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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1520, eingetragen 2019-07-31


@Steffen, ich hab die Musterlösung nur kurz überflogen, und nachdem ich gemerkt habe, dass da viele kleinschrittige Überlegungen gemacht und Bezeichnungen eingeführt wurden, was das Lesen anstrengend macht, habe ich stattdessen lieber selbst nachgedacht. Ich bin auf folgendes gekommen:

Wenn man sich zwei Ebenen $E_1, E_2$ vorstellt, die sich in einer Gerade $g$ schneiden, so sieht man, dass alle zueinander parallelen Geraden $g_1 \in E_1$ und $g_2 \in E_2$ gleichzeitig zu $g$ parallel sein müssen (und umgedreht letzteres die Parallelheit von $g_1$ und $g_2$ sichert). Zwei gegenüberliegende Seiten der Pyramide liegen jeweils in solchen Ebenen $E_1$ und $E_2$, die sich in einer Gerade $g$ schneiden. Dabei wird $g$ bestimmt durch die zwei charakteristischen Punkte $S$ und irgendeinem Schnittpunkt "weiter hinten" in der Ebene, in der die Grundfläche liegt. Nun schaut man sich wie oben Geraden $g_1$ und $g_2$ parallel zu $g$ an, die noch dazu jeweils in den gegenüberliegenden Seitenflächen liegen sollen. Durch Verschieben von $g_1$ und $g_2$ kann man erreichen (das muss man kurz begründen), dass die Längen auf den Seitenflächen gleich groß sind.
Damit sind zwei parallele und gleichlange Strecken auf gegenüberliegenden Seitenflächen gefunden, die von Kante zu Kante gehen. Die Verbindungslinien dieser beiden Strecken müssen dann auf den anderen Seitenflächen liegen und ebenfalls zueinander parallel und gleich lang sein, womit das Parallelogramm gefunden ist.

Indem man das sauber aufschreibt und sich um ein paar kleine Begründungen kümmert, hat man dann eine Lösung der Aufgabe, wenn ich jetzt keine gravierende Sache übersehen habe.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1518 begonnen.]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1521, eingetragen 2019-07-31

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-07-29 10:27 - Nuramon in Beitrag No. 1464 schreibt:
2019-07-29 08:56 - HyperPlot in Beitrag No. 1462 schreibt:
Ich würde die Lösung höchstens noch mehr schülergerecht formulieren, d.h.
Vektorgrößen $\vec{x}, \vec{v}$. Skalarprodukte $\vec{x} \cdot \vec{v}$.
Ich bin mir bewusst, dass diese Notationen weit verbreitet sind, bin aber trotzdem kein Fan von ihnen. Natürlich ist das letztlich Geschmacksache.
- Wenn man Vektoren mit $\vec v$ bezeichnet, dann entsteht der Eindruck, dass ein Objekt $v$ existiert, dass dadurch zu einem Vektor wird, dass man eine Abbildung $\vec{~~}$ auf $v$ anwendet. Ich sehe keinen großen Vorteil dieser Sichtweise und finde, dass die Formeln durch diese Notation sperriger werden.
- Operationen, die mit $\cdot$ bezeichnet werden, sollten meiner Meinung nach immer vom Typ $X\times X \to X$ oder zumindest vom Typ $X\times Y \to Y$ bzw. $X\times Y \to X$ sein. Das Skalarprodukt ist aber eine Abbildung $V\times V \to K$. Daher bevorzuge ich die Notation $\langle x,v \rangle$ mit spitzen Klammern (runde Klammern werden bereits für so viele andere Dinge verwendet). Dadurch kommt man insbesondere gar nicht erst in die Versuchung so etwas unsinniges wie $\vec x \cdot \vec y \cdot \vec z$ zu schreiben.

Ja, dann weiß ich jetzt auch mal, was da eigentlich dagegen spricht.

$\vec x$ ist aber an sich keine krude Schulschreibweise. In der (Experimental-)Physik macht man das durchaus auch so.
Tatsächlich, in der theoretischen Physik, sieht man dann wieder vielfach von derlei Annotationen ab, vermutlich aus genannten Hintergründen.

Aber gilt das dann auch für solche Sachen wie $\bar x$ ("Mittelwert") ${\Large \tilde x}$ ("wahrscheinlichster Wert", selten)?

Wie dem auch sei: Es soll sich ja an Schüler richten. Du müsstest also schon
$\left\langle a,b \right\rangle: \text{Skalarproduk der Vektoren $a$ und $b$}$
dazuschreiben. Diese Notation kennt da niemand.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1519 begonnen.]
\(\endgroup\)


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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1522, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-31


@Nuramon, Kornkreis:
Danke für eure Kommentare zu der Lösung.
Eure Lösungsvarianten kann sogar ich nachvollziehen. Es wäre also deutlich verständlicher als die Musterlösung gegangen.

LG Steffen



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1523, eingetragen 2019-08-01



Aufgabe 5 - 151235
In  der  Ebene  mögen $n$ Punkte  ($n\geq 4$)  so  gelegen  sein,  dass  je  vier  von  ihnen  Eckpunkte  eines nichtentarteten konvexen Vierecks sind.
Man beweise, dass dann alle $n$ Punkte Eckpunkte eines konvexen $n$-Ecks sind.

