitrag No. 10)
hallo,
die von caban angegebene DGL ist ja noch einfach zu handhaben, sie ist auf beiden Seiten (bis auf ein fehlendes Minuszeichen) von der Form \(f^k \cdot f'\), das nach "Kürzen" von dx (oder bei dir dt) eben als \(f^k df\) zu integrieren ist.
Was die Sache mit dem Mond betrifft, kannst du auch andersherum denken, sprich der Körper startet vom Mond (oder L1) aus und fliegt zur Erde. Mit welcher Geschwindigkeit startet denn der Körper dann, wodurch beschleunigt er usw.?
bye trunx
\quoteoff
Danke trunx! mein v ist also
-((GM)/(x+r))+C=x^*
Nun hab ich Probleme bei der Anfangsbedingung. Ich weiß nicht genau wo ich die Entfernung zum Mond einbringen soll um eine sinnvolle Geschwindigkeit zu bekommen. Gibt es eventuell eine versteckte 2. Anfangsbedingung die Licht in die Sache bringt?
LG Done
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
trunx
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| Beitrag No.12, eingetragen 2019-12-01
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\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
caban schreibt ja (bis auf das Minuszeichen)
\quoteon(2019-11-28 20:09 - Caban in Beitrag No. 5)
-G*M/(x+r_e)^2*x^*=x^** * x^*
Jetzt kommst du sicher selber weiter bzw. Nutze Kettenregel rückwärts.
\quoteoff
und das ist nach meinem letzten Hinweis (bzw. caban's Hinweis, die Kettenregel rückwärts zu benutzen) für die rechte Seite \(\frac{1}{2} v^2\). Mache mit diesem Ergebnis (das nichts anderes ist als die kinetische Energie, nur halt ohne Masse) die Gegenprobe, in dem du es nach der Zeit ableitest. Hast du das verstanden, dann integriere in gleicher Weise auch die linke Seite.
bye trunx\(\endgroup\)
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