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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1880, eingetragen 2019-08-29



Aufgabe 2 - V601102
Der Ausdruck $\sqrt[3]{***9}$ ist eine ganze Zahl. Wie heißt die Zahl? Die Sterne stellen unleserliche Ziffern dar.
Lösungsversuch
Die Ziffer $9$ ist die einzige Endziffer einer Zahl, die mit $9^3$ eine 9 als Endziffer hat. So muss auch die gesuchte Zahl die Endziffer $9$ haben.
Es kann somit nur die $19^3$ sein da $29^3$ bereits 5-stellig ist.
Die gesuchte Zahl ist $19^3=6859$
oLGa



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1881, eingetragen 2019-08-29


Aufgabe 8 - V601108
Ein Trugschluss ”Zwei ist größer als vier!”
Offensichtlich gilt: $\frac{1}{4}>\frac{1}{16}$ oder $(\frac{1}{2})^2>(\frac{1}{4})^2$

Wir logarithmieren und erhalten: $2\lg(\frac{1}{2})>4 \lg(\frac{1}{2})$

Wie dividieren durch $\lg(\frac{1}{2})$

und erhalten 2 > 4.
Wo steckt der Fehler ?
Lösungsversuch
$2\lg(\frac{1}{2})>4\lg(\frac{1}{2})$

$2\lg(1)-2\lg(2)>4\lg(1)-4\lg(2)$

$-2\lg(2)>-4\lg(2)\;\equiv\;-2>-4\;\equiv\;2<4$

Die Division durch $\lg(\frac{1}{2})$ war in der Weise falsch.
oLGa




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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1882, eingetragen 2019-08-29


Aufgabe 22 - V601122
Teilen Sie das Stanzteil (vgl. Abbildung) in fünf Teile ein! Jeder dieser Teile soll dem anderen in Form und Gestalt gleichen (M = ist der Mittelpunkt desStanzteiles).
Lösungsversuch
Durch die Teilung der Seitenlängen $a=b$ in 4 gleiche Teile ergeben sich $4\cdot4=16$ Teilstücke von denen eins ausgeschnitten ist. Somit verbleiben $5\cdot3=15$ Teilstücke oder eben $5$ Teilstücke bestehend aus je $3$ Teilstücken. Die Form der fünf Teilstücke muss der eines Quadrates aus vier Teilstücken, bei dem ein Teilstück fehlt, entsprechen.

Ich bin mir nicht sicher ob man bei der (vgl. Abbildung) von einem Quadrat ausgehen darf. oLGa



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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1883, eingetragen 2019-08-29



Aufgabe 4 - V601104 (Klasse 12)

Gegeben ist die Folge
\[\dfrac{1}{1 \cdot 2}, \dfrac{1}{2 \cdot 3}, \ldots, \dfrac{1}{n \cdot \left( n + 1 \right)}.\] Welchem Grenzwert streben die Summen von \(n\) Gliedern dieser Folge für \(n \to \infty\) zu?

Wir bezeichnen mit \(a_{n} := \dfrac{1}{n \cdot n + 1} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}\) die Glieder der Folge. Es handelt sich bei der Summe der Glieder um eine Teleskopsumme, d.h.:
\[s_{n} := \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{j} = \sum\limits_{j = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{j} - \dfrac{1}{j + 1} \right) = 1 - \dfrac{1}{n + 1}.\] Somit gilt \(\lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = 1\).



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1884, eingetragen 2019-08-29


2019-08-29 15:16 - OlgaBarati in Beitrag No. 1882 schreibt:
Aufgabe 22 - V601122
Teilen Sie das Stanzteil (vgl. Abbildung) in fünf Teile ein! Jeder dieser Teile soll dem anderen in Form und Gestalt gleichen (M = ist der Mittelpunkt desStanzteiles).
Lösungsversuch
Durch die Teilung der Seitenlängen $a=b$ in 4 gleiche Teile ergeben sich $4\cdot4=16$ Teilstücke von denen eins ausgeschnitten ist. Somit verbleiben $5\cdot3=15$ Teilstücke oder eben $5$ Teilstücke bestehend aus je $3$ Teilstücken. Die Form der fünf Teilstücke muss der eines Quadrates aus vier Teilstücken, bei dem ein Teilstück fehlt, entsprechen.

Ich bin mir nicht sicher ob man bei der (vgl. Abbildung) von einem Quadrat ausgehen darf. oLGa

Hallo,
ich glaube, dass du von einem Quadrat ausgehen darfst :)

<math>
\begin{tikzpicture}
\draw[fill=yellow!50!white] (0,0) -- (2,0) -- (2,1) -- (1,1) -- (1,2) -- (0,2) -- cycle;
\draw[fill=green!50!white] (2,0) -- (4,0) -- (4,2) -- (3,2) -- (3,1) -- (2,1) -- cycle;
\draw[fill=blue!50!white] (0,2) -- (1,2) -- (1,3) -- (2,3) -- (2,4) -- (0,4) -- cycle;
\draw[fill=red!50!white] (4,2) -- (4,4) -- (2,4) -- (2,3) -- (3,3) -- (3,2) -- cycle;
\draw[fill=magenta!50!white] (1,1) -- (2,1) -- (2,2) -- (3,2) -- (3,3) -- (1,3) -- cycle;
\end{tikzpicture}
</math>


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1885, eingetragen 2019-08-29



Aufgabe 6 - V601106 (Klasse 12)

Welche Ziffer steht in der Einerstelle der Summe
\[11^6 + 14^6 + 16^6?\]

Da uns nur die Einerstellen der Summanden interessiert, folgt \(\textbf{mod} 10\)
\[\left( 11^6 + 14^6 + 16^6 \right) \, \textbf{mod} \, 10 \equiv \left( 1^6 + 4^6 + 6^6 \right) \, \textbf{mod} \, 10.\] Es ist \(4^6 = 4096\), d.h \(4^6 \, \textbf{mod} 10 \equiv 6 \, \textbf{mod} 10\) und es ist \(6^6 = 6^3 \cdot 6^3 = 216 \cdot 216\), d.h. \(6^6 \, \textbf{mod} 10 \equiv 6 \, \textbf{mod} \, 10\). Also gilt
\[\left( 11^6 + 14^6 + 16^6 \right) \, \textbf{mod} \, 10 \equiv 13 \, \textbf{mod} \, 10 \equiv 3 \, \textbf{mod} \, 10\] und somit endet die Summe auf der Einerstelle \(3\).



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1886, eingetragen 2019-08-29


Nachfolgend wieder eine etwas einfachere Alternativlösung zu


Aufgabe 6 - V601106 (Klasse 12)

Welche Ziffer steht in der Einerstelle der Summe
\[11^6 + 14^6 + 16^6?\]

Mod 5 errechnet sich die fragliche Summe sehr leicht zu
\[11^6+14^6+16^6\equiv 1^6+(-1)^6+1^6=3 \mod 5\] weshab ihre Endziffer also nur $3$ oder $8$ sein kann. Da sie aber als Summe von einer ungeraden und von zwei geraden Zahlen sicher ungerade ist, kommt letztlich dann nur $3$ in Frage.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1887, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-29


Ihr seid ja superschnell.
Danke. Ich habe die Lösungen schon eingebaut.

