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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1840, eingetragen 2019-08-20


Aufgabe 5 - V611125
\[\frac{169}{30}\;\;?\;\;\frac{13}{15}=\frac{13}{2}\] a) Welche der Rechenzeichen (+, −, ·, :) können anstelle des Fragezeichens stehen?
b) Geben Sie ein allgemeines Verfahren an, gleichartige Aufgaben zu bilden!
Es sollen die gleichen Rechenzeichen anstelle des Fragezeichens eingesetzt werden wie bei der Lösung a.
c) Bilden Sie nach diesem Verfahren zwei Aufgaben!
d) Können die Glieder der Aufgabe auch sämtlich positive ganze Zahlen sein? Begründen Sie Ihre Antwort!

Lösungsversuch
a) Das Additions- und das Divisionszeichen.

b) Mit den gewählten Variablen ergeben sich
\[\frac{a}{b}+\frac{x}{y}=\frac{x}{2}\] \[\frac{a}{b}:\frac{x}{y}=\frac{x}{2}\] und damit direkt \(a=x^2\) und \(b=2y\) und \(x=y-2.\)
\[\frac{x^2}{2x+4}+\frac{x}{x+2}=\frac{x}{2}\;\;\;(1)\] \[\frac{x^2}{2x+4}:\frac{x}{x+2}=\frac{x}{2}\;\;\;(2)\]
c) Seien für \(x\) die Zahlen beliebig gewählt.

\(x=15\)
\[\frac{225}{34}+\frac{15}{17}=\frac{15}{2}\] \[\frac{225}{34}:\frac{15}{17}=\frac{15}{2}\] \(x=29\)
\[\frac{841}{62}+\frac{29}{31}=\frac{29}{2}\] \[\frac{841}{62}:\frac{29}{31}=\frac{29}{2}\]
d) Es genügt zu zeigen dass zwei Glieder nicht gleichzeitig positiv ganzzahlig sind.

\(\forall x\in \mathbb{R_+}:\frac{x}{x+2}<1.\)
\(\forall x\in \mathbb{R_-}:\frac{x}{2}<0.\)
oLGa





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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1841, eingetragen 2019-08-20


Aufgabe V611234:

Gegeben ist ein Quadrat $ABCD$ und ein fester Punkt $Q$, der nicht auf dem Umfang des Quadrates liegt. Für jede Wahl des Punktes $P$ auf dem Umfang des Quadrates wähle man einen Punkt $R$ so, dass $PQR$ ein gleichseitiges Dreieck wird.
Welche Kurve beschreibt $R$, wenn sich $P$ längs $ABCD$ bewegt?

Da $PQR$ ein gleichseitiges Dreieck ist, ist $\overline{QR}=\overline{QP}$. $R$ entsteht also aus $P$ durch Drehung des Punktes $P$ um $Q$ um $60°$ oder $-60°$ (bildlich dargestellt ist die Drehung um $-60°$). Dadurch werden auch alle Punkte des Quadrates und das Quadrat als ganzes um $60°$ um $Q$ gedreht. Die Kurve, die $R$ beschreibt, ist daher das um $\pm60°$ um den Punkt $Q$ gedrehte Quadrat.

Ciao,

Thomas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1839 begonnen.]



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1842, eingetragen 2019-08-20

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-08-19 21:55 - Nuramon in Beitrag No. 1837 schreibt:
2019-08-19 21:43 - stpolster in Beitrag No. 1836 schreibt:
Wenn es nicht zu viel Arbeit ist: Könntest du deine Lösung entsprechend ändern?
Durch die geänderte Funktionalgleichung wird es eine komplett andere Aufgabe.
Die Musterlösung sollte aber leicht zu texen sein. Wenn du willst, dann mache ich das diese Woche noch.

Ich habe da mal einen kurzen Blick auf die Musterlösung zu der Aufgabe geworfen, die leider nur bis zur Gleichung
\[f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)=x-\frac 1x\quad (4)\] "mustergültig" ist. Ab da gilt das dann aber nicht mehr und es dauert dann echt noch mehr als eine halbe Seite bis zur endgültigen Lösung.  eek

Obige Gleichung kann man ja auch in der Form
\[f\circ\frac{x+1}{x-1}\circ (x-\frac1x)=x-\frac 1x\] anschreiben, wie man sofort nachrechnet, was wegen der Surjektivität von $x\mapsto x-\frac1x$ (als Abbildung von $\mathbb R\setminus\{0\}$ in $ \mathbb R$) weiter zu
\[f\circ \frac{x+1}{x-1}=x\quad (x\in\mathbb R\setminus\{1\})\] äquivalent ist. Da aber $x\mapsto \frac{x+1}{x-1}$ involutorisch auf $\mathbb R\setminus \{1\}$ ist, folgt durch rechtsseitige Komposition damit unmittelbar
\[f(x)=\frac{x+1}{x-1}\quad (x\in\mathbb R\setminus\{1\})\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1839 begonnen.]
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1843, eingetragen 2019-08-20


Hallo weird,
schreib das Ganze jetzt noch mit dem Vokabular eines 12.-Klässlers, dann ist die Aufgabe doch fertig.  biggrin

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1844, eingetragen 2019-08-20


'n bisschen leicht für 12. Klasse, 3. Stufe, oder?

Aufgabe 2 - V611232
Vom Fenster (Breite 100 cm, Höhe 85 cm) eines fahrenden Zuges aus scheinen Regentropfen, bei völliger Windstille, in Richtung der Fensterdiagonalen zu fallen.
Wie groß ist die Fallgeschwindigkeit der Tropfen (in $\frac {\text m}{\text s}$), wenn der Zug in 3 Minuten 3 km zurücklegt?
Da der Zug 3000m in 180s zurücklegt, beträgt seine Geschwindigkeit $v_Z=\frac{3000\text m}{180\text s}$. Das Verhältnis der Tropfen-Fallgeschwindigkeit $v_T$ zur Zuggeschwindigkeit muss gleich dem Verhältnis der Fensterhöhe zur -breite sein. Daher ist die Fallgeschwindigkeit:
$$v_T=\frac{85}{100}\cdot\frac{3000\text m}{180\text s}=14,17\tfrac{\text m}{\text s}$$
Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1845, eingetragen 2019-08-20


Aufgabe 1 - V611221
Ein Flugzeug fliegt zunächst 300 km in Richtung Süden, ändert dann seinen Kurs und fliegt 300 km in Richtung Osten und dann wieder 300 km in Richtung Norden. Es ist an seinem Ausgangspunkt wieder angelangt!
Wo befindet sich der Ausgangspunkt, falls der Flug
a) über der nördlichen,
b) über der südlichen Halbkugel erfolgt?
(Erdradius r = 6370 km)
Hinweis: Die Aufgabe b) hat unendlich viele Lösungen.
a) Der Ausgangspunkt war der Nordpol. Jede beliebige, geradlinige Strecke, die am Nordpol beginnt, führt Richtung Süden, und egal wie weit man in Richtung Osten oder Westen fliegt, wenn man anschließend die gleiche Streckenlänge wieder in Richtung Norden fliegt, kommt man wieder am Nordpol an. Allerdings setzt das voraus, dass man in Richtung Osten entlang eines Breitenkreises geflogen ist, und nicht geradlinig. (geradlinig heißt in diesem Zusammenhang natürlich entlang eines Großkreises).
b) Hier gilt sinngemäß das gleiche wie unter a), nämlich dass der Flug Richtung Osten entlang eines Breitenkreises erfolgt. Auf der Südhalbkugel ist die Rückkehr an den Ausgangspunkt nur möglich, wenn der Punkt, an dem von Flugrichtung Süd auf Ost gewechselt wird, derselbe ist wie der, wo die Flugrichtung von Ost auf Nord wechselt. Der Breitenkreis muss also einen Umfang von 300km haben. Angesichts der geringen Erdkrümmung reicht eine näherungsweise Betrachtung. Der Breitenkreis muss somit $\frac{300\text{km}}{2\pi}=47,75\text{km}$ vom Südpol entfernt sein.
Man kehrt mit obiger Route also genau dann zum Ausgangspunkt zurück, wenn dieser 347,75km vom Südpol entfernt ist.

Ciao,

Thomas



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1846, eingetragen 2019-08-20


2019-08-20 10:12 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1843 schreibt:
schreib das Ganze jetzt noch mit dem Vokabular eines 12.-Klässlers, dann ist die Aufgabe doch fertig.  biggrin

Wo meinst du denn, dass meine Darstellung über das Vokabular eines 12.-Klässlers hinausgeht? Gut, statt "involutorisch" könnte man vielleicht auch "selbstinvers" sagen, aber sonst sollte es dem Niveau eines mathematisch begabten (davon kann man doch bei einem Teilnehmer einer Mathematik-Olympiade doch ausgehen, oder nicht?) 12.-Klässlers m.E. durchaus angemessen sein, das hoffe ich jedenfalls.  wink  

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1844 begonnen.]