Wir betrachten die konvexe Hülle aller $n$ Punkte. Diese bildet ein konvexes $k$-Eck mit $k\leq n$. Gilt $k=n$, sind die $n$ Punkte Eckpunkte eines konvexen $n$-Ecks und wir sind fertig.
Nehmen wir also an, es gelte $k<n$. Wir triangulieren unser $k$-Eck, indem wir einen der Eckpunkte des $k$-Ecks auswaehlen und ihn mit allen anderen Eckpunkten durch Strecken vebinden.
<math>
\begin{tikzpicture}
\foreach \i in{0,...,7}{
\draw (\i*45:1) -- (\i*45+45:1);
\draw (\i*45:1) -- (7*45:1);
}
\draw(0,0.5) circle (1pt);
\end{tikzpicture}
\ \
\begin{tikzpicture}
\foreach \i in{0,...,7}{
\draw[dashed] (\i*45:1) -- (\i*45+45:1);
\draw[dashed] (\i*45:1) -- (7*45:1);
}
\draw[blue, thick] (3*45:1) -- (0,0.5) -- (2*45:1) -- (7*45:1) -- cycle;
\end{tikzpicture}
</math>


Diese Strecken befinden sich alle im $k$-Eck, da dieses konvex ist. Wir erhalten $k-2$ Dreiecke. Da $k<n$ ist, gibt es einen der $n$ Punkte, welches sich im Inneren oder auf einer Seite eines der Dreiecke befindet.
Die Eckpunkte des Dreiecks und der Punkt im Inneren oder auf der Seite des Dreiecks bilden aber die Eckpunkte eines konkaven oder entarteten Vierecks. Also war unsere Annahme falsch und es muss $k=n$ gelten.
 



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1524, eingetragen 2019-08-01

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-01 10:55 - ochen in Beitrag No. 1523 schreibt:
<math>
\begin{tikzpicture}
\foreach \i in{0,...,7}{
\draw (\i*45:1) -- (\i*45+45:1);
\draw (\i*45:1) -- (7*45:1);
}
\draw(0,0.5) circle (1pt);
\end{tikzpicture}
\ \
\begin{tikzpicture}
\foreach \i in{0,...,7}{
\draw[dashed] (\i*45:1) -- (\i*45+45:1);
\draw[dashed] (\i*45:1) -- (7*45:1);
}
\draw[blue, thick] (3*45:1) -- (0,0.5) -- (2*45:1) -- (7*45:1) -- cycle;
\end{tikzpicture}
</math>

Das lässt sich natürlich elegant mit Polarkoordinaten umsetzen. Andererseits bietet es sich an, das shape 'regluar polygon' aus der Bibliothek shapes zu verwenden.
Vorteil: Man bekommt diverse Schalter, z.B. automatisch benannte Ecken und Kanten.

<math>
\begin{tikzpicture}[background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,]
\node[draw, minimum size=2cm,regular polygon,regular polygon sides=8, shape border rotate=22.5] (achteck) {};

\foreach \Ecke in {1,...,4,8}
\draw[] (achteck.corner 6) -- (achteck.corner \Ecke) ;

\coordinate[] (P) at ([yshift=-4mm]achteck.corner 1);
\draw[fill=black!1] (P) circle(1pt);

\begin{scope}[xshift=2.5cm]
\node[draw, densely dashed, minimum size=2cm,regular polygon,regular polygon sides=8, shape border rotate=22.5] (a) {};

\foreach \Ecke in {1,...,4,8}
\draw[densely dashed] (a.corner 6) -- (a.corner \Ecke) ;

\coordinate[] (P) at ([yshift=-4mm]a.corner 1);

\draw[blue] (a.corner 1) -- (P) -- (a.corner 2) -- (a.corner 6) --cycle;

\draw[fill=black!1] (P) circle(1pt);
\foreach \k in {1,2,6}
\draw[fill=black!1] (a.corner \k) circle(1pt);
\end{scope}

% Test
%\draw[red] (a.center) -- ($(a.center)!0.5cm!(a.corner 1)$);

%\foreach \x in {1,...,8}
%  \fill (a.corner \x) circle[radius=1pt] node[above]{\x};
\end{tikzpicture}
</math>

latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{shapes}
%\usetikzlibrary{calc}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[]
\node[draw, minimum size=2cm,regular polygon,regular polygon sides=8, shape border rotate=22.5] (achteck) {};
 
\foreach \Ecke in {1,...,4,8}
\draw[] (achteck.corner 6) -- (achteck.corner \Ecke) ;
 
\coordinate[] (P) at ([yshift=-4mm]achteck.corner 1);
\draw[fill=white] (P) circle(1pt); 
 
\begin{scope}[xshift=2.5cm]
\node[draw, densely dashed, minimum size=2cm,regular polygon,regular polygon sides=8, shape border rotate=22.5] (a) {};
 
\foreach \Ecke in {1,...,4,8}
\draw[densely dashed] (a.corner 6) -- (a.corner \Ecke) ;
 
\coordinate[] (P) at ([yshift=-4mm]a.corner 1);
 
\draw[blue] (a.corner 1) -- (P) -- (a.corner 2) -- (a.corner 6) --cycle; 
 
\draw[fill=white] (P) circle(1pt); 
\foreach \k in {1,2,6}
\draw[fill=white] (a.corner \k) circle(1pt); 
\end{scope}
 
% Test
%\draw[red] (a.center) -- ($(a.center)!0.5cm!(a.corner 1)$);
 
%\foreach \x in {1,...,8}
%  \fill (a.corner \x) circle[radius=1pt] node[above]{\x};
\end{tikzpicture}
\end{document}


\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1525, eingetragen 2019-08-01


Hallo,


Aufgabe 6 - 321036
Ermitteln  Sie  zu  jedem  spitzwinkligen  Dreieck $ABC$ alle  diejenigen  Punkte $P$,  für  die  jedes  der drei Spiegelbilder von $P$, gebildet durch die Spiegelung an den Dreiecksseiten, auf dem Umkreis des Dreiecks liegt!