Dabei ist mir aufgefallen, dass ich die Aufgabennummern bei der Klasse 12 falsch hatte. Ist auch korrigiert.

LG Steffen



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1888, eingetragen 2019-08-29



Aufgabe 5 - V601105
Es ist der folgende Ausdruck zu berechnen:$$(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[4]{11+\frac{\sqrt[5]{5}}{5^{-0,8}}}}$$
Lösungsversuch
$$(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[4]{11+\frac{\sqrt[5]{5}}{5^{-0,8}}}}=(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[4]{11+5^{0,2}\cdot5^{0,8}}}$$
$$(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[4]{11+5}}=(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[4]{16}} =(2^{0,5})^{1,5+2}=2^{0,5\cdot 3,5}=2^{1,75}=2^{\frac{7}{4}}=\sqrt[4]{2^7}=2\sqrt[4]{8}=\frac{4}{\sqrt[4]{2}}$$
..ob ich mich da verrechnet habe ? Hatte ein glattes Ergebnis erwartet. oLGa



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1889, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-29


2019-08-29 18:42 - OlgaBarati in Beitrag No. 1888 schreibt:

Aufgabe 5 - V601105
Es ist der folgende Ausdruck zu berechnen:$$(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[4]{11+\frac{\sqrt[5]{5}}{5^{-0,8}}}}$$
Lösungsversuch
$$(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[4]{11+\frac{\sqrt[5]{5}}{5^{-0,8}}}}=(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[4]{11+5^{0,2}\cdot5^{0,8}}}$$
$$(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[4]{11+5}}=(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[4]{16}} =(2^{0,5})^{1,5+2}=2^{0,5\cdot 3,5}=2^{1,75}=2^{\frac{7}{4}}=\sqrt[4]{2^7}=2\sqrt[4]{8}=\frac{4}{\sqrt[4]{2}}$$
..ob ich mich da verrechnet habe ? Hatte ein glattes Ergebnis erwartet. oLGa
Danke.

Nun ja, die Ausgangsvorlage ist schlecht zu lesen. Man könnte es auch als
$$(\sqrt{2})^{1,5+\sqrt[-4]{11+\frac{\sqrt[5]{5}}{5^{-0,8}}}}$$
interpretieren. Aber ein negativer Wurzelradikand?
Hat man 1960 so etwas noch angegeben?
Ich ändere es auf den negativen Radikanden. Dann wird es 2.

LG Steffen



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1890, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-30


Eine der Aufgaben der Vorolympiade lautet

Wenn die zwei Höhen $h_a$ und $h_b$ gleich groß sind, müsste das Dreieck gleichschenklig mit $a=b$ sein. Dann kann $\alpha$ doch nicht größer als 90° sein.

Entweder habe ich jetzt einen Aussetzer oder die Aufgabe ist unlösbar.
Täusche ich mich?

LG Steffen

Nachtrag: Ich war so froh, nun alle Aufgaben zu haben. Das ist aber jetzt schon der vierte Druckfehler/Inhaltsfehler in den Aufgaben.
Das ist sehr ärgerlich.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1891, eingetragen 2019-08-30


Vermutlich ist $\gamma$ gemeint, also der Winkel zwischen $a$ und $b$.

Ciao,

Thomas



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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1892, eingetragen 2019-08-30



Aufgabe 16 - V601116

Ein Graben mit parabolischem Querschnitt soll ausgeschachtet werden. Seine Breite beträgt 3 Meter, seine Tiefe \(b\) Meter. Berechnen Sie den Querschnitt des Grabens!

Um die Querschnittsfläche des Grabens zu berechnen, müssen wir zuerst eine Funktionsgleichung einer Parabel ermitteln, welche durch die Punkte \(P_{1} \left( -1,5; 0 \right)\), \(P_{2} \left( 0, b \right)\) und \(P_{3} \left( 1,5; 0 \right)\) verläuft. Wir setzen mit der quadratischen Funktionsgleichung \(f \left( x \right) = \widetilde{a} x^2 + \widetilde{b} + \widetilde{c}\) an. Dies führt auf das lineare Gleichungssystem
\[\begin{eqnarray*}
  2,25 \cdot \widetilde{a} - 1,5 \widetilde{b} + \widetilde{c} & = & 0, \\
                                                 \widetilde{c} & = & b, \\
  2,25 \cdot \widetilde{a} + 1,5 \widetilde{b} + \widetilde{c} & = & 0.
  \end{eqnarray*}
\] Es gilt \(\widetilde{c} = b\) und setzen wir die beiden übrigen Gleichungen gleich, so folgt \(\widetilde{b} = 0\). Es bleibt \(\widetilde{a} = - \dfrac{4}{9} b\). Somit lautet die Funktionsgleichung
\[f \left( x \right) = - \dfrac{4 b}{9} x^2 + b.\] Um die Querschnittsfläche zu bestimmen, muss das Integral
\[\int\limits_{-1,5}^{1,5} f \left( x \right) \, \text{d}x\] gelöst werden. Es gilt
\[\begin{eqnarray*}
&   & \int\limits_{-1,5}^{1,5} f \left( x \right) \, \text{d}x \\
& = & \int\limits_{-1,5}^{1,5} \left( - \dfrac{4 b}{9} x^2 + b \right) \, \text{d}x \\
& = & \left[ - \dfrac{4 b}{27} x^3 + b x\right]_{-1,5}^{1,5} \\
& = & - \dfrac{4 b}{27} \cdot \left( 1,5 \right)^3 + 1,5 b + \dfrac{4 b}{27} \cdot \left( -1,5 \right)^3 + 1,5 b \\
& = & 3b - \dfrac{8 b}{27} \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right)^3 \\
& = & 3b - b \\
& = & 2b.
  \end{eqnarray*}
\] Damit entspricht die Querschnittsfläche gerade dem Doppelten der Tiefe.



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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1893, eingetragen 2019-08-31



Aufgabe 21 - V601121

Bei der Aufnahme (Vermessung und Bestimmung der Koordinaten) einer Landstraße erhält man einen Polygonzug, dessen Eckpunkte folgende Koordinaten haben (Maßangaben in Metern):

\[A \left( 0; 0 \right), B \left( 87; 54,4 \right), C \left( 153,6; 44 \right), D \left( 206,4; 25 \right) , E \left( 303,5; 33,8 \right), F \left( 352; 0 \right).\]
a) Berechnen Sie die Länge der Landstraße!
b) Die Landstraße ist 5,5 Meter breit. Es ist näherungsweise zu ermitteln, wie viel Quadratmeter Straße asphaltiert werden müssen.

a) Mit dem Satz des Pythagoras gelten:
\[\begin{eqnarray*}
  \left| \overline{AB} \right| & = & \sqrt{\left( 87 - 0 \right)^2 + \left( 54,4 - 0 \right)^2} \approx 102,61, \\
  \left| \overline{BC} \right| & = & \sqrt{\left( 153,6 - 87 \right)^2 + \left( 44 - 54,4 \right)^2} \approx 67,41, \\
  \left| \overline{CD} \right| & = & \sqrt{\left( 206,4 - 153,6 \right)^2 + \left( 25 - 44 \right)^2} \approx 56,11, \\
  \left| \overline{DE} \right| & = & \sqrt{\left( 303,5 - 206,4 \right)^2 + \left( 33,8 - 25 \right)^2} \approx 97,50, \\
  \left| \overline{EF} \right| & = & \sqrt{\left( 352 - 303,5 \right)^2 + \left( 0 - 33,8 \right)^2} \approx 59,12.
  \end{eqnarray*}
\] Die Länge \(l\) der Landstraße beträgt \(l \approx 382,75 \, \text{m}\).
b) Für die zu asphaltierende Fläche gilt
\[ A = 5,5 \, \text{m} \cdot l = 5,5 \, \text{m} \cdot 382,75 \, \text{m} \approx 2105,13 \, \text{m}^2\] und somit müssen ungefähr 2105,13 Quadratmeter Straße asphaltiert werden.