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1847, eingetragen 2019-08-20


$\text{Begabung}\neq\text{Fachwissen}$
Dass er die Lösung prinzipiell verstehen sollte, ist zweifellos richtig, aber wenn er nicht gerade einen Unterrichtsstoff genossen hat, der deutlich über das Schulvokabular hinausgeht, werden ihm einige Begriffe nichts sagen.

Ciao,

Thomas



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1848, eingetragen 2019-08-20


@weird: Gute Beobachtung. Schreibst du den ersten Teil auch noch auf, damit stpolster die Lösung direkt so eintragen kann?
Am Ende fehlt auch noch die berühmt-berüchtigte Probe (oder zumindest eine Bemerkung, dass diese notwendig ist), die man bei Funktionalgleichungen praktisch immer machen muss.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1849, eingetragen 2019-08-20


Aufgabe 4 - V611134
Von einem Punkt $P$ gehen drei Strecken aus, von denen je zwei senkrecht aufeinander stehen. Die drei Endpunkte $A$, $B$, $C$ der Strecken werden miteinander verbunden. Das Quadrat der Fläche des so entstandenen Dreiecks $ABC$ ist gleich der Summe der Quadrate der Flächen der übrigen Dreiecke.
Beweisen Sie diese Behauptung!

Die gesuchte Fläche des Dreiecks $ABC$ ist
$$A_{ABC}=\tfrac12dh=\sqrt{\tfrac14d^2c^2+(\tfrac12dh_1)^2}=\sqrt{\tfrac14a^2c^2+\tfrac14b^2c^2+A_{ABD}^2}=\sqrt{A_{ACD}^2+A_{BCD}^2+A_{ABD}^2}$$Daher gilt
$$A_{ABC}^2=A_{ACD}^2+A_{BCD}^2+A_{ABD}^2$$q.e.d.

Ciao,

Thomas



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1850, eingetragen 2019-08-20


@weird: Ich fidne deine Lösung auch sehr nett. :) Jedoch dürfte tatsächlich eher wenigen Schülerinnen und Schülern die Schreibweise der Hintereinanderausführung zweier funktionen (oder der Begriff der Surjektivität) etwas sagen. Sprich: Wenn du inhaltlich genau deine Lösungsidee nachvollziehst, aber zwei/ drei Worte mehr verlierst, kann man deutlich mehr leserinnen und Lesern deine Lösung nahe bringen! :)

Cyrix



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1851, eingetragen 2019-08-20


Aufgabe 1 - V611121
Bei Bodenuntersuchungen in der Agrochemie wendet man die sogenannte stufenweise Verdünnung an. Man schwemmt 1 cm³ einer Bodenprobe (x) mit 10 cm³ chemisch reinem Wasser (y) auf. Von der so erhaltenen Mischung nimmt man wieder 1 cm³ und schwemmt es ebenfalls mit 10 cm³ reinem Wasser auf!
a) Wie oft muss man diese Aufschwemmung vornehmen, um ein Mischverhältnis von etwa 1 : 2000000 zu erreichen?
b) Wieviel Bakterien sind dabei in 1 cm³ der Aufschwemmung durchschnittlich vorhanden, wenn 1 cm³ der unverdünnten Bodenprobe etwa 10 Millionen Bakterien enthält ?
Lösungsversuch
a) Mit x=1 cm³, y=10 cm³, x+y=11 cm³ ist das Verhältnis 1:10 und für das Mischungsverhältnis 1:2000000 ergibt sich damit:
\[\big(\frac{1}{11}\big)^n=\frac{1}{2000000}\] \[n=\frac{\log{(2000000)}}{\log{(11)}}\approx 6\]
b)\[n_{Bak}= \frac{10000000}{2000000}=5\]
oLGa

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1849 begonnen.]



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1852, eingetragen 2019-08-20

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-08-20 11:13 - Nuramon in Beitrag No. 1848 schreibt:
@weird: Gute Beobachtung. Schreibst du den ersten Teil auch noch auf, damit stpolster die Lösung direkt so eintragen kann?
Am Ende fehlt auch noch die berühmt-berüchtigte Probe (oder zumindest eine Bemerkung, dass diese notwendig ist), die man bei Funktionalgleichungen praktisch immer machen muss.

Ok, hier also dann meine vollständige Lösung, wobei der Anfang wie gesagt noch mit Musterlösung in #1834 übereinstimmt.

Lösung zu 321233A
Gelten die Voraussetzungen der Aufgabe für ein $x\in\mathbb R$, dann offensichtlich auch für $-x$ und durch Einsetzen in
\[2f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)-3f\left(\frac{x^2-x-1}{x^2+x-1}\right)=5\left(x-\frac1x\right)\quad (1)\] erhält man
\[2f\left(\frac{x^2-x-1}{x^2+x-1}\right)-3f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)=-5\left(x-\frac1x\right)\quad (2)\] also insgesamt ein lineares Gleichungssystem in $f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)$ und $f\left(\frac{x^2-x-1}{x^2+x-1}\right)$, aus dem sich insbesondere
\[f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)=x-\frac1x\quad (3)\] ergibt. Nun kann man (3) unter Zuhilfenahme der Abbildungen
\[\tilde f:\mathbb R\setminus\{1\}\to \mathbb R\quad \text{mit}\quad x\mapsto \frac{x+1}{x-1}\quad (4)\] bzw.
\[g:\mathbb R\setminus\{0\}\to \mathbb R\quad \text{mit}\quad x\mapsto x-\frac1x\quad (5)\] auch in der Form
\[f(\tilde{f}(g(x)))=g(x)\quad (x\in\mathbb R\setminus\{0\})\quad (6)\] schreiben, wie man leicht nachrechnet. Da aber $g(x)$ für $x\ne 0$ alle reellen Zahlen durchläuft, muss also für alle reelle Zahlen $x\ne 1$ auch $f(\tilde{f}(x))=x$ gelten. Andererseits gilt aber auch $\tilde f(\tilde f(x))=x$ für alle $x\ne 1$, wie man sofort nachrechnet, womit sich wegen $f(\tilde f(x))=\tilde f(\tilde f(x))$ ähnlich wie vorher schlussendlich
\[f(x)=\tilde f(x)=\frac{x+1}{x-1} \quad (x\in \mathbb R\setminus\{1\})\quad (7)\] ergibt. Durch Einsetzen in (1) kann man sich schließlich noch davon überzeugen, dass dies auch tatsächlich eine Lösung unserer Funktionalgleichung hier ist.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1848 begonnen.]
\(\endgroup\)


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weird
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2019-08-20 12:33 - cyrix in Beitrag No. 1850 schreibt:
@weird: Ich fidne deine Lösung auch sehr nett. smile Jedoch dürfte tatsächlich eher wenigen Schülerinnen und Schülern die Schreibweise der Hintereinanderausführung zweier funktionen (oder der Begriff der Surjektivität) etwas sagen. Sprich: Wenn du inhaltlich genau deine Lösungsidee nachvollziehst, aber zwei/ drei Worte mehr verlierst, kann man deutlich mehr leserinnen und Lesern deine Lösung nahe bringen! smile

Cyrix

Ich habe jetzt mal einen Lösungsvorschlag in #1852 gemacht, der aber ganz auf der Komposition von Funktionen aufbaut, da ich deine Anregung oben zu diesem Zeitpunkt noch nicht gelesen hatte. Wenn jemand dieses Konzept der Komposition von Funktionen fremd ist und ihm auch Begriffe wie "surjektiv" oder "selbstinvers" bei Funktionen wenig sagen, wird er vermutlich damit wenig anfangen können, das ist schon richtig, aber ich vermute mal, dass er dann auch insgesamt mit der Aufgabe ein Problem hat, da diese im Kern doch darauf aufbaut, wenngleich man natürlich alles irgendwie "umschreiben" kann.

Aber ich habe natürlich absolut nichts dagegen und fände es sogar begrüssenswert, wenn jemand eine aus seiner Sicht mehr "schülergerechte" Alternativlösung - nach meiner Idee oder unabhängig davon - anbietet.  wink



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1854, eingetragen 2019-08-20


Moin weird,

ich würde z.B. einfach statt <math>f\circ \tilde{f} \circ g=g</math> folgendes schreiben:

Nun kann man ... (3) für alle reellen Zahlen <math>x</math> auch als <math>f(\tilde{f}(g(x)))=g(x)</math> schreiben. Da <math>g(x)</math> mit <math>x</math> aber alle reellen Zahlen durchläuft, muss also für alle reelle Zahlen <math>x</math> auch <math>f(\tilde{f}(x))=x</math> gelten, sodass <math>\tilde{f}</math> die Umkehrfunktion von <math>f</math> ist.

Cyrix



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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1855, eingetragen 2019-08-20

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-20 09:22 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1839 schreibt:
Aufgabe V601012:

Zeichnen Sie in ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge $a$ den größtmöglichen Rhombus!
a) Stellen Sie eine Formel für den Flächeninhalt und den Umfang des Rhombus auf!
b) Wie viel Prozent der Sechseckfläche nimmt der Rhombus ein?