Sei $ABC$ ein beliebiges spitzwinkliges Dreieck mit dem Umkreis $k$. Wir spiegeln jeden der drei Eckpunkte $A$, $B$ und $C$ an ihrer gegenüberliegeneden Dreieckseite, also $A$ an $BC$,  $B$ an $AC$ und $C$ an $AB$. Die Bildpunkte nennen wir $A'$, $B'$ und $C'$.
Nun bilden wir die Umkreise der Dreiecke $A'BC$, $AB'C$ und $ABC'$ und bezeichnen diese mit $k_1$, $k_2$ und $k_3$. Die Kreise $k_1$ und $k_2$ schneiden sich in zwei Punkten, der eine dieser Punkte ist $C$ und der anderen Punkt heiße $P$. Wir zeigen, dass $P$ auch auf dem Umkreis $k_3$ liegt. Da $A'CPB$ ein Sehnenviereck ist, gilt
\[\angle BPC+\angle BAC=\angle BPC+\angle CA'B=180^\circ\] Analog ist auch $B'APC$ ein Sehnenviereck ist, somit folgt
\[\angle CPA+\angle CBA=\angle CPA+\angle AB'C=180^\circ\] Nun ist aber auch $C'BPA$ ein Sehnenviereck, da mit der Innenwinkelsumme im Dreieck
\[\angle APB+\angle BC'A=180^\circ+180^\circ-(\angle BAC+\angle CBA+\angle ACB)=180^\circ\] folgt. Da $C'BPA$ ein Sehnenviereck ist, liegt $P$ auch auf $k_3$.

Wenn wir $k_1$ an der Seite $BC$ spiegeln, erhalten wir den Kreis $k$, da $A'$ auf $A$, $B$ auf $B$ und $C$ auf $C$ abgebildet werden. Weiter wird bei dieser Spiegelung auch $P$ auf einen Punkt $P_1$ auf den Kreis $k$ abgebildet, da $P$ auf $k_1$ liegt.
Analog können wir $k_2$ an der Seite $AC$ und $k_3$ an der Seite $AB$ spiegeln, dann erhalten wir den Kreis $k$, da bei der Spiegelung an $AC$  die Punkte $A$ auf $A$, $B'$ auf $B$ und $C$ auf $C$ abgebildet werden und bei der Spiegelung an $AB$ die Punkte $A$ auf $A$, $B$ auf $B$ und $C$ auf $C'$ abgebildet werden. Weiter wird bei diesen Spiegelung auch $P$ auf einen Punkt auf den Kreis $k$ abgebildet, da $P$ auf $k_2$ und auf $k_3$ liegt.

Mein Bild ist leider nicht sehr gelungen :(
<math>
\begin{tikzpicture}
\draw(0,0) -- (5,0) -- (3,4) -- cycle;
\draw (3,1.5) circle (1pt);
\draw (0.5,2.75) circle (2.8);
\draw (2.5,-1.25) circle (2.8);
\draw (2.5,1.25) circle (2.8);
\draw (5.5,2.75) circle (2.8);
\end{tikzpicture}
</math>





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HyperPlot
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Aus: Kneedeep in the Dead
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1526, eingetragen 2019-08-01

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-01 16:55 - ochen in Beitrag No. 1525 schreibt:
Mein Bild ist leider nicht sehr gelungen frown
<math>
\begin{tikzpicture}[scale=0.65]
\draw(0,0) -- (5,0) -- (3,4) -- cycle;
\draw (3,1.5) circle (1pt);
\draw (0.5,2.75) circle (2.8);
\draw (2.5,-1.25) circle (2.8);
\draw (2.5,1.25) circle (2.8);
\draw (5.5,2.75) circle (2.8);
\end{tikzpicture}
</math>

Vielleicht irgendwie so  confused

<math>% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{4} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} %


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Hilfslinien/.style={
gray,
%densely dahed
},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[label=-145:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=-15:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[label=] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];


% Seitenspiegelungen und Umkreise
% Seite a
\draw[Hilfslinien] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[] (Ha);
\draw[Hilfslinien] (Ha) -- ($(Ha)!-1!(A)$) coordinate[label=$A"$] (As);
\draw[Hilfslinien] (As)--(B) (As)--(C);

\coordinate[label=] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$);
\coordinate[label=] (MBAs) at ($(B)!0.5!(As)$);
\path[draw=none, name path=mBC] (Ma) -- ($(Ma)!\a cm!90:(B)$);
\path[draw=none, name path=mBAs] (MBAs) -- ($(MBAs)!\a cm!-90:(B)$);
\path[name intersections={of=mBC and mBAs, name=Ua}];
\coordinate[label=] (Ua) at (Ua-1);
\draw[Hilfslinien, name path=kreisUa] (Ua) circle[radius=\R];

% Seite b
\draw[Hilfslinien] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[] (Hb);
\draw[Hilfslinien] (Hb) -- ($(Hb)!-1!(B)$) coordinate[label=$B"$] (Bs);
\draw[Hilfslinien] (Bs)--(A) (Bs)--(C);

\coordinate[label=] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$);
\coordinate[label=] (MABs) at ($(A)!0.5!(Bs)$);
\path[draw=none, name path=mAC] (Mb) -- ($(Mb)!\b cm!90:(C)$);
\path[draw=none, name path=mABs] (MABs) -- ($(MABs)!\b cm!-90:(Bs)$);
\path[name intersections={of=mAC and mABs, name=Ub}];
\coordinate[label=] (Ub) at (Ub-1);
\draw[Hilfslinien, name path=kreisUb] (Ub) circle[radius=\R];