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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1894, eingetragen 2019-08-31



Aufgabe 5 - V601105

Differenzieren Sie folgende Funktion:
\[f \left( x \right) = x \cdot \sqrt[5]{x \cdot \sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{\dfrac{1 + x}{1 - x}}.\]

Es gilt
\[f \left( x \right) = x \cdot x^{\dfrac{6}{25}} + \left( \dfrac{1 + x}{1 - x} \right)^{\dfrac{1}{5}} = x^{\dfrac{31}{25}} + \left( \dfrac{1 + x}{1 - x} \right)^{\dfrac{1}{5}}.\] Differentiation liefert
\[\begin{eqnarray*}
  f^{\prime} \left( x \right) & = & \dfrac{31}{25} \cdot x^{\dfrac{6}{25}} + \dfrac{1}{5 \cdot \left( \dfrac{1 + x}{1 - x} \right)^{\dfrac{4}{5}}} \cdot \left\{ \dfrac{1}{1 - x} + \left( 1 + x \right) \cdot \left( - 1 \right) \cdot \left( - 1 \right) \cdot \dfrac{1}{\left( 1 - x \right)^{2}} \right\} \\
                              & = & \dfrac{31}{25} \cdot x^{\dfrac{6}{25}} + \dfrac{2}{5 \cdot \left( \dfrac{1 + x}{1 - x} \right)^{\dfrac{4}{5}} \cdot \left( 1 - x \right)^2}.
  \end{eqnarray*}
\]



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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1895, eingetragen 2019-08-31


Entweder überlese ich wieder etwas oder Aufgabe 7 - V601107 und Aufgabe 15 - V601215 sind identisch?



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1896, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-31


2019-08-31 11:48 - svrc in Beitrag No. 1895 schreibt:
Entweder überlese ich wieder etwas oder Aufgabe 7 - V601107 und Aufgabe 15 - V601215 sind identisch?
Du überliest nichts. Mitunter wurden gleiche Aufgaben in verschiedenen Klassenstufen gestellt. Ich hatte es noch nicht gemerkt.
Danke für den Hinweise.
Ich kopiere meine Lösung zur 12.

LG Steffen



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svrc
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Aufgabe 15 - V601115

Beim Bau großer Hallen verwendet man neuerdings parabolische Baukonstruktionen aus Beton.

a) Berechnen Sie die Fläche des Querschnitts der Halle!
b) Bestimmen Sie den Rauminhalt der Halle!
c) Wie verhält sich die Fläche des Querschnitts zu der Fläche des Rechtecks von gleicher Grundlinie und gleicher Höhe?

a) Durch die Punkte \(P_{1} \left( -18; 0 \right)\), \(P_{2} \left( 0; 16 \right)\) und \(P_{3} \left( 18; 0 \right)\) wird eine Parabel gelegt, deren Funktionsgleichung mit \(f \left( x \right) = ax^2 + bx + c\) angesetzt wird. Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem
\[\begin{eqnarray*}
  324 a - 18 b + c & = & 0, \\
                 c & = & 16, \\
  324 a + 18 b + c & = & 0.
  \end{eqnarray*}
\] Damit gilt \(c = 16\). Gleichsetzen der ersten und dritten Gleichung liefert \(b = 0\). Es folgt \(a = - \dfrac{4}{81}\). Die Funktionsgleichung der Parabel lautet
\[f \left( x \right) = - \dfrac{4}{81} x^2 + 16.\] Um die Querschnittsfläche zu berechnen, muss das Integral
\[ \int\limits_{-18}^{18} f \left( x \right) \, \text{d}x\] gelöst werden. Es gilt
\[\begin{eqnarray*}
&   & \int\limits_{-18}^{18} f \left( x \right) \, \text{d}x \\
& = & \int\limits_{-18}^{18} \left\{ - \dfrac{4}{81} x^2 + 16 \right\} \, \text{d}x \\
& = & \left[ - \dfrac{4}{243} x^3 + 16x \right]_{-18}^{18} \\
& = & - \dfrac{4}{243} \cdot \left( 18 \right)^3 + 16 \cdot 18 - \left( - \dfrac{4}{243} \cdot \left( - 18 \right)^3 - 16 \cdot 18 \right) \\
& = & 576 - \dfrac{8}{243} \cdot \left( 18 \right)^3 \\
& = & 384.
  \end{eqnarray*}
\] Die Querschnittsfläche der Halle beträgt \(384 \, \text{m}^2\).

b) Für den Rauminhalt der Halle gilt
\[V = 384 \, \text{m}^2 \cdot 183 \, \text{m} = 70272 \, \text{m}^3\] und somit 70272 Kubikmeter.

c) Für das Verhältnis gilt
\[ \dfrac{A_{\text{Parabel}}}{A_{\text{Rechteck}}} = \dfrac{384 \, \text{m}^2}{36 \cdot 16 \, \text{m}^2} = \dfrac{384}{576} = \dfrac{2}{3}.\]



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stpolster
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Ich bitte um Kontrolle:

Aufgabe 9 - V601109
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\small, scale=0.7]
\draw (0,4) -- (0,0) -- (4,0);
\draw (1,4) -- (1,1) -- (4,1);
\draw[<->] (0,3.7) -- (1,3.7);
\draw[<->] (3.7,0)  -- (3.7,1);
\node[above] at (0.5,3.7) {$a$};
\node[right] at (3.7,0.5) {$b$};
\end{tikzpicture}
</math>
Um die Ecke eines gemauerten Ganges (vgl. Abbildung), soll eine Stange waagerecht getragen werden.

Welche größte Länge kann sie haben? (Die Dicke der Stange soll unberücksichtigt bleiben.)