Oder mit TikZ:

<math>
\begin{tikzpicture}[background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,]
\node[draw, minimum size=4.3cm,regular polygon,regular polygon sides=6, shape border rotate=0] (vieleck) {};

\foreach \Seite in {2,3}
\node[left] at (vieleck.side \Seite) {$a$};

\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.side 1) node[midway, left]{$h$};
\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.side 4);

\draw[blue] (vieleck.side 1) -- (vieleck.corner 3) node[midway, below]{$b$} -- (vieleck.side 4) -- (vieleck.corner 6) --cycle;

\foreach \Seite in {4,1}
\draw[fill=black!1] (vieleck.side \Seite) circle(1.5pt);

\foreach \Ecke in {1,...,6}{
\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.corner \Ecke);
\draw[fill=black!1] (vieleck.corner \Ecke) circle(1.5pt);
}
\end{tikzpicture}
</math>

latex
% \usetikzlibrary{shapes}
 
\begin{tikzpicture}[]
\node[draw, minimum size=4.3cm,regular polygon,regular polygon sides=6, shape border rotate=0] (vieleck) {};
 
\foreach \Seite in {2,3}
\node[left] at (vieleck.side \Seite) {$a$};
 
\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.side 1) node[midway, left]{$h$};
\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.side 4);
 
\draw[blue] (vieleck.side 1) -- (vieleck.corner 3) node[midway, below]{$b$} -- (vieleck.side 4) -- (vieleck.corner 6) --cycle;
 
\foreach \Seite in {4,1}
\draw[fill=black!1] (vieleck.side \Seite) circle(1.5pt);
 
\foreach \Ecke in {1,...,6}{
\draw[thin] (vieleck.center) -- (vieleck.corner \Ecke);
\draw[fill=black!1] (vieleck.corner \Ecke) circle(1.5pt);
}
\end{tikzpicture}

\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1856, eingetragen 2019-08-20


2019-08-20 13:35 - cyrix in Beitrag No. 1854 schreibt:
ich würde z.B. einfach statt <math>f\circ \tilde{f} \circ g=g</math> folgendes schreiben:

Nun kann man ... (3) für alle reellen Zahlen <math>x</math> auch als <math>f(\tilde{f}(g(x)))=g(x)</math> schreiben. Da <math>g(x)</math> mit <math>x</math> aber alle reellen Zahlen durchläuft, muss also für alle reelle Zahlen <math>x</math> auch <math>f(\tilde{f}(x))=x</math> gelten, sodass <math>\tilde{f}</math> die Umkehrfunktion von <math>f</math> ist.

Cyrix

Ja danke, ich habe das mal so in #1852 übernommen, auch wenn der ursprünglich sehr strukturelle Ansatz dadurch aus meiner Sicht leicht "verwässert" wird. Aber wenn so tatsächlich die Lösung "zugänglicher" wird, dann mache ich das natürlich.  wink

Anm.: Allerdings sieht man allein aus $f(\tilde f(x))=x$ m.E. noch nicht, dass $f$ die Umkehrfunktion von $\tilde f$ ist, ich habe das Ganze daher noch ein bisschen umformuliert.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1854 begonnen.]



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1857, eingetragen 2019-08-20


Damit dürfte auch jedem Interessierten, der noch keinen Kontakt mit weiterführender Mathematik von der Uni hatte, klar sein, was hier passiert. Freut mich. :) (Insbesondere auch, dass du nicht die Fehler in meiner Darstellung übernommen, sondern die Lücken gestopft hast. :) )

(Und ja, es mag einen etwas ärgern, dass durch die etwas ausschweifendere Beschreibung die Kürze und Klarheit der Sprache etwas verloren gehen mag. Aber ich denke, dass man dennoch gut damit leben kann. :) )

Cyrix



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1858, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-20


Ich habe alles übernommen und hoffe nichts übersehen zu haben.
Danke für die vielen Lösungen.

LG Steffen



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1859, eingetragen 2019-08-20


Aufgabe 4 - V611224
Zeichnen Sie ein beliebiges Dreieck, das einen Winkel von 60° enthält! Konstruieren Sie nun über allen drei Seiten gleichseitige Dreiecke, so ist die Summe der Flächen des ursprünglichen Dreiecks und des über der Gegenseite des Winkels von 60° konstruierten Dreiecks gleich der Summe der Flächen der beiden übrigen Dreiecke.
Beweisen Sie diese Behauptung!

Der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks $BEC$ ist
$$A_{BEC}=\tfrac{\sqrt3}4a^2$$Die anderen Flächen der gleichseitigen Dreiecke berechnen sich in gleicher Weise. Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ lautet
$$A_{ABC}=\tfrac12ch=\tfrac12bc\sin60°=\tfrac{\sqrt3}4bc$$Daher soll gelten:
$$\tfrac{\sqrt3}4bc+\tfrac{\sqrt3}4a^2=\tfrac{\sqrt3}4b^2+\tfrac{\sqrt3}4c^2$$$$a^2=b^2+c^2-bc$$Laut dem Kosinussatz gilt außerdem
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos60°$$Da $\cos60°=\tfrac12$ ist, ist die obige Gleichung tatsächlich erfüllt. q.e.d.

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1860, eingetragen 2019-08-20


Aufgabe 2 - V611132
Der im Schnitt abgebildete Blechbehälter (Hohlzylinder mit aufgesetzter Kugelkappe, Abbildung) soll durch Tiefziehen aus einer Blechscheibe hergestellt werden.
a) Wie groß ist allgemein der Durchmesser der Blechscheibe?
b) Berechnen Sie den Zahlenwert für $d = 230 mm$, $h_1 = 70 mm$, $h_2 = 110 mm$!
Anmerkung: Die Blechscheibe, aus der der Behälter durch Tiefziehen gezogen wird, hat dieselbe Fläche wie der Blechbehälter.
a) Die Gesamtfläche des Blechbehälters ist
$$A=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)$$Diese Fläche soll gleich der Fläche der kreisförmigen Blechscheibe sein, deren Durchmesser $D$ sei. Daher gilt:
$$\pi D^2=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)$$$$D=\sqrt{\tfrac14d^2+h_1^2+dh_2}$$b) Der Durchmesser der Blechscheibe betrug $D=208,4\text{mm}$.

Ciao,

Thomas



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1861, eingetragen 2019-08-20


2019-08-20 09:52 - OlgaBarati in Beitrag No. 1840 schreibt:
Aufgabe 5 - V611125
\[\frac{169}{30}\;\;?\;\;\frac{13}{15}=\frac{13}{2}\] a) Welche der Rechenzeichen (+, −, ·, :) können anstelle des Fragezeichens stehen?
b) Geben Sie ein allgemeines Verfahren an, gleichartige Aufgaben zu bilden!
Es sollen die gleichen Rechenzeichen anstelle des Fragezeichens eingesetzt werden wie bei der Lösung a.
c) Bilden Sie nach diesem Verfahren zwei Aufgaben!
d) Können die Glieder der Aufgabe auch sämtlich positive ganze Zahlen sein? Begründen Sie Ihre Antwort!

Lösungsversuch
a) Das Additions- und das Divisionszeichen.

b) Mit den gewählten Variablen ergeben sich
\[\frac{a}{b}+\frac{x}{y}=\frac{x}{2}\] \[\frac{a}{b}:\frac{x}{y}=\frac{x}{2}\] und damit direkt \(a=x^2\) und \(b=2y\) und \(x=y-2.\)
\[\frac{x^2}{2x+4}+\frac{x}{x+2}=\frac{x}{2}\;\;\;(1)\] \[\frac{x^2}{2x+4}:\frac{x}{x+2}=\frac{x}{2}\;\;\;(2)\]
c) Seien für \(x\) die Zahlen beliebig gewählt.

\(x=15\)
\[\frac{225}{34}+\frac{15}{17}=\frac{15}{2}\] \[\frac{225}{34}:\frac{15}{17}=\frac{15}{2}\] \(x=29\)
\[\frac{841}{62}+\frac{29}{31}=\frac{29}{2}\] \[\frac{841}{62}:\frac{29}{31}=\frac{29}{2}\]
d) Es genügt zu zeigen dass zwei Glieder nicht gleichzeitig positiv ganzzahlig sind.

\(\forall x\in \mathbb{R_+}:\frac{x}{x+2}<1.\)
\(\forall x\in \mathbb{R_-}:\frac{x}{2}<0.\)
oLGa

Teil b würde ich etwas allgemeiner angehen.

Gesucht sind (rationale) Zahlen \(a,b,c\) mit \(b\neq0\) und
(1) \(a+b=c\)
(2) \(a:b=c\)

Gleichsetzen von (1) und (2) liefert \(a+b=a:b\) und daraus
\[a=\frac{b^2}{1-b}\] Dies in (1) eingesetzt ergibt \(\frac{b^2}{1-b}+b=c\) und daraus
\[c=\frac b{1-b}\] Für jedes \(b\neq0,1\) ergibt sich damit eine Aufgabe
\[\frac{b^2}{1-b}\ ?\ b=\frac b{1-b}\] Wählt man \(0<b<1\), so sind alle Werte \(a,b,c\) zudem positiv.

c)
Mit \(b=\frac13\) ergibt sich \(a=\frac16\) und \(c=\frac12\) und damit die Aufgabe
\[\frac16?\frac13=\frac12\] Mit \(b=\frac35\) ergibt sich \(a=\frac9{10}\) und \(c=\frac32\) und damit die Aufgabe
\[\frac9{10}?\frac35=\frac32\]
d)
\(a,b,c\) können nicht alle positive ganze Zahlen sein, da für eine ganze Zahl \(b>1\) die Zahl \(c=\frac b{1-b}\) negativ ist. (Zudem ist \(1-b\) kein Teiler von \(b\); \(c\) ist also nocht nicht einmal ganz.)



