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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Permutationsabbildung
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Autor
Universität/Hochschule J Permutationsabbildung
Lui
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.09.2019
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-20 10:28


Hallo Ihr Lieben!
Ich bin mir bei der folgenden Aufgabe nicht ganz sicher wie ich sie interpretieren soll, vielleicht könnt ihr mir ja helfen:
Es seien \(\sigma = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 & 3&4 \\
2 & 3 & 4&1 \\
\end{array}
\right)\in S_4\) und \(\rho_{\sigma}\in End_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}^4)\) die zugehörige Permutationsabbildung, d.h., \(\rho_{\sigma}(e_i)=e_{\sigma(i)}\) für alle \(1\le i\le 4\). Dazu soll ich dann das charakteristische Polynom sowie die Eigenwerte finden. Meine Frage bezieht sich jedoch allein darauf wie die darstellende Matrix nun aussieht. Im Internet habe ich eine Darstellung gefunden die mittels \(\sigma\) die folgende Matrix erzeugt: \(A_1= \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1& 0&0 \\
0 & 0 & 1&0 \\
0 & 0 & 0&1 \\
1&0&0&0
\end{array}
\right)\)
Oder wird hier gefordert das ich \(\sigma\) einfach weiter führen soll? Dass heißt also: \(A_2=\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3&4 \\
2 & 3 & 4&1 \\
3 & 4 & 2&1 \\
4&1&2&3
\end{array}
\right)\)
Ich hoffe Ihr könnt Licht ins Dunkle bringen! ^^
LG
Lui
 



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1889
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-20 10:36

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Lui,

du musst dir nur anschauen, was diese Permutation macht. Im Prinzip wird jedes Element auf seinen 'Nachfolger' abgebildet. Das aber tut die Matrix \(A_1\) ja genau.

Rechne doch einmal \(A_1\cdot(1,2,3,4)^T\) aus.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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PhysikRabe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2171
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-20 10:40


2019-09-20 10:28 - Lui im Themenstart schreibt:
Oder wird hier gefordert das ich \(\sigma\) einfach weiter führen soll? Dass heißt also: \(A_2=\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3&4 \\
2 & 3 & 4&1 \\
3 & 4 & 2&1 \\
4&1&2&3
\end{array}
\right)\)

Das macht doch gar keinen Sinn. Die Matrix soll Einträge von Vektoren vertauschen, und nicht diese mit willkürlichen Zahlen multiplizieren. Beachte: Die Zahlen in der Permutationsdarstellung  \(\sigma = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 & 3&4 \\
2 & 3 & 4&1 \\
\end{array}
\right)\) bezeichnen lediglich Indizes bzw. Positionen! Du solltest stattdessen die Abbildung $\rho_{\sigma}$, definiert durch \(\rho_{\sigma}(e_i)=e_{\sigma(i)}\) für alle \(1\le i\le 4\) (und dann linear fortgesetzt) betrachten, welche die Basisvektoren gemäß der Permutation $\sigma$ vertauscht. Diese ist genau durch die Matrix $A_1$ gegeben. Ist dir klar, wie die Basisvektoren genau vertauscht werden? Was sind \(\rho_{\sigma}(e_1),\rho_{\sigma}(e_2),\rho_{\sigma}(e_3),\rho_{\sigma}(e_4)\) ?

Grüße,
PhysikRabe

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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Lui
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Dabei seit: 03.09.2019
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-20 10:45

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-09-20 10:36 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Lui,

du musst dir nur anschauen, was diese Permutation macht. Im Prinzip wird jedes Element auf seinen 'Nachfolger' abgebildet. Das aber tut die Matrix \(A_1\) ja genau.

Rechne doch einmal \(A_1\cdot(1,2,3,4)^T\) aus.


Gruß, Diophant

Dann kommt da \((2,3,4,1)^T\) heraus und das ist ja quasi das was \(\sigma\) aussagt. Also habe ich mit \(A_1\) dann ja meine darstellende Matrix gefunden?
Vielen Dank für die schnelle Antwort!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Diophant
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Mitteilungen: 1889
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-20 10:49

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo nochmals,

2019-09-20 10:45 - Lui in Beitrag No. 3 schreibt:
Dann kommt da \((2,3,4,1)^T\) heraus und das ist ja quasi das was \(\sigma\) aussagt. Also habe ich mit \(A_1\) dann ja meine darstellende Matrix gefunden?

Ja, genau.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Lui
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.09.2019
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-20 10:59



Ist dir klar, wie die Basisvektoren genau vertauscht werden? Was sind \(\rho_{\sigma}(e_1),\rho_{\sigma}(e_2),\rho_{\sigma}(e_3),\rho_{\sigma}(e_4)\) ?

Grüße,
PhysikRabe

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
Ich denke schon: Man schaut sich zuerst \(\sigma\) in der ersten Zeile an, die zweite die angegeben ist ist dann \((\sigma(1),\sigma(2),...)\) das heißt das heißt \(1234 \to 2341\) wende ich das dann auf die Vektoren \(e_1,...,e_4\) an, dann sucht \(\rho_{\sigma}(e_i)\) quasi den Vorgänger der jeweiligen Vektoren, für \(e_1\) also \(e_4\) und für \(e_2\) dann \(e_1\) und so weiter.
LG

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Lui
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Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-20 11:00

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-09-20 10:49 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo nochmals,

2019-09-20 10:45 - Lui in Beitrag No. 3 schreibt:
Dann kommt da \((2,3,4,1)^T\) heraus und das ist ja quasi das was \(\sigma\) aussagt. Also habe ich mit \(A_1\) dann ja meine darstellende Matrix gefunden?

Ja, genau.


Gruß, Diophant

Vielen lieben Dank, nochmal! ^^
\(\endgroup\)


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