Lösung:
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\small, scale=0.7]
\coordinate(a) at (1,1);
\coordinate(b) at (0,3);
\coordinate(c) at (1.5,0);
\draw[blue] (b) -- (c);
\draw (0,4) -- (0,0) -- (4,0);
\draw (1,4) -- (1,1) -- (4,1);
\draw[<->] (0,3.7) -- (1,3.7);
\draw[<->] (3.7,0)  -- (3.7,1);
\draw[->,red] (0,0) -- (3,0) node[below] {$x$};
\draw[->,red] (0,0) -- (0,2) node[left] {$y$};
\foreach \P in {a,b,c}
\draw[fill=white] (\P) circle (0.07);
\node[above right] at (a) {$P(a;b)$};
\node[left] at (b) {$A$};
\node[below] at (c) {$B$};
\node[above] at (0.5,3.7) {$a$};
\node[right] at (3.7,0.5) {$b$};
\end{tikzpicture}
</math>
Wir führen ein Koordinatensystem derart ein, dass die äußere Ecke im Ursprung liegt und die x- und y-Achse längs der Gänge ausgerichtet sind. (siehe Abbildung)

Durch den Punkt $P(a;b)$ legen wir dann eine lineare Funktion so, dass diese sowohl die positive x-Achse in $B$, also auch die positive y-Achse in $A$ schneidet. Die minimale Strecke $AB$ ist dann die gesuchte größte Länge der Stange.
Für die Funktion durch $A$ und $B$ ergibt sich (mit $m>0$)
\[
y = -m (x-a) + b
\] Die Punkte haben damit die Koordinaten $A(0; am+b)$ und $B\left(\frac{b}{m}+a\right)$. Die Länge der Stange von $A$ nach $B$ ist dann
\[
d = \sqrt{\left(\frac{b}{m}+a\right)^2+(am+b)^2} \tag{1}
\] Diese Länge wird minimal, wenn der Radikand minimal wird. Die 1.Ableitung des Radikanden ist
\[
d'(m) = \frac{2}{m^2} (am+b)(am^3-b)
\] Diese Ableitung hat eine Nullstelle für $m = -\frac{b}{a}$, die entfällt da dann $A$ und $B$ zusammenfallen. Die zweite Nullstelle für
\[
m = \frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}} \tag{2}
\] ergibt das gesuchte Minimum, wie die Kontrolle über die 2.Ableitung zeigt.
Für die größtmögliche Länge der Stange ergibt sich durch Einsetzen von (2) in (1)
\[
d = \sqrt{\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2} \right)^3}
\]
LG Steffen



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svrc
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Aufgabe 13 - V601213

Im Dreieck ABC ist der Winkel \(\gamma\) zu berechnen, wenn
\[\sin \left( \gamma \right) = \sqrt{2} \cdot \cos \left( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \right)\] gilt.

Da \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die Innenwinkel eines Dreiecks bilden, gilt nach Innenwinkelsummensatz
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \Longleftrightarrow \dfrac{\alpha + \beta}{2} = 90^{\circ} - \dfrac{\gamma}{2}\] und somit
\[ \sin \left( \gamma \right) = \sqrt{2} \cdot \cos \left( 90^{\circ} - \dfrac{\gamma}{2} \right).\] Da \( \cos \left( 90^{\circ} - \dfrac{\gamma}{2} \right) = \sin \left( \dfrac{\gamma}{2} \right)\) für beliebige Winkel \(\gamma\) gilt, folgt
\[ \sin \left( \gamma \right) = \sqrt{2} \cdot \sin \left( \dfrac{\gamma}{2} \right).\] Nach dem Additionstheorem gilt
\[ \sin \left( x + y \right) = \sin \left( x \right) \cos \left( y \right) + \sin \left( y \right) \cos \left( x \right)\] für alle reellen Zahlen \(x\) und \(y\), sodass
\[\begin{eqnarray*}
  \sin \left( \gamma \right) & = & 2 \cdot \sin \left( \dfrac{\gamma}{2} \right) \cdot \cos \left( \dfrac{\gamma}{2} \right) \\
                             & = & \sqrt{2} \cdot \sin \left( \dfrac{\gamma}{2} \right)
  \end{eqnarray*}
\] gilt. Da \(\gamma \in \left( 0^{\circ}, 180^{\circ} \right)\) gelten muss, folgt
\[ 2 \cos \left( \dfrac{\gamma}{2} \right) = \sqrt{2}\] und somit
\[ \gamma = 2 \cdot \arccos \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) = 90^{\circ}. \] Deshalb handelt es sich bei \(\gamma\) um einen rechten Winkel.



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stpolster
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Ich habe jetzt die noch offenen Aufgaben der Vorolympiade wieder zu einer Datei zusammengefasst.

Link: Download der ungelösten Aufgaben

Ich werde mich selbst versuchen, nur leider hat mich eine "Hexe geschossen", so dass das Arbeiten am Computer (Sitzen!) im Moment eine Qual ist.

Dennoch bin ich fleißig beim Einbinden der Klassenstufe 8. Da ich alle Musterlösungen habe, ist es nur eine Frage der Zeit, bis alles komplett ist.
Danach ist definitiv Schluss. Auf mawis Seite sind die Klassen 5 bis 7 vollständig abrufbar. Damit liegen dann für alle Olympiade-Aufgaben von 1961 bis 1994 Lösungen vor.
Was will man mehr?

LG Steffen

Nebenbei: Heute vor 34(!) Jahren habe ich mit der Programmierung meines Matheprogramms "Mathematik alpha" begonnen. Da waren viele hier noch gar nicht "in Planung".



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stpolster
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Ich habe bei der nachfolgenden Lösung ein "komisches" Gefühl, finde aber keinen Fehler:

Aufgabe 13 - V601113

<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\normalsize, scale=0.4]
\coordinate(m) at (0,0);
\coordinate(a) at (3,1);
\coordinate(b) at (1,3);
\coordinate(c) at (-1,3);
\coordinate(d) at (-3,1);
\coordinate(e) at (-3,-1);
\coordinate(f) at (-1,-3);
\coordinate(g) at (1,-3);
\coordinate(h) at (3,-1);
\coordinate(a0) at (1,1);
\coordinate(b0) at (-1,1);
\coordinate(c0) at (-1,-1);
\coordinate(d0) at (1,-1);
\draw[fill=white] (m) circle (3.162);
\draw[fill=blue!20] (a) -- (a0) -- (b) -- (c) -- (b0) -- (d) -- (e)
-- (c0) -- (f) -- (g) -- (d0) -- (h)
-- cycle;
\end{tikzpicture}
</math>
Der zylinderförmige Hohlraum (Radius $r$) einer Rundspule soll mit einem kreuzförmigen Eisenkern ausgefüllt werden.
Wie ist der Kern zu dimensionieren, damit sein Querschnitt maximal wird?
Den wievielten Teil des Spuleninneren kann man im günstigsten Fall in dieser Weise mit Eisen ausfüllen?
(Auf die Untersuchung mit der 2. Ableitung dürfen Sie verzichten!)