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MontyPythagoras
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Aufgabe 4 - V611124
Zeichnen Sie ein Parallelogramm!
Konstruieren Sie auf der Grundlinie (bzw. auf ihrer Verlängerung dieses Parallelogramms den Punkt, von dem aus die Gegenseite und eine der beiden anderen unter gleichem Winkel erscheinen!
Beweisen Sie die Richtigkeit der Konstruktion!

Den gesuchten Punkt $H$ konstruiert man wie folgt:
1. Zeichne eine Senkrechte von $C$ auf die Gerade $AB$. Der Schnittpunkt ist $E$.
2. Zeichne einen Kreis um den Mittelpunkt $C$ durch den Punkt $E$.
3. Konstruiere den Mittelpunkt $F$ der Strecke $CD$.
4. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt $F$ vom Punkt $C$ zum Punkt $D$. Der Schnittpunkt der Kreise ist $G$.
5. Zeichne eine Gerade durch die Punkte $D$ und $G$. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Gerade $AB$ ist der gesuchte Punkt $H$.

Begründung:
Die Gerade $HC$ muss die Winkelhalbierende der Geraden $HE$ und $HG$ sein. Das ist der Fall, weil die Dreiecke $HEC$ und $HCG$ kongruent sind, da sie in $G$ und $E$ einen rechten Winkel aufweisen, die Seite $HC$ gemeinsam haben und eine weitere Seite ($CG$ bzw. $CE$) gleich lang ist (SSW). Damit der Winkel $\angle DGC$ rechtwinklig ist, wurde wegen des Satzes von Thales der Kreis um den Mittelpunkt $F$ mit dem Kreis um $C$ geschnitten.

Ciao,

Thomas



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1863, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-20


Ich benötige mathematische + tikz Hilfe.
Für die Aufgabe 060936 möchte ich das Bild zeichnen. Bisher habe ich:

<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },]
\coordinate(m) at (0,0);
\draw (m) circle (2);
\coordinate(b) at (5,0);
\coordinate(c) at (-2,-4);
\coordinate(a) at ($(c)!0.3!(b)$);
\coordinate(f) at ($(b)!(m)!(c)$);
\coordinate(f0) at ($(f)!-2cm!90:(c)$);
\coordinate(b0) at ($(f0)+(b)-(f)$);
\coordinate(c0) at ($(f0)+(c)-(f)$);
\coordinate(mx) at ($(m)+(a)-(f)$);
\draw (b) -- (c);
\draw (b0) -- (c0);
\draw ($(m)!1.2!(f)$) -- ($(f)!1.2!(m)$);
\draw ($(mx)!1.2!(a)$) -- ($(a)!1.2!(mx)$);
\foreach \P in {a,m,f,f0,mx}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[left] at (m) {$M_k$};
\node[right] at (b) {$g$};
\node[above] at (a) {$A$};
\node[above] at (f0) {$F_0$};
\node[above] at (f) {$F$};
\node[left] at ($(f)!1.2!(m)$) {$h$};
\node[left] at ($(a)!1.2!(mx)$) {$l$};
\end{tikzpicture}
</math>

Nun muss ich die Parabel zeichnen, deren Punkte von $M_k$ und der zu $g$ parallelen Geraden durch $F_0$ den gleichen Abstand. Ich habe nicht einmal eine Grundidee.
Als "Höhepunkt" benötige ich dann noch den Schnittpunkt der Geraden $l$ mit der Parabel. Keine Ahnung.

Kann jemand helfen?
Danke
Steffen

Nachtrag:
Es ist nicht exakt und außerdem getrickst, aber wer sieht das dem Bild schon an: razz
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },]
\begin{scope}[rotate=30]
\coordinate(m) at (0,0);
\draw (m) circle (2);
\coordinate(b) at (4,-3);
\coordinate(c) at (-3,-3);
\coordinate(a) at ($(c)!0.3!(b)$);
\coordinate(f) at ($(b)!(m)!(c)$);
\coordinate(f0) at ($(f)!-2cm!90:(c)$);
\coordinate(b0) at ($(f0)+(b)-(f)$);
\coordinate(c0) at ($(f0)+(c)-(f)$);
\coordinate(mx) at ($(m)+(a)-(f)$);
\draw (b) -- (c);
\draw (b0) -- (c0);
\draw ($(m)!1.2!(f)$) -- ($(f)!1.2!(m)$);
\draw ($(mx)!1.2!(a)$) -- ($(a)!1.2!(mx)$);
\node[left] at (m) {$M_k$};
\node[right] at (b) {$g$};
\node[below left] at (a) {$A$};
\node[right] at (f0) {$F_0$};
\node[below right] at (f) {$F$};
\node[left] at ($(f)!1.2!(m)$) {$h$};
\node[left] at ($(a)!1.2!(mx)$) {$l$};
\draw[blue, name path=parabel] ($(f0)!0.4!135:(b0)$) parabola bend
($(f0)!0.5!(m)$) ($(f0)!0.4!45:(b0)$);
%\draw[name path=kreis] (20:13) arc (20:85:13);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (a) -- (mx);
\path[name intersections={of=parabel and gerade, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{M}] (b1) at (D-1);
\draw[red] (b1) circle[radius=2.9];
\foreach \P in {a,m,f,f0,b1}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
</math>
Die zusätzliche Drehung ist sinnlos. Sieht aber komplizierter aus. biggrin



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1864, eingetragen 2019-08-20


2019-08-20 10:41 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1845 schreibt:
Aufgabe 1 - V611221
Ein Flugzeug fliegt zunächst 300 km in Richtung Süden, ändert dann seinen Kurs und fliegt 300 km in Richtung Osten und dann wieder 300 km in Richtung Norden. Es ist an seinem Ausgangspunkt wieder angelangt!
Wo befindet sich der Ausgangspunkt, falls der Flug
a) über der nördlichen,
b) über der südlichen Halbkugel erfolgt?
(Erdradius r = 6370 km)
Hinweis: Die Aufgabe b) hat unendlich viele Lösungen.
b) Hier gilt sinngemäß das gleiche wie unter a), nämlich dass der Flug Richtung Osten entlang eines Breitenkreises erfolgt. Auf der Südhalbkugel ist die Rückkehr an den Ausgangspunkt nur möglich, wenn der Punkt, an dem von Flugrichtung Süd auf Ost gewechselt wird, derselbe ist wie der, wo die Flugrichtung von Ost auf Nord wechselt. Der Breitenkreis muss also einen Umfang von 300km haben.

Der Umfang des Breitenkreises könnte doch auch ein Teiler von 300km (z.B. 150km oder 100km) sein. Dann würde das Flugzeug nicht nur einmal sondern zwei- oder dreimal entlang des Breitenkreises fliegen.



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1865, eingetragen 2019-08-21


2019-08-20 20:36 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1861 schreibt:
2019-08-20 09:52 - OlgaBarati in Beitrag No. 1840 schreibt:
\showon Aufgabe 5 - V611125

a) Das Additions- und das Divisionszeichen.



Teil b würde ich etwas allgemeiner angehen.

Gesucht sind (rationale) Zahlen \(a,b,c\) mit \(b\neq0\) und
(1) \(a+b=c\)
(2) \(a:b=c\)

Gleichsetzen von (1) und (2) liefert \(a+b=a:b\) und daraus
\[a=\frac{b^2}{1-b}\] Dies in (1) eingesetzt ergibt \(\frac{b^2}{1-b}+b=c\) und daraus
\[c=\frac b{1-b}\] Für jedes \(b\neq0,1\) ergibt sich damit eine Aufgabe
\[\frac{b^2}{1-b}\ ?\ b=\frac b{1-b}\] Wählt man \(0<b<1\), so sind alle Werte \(a,b,c\) zudem positiv.

c)
Mit \(b=\frac13\) ergibt sich \(a=\frac16\) und \(c=\frac12\) und damit die Aufgabe
\[\frac16?\frac13=\frac12\] Mit \(b=\frac35\) ergibt sich \(a=\frac9{10}\) und \(c=\frac32\) und damit die Aufgabe
\[\frac9{10}?\frac35=\frac32\]
d)
\(a,b,c\) können nicht alle positive ganze Zahlen sein, da für eine ganze Zahl \(b>1\) die Zahl \(c=\frac b{1-b}\) negativ ist. (Zudem ist \(1-b\) kein Teiler von \(b\); \(c\) ist also nocht nicht einmal ganz.)

Ja,so ist es besser.
@Steffen, bitte meine Lösung durch diese von StrgAltEntf erstellte Lösung ersetzen.