% Seite c
\draw[Hilfslinien] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[] (Hc);
\draw[Hilfslinien] (Hc) -- ($(Hc)!-1!(C)$) coordinate[label=below:$C"$] (Cs);
\draw[Hilfslinien] (Cs)--(A) (Cs)--(B);

\coordinate[label=] (Mc) at ($(A)!0.5!(B)$);
\coordinate[label=] (MACs) at ($(A)!0.5!(Cs)$);
\path[draw=none, name path=mAB] (Mc) -- ($(Mc)!\a cm!90:(A)$);
\path[draw=none, name path=mACs] (MACs) -- ($(MACs)!\a cm!-90:(A)$);
\path[name intersections={of=mAB and mACs, name=Uc}];
\coordinate[label=] (Uc) at (Uc-1);
\draw[Hilfslinien, name path=kreisUc] (Uc) circle[radius=\R];

% Punkt P
\path[name intersections={of=kreisUa and kreisUb, name=P}];
\coordinate[label=left:$P$] (P) at (P-2);


%% Punkte
\foreach \P in {P,A,B,C,As,Bs,Cs}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
</math>

latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{3} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{4} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} %  
 
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
Hilfslinien/.style={
gray, 
%densely dahed
}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[label=-145:$A$] (A) at (0,0); 
\coordinate[label=-15:$B$] (B) at (\c,0); 
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % 
 
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[label=] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
 
% Seitenspiegelungen und Umkreise
% Seite a
\draw[Hilfslinien] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[] (Ha);
\draw[Hilfslinien] (Ha) -- ($(Ha)!-1!(A)$) coordinate[label=$A'$] (As);
\draw[Hilfslinien] (As)--(B) (As)--(C);
 
\coordinate[label=] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$); 
\coordinate[label=] (MBAs) at ($(B)!0.5!(As)$); 
\path[draw=none, name path=mBC] (Ma) -- ($(Ma)!\a cm!90:(B)$);
\path[draw=none, name path=mBAs] (MBAs) -- ($(MBAs)!\a cm!-90:(B)$);
\path[name intersections={of=mBC and mBAs, name=Ua}];
\coordinate[label=] (Ua) at (Ua-1); 
\draw[Hilfslinien, name path=kreisUa] (Ua) circle[radius=\R];
 
% Seite b
\draw[Hilfslinien] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[] (Hb);
\draw[Hilfslinien] (Hb) -- ($(Hb)!-1!(B)$) coordinate[label=$B'$] (Bs);
\draw[Hilfslinien] (Bs)--(A) (Bs)--(C);
 
\coordinate[label=] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$); 
\coordinate[label=] (MABs) at ($(A)!0.5!(Bs)$); 
\path[draw=none, name path=mAC] (Mb) -- ($(Mb)!\b cm!90:(C)$);
\path[draw=none, name path=mABs] (MABs) -- ($(MABs)!\b cm!-90:(Bs)$);
\path[name intersections={of=mAC and mABs, name=Ub}];
\coordinate[label=] (Ub) at (Ub-1); 
\draw[Hilfslinien, name path=kreisUb] (Ub) circle[radius=\R];
 
% Seite c
\draw[Hilfslinien] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[] (Hc);
\draw[Hilfslinien] (Hc) -- ($(Hc)!-1!(C)$) coordinate[label=below:$C'$] (Cs);
\draw[Hilfslinien] (Cs)--(A) (Cs)--(B);
 
\coordinate[label=] (Mc) at ($(A)!0.5!(B)$); 
\coordinate[label=] (MACs) at ($(A)!0.5!(Cs)$); 
\path[draw=none, name path=mAB] (Mc) -- ($(Mc)!\a cm!90:(A)$);
\path[draw=none, name path=mACs] (MACs) -- ($(MACs)!\a cm!-90:(A)$);
\path[name intersections={of=mAB and mACs, name=Uc}];
\coordinate[label=] (Uc) at (Uc-1); 
\draw[Hilfslinien, name path=kreisUc] (Uc) circle[radius=\R];
 
% Punkt P
\path[name intersections={of=kreisUa and kreisUb, name=P}];
\coordinate[label=left:$P$] (P) at (P-2); 
 
 
%% Punkte
\foreach \P in {P,A,B,C,As,Bs,Cs}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}
 


\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1527, eingetragen 2019-08-01


Huhu,

nicht unerwähnt soll bleiben, dass \(P\) gerade der Höhenschnittpunkt ist. Hübsche Beweise, dass der Spiegelpunkt auf dem Umkreis liegt, findet man von Werner und viertel auch dort:

matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=105040

Gruß,

Küstenkind



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1528, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-01


Die PDF-Datei enthält nun alle 2016 Aufgaben die in den Jahren 1961 bis 1994 in den Klassenstufen 9, 10, 11 und 12 gestellt wurden.

Von den 1553 Aufgaben ab Stufe II sind nun nur noch 58 ungelöst. Allerdings sind einige Aufgaben wirklich "komisch"; sehr viel Raumgeometrie.
An evtl. Musterlösungen kommen wir in den nächsten Wochen nicht heran. Mal sehen, was ihr noch schafft.
Sollte jemand etwas zum "spielen" brauchen, so haben die Aufgaben der Klasse 12 I. Stufe von 1980 bis 1994 noch keine Lösung. Vielleicht möchte der eine oder andere sich versuchen. Obwohl es I. Stufe ist, sind die Probleme teilweise nicht harmlos.

Ich werde die 60 mir vorliegenden Musterlösungen dieser I. Stufe Klasse 12 noch eintippen. Es dauert nur etwas, da die Lösungen oft sehr lang sind und aufwendige Zeichnungen zu erstellen sind.
Wenn diese Lösungen im Text sind, hätten wir dann 1958 Lösungen (> 97 %). Und natürlich kommen eure neuen Lösungen noch hinzu.