Lösung:
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.5]
\coordinate(m) at (0,0);
\coordinate(a) at (3,1);
\coordinate(b) at (1,3);
\coordinate(c) at (-1,3);
\coordinate(d) at (-3,1);
\coordinate(e) at (-3,-1);
\coordinate(f) at (-1,-3);
\coordinate(g) at (1,-3);
\coordinate(h) at (3,-1);
\coordinate(a0) at (1,1);
\coordinate(b0) at (-1,1);
\coordinate(c0) at (-1,-1);
\coordinate(d0) at (1,-1);
\draw[fill=yellow!40] (m) -- (3,0) -- (a) -- (a0) -- (b)
-- (0,3) -- cycle;
\draw (m) circle (3.162);
\draw (a) -- (a0) -- (b) -- (c) -- (b0) -- (d) -- (e)
-- (c0) -- (f) -- (g) -- (d0) -- (h)
-- cycle;
\draw[blue] (m) -- (3,0) -- (3,1) -- cycle;
\node[below] at (1.5,0) {$x$};
\node[right] at (3,0.5) {$y$};
\node[above] at (1.5,0.25) {$r$};
\end{tikzpicture}
</math>
Das Spuleninnere setzt sich auf 4 Flächen der Form in der Abbildung zusammen. Eine solche Fläche hat den Flächeninhalt
\[
F = \frac{F_I}{4} = 2x\cdot y - y\cdot y
\] wobei $y = \sqrt{r^2-x^2}$ gilt (siehe Abbildung). Die Zielfunktion der Fläche des Spuleninneren ist somit
\[
F(x) = 2x \sqrt{r^2-x^2} - (r^2-x^2) \tag{1}
\] Die 1. Ableitung der Flächenfunktion wird dann
\[
F'(x) = 2\sqrt{r^2-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} + 2x
\] Für die Suche nach dem Maximum der inneren Fläche wird $F'(x)$ gleich 0 gesetzt und die Gleichung gelöst.
\[
0 = 2\sqrt{r^2-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} + 2x
\[
\[
0 = 2(r^2-x^2) - 2x^2 + 2x \sqrt{r^2-x^2}
\] \[
x \sqrt{r^2-x^2} = 2x^2 - r^2
\] \[
0 = 5x^4 - 5r^2x^2 + r^4
\] Mit $u = x^2$ hat die quadratische Gleichung $0 = 5i^2-5r^2u+ r^4$ die Lösungen
\[
u_1 \approx 0,7236 r^2 \qquad ; \qquad u_2 \approx 0,2764 r^2
\] und folglich, da die negativen Lösungen entfallen:
\[
x_1 \approx 0,8506 r ;\quad y_1 \approx 0,5257 r \qquad ; \qquad x_2 \approx 0,5257 r ;\quad y_2 \approx 0,8506 r
\] Setzt man $x_1$ in (1) ein, so ergibt sich für die Gesamtfläche des Spuleninneren $F_I \approx 2,4721 r^2$. Dies entspricht 78,69 % der Kreisfläche $\pi r^2$.

Wo könnte ein Fehler sein?

LG Steffen



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Ich sehe keinen Fehler.

Cyrix



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stpolster
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Aufgabe 14 - V601114

In einem Achsenkreuz sind die Punkte $P_1(1;1), P_2(4;2), P_3(3;-2), Z(-1;4)$ gegeben. Es ist ein dem $\triangle P_1P_2P_3$ ähnliches Dreieck zu zeichnen unter Verwendung des Ähnlichkeitspunktes $Z$ und des Ähnlichkeitsverhältnisses $2 : 3$.

Lösung:
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.8]
\draw[lightgray] (-4,-5) grid (7,5);
\draw[->] (-4,0) -- (7,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
\coordinate (p1) at (1,1);
\coordinate (p2) at (4,2);
\coordinate (p3) at (3,-2);
\coordinate (z) at (-1,4);
\coordinate (z1) at (-1,4-1.414);
\coordinate (z2) at (-1,4-1.732);
\draw (z) -- (z2);

\draw[dashed] (z1) -- (p1);
\coordinate (p10) at ($(z2)+1.5*(p1)-1.5*(z1)$);
\coordinate (p1s) at (intersection of z2--p10 and z--p1);
\draw[dashed] (z2) -- (p10);
\draw (z) -- ($(z)!1.1!(p1s)$);
\draw[dashed] (z1) -- (p2);
\coordinate (p20) at ($(z2)+1.5*(p2)-1.5*(z1)$);
\coordinate (p2s) at (intersection of z2--p20 and z--p2);
\draw[dashed] (z2) -- (p20);
\draw (z) -- ($(z)!1.1!(p2s)$);
\draw[dashed] (z1) -- (p3);
\coordinate (p30) at ($(z2)+1.5*(p3)-1.5*(z1)$);
\coordinate (p3s) at (intersection of z2--p30 and z--p3);
\draw[dashed] (z2) -- (p30);
\draw (z) -- ($(z)!1.1!(p3s)$);
\draw[orange] (p1) -- (p2) -- (p3) -- cycle;
\draw[blue] (p1s) -- (p2s) -- (p3s) -- cycle;
\foreach \x in {p1,p2,p3,p1s,p2s,p3s,z,z1,z2}
\draw[fill=white] (\x) circle (0.06);
\node[above] at (p1) {$P_1$};
\node[above] at (p2) {$P_2$};
\node[right] at (p3) {$P_3$};
\node[above] at (p1s) {$P_1"$};
\node[above] at (p2s) {$P_2"$};
\node[right] at (p3s) {$P_3"$};
\node[above] at (z) {$Z$};
\node[left] at (z1) {$Z_2$};
\node[left] at (z2) {$Z_3$};
\coordinate (a) at (-3,-3);
\coordinate (b) at (-2,-3);
\coordinate (c) at (-2,-2);
\coordinate (d) at ($(c)!1cm!-90:(a)$);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d);
\draw[blue] (a) -- (c);
\draw[blue] (a) -- (d);
\node at ($(a)!0.5!(c)$) {$\sqrt 2$};
\node[left] at ($(a)!0.5!(d)$) {$\sqrt 3$};
\node[right] at ($(b)!0.5!(c)$) {1};
\node[right] at ($(c)!0.5!(d)$) {1};
\node[below] at ($(a)!0.5!(b)$) {1};
\end{tikzpicture}
</math>

Wenn die Flächeninhalte der ähnlichen Dreiecke $P_1P_2P_3$ und $P_1'P_2'P_3'$ im Verhältnis 2:3 stehen sollen, so müssen die Seitenlängen im Verhältnis $\sqrt 2 : \sqrt 3$ zueinander stehen.

1. In einer Nebenkonstruktion (siehe Abbildung) ermittelt man durch zweimaliges Anwenden des Satzes von Pythagoras zwei Strecken der Längen $\sqrt 2$ und $\sqrt3$.

2. Von $Z$ trägt man diese Strecken auf einer beliebigen Geraden ab und erhält die Punkte $Z_2$ und $Z_3$.

3. Von $Z$ aus werden Strahlen durch die Punkte $P_1, P_2, P_3$ gezeichnet.

4. $P_1, P_2, P_3$ werden mittels Geraden mit $Z_1$ verbunden.

5. Die Parallelverschiebungen dieser Geraden durch $Z_2$ schneiden die entsprechenden Strahlen durch $Z$ in den gesuchten Punkten $P_1', P_2'$ und $P_3'$.

Nach dem Strahlensatz gilt dann
\[
\frac{ZZ_1}{ZZ_2} = \frac{\sqrt 2}{\sqrt 3} =
\frac{ZP_1}{ZP_1'} =
\frac{ZP_2}{ZP_2'} =
\frac{ZP_3}{ZP_3'}
\] und erneut nach einem Strahlensatz
\[
\frac{P_1P_2}{P_1'P_2'} =
\frac{P_1P_3}{P_1'P_3'} =
\frac{P_2P_2}{P_2'P_3'} =
\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3'}
\] so dass das Dreieck $P_1'P_2'P_3'$ das gesuchte Dreieck ist.