Danke.
oLGa



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1866, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21


Ich habe mein Parabelproblem gelöst.
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },]
\def \parameter {2.5}
\def \kreisradius {2.9}
\begin{scope}[rotate=30]
\coordinate(m) at (0,0);
\draw (m) circle (2);
\coordinate(b) at (4,-3);
\coordinate(c) at (-3,-3);
\coordinate(a) at ($(c)!0.3!(b)$);
\coordinate(f) at ($(b)!(m)!(c)$);
\coordinate(f0) at ($(f)!-2cm!90:(c)$);
\coordinate(b0) at ($(f0)+(b)-(f)$);
\coordinate(c0) at ($(f0)+(c)-(f)$);
\coordinate(mx) at ($(m)+(a)-(f)$);
\coordinate(p) at ($(f0)+(0,\parameter)$);
\coordinate(p0) at ($(p)!6cm!90:(f)$);
\coordinate(p1) at ($(p)!-6cm!90:(f)$);
\draw (b) -- (c);
\draw (b0) -- (c0);
\draw ($(m)!1.2!(f)$) -- ($(f)!1.2!(m)$);
\draw ($(mx)!1.2!(a)$) -- ($(a)!1.2!(mx)$);
\node[left] at (m) {$M_k$};
\node[right] at (b) {$g$};
\node[below] at (a) {$A$};
\node[right] at (f0) {$F_0$};
\node[right] at (f) {$F$};
\node[left] at ($(f)!1.2!(m)$) {$h$};
\node[left] at ($(a)!1.2!(mx)$) {$l$};
\draw[name path=kreis, draw=none] (m) circle (\parameter);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (p1) -- (p0);
\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=D}];
\coordinate (s1) at (D-1);
\coordinate (s2) at (D-2);
\draw[blue, name path=parabel] (s1) parabola bend
($(f0)!0.5!(m)$) (s2);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (a) -- (mx);
\path[name intersections={of=parabel and gerade, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{M}] (b1) at (D-1);
\draw[red] (b1) circle[radius=\kreisradius];
\foreach \P in {a,m,f,f0,b1}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
</math>
Für den roten Kreis wollte ich
            \node[red, draw] at (b1) [circle through=(a)] {};
nutzen. Hier funktioniert das aber nicht.

LG Steffen



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1867, eingetragen 2019-08-21


2019-08-20 19:19 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1860 schreibt:
Aufgabe 2 - V611132
Der im Schnitt abgebildete Blechbehälter (Hohlzylinder mit aufgesetzter Kugelkappe, Abbildung) soll durch Tiefziehen aus einer Blechscheibe hergestellt werden.
a) Wie groß ist allgemein der Durchmesser der Blechscheibe?
b) Berechnen Sie den Zahlenwert für $d = 230 mm$, $h_1 = 70 mm$, $h_2 = 110 mm$!
Anmerkung: Die Blechscheibe, aus der der Behälter durch Tiefziehen gezogen wird, hat dieselbe Fläche wie der Blechbehälter.
a) Die Gesamtfläche des Blechbehälters ist
$$A=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)$$Diese Fläche soll gleich der Fläche der kreisförmigen Blechscheibe sein, deren Durchmesser $D$ sei. Daher gilt:
$$\pi D^2=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)$$$$D=\sqrt{\tfrac14d^2+h_1^2+dh_2}$$b) Der Durchmesser der Blechscheibe betrug $D=208,4\text{mm}$.

Ciao,

Thomas

Vertue ich mich hier peinlich oder muss es für \(D\) tatsächlich so aussehen ?
\[A=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)\] \[\frac{D^2\pi}{4}=\pi dh_2+\pi (\tfrac14d^2+h_1^2)\] \[D=2\sqrt{\tfrac14d^2+h_1^2+dh_2}\] Der Durchmesser der Blechscheibe betrug $D=416,8\text{mm}$.

oLGa



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1868, eingetragen 2019-08-21


Hallo,

in Aufgabe 1 - V611221 b) werden meiner Meinung nach noch nicht alle Punkte erfasst. Alle Punkte, die auf den die Breitenkreisen liegen, die 300km nördlich von den Breitenkreisen mit Umfang 150km oder 100 km oder 75km entfernt sind, haben auch die geforderte Eigenschaft.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1866 begonnen.]



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1869, eingetragen 2019-08-21


@OlgaBarati: Stimmt.
@ochen: Stimmt auch.

Steffen, bitte entsprechend ergänzen/korrigieren.

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1870, eingetragen 2019-08-21


Aufgabe 4 - V611034
Zeichnen Sie einen Kreis und außerhalb dieses Kreises den Punkt $A$. Verbinden Sie den Punkt $A$ mit dem Mittelpunkt $M$ des Kreises. Gesucht ist der auf der Zentralen $AM$ gelegene Punkt $X$, bei dem für die von diesem Punkt an den Kreis gelegten Tangenten gilt, dass die Tangentenabschnitte $XT_1$ bzw. $XT_2$ gleich dem Abstand des Punktes $X$ vom Punkt $A$ sind. ($T_1$ und $T_2$ sind die Berührungspunkte der Tangenten.)
Begründen Sie Ihre Konstruktion.

1. Man zeichne Punkt $B$ so, dass die Strecke $AB$ die Länge $r$ (Radius des Kreises) habe und senkrecht stehe auf der Strecke $AM$, siehe Skizze.
2. Vom Punkt $B$ zeichne man eine Gerade durch $M$.
3. Man konstruiere den Mittelpunkt $C$ der Strecke $MB$.
4. Man zeichne eine Senkrechte auf die Gerade $MB$ durch den Punkt $C$.
5. Der Schnittpunkt dieser Geraden (grün) mit der Geraden $AM$ ist der gesuchte Punkt $X$.

Begründung:
Man erkennt, dass der Streckenzug $MT_1XAB$ symmetrisch ist bezüglich der "grünen" Geraden $CX$. $a$ und $r$ stehen senkrecht aufeinander sowohl im Punkt $T_1$ als auch im Punkt $A$. $T_1$ und $X$ sind zwar anfangs noch unbekannt, aber der Punkt $C$ auf der Symmetrieachse lässt sich mit obigen Schritten einfach konstruieren.

Ciao,

Thomas



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HyperPlot
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Aus: Kneedeep in the Dead
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1871, eingetragen 2019-08-21

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-21 08:54 - stpolster in Beitrag No. 1866 schreibt:
Ich habe mein Parabelproblem gelöst.
<math>
\begin{tikzpicture}[scale=0.5, >=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },]
\def \parameter {2.5}
\def \kreisradius {2.9}
\begin{scope}[rotate=30]
\coordinate(m) at (0,0);
\draw (m) circle (2);
\coordinate(b) at (4,-3);
\coordinate(c) at (-3,-3);
\coordinate(a) at ($(c)!0.3!(b)$);
\coordinate(f) at ($(b)!(m)!(c)$);
\coordinate(f0) at ($(f)!-2cm!90:(c)$);
\coordinate(b0) at ($(f0)+(b)-(f)$);
\coordinate(c0) at ($(f0)+(c)-(f)$);
\coordinate(mx) at ($(m)+(a)-(f)$);
\coordinate(p) at ($(f0)+(0,\parameter)$);
\coordinate(p0) at ($(p)!6cm!90:(f)$);
\coordinate(p1) at ($(p)!-6cm!90:(f)$);
\draw (b) -- (c);
\draw (b0) -- (c0);
\draw ($(m)!1.2!(f)$) -- ($(f)!1.2!(m)$);
\draw ($(mx)!1.2!(a)$) -- ($(a)!1.2!(mx)$);
\node[left] at (m) {$M_k$};
\node[right] at (b) {$g$};
\node[below] at (a) {$A$};
\node[right] at (f0) {$F_0$};
\node[right] at (f) {$F$};
\node[left] at ($(f)!1.2!(m)$) {$h$};
\node[left] at ($(a)!1.2!(mx)$) {$l$};
\draw[name path=kreis, draw=none] (m) circle (\parameter);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (p1) -- (p0);
\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=D}];
\coordinate (s1) at (D-1);
\coordinate (s2) at (D-2);
\draw[blue, name path=parabel] (s1) parabola bend
($(f0)!0.5!(m)$) (s2);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (a) -- (mx);
\path[name intersections={of=parabel and gerade, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{M}] (b1) at (D-1);
\draw[red] (b1) circle[radius=\kreisradius];
\foreach \P in {a,m,f,f0,b1}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
</math>

Für den roten Kreis wollte ich
 
\node[red, draw] at (b1) [circle through=(a)] {};

nutzen. Hier funktioniert das aber nicht.

