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 Äquivalenz von Bijektivität von linearen Abbildungen |
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Manuel01
Junior 
Dabei seit: 14.11.2019
Mitteilungen: 5
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Ich soll folgendes beweisen (die andere Richtung hab ich schon):
Sei V ein Vektorraum mit dim(V)<\(\infty\). Sei W ein weiterer Vektorraum und \(T:V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gilt:
(Es existiert ein Unterraum \(U\subset V\), so dass \(V=ker(T)+U\), \( \{0\}=ker(T)\cap U\) und dim(U)=dim(V)) \(\Rightarrow\) (T ist bijektiv)
Ich hab leider nicht den Hauch einer Ahnung wie man da vorgehen soll. Kann mir jemand da helfen?
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xiao_shi_tou_
Senior 
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1258
Wohnort: Augsburg
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-14
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-14
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Hallo,
du hast also eine lineare Abbildung
$T: V\to W$ mit der Eigenschaft, dass ein Unterraum $U\subseteq V$ existiert, sodass $V=\operatorname{ker}(T)+U$, $\{0\}=\operatorname{ker}(T)\cap U$ und $\operatorname{dim}(U)=\operatorname{dim}(V)$ gilt.
Zeigen möchtest du, dass $T$ bijektiv ist.
Du kannst zeigen, dass $T$ injektiv und surjektiv ist.
$T$ ist injektiv, wenn ...
Beachte auch, dass wir hier eine innere direkte Summe von $V$ vorliegen haben. Warum?
Wann ist $T$ surjektiv?
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Manuel01
Junior
Dabei seit: 14.11.2019
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14
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Hallo,
danke erstmal für die Antworten. Ich habe zwar das Gefühl, zu verstehen, wie die innere direkte Summe funktioniert, aber ich glaube nicht das dem so ist, denn das Beispiel wirkt eher wie ein Gegenbeispiel, denn (0,1) und (0,2) werden auf das selbe Element abgebildet und die Abbildung ist folglich nicht bijektiv, oder? Und gleichzeitig werden die drei Bedingungen aus der Vorraussetzung erfüllt.
Edit: Und die Abbildung ist - wenn ich mich nicht vertue - ein Homomorphismus.
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xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1258
Wohnort: Augsburg
| Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-14
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Triceratops
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5682
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-15
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Die Behauptung ist falsch.
Die Existenz von $U$ mit den Eigenschaften ist äquivalent zur Injektivität (das ergibt sich sofort aus der Dimensionsformel für direkte Summen), nichr zur Bijektivität von $T$.
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