LG Steffen



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1529, eingetragen 2019-08-01


Nach einigen vergeblichen Anläufen bei der folgenden Aufgabe, hat der nachfolgende erstaunlich einfache Ansatz nun doch endlich geklappt - so hoffe ich wenigstens.  wink

Aufgabe 5 - 111235
Es ist zu beweisen, dass
\[\frac1{1− \sin(2x)} +\frac1{1− \sin(2y)}\ge \frac2{1−\sin(x+y)}\quad (1) \] für alle reellen Zahlenpaare $(x,y)$ mit
\[0 < x < \frac{\pi}4 \quad\text{und} \quad 0 < y < \frac{\pi}4\quad (2)\] erfüllt ist. Ferner ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür anzugeben, dass in (1) unter der Nebenbedingung (2) Gleichheit eintritt.


Eine zentrale Rolle in den folgenden Überlegungen wird die Funktion
\[f:(0, \frac{\pi}2)\to (1,\infty), \quad t\mapsto \frac1{1-\sin t}\] spielen. Ihre Ableitungen
\[f'(t)=\frac{\cos t}{(1-\sin t)^2}\] sowie
\[f''(t)=\frac{-\sin t(1-\sin t)^2+2(1-\sin t)(1-\sin^2 t)}{(1-\sin t)^4}=\frac{2+\sin t}{(1-\sin t)^2}\] zeigen, dass sowohl $f$, als auch $f'$ auf dem betrachteten Intervall $(0,\frac{\pi}2)$ streng monoton steigend sind.

Um dies zu verwenden, formen wir (1) zunächst um zu
\[f(2y)-f(x+y)\ge f(x+y)-f(2x)\] woraus wir in Verbindung mit der Monotonie von $f$ sofort ersehen können, dass das Gleichheitszeichen in (1) genau für $x=y$ gilt. Insbesondere können wir daher im Folgenden o.B.d.A. $x<y$ voraussetzen. Damit wird dann (1) für diesen Fall zu
\[\frac{f(2y)-f(x+y)}{2y-(x+y)}> \frac{f(x+y)-f(2x)}{(x+y)-2x}\quad (*)\] Dass dies gilt, ist aber nach dem schon Bewiesenen klar, denn nach dem Mittelwersatz der Differenzialrechnung gilt
\[\exists u\in (x+y,2y):\ \frac{f(2y)-f(x+y)}{2y-(x+y)}=f'(u)\quad\text{bzw.}\quad\exists v\in (2x,x+y):\ \frac{f(x+y)-f(2x)}{(x+y)-2x}=f'(v)\] und aus der simplen Tatsache
\[u>v\Rightarrow f'(u)>f'(v)\] folgt also dann auch sofort (*) und damit unsere Behauptung hier.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1530, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-02


Von der nachfolgenden Aussage fehlt leider die Musterlösung.

Aufgabe 4 - 221214
Ermitteln Sie alle diejenigen reellen Zahlen $x$, die die Eigenschaft haben, dass von den folgenden Aussagen (A), bis (F) vier wahr und zwei falsch sind!

(A) $x$ ist eine positive rationale Zahl.
(B) $x$ ist eine natürliche Zahl, oder $x$ ist mit einer ganzen Zahl $g\ne0$ in der Form $x=\frac 1g$ darstellbar.
(C) $x^2$ ist eine ganze Zahl, $x$ ist aber selbst nicht
ganzzahlig.
(D) Es gilt $7< x^2< 9$.
(E) $x$ ist eine positive reelle Zahl, aber keine natürliche Zahl.
(F) Wenn $x$ rational ist, so ist $x$ ganzzahlig.

Hinweis: Eine Aussage der Form ''Wenn $p$, so $q$'' ist genau dann wahr, wenn die Aussage ''(nicht $p$) oder $q$'' wahr ist. Eine Aussage der Form ''$u$ oder $v$'' ist genau dann wahr, wenn von den beiden Teilaussagen $u$ und $v$ mindestens eine wahr ist.

Ich versuche mich seit gestern Abend, finde aber keinen vernünftigen Start.
Ich habe nur, dass (D) mit (A) und (B) im Widerspruch steht. Weiterhin kann x nicht 0 sein, (B), (C), (D) wären falsch.
Das ist aber sehr wenig.
Hat jemand eine Idee, wie man beginnen könnte?

Danke
Steffen



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ochen
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2019-08-02 10:01 - stpolster in Beitrag No. 1530 schreibt:
Von der nachfolgenden Aussage fehlt leider die Musterlösung.

Aufgabe 4 - 221214
Ermitteln Sie alle diejenigen reellen Zahlen $x$, die die Eigenschaft haben, dass von den folgenden Aussagen (A), bis (F) vier wahr und zwei falsch sind!

(A) $x$ ist eine positive rationale Zahl.
(B) $x$ ist eine natürliche Zahl, oder $x$ ist mit einer ganzen Zahl $g\ne0$ in der Form $x=\frac 1g$ darstellbar.
(C) $x^2$ ist eine ganze Zahl, $x$ ist aber selbst nicht
ganzzahlig.
(D) Es gilt $7< x^2< 9$.
(E) $x$ ist eine positive reelle Zahl, aber keine natürliche Zahl.
(F) Wenn $x$ rational ist, so ist $x$ ganzzahlig.