Weil hier auf dem MP (unter anderem) \usetikzlibrary{through} aufgerufen werden muss:

<math>

\usetikzlibrary{through}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5, >=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },]
\def \parameter {2.5}
\def \kreisradius {2.9}
\begin{scope}[rotate=30]
\coordinate(m) at (0,0);
\draw (m) circle (2);
\coordinate(b) at (4,-3);
\coordinate(c) at (-3,-3);
\coordinate(a) at ($(c)!0.3!(b)$);
\coordinate(f) at ($(b)!(m)!(c)$);
\coordinate(f0) at ($(f)!-2cm!90:(c)$);
\coordinate(b0) at ($(f0)+(b)-(f)$);
\coordinate(c0) at ($(f0)+(c)-(f)$);
\coordinate(mx) at ($(m)+(a)-(f)$);
\coordinate(p) at ($(f0)+(0,\parameter)$);
\coordinate(p0) at ($(p)!6cm!90:(f)$);
\coordinate(p1) at ($(p)!-6cm!90:(f)$);
\draw (b) -- (c);
\draw (b0) -- (c0);
\draw ($(m)!1.2!(f)$) -- ($(f)!1.2!(m)$);
\draw ($(mx)!1.2!(a)$) -- ($(a)!1.2!(mx)$);
\node[left] at (m) {$M_k$};
\node[right] at (b) {$g$};
\node[below] at (a) {$A$};
\node[right] at (f0) {$F_0$};
\node[right] at (f) {$F$};
\node[left] at ($(f)!1.2!(m)$) {$h$};
\node[left] at ($(a)!1.2!(mx)$) {$l$};
\draw[name path=kreis, draw=none] (m) circle (\parameter);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (p1) -- (p0);
\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=D}];
\coordinate (s1) at (D-1);
\coordinate (s2) at (D-2);
\draw[blue, name path=parabel] (s1) parabola bend
($(f0)!0.5!(m)$) (s2);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (a) -- (mx);
\path[name intersections={of=parabel and gerade, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{M}] (b1) at (D-1);
\draw[red] (b1) circle[radius=\kreisradius];
\foreach \P in {a,m,f,f0,b1}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}



\node[brown, ultra thick, draw] at (b1) [circle through=(a)] {};


\end{scope}
\end{tikzpicture}
</math>

sonst

<math>
\begin{tikzpicture}[scale=0.5, >=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },]
\def \parameter {2.5}
\def \kreisradius {2.9}
\begin{scope}[rotate=30]
\coordinate(m) at (0,0);
\draw (m) circle (2);
\coordinate(b) at (4,-3);
\coordinate(c) at (-3,-3);
\coordinate(a) at ($(c)!0.3!(b)$);
\coordinate(f) at ($(b)!(m)!(c)$);
\coordinate(f0) at ($(f)!-2cm!90:(c)$);
\coordinate(b0) at ($(f0)+(b)-(f)$);
\coordinate(c0) at ($(f0)+(c)-(f)$);
\coordinate(mx) at ($(m)+(a)-(f)$);
\coordinate(p) at ($(f0)+(0,\parameter)$);
\coordinate(p0) at ($(p)!6cm!90:(f)$);
\coordinate(p1) at ($(p)!-6cm!90:(f)$);
\draw (b) -- (c);
\draw (b0) -- (c0);
\draw ($(m)!1.2!(f)$) -- ($(f)!1.2!(m)$);
\draw ($(mx)!1.2!(a)$) -- ($(a)!1.2!(mx)$);
\node[left] at (m) {$M_k$};
\node[right] at (b) {$g$};
\node[below] at (a) {$A$};
\node[right] at (f0) {$F_0$};
\node[right] at (f) {$F$};
\node[left] at ($(f)!1.2!(m)$) {$h$};
\node[left] at ($(a)!1.2!(mx)$) {$l$};
\draw[name path=kreis, draw=none] (m) circle (\parameter);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (p1) -- (p0);
\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=D}];
\coordinate (s1) at (D-1);
\coordinate (s2) at (D-2);
\draw[blue, name path=parabel] (s1) parabola bend
($(f0)!0.5!(m)$) (s2);
\path[name path=gerade, overlay, draw=none] (a) -- (mx);
\path[name intersections={of=parabel and gerade, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{M}] (b1) at (D-1);
\draw[red] (b1) circle[radius=\kreisradius];
\foreach \P in {a,m,f,f0,b1}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}



\node[brown, ultra thick, draw] at (b1) [circle through=(a)] {};


\end{scope}
\end{tikzpicture}
</math>
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1872, eingetragen 2019-08-22



a) Die Volumina betragen
$$V=229.336\text{cm}^3$$$$V'=226.980\text{cm}^3$$b) Der Fehler beträgt $1,03\%$.
c) Setzt man die Formeln für $d_1$ und $d_2$ in die Gleichung für $V$ ein, erhält man
$$V=\frac{\pi h}{12}\left((d+\delta)^2+(d+\delta)(d-\delta)+(d-\delta)^2\right)$$$$V=\frac{\pi h}{12}\left(d^2+2d\delta+\delta^2+d^2-\delta^2+d^2-2d\delta+\delta^2\right)$$$$V=\frac{\pi h}{12}\left(3d^2+\delta^2\right)$$$$V=\frac{\pi h}4d^2+\frac{\pi h}{12}\delta^2$$Der relative Fehler ist dann
$$\frac{V-V'}{V}=\frac{\frac{\pi h}{12}\delta^2}{\frac{\pi h}{12}\left(3d^2+\delta^2\right)}=\frac{\delta^2}{3d^2+\delta^2}$$Das ergibt in diesem Fall $\frac3{292}$, was den $1,03\%$ von oben entspricht.


a) Betrachtet man die Himmelskörper wie gefordert näherungsweise als scheibenförmig, dann ist das Raumschiff beim Vorbeiflug 3,84 mal näher als der Mond von der Erde entfernt ist. Außerdem ist die Venus $\frac{12220}{3476}$ mal größer als der Mond, so dass sie einem Beobachter im Raumschiff $\frac{12220}{3476}\cdot3,84=13,5$ mal größer erscheinen würde als der Vollmond von der Erde aus gesehen.
b) Hier ist man versucht, zu antworten: "den ihm Zugewandten". Es soll jedoch wohl der tatsächliche Beobachtungswinkel verwendet werden, um prozentual die sichtbare Fläche der Venus anzugeben. Leider lässt uns die Aufgabe auch im Unklaren darüber, ob mit der Entfernung von 100.000km der Abstand zum Schwerpunkt der Venus oder zur Oberfläche gemeint ist. Wir nehmen das erste an:

Es ist
$$\cos\alpha=\frac rd$$Die gesamte Oberfläche der Venus ist
$$A_g=4\pi r^2$$Der sichtbare Teil ist dagegen
$$A_s=2\pi r^2(1-\cos\alpha)=2\pi r^2\left(1-\frac rd\right)$$Somit ist der sichtbare Anteil der Oberfläche
$$\frac{A_s}{A_g}=\frac{1-\frac rd}2=\frac{d-r}{2d}$$Im vorliegenden Fall entspricht das etwa $46,9\%$ der gesamten Oberfläche.



a) Die genaue Formel lautet:
$$F_S=(s+\tfrac12s)a=\tfrac32as$$Dabei gilt wegen des Satzes von Pythagoras:
$$a=\sqrt{(2s)^2-s^2}=\sqrt3\,s$$$$s=\frac a{\sqrt3}$$Und daher gilt für die genaue Formel:
$$F_S=\frac3{2\sqrt3}a^2=\tfrac{\sqrt3}2a^2$$b) Der prozentuale Fehler ist immer gleich, egal ob $a=50\text{mm}$ oder irgendein anderer Zahlenwert ist. Der relative Fehler ist
$$1-\frac{\frac78}{\frac{\sqrt3}2}=1-\frac7{4\sqrt3}=1-\frac7{12}\sqrt3$$Das entspricht etwa $-1\%$. (Die Näherung ergibt einen größeren Wert als die genaue Formel, daher negativ).

Ciao,

Thomas



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1873, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24 23:15


Ich habe versucht die vorletzte offene Frage zu klären:

Aufgabe 5 - V611135

Unter 13 gleichgroßen Kugeln weicht das Gewicht einer Kugel von dem der anderen ab.
a) Wie kann man mit 3 Wägungen (Balkenwaage) ermitteln, welche Kugel es ist?
b) Wann kann man entscheiden, ob die Kugel leichter oder schwerer als die übrigen ist ?

Lösung:
a)
1. Wägung: Es werden für jede Waagschale vier Kugeln ausgewählt. Fünf Kugeln werden nicht gewogen.

1.1. Die Waage zeigt Gleichgewicht.
Dann sind die 8 Kugeln neutral. Drei dieser Kugeln wiegt man (rechte Seite) gegen 3 noch nicht verwendete Kugeln (linke Seite).

1.1.1. Ist die linke Seite leichter, so ist eine von den drei Kugeln leichter.
Zwei dieser Kugeln werden gewogen. Ist eine von ihnen leichter, so hat man die gesuchte Kugel gefunden. Sind beide gleich schwer, so ist in dieser Wägung nicht verwendete Kugel leichter.

1.1.2. Ist die linke Seite schwerer, so ist eine von den drei Kugeln schwerer. Analog zu 1.1.1. bestimmt man diese.

1.1.3. Keine Seite ist leichter. Dann muss die gesuchte Kugel unter den zwei bisher noch bei keiner Wägung verwendeten Kugeln sein. Eine von beiden Kugeln vergleicht man mit einer neutralen. Bei Gleichgewicht ist die noch nicht verwendete die gesuchte, andernfalls findet man die gesuchte, die entweder zu leicht oder zu schwer ist.