LG Steffen



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stpolster
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Bei Teilaufgabe a) ist es ok, b) schon grenzwertig, da zu viele Rechnung.
c) habe ich nur mittels CAS (Derive) gerechnet. Da muss es doch noch etwas anderes geben, denn 1960 hatten die Schüler nur einen Rechenstab.

Aufgabe 18 - V601118
Einer gegebenen Kugel soll ein gerader Kreiszylinder
einbeschrieben werden.
Wie groß muss man das Verhältnis der Höhe $h$ zum Durchmesser $d$ des Zylinders
wählen, damit
a) der Rauminhalt,
b) die Mantelfläche,
c) die gesamte Oberfläche des Zylinders möglichst groß werden?

Lösung:
Es sei $R$ der Radius der Kugel, $r$ der Radius des Zylinders und $h$ die Höhe des Zylinders. Um ihren Zusammenhang zu finden legen wir eine Schnittebene durch Kugel und Zylinder, die normal auf die Deck- und Bodenfläche des Zylinder steht und durch den Kugelmittelpunkt geht.

<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.8]
\coordinate(m) at (0,0);
\coordinate(a) at (30:2);
\coordinate(b) at (150:2);
\coordinate(c) at (210:2);
\coordinate(d) at (-30:2);
\draw[white, fill=yellow!75] (m) -- (2*0.8666,0) -- (a) -- cycle;
\draw (m) circle (2);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw[dashed] (a) -- (c);
\draw[dashed] (b) -- (d);
\draw[dashed] (0:2) -- (180:2);
\draw[dashed, red] (0,-2.2) -- (0,2.2);
\node[above] at (30:1) {$R$};
\node[below] at (1,0) {$r$};
\node[right] at (15:2) {$\frac{h}{2}$};
\end{tikzpicture}
</math>
In der Abbildung ist die Drehachse des Zylinders rot dargestellt. Für das rechtwinklige Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras
\[
R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 \tag{1}
\] a) Das Volumen des Zylinders berechnet sich zu
\[
V(r,h) = \pi r^2 h
\] Umstellen von (1) nach $r^2$ und einsetzen ergibt
\[
V(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) h
\] Die Nullstellen der 1. Ableitung $V'(h) = \pi \left(R^2-\frac{3h^2}{4}\right)$ sind
\[
h_{1,2} = \pm \frac{2\sqrt 3}{3}R
\] Die negative Lösung entfällt. Die 2. Ableitung $V''=-\frac{3}{2}\pi h$ ist für alle positive $h$ negativ. Damit liegt ein lokales Maximum vor.
 
Der Zylinder hat bei maximalem Volumen den Radius $r = \frac{2 \sqrt 3}{3}R$ und die Höhe $h=\frac{4\sqrt 3}{3}R$. Das Verhältnis ist $h : r = \sqrt 2 : 1$.

b) Die Mantelfläche des Zylinders berechnet sich zu
\[
M = 2\pi r \cdot h
\] Erneutes Einsetzen von (1) ergibt die Zielfunktion
\[
M = 2\pi \sqrt{R^2-\frac{h^2}{4}} h
\] mit der 1. Ableitung
\[
M' = \pi \sqrt{4R^2-h^2} - \frac{\pi h^2}{\sqrt{4R^2-h^2}}
\] Die Nullstellen ergeben sich mit etwas Umstellen zu $h_{1,2} = \sqrt 2 R$. $h = \sqrt 2 R$ erweist sich mit etwas Rechenaufwand wieder als das gesuchte lokale Maximum.

Der Zylinder hat bei maximaler Mantelfläche den Radius $r = \frac{\sqrt 2}{2}R$ und die Höhe $h=\sqrt 2 R$. Das Verhältnis ist $h : r = 2 : 1$.

c) Die Oberfläche des Zylinders berechnet sich zu
\[
O = 2\pi r \cdot h + 2 \pi r^2
\] Erneutes Einsetzen von (1) ergibt die Zielfunktion
\[
O = \pi h \sqrt{4R^2-h^2} - \frac{\pi(h^2-4R^2)}{2}
\] mit der 1. Ableitung
\[
O' = \pi \sqrt{4R^2-h^2} - \frac{\pi h^2}{\sqrt{4R^2-h^2}} - \pi h
\] Eine Nullstelle, die auch das lokale Maximum ergibt, ist $h = \sqrt{\frac{2\sqrt5}{5}+2}R$. (Der rechnerische Nachweis ist sehr aufwendig).
Der Zylinder hat bei maximaler Oberfläche den Radius $r = \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 5}{10}}R$ und die Höhe $\sqrt{\frac{2\sqrt5}{5}+2}R$. Das Verhältnis ist $h : r = (1+\sqrt 5) : 1$.

LG Steffen



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1905, eingetragen 2019-09-03


Hi Steffen,

2019-09-03 14:21 - stpolster in Beitrag No. 1904 schreibt:
$O = \pi h \sqrt{4R^2-h^2} - \frac{\pi(h^2-4R^2)}{2}$

das ist doch $O=\pi h \sqrt{z} + \frac{\pi z}{2}$, was maximal wird, wenn $z=4R^2-h^2$ maximal ist - und das ist für $h=0$ der Fall (Edit: Quatsch, hab den Vorfaktor $h$ übersehen, siehe unten). Das ist für mich auch anschaulich plausibel, schließlich sind Grund- und Deckfläche dann maximal groß.

Mit Differentialrechnung hast du die lokalen Extrema in einem offenen Gebiet (hier offenes Intervall $h \in (0,R)$) bestimmt. Die globalen Extrema können aber am Rand des Gebietes angenommen werden, hier das globale Maximum bei $h=0$ und das globale Minimum bei $h=R$.



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stpolster
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2019-09-03 17:09 - Kornkreis in Beitrag No. 1905 schreibt:
Hi Steffen,

2019-09-03 14:21 - stpolster in Beitrag No. 1904 schreibt:
$O = \pi h \sqrt{4R^2-h^2} - \frac{\pi(h^2-4R^2)}{2}$

das ist doch $O=\pi h \sqrt{z} + \frac{\pi z}{2}$, was maximal wird, wenn $z=4R^2-h^2$ maximal ist - und das ist für $h=0$ der Fall. Das ist für mich auch anschaulich plausibel, schließlich sind Grund- und Deckfläche dann maximal groß.
...
Ich habe die Funktion der Oberfläche für $4R^2=1$ mal gezeichnet.
Da ist kein Minimum bei h=0:

Könnte das an dem Faktor h vor der 1. Wurzel liegen?

LG Steffen



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1907, eingetragen 2019-09-03


2019-09-03 17:25 - stpolster in Beitrag No. 1906 schreibt:

Könnte das an dem Faktor h vor der 1. Wurzel liegen?