Hinweis: Eine Aussage der Form ''Wenn $p$, so $q$'' ist genau dann wahr, wenn die Aussage ''(nicht $p$) oder $q$'' wahr ist. Eine Aussage der Form ''$u$ oder $v$'' ist genau dann wahr, wenn von den beiden Teilaussagen $u$ und $v$ mindestens eine wahr ist.


Wir starten mit (C) und (D).

Es können nicht beide falsch sein, da sonst alle anderen wahr sein müssten. Dies geht nicht, da aus (A) und (F) folgt, dass $x$ eine natürliche Zahl ist, was (E) widerspricht.

Wenn beide wahr sind, ist $x=2\sqrt{2}$ oder $x=-2\sqrt{2}$. Für $x=2\sqrt{2}$ sind (A) und (B) falsch, (E) und (F) sind wahr. Für  $x=-2\sqrt{2}$ sind (A), (B) und (E) falsch. Es genügt also  $x=2\sqrt{2}$ unseren Bedingungen.

Wenn (C) wahr ist, aber (D) nicht, so sind (A), (B) und (D) falsch.

Wenn (C) falsch und (D) wahr ist, kann $x$ keine natürliche Zahl sein. Also ist eine der beiden Aussagen (A) oder (F) falsch. Da genau 2 Aussagen falsch sein sollen, müssen (B) und (E) wahr sein.
Wenn (A) wahr ist und (F) falsch ist, so folgt mit (B), dass $x$ eine postitive rationale Zahl der Form $1/g$ mit $g\in \mathbb{Z}$ ist, also insbesondere betragsmäßig kleiner/gleich Eins ist. Das ist aber mit (D)  nicht möglich.

Es sind (B),(D),(E),(F) wahr und (A),(C) falsch, oder es muss $x=2\sqrt{2}$ gelten.

Aus (B) folgt, dass $x$ rational ist und mit (F) folgt, dass $x$ natürlich ist. Das widerspricht (D).

Es ist also $x=2\sqrt{2}$ die einzige Lösung.



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stpolster
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@ochen: Danke für die Lösung.

LG Steffen



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1533, eingetragen 2019-08-02


Hallo,

leider habe ich hierfür nur eine Teillösung und die ist auch noch sehr hässlich:


Aufgabe 4 - 171224
Gegeben sei in einer Ebene $\epsilon$ ein gleichseitiges Dreieck $ABC$. Man ermittle die Menge aller derjenigen Punkte $X$ in $\epsilon$, für die $AX+BX=CX$ gilt.

Wir skalieren das Dreieck bis es den Umkreisradius 1 hat und legen es in ein Koordinatensystem, sodass $A=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $B=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$ und $C=(1,0)$ gilt. Für die gesuchten Punkte $X=(x,y)$ folgt
\[\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}.\] Quadrieren beider Seiten ergibt
\[(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=(x-1)^2+y^2.\] Wenn wir die Quadrate subtrahieren, ausmultiplizieren und erneut zusammenfassen, erhalten wir
\[2\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=-(x + 2)^2 - y^2 + 3.\] Nochmaliges Quadrieren ergibt
\[4((x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2)((x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2)=(-(x + 2)^2 - y^2 + 3)^2.\] Multiplizieren wir dies wieder aus, erhalten wir
\[ 4 x^4 + 8 x^3 + 8 x^2 y^2 + 12 x^2 + 8 x y^2 + 8 x + 4 y^4 - 4 y^2 + 4 =x^4 + 8 x^3 + 2 x^2 y^2 + 18 x^2 + 8 x y^2 + 8 x + y^4 + 2 y^2 + 1.\] Wenn wir die rechte Seite subtrahieren und anschließend zusammmenfassen, bekommen wir als Ergebnis
\[3(x^2+y^2-1)^2=0.\] Alle Punkte $X$, die der Bedingung $|AX|+|BX|=|CX|$ genügen, liegen also auf dem Umkreis des Dreiecks $ABC$.

Ferner kann gezeigt werden, dass $X$ auf dem Kreisbogen $AB$ liegen muss.



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Kuestenkind
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Huhu,

ich habe kurz über folgende Aufgabe nachgedacht:



Wir packen also Kreise in ein gleichschenkliges Dreieck. Es ergeben sich dann ähnliche Dreiecke und es gilt (ein Kreis im Dreieck):

\(\displaystyle \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}=\frac{r_1}{h-r_1} \iff r_1=\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}+r}\cdot h\)

Nun packen wir den zweiten Kreis in das Dreieck. Es gilt:

\(\displaystyle \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}=\frac{r_2}{h-2r_1-r2}\)

\(\displaystyle rh-2rr_1-rr_2=r_2\sqrt{r^2+h^2}\)

\(\displaystyle r_2=\frac{r(h-2r_1)}{r+\sqrt{r^2+h^2}}=\frac{r_1(h-2r_1)}{h}=q\cdot r_1\)

Für den dritten Kreis:

\(\displaystyle \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}=\frac{r_3}{h-2r_1-2r_2-r_3}\)

\(\displaystyle rh-2rr_1-2rr_2-rr_3=r_3\sqrt{r^2+h^2}\)

\(\displaystyle r(h-2r_1-2r_2)=r_3(r+\sqrt{r^2+h^2})\)

\(\displaystyle r_3=\frac{r_1}{h}\left(h-2r_1-2r_2\right)=r_2-2\frac{r_1r_2}{h}=r_2\left(1-2\frac{r_1}{h}\right)=r_2\frac{h-2r_1}{h}=r_2 \cdot q\)

So die Idee. Ich denke man könnte so einen Induktionsbeweis führen und hätte die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Gruß,

Küstenkind

edit: Hier dann noch (analog) der n-te Kreis:

\(\displaystyle \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}=\frac{r_n}{h-2r_1-2r_2-\ldots-2r_{n-1}-r_n}\)

\(\displaystyle rh-2rr_1-2rr_2-\ldots-2rr_{n-1}-rr_n=r_n\sqrt{r^2+h^2}\)

\(\displaystyle r(h-2r_1-2r_2-\ldots-2r_{n-1})=r_n(r+\sqrt{r^2+h^2})\)

\(\displaystyle r_n=\frac{r_1}{h}\left(h-2r_1-2r_2-\ldots-2r_{n-1}\right)=r_{n-1}-2\frac{r_1r_{n-1}}{h}=r_{n-1}\left(1-2\frac{r_1}{h}\right)=r_{n-1}\frac{h-2r_1}{h}=r_{n-1} \cdot q\)



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OlgaBarati
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Lösungsversuch
Die Behauptung, das Volumen \(V(C)\) eines Restkörpers \(C\) sei allein mit \(h\) zu ermitteln ist genau dann widerlegt, wenn ein Restkörper \(\bar{C}\) mit gleicher Höhe \(h=\bar{h}\) existiert für den gilt, \(V(C)\neq V(\bar{C}).\) Es genügt somit einen Einzelfall zu zeigen um die Behauptung zu widerlegen. Dazu seien: \[R=5,\;\;\;r=4,\;\;\;h=6,\;\;\;p=2\] \[\bar{R}=4,\;\;\;\bar{r}=2,\;\;\;\bar{h}=6,\;\;\;\bar{p}=1 \] \[V(C)=V(K)-V(Z)-2V(A)\neq V(\bar{C})=V(\bar{K})-V(\bar{Z})-2V(\bar{A})\] \[\pi(\frac{4}{3}R^3-r^2h-2Rp^2+\frac{2}{3}p^3)\neq\pi(\frac{4}{3}\bar{R}^3-\bar{r}^2\bar{h}-2\bar{R}\bar{p}^2+\frac{2}{3}\bar{p}^3)\] \[\pi(\frac{4}{3}\cdot 5^3-4^2\cdot 6-2\cdot 5\cdot 2^2+\frac{2}{3}\cdot 2^3)\neq\pi(\frac{4}{3}\cdot{4}^3-{2}^2\cdot {6}-2\cdot{4}\cdot{1}^2+\frac{2}{3}\cdot{1}^3)\] \[36 \pi\neq 54 \pi\] \[V(C)\neq V(\bar{C})\]
LG Olga



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1536, eingetragen 2019-08-02


2019-08-02 10:01 - stpolster in Beitrag No. 1530 schreibt:
Von der nachfolgenden Aussage fehlt leider die Musterlösung.

Aufgabe 4 - 221214
Ermitteln Sie alle diejenigen reellen Zahlen $x$, die die Eigenschaft haben, dass von den folgenden Aussagen (A), bis (F) vier wahr und zwei falsch sind!

(A) $x$ ist eine positive rationale Zahl.
(B) $x$ ist eine natürliche Zahl, oder $x$ ist mit einer ganzen Zahl $g\ne0$ in der Form $x=\frac 1g$ darstellbar.
(C) $x^2$ ist eine ganze Zahl, $x$ ist aber selbst nicht
ganzzahlig.
(D) Es gilt $7< x^2< 9$.
(E) $x$ ist eine positive reelle Zahl, aber keine natürliche Zahl.
(F) Wenn $x$ rational ist, so ist $x$ ganzzahlig.

Hinweis: Eine Aussage der Form ''Wenn $p$, so $q$'' ist genau dann wahr, wenn die Aussage ''(nicht $p$) oder $q$'' wahr ist. Eine Aussage der Form ''$u$ oder $v$'' ist genau dann wahr, wenn von den beiden Teilaussagen $u$ und $v$ mindestens eine wahr ist.

Ich versuche mich seit gestern Abend, finde aber keinen vernünftigen Start.
Ich habe nur, dass (D) mit (A) und (B) im Widerspruch steht. Weiterhin kann x nicht 0 sein, (B), (C), (D) wären falsch.
Das ist aber sehr wenig.
Hat jemand eine Idee, wie man beginnen könnte?

Danke
Steffen

Meine aus:

Angenommen es gibt eine solche Zahl $x$.

Fall 1: Ist $x$ eine ganze Zahl, so sind die Aussagen C, D und E falsch. Im Widerspruch dazu, dass nur zwei Aussagen falsch sind.

Fall 2: Ist x nicht ganzzahlig, aber rational, so sind C und F falsch. B und D müssten also wahr sein. Wegen B müsste $x$ das Reziprok einer ganzen Zahl, betragsmäßig also kleiner als 1 sein. Wegen D müsste aber $x$ betragsmäßig größer als 2 sein. Widerspruch.

Fall 3: Ist $x$ irrational. A und B sind dann falsch und alle anderen Aussagen daher wahr. Wegen D und C folgt $x^2=8$. Wegen E ist x positiv, es kommt also nur $x=\sqrt{8}$ in Frage.

Andere Fälle sind nicht möglich. Die einzige mögliche Lösung ist also $x=\sqrt{8}$.

Dies ist tatsächlich eine Lösung, denn $x=\sqrt{8}$ ist positiv, aber nicht rational und es gilt $x^2=8$. Daher sind A und B falsch, während C, D, E und F richtig sind.
$x=\sqrt{8}$ ist also die einzige Lösung.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1537, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-02


Danke für die neuen Lösungen.
Ich habe (hoffentlich) alles eintragen.

Stand: 1929 Lösungen und nur noch 55 offene Fragen.