1.2. Die Waage zeigt kein Gleichgewicht. O.B.d.A. sei die linke Seite leichter.
Auf die eine Waagschale werden dann drei von der leichten Seite und eine von der schweren Seite gegen eine der leichten Seite und 3 bisher noch nicht verwendete Kugeln gewogen.

1.2.1. Die linke Seite ist leichter. Damit ist eine von drei Kugeln leichter.
Nun werden zwei dieser Kugeln gewogen. Ist eine von ihnen leichter, so hat man die gesuchte Kugel gefunden. Sind beide gleich schwer, so ist in dieser Wägung nicht verwendete Kugel leichter.

1.2.2. Beide Seiten sind gleich schwer. Damit muss eine der drei Kugeln der rechten Seite der 1.Wägung (die bei der 2.Wägung nicht benutzt wurden) muss damit schwerer sein.
Es werden zwei dieser Kugeln gewogen. Ist eine von ihnen schwerer, so hat man die gesuchte Kugel gefunden. Sind beide gleich schwer, so ist in dieser Wägung nicht verwendete Kugel schwerer.

1.2.3. Die linke Seite ist schwerer. Dann kann die eine Kugel der linken Seite, die von der schweren Seite der 1.Wägung genommen wurde, zu schwer, oder die eine Kugel der rechten Seite, die von der leichten Seite der 1.Wägung genommen wurde, zu leicht.
Die vielleicht zu schwere Kugel wird mit einer der neutralen Kugeln verglichen. Entweder ist sie schwerer oder die nicht verwendete Kugel ist zu leicht.

b) In allen Fällen, außer dem Fall 1.1.3. bei dem die allerletzte nicht verwendete Kugel die gesuchte ist, kann man entscheiden, ob die gesuchte Kugel zu leicht oder zu schwer ist. In diesem einen Fall allerdings nicht.

Schön ist es nicht, aber besser kann ich es nicht.

Es bleibt als letzte Aufgabe:

Aufgabe 5 - V611235
Gegeben sind 13 gleich große Kugeln, von denen eine im Gewicht von den übrigen abweicht, also entweder leichter oder schwerer als die übrigen ist. Jemand behauptet, er könne mit drei Wägungen feststellen

a) welche Kugel im Gewicht abweicht,

b) ob sie leichter oder Schwerer ist, falls er eine 14. Kugel benutzen darf, von der er weiß, dass ihr Gewicht nicht abweicht.

Anmerkung: Es ist bekannt, dass bei jeder Wägung je 10 Kugeln benutzt werden. Die zu untersuchenden Kugeln sind fortlaufend nummeriert und tragen die Nummern 1 bis 13, während die 14. Vergleichskugel die Nummer 0 erhält.

Bezeichnet man die Ergebnisse der drei Wägungen mit a, b und c und gibt ihnen den Wert + 1, wenn die linke Waagschale überwiegt, - 1, wenn die rechte überwiegt, und 0, wenn Gleichgewicht besteht, dann kann man die Nummer der gesuchten Kugel aus der Gleichung
\[
n = (9a + 3b + c)\cdot(-1)^{a+b+c}
\] errechnen, wobei $|n|$ die gesuchte Nummer ist. Ist $n > 1$, so ist die Kugel schwerer, ist $n < 1$, so ist sie leichter als die übrigen Kugeln.

Wie müssen die Kugeln bei den drei Wägungen verteilt werden, damit man stets das richtige Ergebnis erhält?

Scheinbar die gleiche Aufgabe; aber nur scheinbar, da jetzt stets 10 Kugeln gewogen werden. Außerdem ist mir der 2. Teil ein Rätsel.

LG Steffen

Nebenbei: Von der Vorolympiade 1960 fehlen noch die Aufgaben der 11 und 12 und von der Vorolympiade 1961 die I.Stufe der 11 und 12.
Ich sehe im Moment keine Möglichkeit, diese Aufgaben zu ermitteln. Leider. Aber fast 60 Jahre sind auch eine lange Zeit.



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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1874, eingetragen 2019-08-24 23:25



Aufgabe 5 - V611035

Wieviele Endnullen hat die Zahl 50! (50 Fakultät)? Begründen Sie ihre Antwort!

Hinweis: Dies ist nur ein alternativer Lösungsvorschlag, den ich von einem Zehntklässler wahrscheinlicher erwarten würde.

Wir zerlegen alle Faktoren in ihre Primfaktoren. Eine Endnull entsteht genau dann, wenn die Primzahlen 2 und 5 miteinander multipliziert werden. Die Anzahl der Fünfen ergibt sich aus den Faktoren, die als Endziffer eine Null oder eine Fünf haben, d.h:

\[5, 10 = 2 \cdot 5, 15 = 3 \cdot 5, 20 = 2^2 \cdot 5, 25 = 5^2, 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5, 35 = 5 \cdot 7, 40 = 2^3 \cdot 5, 45 = 3^2 \cdot 5, 50 = 2 \cdot 5^2.\]
Insgesamt taucht der Primfaktor \(5\) 12 Mal auf. Da der Primfaktor \(2\) in jeder geraden Zahl auftaucht, hat die Zahl \(50!\) insgesamt 12 Endnullen.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1875, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24 23:33


2019-08-24 23:25 - svrc in Beitrag No. 1874 schreibt:
Hinweis: Dies ist nur ein alternativer Lösungsvorschlag, den ich von einem Zehntklässler wahrscheinlicher erwarten würde.
Danke. Ich habe die Lösung aufgenommen.

LG Steffen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1876, eingetragen 2019-08-25 18:41


2019-08-24 23:15 - stpolster in Beitrag No. 1873 schreibt:
Aufgabe 5 - V611235
Gegeben sind 13 gleich große Kugeln, von denen eine im Gewicht von den übrigen abweicht, also entweder leichter oder schwerer als die übrigen ist. Jemand behauptet, er könne mit drei Wägungen feststellen

a) welche Kugel im Gewicht abweicht,

b) ob sie leichter oder Schwerer ist, falls er eine 14. Kugel benutzen darf, von der er weiß, dass ihr Gewicht nicht abweicht.

Anmerkung: Es ist bekannt, dass bei jeder Wägung je 10 Kugeln benutzt werden. Die zu untersuchenden Kugeln sind fortlaufend nummeriert und tragen die Nummern 1 bis 13, während die 14. Vergleichskugel die Nummer 0 erhält.

...

Scheinbar die gleiche Aufgabe; aber nur scheinbar, da jetzt stets 10 Kugeln gewogen werden. Außerdem ist mir der 2. Teil ein Rätsel.

Hi,
ich denke nicht, dass das funktionieren kann. Wenn die erste Wägung fübf gegen fünf kein Unentschieden gibt, dann gibt es noch zehn mögliche Lösungen - entweder ist auf der sich senkenden Waagschale die schwerere Kugel oder auf der anderen Waagschale die leichtere Kugel. Mit den verbleibenden zwei Wägungen kann man an aber maximal neun verschiedene Antworten treffen.
Grüße
StrgAltEntf



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1877, eingetragen 2019-08-25 19:34


Aufgabe 5 - V611235

Gegeben sind 13 gleich große Kugeln, von denen eine im Gewicht von den ubrigen abweicht, also entweder leichter oder schwerer als die übrigen ist. Jemand behauptet, er könne mit drei Wägungen feststellen
a) welche Kugel im Gewicht abweicht,
b) ob sie leichter oder schwerer ist, falls er eine 14. Kugel benutzen darf, von der er weiß, dass ihr Gewicht nicht abweicht.
Anmerkung: Es ist bekannt, dass bei jeder Wägung je 10 Kugeln benutzt werden. Die zu untersuchenden Kugeln sind fortlaufend nummeriert und tragen die Nummern 1 bis 13, während die 14. Vergleichskugel die Nummer 0 erhält. Bezeichnet man die Ergebnisse der drei Wägungen mit a, b und c und gibt ihnen den Wert + 1, wenn
die linke Waagschale überwiegt, - 1, wenn die rechte überwiegt, und 0, wenn Gleichgewicht besteht, dann kann man die Nummer der gesuchten Kugel aus der Gleichung \(n = (9a + 3b + c) · (-1)^{a+b+c}\) errechnen, wobei |n| die gesuchte Nummer ist. Ist n > 1, so ist die Kugel schwerer, ist n < 1, so ist sie leichter als die übrigen Kugeln.
Wie müssen die Kugeln bei den drei Wägungen verteilt werden, damit man stets das richtige Ergebnis erhält?

Lösungsversuch
Vor Wägung \(a\) ist jede der durchnummerierten Kugeln mit \(\lbrace ^uK^{\pm}_1,\;^uK^{\pm}_2,\;...^uK^{\pm}_{12},\;^uK^{\pm}_{13}\rbrace\) (u)nbestimmt. Nur die Kugel \(^bK^{0}_0\) ist als Kugel ohne Gewichtsabweichung ist (b)estimmt.