Ups! biggrin Der hatte sich so an das $\pi$ angeschmiegt, hab ich übersehen. Mein Beitrag ist damit hinfällig wink



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1908, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-03


Bei folgender Aufgabe fehlt mir eine Idee:

Aufgabe 19 - V601119

Von einem Parallelogramm sind der Durchmesser $AC$
und die Entfernungen der Eckpunkte des Parallelogramms von einem Punkt $P$ außerhalb des Parallelogramms gegeben.
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.8]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(b) at (5,0);
\coordinate(c) at (6,2);
\coordinate(d) at (1,2);
\coordinate(p) at (9,1);
\draw[thick] (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (b) -- (p) -- (a) -- (c) -- (p) -- (d);
\foreach \P in {a,b,c,d,p}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.06);}
\node[below] at (a) {$A$};
\node[below] at (b) {$B$};
\node[above] at (c) {$C$};
\node[above] at (d) {$D$};
\node[above] at (p) {$P$};
\end{tikzpicture}
</math>
Konstruieren Sie das Parallelogramm und beschreiben Sie die Konstruktion.

Das Dreieck ACP ist sofort konstruierbar.
Kreise um P auf denen B und D liegen geht ja noch, aber dann ...?
Hat jemand von euch eine Idee.

LG Steffen



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1909, eingetragen 2019-09-03


Aufgabe 3 - V601203
Eine Uhr, mit Synchronmotor ausgerüstet, habe ideal gleichförmig bewegte Zeiger. Bestimmen Sie genau die Uhrzeiten, bei denen die Zeiger so stehen, dass eine Stunde später der zwischen den Zeigern befindliche Winkel dieselbe Größe hat! (Hinweis: Die betreffenden Winkel sind kleiner als 180◦.)
??
Bin ich da auf einem Irrweg oder ist es wirklich ganz einfach von halb sechs bis halb sieben ?
oLGa



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1910, eingetragen 2019-09-03


Im Uhrzeigersinn muss der Stundenzeiger jeweils um 165° bzw. nach einer Stunde um 195° weiter stehen. Das sollte 11 mal innerhalb von 12 Stunden passieren.

Cyrix



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stpolster
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Ist das so einfach oder übersehe ich wieder etwas?

Aufgabe 10 - V601210
Bei einer Silvesterfeier, zu den 300 Personen anwesend sind, gratuliert im Mitternacht jeder jedem mit einem Händedruck.
Wie viel Zeit nimmt dies in Anspruch, wenn alle Personen gleichzeitig mit der Gratulation beginnen und jede 3 Sekunden dauert?
Lösen Sie die Aufgabe allgemein und dann mit den im Text gegebenen Werten.

Lösung:
Es seien $n$ Personen anwesend.
Da jeder jedem gratuliert, entspricht die Anzahl der Glückwünsche der Anzahl $z$ von Möglichkeiten aus den n Personen genau 2 auszuwählen, d.h., $z = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Ist $n$ gerade, und da die Personen sich gleichzeitig gratulieren, können sich gleichzeitig $\frac{n}{2}$ Paare die Hände schütteln. Damit sind $n-1$ Gratulationsrunden erforderlich, die $3n - 3$ Sekunden benötigen.

Ist $n$ ungerade können sich gleichzeitig $\frac{n-1}{2}$ Paare die Hände schütteln, während eine Person immer warten muss. Damit sind nun $n$ Gratulationsrunden erforderlich, die $3$ Sekunden benötigen.

Für den konkreten Fall $n = 300$ wird $z \binom{300}{2} = 44850$. Die 299 Gratulationsrunden erfordern 897 Sekunden, d.h. 14 min 57 s.

LG Steffen



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1912, eingetragen 2019-09-04


Hallo,


2019-09-04 09:58 - stpolster in Beitrag No. 1911 schreibt:
Ist das so einfach oder übersehe ich wieder etwas?

Aufgabe 10 - V601210
Bei einer Silvesterfeier, zu den 300 Personen anwesend sind, gratuliert im Mitternacht jeder jedem mit einem Händedruck.
Wie viel Zeit nimmt dies in Anspruch, wenn alle Personen gleichzeitig mit der Gratulation beginnen und jede 3 Sekunden dauert?
Lösen Sie die Aufgabe allgemein und dann mit den im Text gegebenen Werten.

Lösung:
Es seien $n$ Personen anwesend.
Da jeder jedem gratuliert, entspricht die Anzahl der Glückwünsche der Anzahl $z$ von Möglichkeiten aus den n Personen genau 2 auszuwählen, d.h., $z = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Ist $n$ gerade, und da die Personen sich gleichzeitig gratulieren, können sich gleichzeitig $\frac{n}{2}$ Paare die Hände schütteln. Damit sind $n-1$ Gratulationsrunden erforderlich, die $3n - 3$ Sekunden benötigen.

Ist $n$ ungerade können sich gleichzeitig $\frac{n-1}{2}$ Paare die Hände schütteln, während eine Person immer warten muss. Damit sind nun $n$ Gratulationsrunden erforderlich, die $3$ Sekunden benötigen.

Für den konkreten Fall $n = 300$ wird $z \binom{300}{2} = 44850$. Die 299 Gratulationsrunden erfordern 897 Sekunden, d.h. 14 min 57 s.

LG Steffen


Die Lösung ist schon richtig, aber es ist nicht ganz klar, warum zu jedem Zeitpunkt sich immer $\frac{n-1}{2}$ bzw. $\frac{n}{2}$ Paare von Personen, die sich noch nicht die Hand geschüttelt haben, finden können.

Man könnte eine konkrete Abfolge wie zum Beispiel hier angeben: math.stackexchange.com/questions/1172005/chromatic-index-of-a-complete-graph



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Nuramon
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2019-09-04 09:58 - stpolster in Beitrag No. 1911 schreibt:
Ist das so einfach oder übersehe ich wieder etwas?

Aufgabe 10 - V601210
Ich kann mir schon vorstellen, dass es so gemeint war. Aber bisher hast du nur gezeigt, dass es mindestens 299 Runden dauert. Man müsste noch einen "Gratulationsplan" angeben, aus dem klar wird, wer in jeder Runde wem gratulieren soll. Das scheint mir gar nicht mal so leicht zu sein.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1911 begonnen.]



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1914, eingetragen 2019-09-04


@OlgaBarati und cyrix,
beides ist falsch. Allerdings ist die Aufgabe auch beknackt formuliert.