Wägung \(a\) erfolgt mit der Aufteilung links \(\lbrace ^bK^{0}_0,\;^uK^{\pm}_6,\; ^uK^{\pm}_8,\;^uK^{\pm}_{10},\; ^uK^{\pm}_{12}  \rbrace\) und rechts mit \(\lbrace ^uK^{\pm}_5,\;^uK^{\pm}_7,\; ^uK^{\pm}_9,\;^uK^{\pm}_{11},\; ^uK^{\pm}_{13}\rbrace\). Die Kugeln \(\lbrace ^uK^{\pm}_1,\;^uK^{\pm}_2,\; ^uK^{\pm}_3,\;^uK^{\pm}_4 \rbrace\) werden im Durchgang \(a\) nicht gewogen.

\(a=(+1):\;\lbrace ^bK^{0}_0,\;^uK^{+}_6,\; ^uK^{+}_8,\;^uK^{+}_{10},\; ^uK^{+}_{12}  \rbrace\), \(\lbrace ^uK^{-}_5,\;^uK^{-}_7,\; ^uK^{-}_9,\;^uK^{-}_{11},\; ^uK^{-}_{13}\rbrace\), \(\lbrace ^bK^{0}_1,\;^bK^{0}_2,\; ^bK^{0}_3,\;^bK^{0}_4 \rbrace\)  

\(a=(-1):\;\lbrace ^bK^{0}_0,\;^uK^{-}_6,\; ^uK^{-}_8,\;^uK^{-}_{10},\; ^uK^{-}_{12}  \rbrace\), \(\lbrace ^uK^{+}_5,\;^uK^{+}_7,\; ^uK^{+}_9,\;^uK^{+}_{11},\; ^uK^{+}_{13}\rbrace\), \(\lbrace ^bK^{0}_1,\;^bK^{0}_2,\; ^bK^{0}_3,\;^bK^{0}_4 \rbrace\)

\(a=(\pm 0):\;\lbrace ^bK^{0}_0,\;^bK^{0}_6,\; ^bK^{0}_8,\;^bK^{0}_{10},\; ^bK^{0}_{12}  \rbrace\), \(\lbrace ^bK^{0}_5,\;^bK^{0}_7,\; ^bK^{0}_9,\;^bK^{0}_{11},\; ^bK^{0}_{13}\rbrace\), \(\lbrace ^uK^{\pm}_1,\;^uK^{\pm}_2,\; ^uK^{\pm}_3,\;^uK^{\pm}_4 \rbrace\)

Anmerkung: Bei den nachfolgenden Betrachtungen werden jeweils nur die mit der Wägung zu untersuchenden Kugeln genannt. Die neutralen Kugeln, mit denen die Stückzahl auf zehn aufgefüllt wird, werden nicht einzeln benannt. Es sind für alle Fälle immer ausreichend bestimmte neutrale Kugeln vorhanden.

Für \(a=(\pm 0)\) ist für die vier Kugeln, von denen nicht bekannt ist, welche davon im Gewicht abweicht, mit zwei Wägungen zu bestimmen, welche abweicht und ob sie schwerer oder leichter ist.
Wägung \(b\), links \(\lbrace ^uK^{\pm}_2,\;^uK^{\pm}_4\rbrace\), rechts \(^uK^{\pm}_3\), die Kugel\(^uK^{\pm}_1\) wird im Durchgang \(b\) nicht gewogen.

\(b=(+1):\;\lbrace ^uK^{+}_2,\;^uK^{+}_4\rbrace\), \(^uK^{-}_3\), \(^bK^{0}_1\)
Wägung \(c\), links \(^uK^{+}_4\), rechts \(^uK^{+}_2\), nicht gewogen wird \(^uK^{-}_3\)
\(c=(+1):\;^bK^{+}_4,\;^bK^{0}_1,\;^bK^{0}_2,\;^bK^{0}_3\) Formel \((0\cdot 9+ 1 \cdot 3+1 \cdot 1)(-1)^{(0+1+1)}=(+4)\)
\(c=(-1):\;^bK^{+}_2,\;^bK^{0}_1,\;^bK^{0}_3,\;^bK^{0}_4\)
\(c=(\pm 0):\;^bK^{-}_3,\;^bK^{0}_1,\;^bK^{0}_2,\;^bK^{0}_4\)

\(b=(-1):\;\lbrace ^uK^{-}_2,\;^uK^{-}_4\rbrace\), \(^uK^{+}_3\), \(^bK^{0}_1\)
Wägung \(c\), links \(^uK^{-}_4\), rechts \(^uK^{-}_2\), nicht gewogen wird \(^uK^{+}_3\)
\(c=(+1):\;^bK^{0}_4,\;^bK^{0}_1,\;^bK^{-}_2,\;^bK^{0}_3\)
\(c=(-1):\;^bK^{0}_2,\;^bK^{0}_1,\;^bK^{0}_3,\;^bK^{-}_4\)
\(c=(\pm 0):\;^bK^{+}_3,\;^bK^{0}_1,\;^bK^{0}_2,\;^bK^{0}_4\)

\(b=(\pm 0):\;\lbrace ^bK^{0}_2,\;^bK^{0}_4\rbrace\), \(^bK^{0}_3\), \(^uK^{\pm}_1\)
Wägung \(c\), links \(^uK^{\pm}_1\), rechts \(^bK^{0}_0\)
\(c=(+1):\;^bK^{+}_1,\;^bK^{0}_2,\;^bK^{0}_3,\;^bK^{0}_4\)
\(c=(-1):\;^bK^{-}_1,\;^bK^{0}_2,\;^bK^{0}_3,\;^bK^{0}_4\)
\(c=(\pm 0):\;^bK^{0}_1,\;^bK^{0}_2,\;^bK^{0}_3,\;^bK^{0}_4\)

Für \(a=(1)\) ist für vier Kugeln, von denen eine möglicherweise schwerer ist und für fünf Kugeln von denen möglicherweise eine leichter ist, ist mit zwei Wägungen zu bestimmen, welche abweicht und ob sie schwerer oder leichter ist.

Wägung \(b\), links \(\lbrace ^uK^{-}_{5},\; ^uK^{+}_{12},\; ^uK^{-}_{7}\rbrace\), rechts \(\lbrace ^uK^{-}_{11},\; ^uK^{+}_{6},\; ^uK^{-}_{13}\rbrace\), die Kugeln \(^uK^{+}_8,\;^uK^{-}_9,\;^uK^{+}_{10}\) werden im Durchgang \(b\) nicht gewogen.

\(b=(+1):\;\lbrace ^uK^{+}_{12},\;^uK^{-}_{11},\;^uK^{-}_{13}\rbrace\)
Wägung \(c\), links \(^uK^{-}_{13}\), rechts \(^uK^{-}_{11}\), nicht gewogen wird \(^uK^{+}_{12}\)
\(c=(+1):\;^bK^{-}_{13}\) Formel \((1\cdot 9+ 1 \cdot 3+1 \cdot 1)(-1)^{(1+1+1)}=(-13)\)
\(c=(-1):\;^bK^{-}_{11}\) Formel \((1\cdot 9+ 1 \cdot 3+1 \cdot (-1))(-1)^{(1+1-1)}=(-11)\)
\(c=(\pm 0):\;^bK^{+}_{12}\) Formel \((1\cdot 9+ 1 \cdot 3+1 \cdot 0)(-1)^{(1+1+0)}=(12)\)

\(b=(-1):\;\lbrace ^uK^{-}_{5},\;^uK^{+}_{6},\;^uK^{-}_{7}\rbrace\)
Analog.

\(b=(\pm 0):\;\lbrace ^uK^{+}_{8},\;^uK^{+}_{10},\;^uK^{-}_{9}\rbrace\)
Analog.

Die Behauptung stimmt und berechnet sich für \(a=(-1)\) analog.  
Die Auswahl der Kugeln für die Wägevorgänge ist damit auch so gewählt, dass mit der Formel \(n = (9a + 3b + c) · (-1)^{a+b+c}\) die abweichende Kugel zu bestimmen ist und zwar so, dass das Vorzeichen plus oder minus angibt, ob die Kugel leichter oder schwerer ist. Es sind somit für Wägung \(a\) die Werte \(|n|\leq 4\) und bei Wägung \(b\) die Werte \(8\leq|n|\leq 10\) von der Wägung auszuschließen.  


oLGa

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1878, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-25 19:56


@Olga: Danke für die Lösung.

LG Steffen



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Ich habe von mawi die noch fehlenden Aufgaben der Vorolympiaden 1960 I. Stufe Klasse 11 und 12 bekommen, d.h. noch mehr gibt es nicht! Ganz sicher!

Sollte jemand den Wunsch haben, sich zu versuchen, findet er die Aufgaben wieder auf meiner Seite bzw. direkt unter
Vorolympiade
Wie gesagt es betrifft nur Klasse 11 und 12 von 1960.

Ich werde mich selbst versuchen. Mal sehen, ob ich es hinbekomme.

LG Steffen



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