Sei der Winkel im Uhrzeigersinn von der 12 aus gerechnet $\sigma(t)$ für den Stundenzeiger und $\mu(t)$ für den Minutenzeiger. Zu einem gegebenen Startzeitpunkt $t=0$ sei die Stellung der Zeiger $\sigma_0$ und $\mu_0$. Dann lauten die Winkelgleichungen der Zeiger
$$\sigma(t)=\sigma_0+30°\cdot t$$$$\mu(t)=\mu_0+360°\cdot t$$Dabei werde $t$ in Stunden angegeben. Allgemein kann man formulieren:
$$\left|\mu(t)-\sigma(t)\right|\mod 360°=|\mu_0-\sigma_0|\mod 360°$$Man muss nun unterscheiden, ob die relative Stellung der beiden Zeiger wieder die gleiche sein soll wie vorher, oder der Winkel nur betragsmäßig gleich sein soll, aber Stunden- und Minutenzeiger relativ gesehen die Plätze tauschen.
Zunächst zum ersten Fall:
Da der Minutenzeiger den Stundenzeiger überholt, liegt der nächste Zeitpunkt gleicher relativer Stellung vor, wenn
$$\mu(t)-360°-\sigma(t)=\mu_0-\sigma_0$$$$\mu_0+360°\cdot t-360°-\sigma_0-30°\cdot t=\mu_0-\sigma_0$$$$330°\cdot t=360°$$$$t=\tfrac{12}{11}$$Nach $\tfrac{12}{11}$ Stunden liegt also unabhängig von der ursprünglichen Uhrzeit wieder die gleiche Winkelstellung vor. Der Stundenzeiger hat sich dann $\tfrac{360°}{11}\approx32,73°$ weitergedreht.
Der zweite Fall ist komplizierter. Nun muss gelten
$$\left(\mu(t)-\sigma(t)\right)\mod 360°=\left(-\mu_0+\sigma_0\right)\mod 360°$$$$\left(2(\mu_0-\sigma_0)+330°\cdot t\right)\mod 360°=0$$$$2(\mu_0-\sigma_0)+330°\cdot t=360°\cdot z$$mit $z\in\mathbb Z$.
$$t=\frac{12}{11}\left(z-\frac{\mu_0-\sigma_0}{180°}\right)$$In diesem Fall hängt es also von der ursprünglichen Uhrzeit ab, wann das nächste Mal die Zeiger betragsmäßig wieder den gleichen Winkel einschließen.

Ich könnte mir vorstellen, dass nur der erste Fall in der Aufgabenstellung gemeint war.

Ciao,

Thomas


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1911 begonnen.]



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stpolster
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2019-09-04 11:01 - Nuramon in Beitrag No. 1913 schreibt:
Man müsste noch einen "Gratulationsplan" angeben, aus dem klar wird, wer in jeder Runde wem gratulieren soll. Das scheint mir gar nicht mal so leicht zu sein.
Ok, verstehe ich, besonders das zweite.
Ich habe im Moment (noch ?) keinen Plan.

LG Steffen



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stpolster
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2019-09-04 11:02 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1914 schreibt:
Ich könnte mir vorstellen, dass nur der erste Fall in der Aufgabenstellung gemeint war.
Sehr wahrscheinlich.
Deine Lösung verstehe ich auch, bis zu dem Moment, wo ich versuche die
konkreten Uhrzeiten zu ermitteln.

LG Steffen



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Nuramon
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-09-04 12:28 - stpolster in Beitrag No. 1915 schreibt:
2019-09-04 11:01 - Nuramon in Beitrag No. 1913 schreibt:
Man müsste noch einen "Gratulationsplan" angeben, aus dem klar wird, wer in jeder Runde wem gratulieren soll. Das scheint mir gar nicht mal so leicht zu sein.
Ok, verstehe ich, besonders das zweite.
Ich habe im Moment (noch ?) keinen Plan.
In dem Link von Ochen ist einer angegeben.
Nummeriere die Personen mit $1,\ldots, n$.

1. Fall: Angenommen die Anzahl $n$ der Personen ist ungerade.
Dann betrachte folgenden Gratulationsplan:
Für $r=1,2,\ldots, n$ soll in Runde $r$ die Person mit Nummer $i$ der eindeutig bestimmten Person mit Nummer $j$ gratulieren, für die $i+j \equiv r \pmod n$ gilt. Falls $i=j$ gilt, so setzt Person $i$ in dieser Runde aus.

Korrektheitsbeweis:
Wegen $i+j=j+i$ ist klar, dass in jeder Runde die Person $j$, der Person $i$ laut Plan gratulieren soll, ebenfalls der Person $i$ gratulieren soll. Also sind die geplanten Gratulationen immer möglich.
Außerdem gratuliert jede Person jeder anderen genau einmal: Die Personen $i,j$ gratulieren sich in der Runde $r$ für die $r \equiv i+j \pmod n$ gilt.

Beobachtung: Da $n$ ungerade ist, gibt es in jeder Runde $r$ genau eine Person $i$, die aussetzt, also für die $2i \equiv r \pmod n$ gilt. Außerdem gibt es zu jeder Person genau eine Runde, in der die Person aussetzt.

2. Fall: Angenommen die Anzahl $n$ der Personen ist gerade.
Betrachte die Person $n$ getrennt von den anderen. Der neue Plan ist, den Plan für die Personen $1,2,\ldots, n-1$ gemäß des 1. Falls auszuführen mit dem Unterschied, dass die Person, die aussetzen sollte der Person $n$ gratuliert.
Formal: Für $r=1,2,\ldots, n-1$ soll in Runde $r$ die Person $i$ (mit $1\leq i <n$) der Person $j$ mit $i+j \equiv r \pmod {n-1}$  (falls $j\not= i$) bzw. der Person $n$ (falls $j=i$) gratulieren.
Die Korrektheit folgt aus Fall 1 und obiger Beobachtung.
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Hallo Steffen,
ich habe einen entscheidenden Satz in der Aufgabe nicht wahrgenommen:
"Bestimmen Sie genau die Uhrzeiten, bei denen die Zeiger so stehen, dass eine Stunde später der zwischen den Zeigern befindliche Winkel dieselbe Größe hat!"
Wie ich gezeigt habe, ist alle $\tfrac{12}{11}$ Stunden (1 Stunde, 5 Minuten und 27,27 Sekunden später) die Winkelstellung sowieso wieder wie vorher. Das wäre aber eben gerade nicht die Lösung, sondern es soll ja genau eine Stunde später wieder der gleiche Winkel zwischen den Zeigern liegen. Das heißt:
$$\frac{12}{11}\left(z-\frac{\mu_0-\sigma_0}{180°}\right)=1$$Nach $\mu_0-\sigma_0$ aufgelöst:
$$\mu_0-\sigma_0=180°(z-\tfrac{11}{12})$$$$\mu_0-\sigma_0=180°\cdot z-165°$$Da $z=2$ im Grunde das gleiche ergibt wie $z=0$, gilt also entweder:
$$\mu_0=\sigma_0-165°$$oder
$$\mu_0=\sigma_0+15°$$So scheint cyrix' Lösung zu stimmen, wenn er es so gemeint hat. Der Minutenzeiger muss also ursprünglich entweder 165° hinter dem Stundenzeiger sein, oder 15° weiter. Ersteres wäre zum Beispiel um 11:30:00 Uhr der Fall, aber nicht nur, denn wie oben gezeigt, wäre es auch bei Startzeit 12:35:27 Uhr der Fall, usw..
15° ist der Minutenzeiger dem Stundenzeiger voraus um 05:30:00 Uhr. Damit wäre OlgaBaratis Lösung teilweise richtig. Sinngemäß gilt das gleiche wie vor, also weitere Startuhrzeiten wären zum Beispiel 06:35:27, 07:40:55 und so weiter.

Ciao,

Thomas



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@Nuramon:
Danke. Ich habe deinen "Gratulationsplan" eingebaut.

@MontyPythagoras:
Danke.
Das klingt für mich auch wieder plausibel. Ich warte einmal mit dem Übernehmen. Vielleicht gibt es noch andere Hinweise.

LG Steffen



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