LG Steffen



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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1538, eingetragen 2019-08-02

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-02 11:29 - ochen in Beitrag No. 1533 schreibt:

Aufgabe 4 - 171224
Gegeben sei in einer Ebene $\epsilon$ ein gleichseitiges Dreieck $ABC$. Man ermittle die Menge aller derjenigen Punkte $X$ in $\epsilon$, für die $AX+BX=CX$ gilt.

leider habe ich hierfür nur eine Teillösung ....


Hallo,

leider habe ich hierfür nur eine Teillösung und die ist auch noch sehr hässlich:


Aufgabe 4 - 171224
Gegeben sei in einer Ebene $\epsilon$ ein gleichseitiges Dreieck $ABC$. Man ermittle die Menge aller derjenigen Punkte $X$ in $\epsilon$, für die $AX+BX=CX$ gilt.

Wir skalieren das Dreieck bis es den Umkreisradius 1 hat und legen es in ein Koordinatensystem, sodass $A=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $B=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$ und $C=(1,0)$ gilt. Für die gesuchten Punkte $X=(x,y)$ folgt
\[\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}.\] Quadrieren beider Seiten ergibt
\[(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=(x-1)^2+y^2.\] Wenn wir die Quadrate subtrahieren, ausmultiplizieren und erneut zusammenfassen, erhalten wir
\[2\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=-(x + 2)^2 - y^2 + 3.\] Nochmaliges Quadrieren ergibt
\[4((x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2)((x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2)=(-(x + 2)^2 - y^2 + 3)^2.\] Multiplizieren wir dies wieder aus, erhalten wir
\[ 4 x^4 + 8 x^3 + 8 x^2 y^2 + 12 x^2 + 8 x y^2 + 8 x + 4 y^4 - 4 y^2 + 4 =x^4 + 8 x^3 + 2 x^2 y^2 + 18 x^2 + 8 x y^2 + 8 x + y^4 + 2 y^2 + 1.\] Wenn wir die rechte Seite subtrahieren und anschließend zusammmenfassen, bekommen wir als Ergebnis
\[3(x^2+y^2-1)^2=0.\] Alle Punkte $X$, die der Bedingung $|AX|+|BX|=|CX|$ genügen, liegen also auf dem Umkreis des Dreiecks $ABC$.

Ferner kann gezeigt werden, dass $X$ auf dem Kreisbogen $AB$ liegen muss.



$\renewcommand\vec[1]{\overrightarrow{#1}}$

Die Ausgangsgleichung $|AX|+|BX|=|CX|$ bringe ich auf
$2|\vec{AX}| |\vec{BX}| = |\vec{CX}|^2 -|\vec{AX}|^2 -|\vec{BX}|^2$

bzw. auf

$4|\vec{AX}|^2 |\vec{BX}|^2 = \left( |\vec{CX}|^2 -|\vec{AX}|^2 -|\vec{BX}|^2   \right)^2$

für Letzteres hätte ich dann, mit $
A = (x_A,y_A),~
B = (x_B,y_B),~
C = (x_C,y_C),
$ und $X=(x,y)$ die implizite Funktion
$f(x,y)=0= 4\cdot ((x -x_A)^2 + (y - y_A)^2)\cdot((x -x_B)^2 + (y -y_B)^2)
-\bigl[ ((x -x_C)^2 + (y -y_C)^2)
-((x -x_A)^2 + (y -y_A)^2)
-((x -x_B)^2 + (y -y_B)^2) \bigr]^2$

Ich hatte auf eine schöne Parameterdarstellung gehofft.
Wenn es diese überhaupt gibt, dürfte sie aber sowieso nicht einfacher sein.

Jedenfalls, sofern das bis hierhin alles stimmt, hätte ich folgende Eier anzubieten - aber ob das im Sinne des Erfinders ist? Hier sollte man mal die Aufgabenstellung und die Musterlösung prüfen!


Bei mir kommt also kein Kreis und auch kein anderer Kegelschnitt raus.
(Ich kenne mich mit gnuplot nicht besonders aus, vermutlich kann man die Kurven noch auf 'smooth' stellen.)







latex
% arara: pdflatex: {shell: yes}
\documentclass[margin=5mm, tikz]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=newest}
\begin{document}
 
% Ecken
\pgfmathsetmacro\xA{0}
\pgfmathsetmacro\yA{0}
\pgfmathsetmacro\xB{1}
\pgfmathsetmacro\yB{0}
\pgfmathsetmacro\xC{0}
\pgfmathsetmacro\yC{1}
 
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis equal, 
title={$|AX| + |BX| = |CX|$}
]
\addplot +[
no markers,
raw gnuplot,
thick,
%empty line = jump % not strictly necessary,
] gnuplot {
f(x,y)=4*((x -\xA)^2 + (y - \yA)^2)*((x -\xB)^2 + (y -\yB)^2) 
-( ((x -\xC)^2 + (y -\yC)^2) 
-((x -\xA)^2 + (y -\yA)^2) 
-((x -\xB)^2 + (y -\yB)^2) )^2;
set cntrparam levels discrete 0,0;
set isosample 500,500;
set size square;
set view equal xy;
set cont base;
unset surface;
splot f(x,y);
};
\addlegendentry{$X$}
\addplot[no marks] coordinates {(\xA,\yA)  (\xB,\yB) (\xC,\yC) (\xA,\yA) };
 
\draw[fill=white] (\xA,\yA) circle (1.75pt) node[anchor=north east]{$A(\xA,\yA)$};
\draw[fill=white] (\xB,\yB) circle (1.75pt) node[anchor=north]{$B(\xB,\yB)$};
\draw[fill=white] (\xC,\yC) circle (1.75pt) node[anchor=east]{$C(\xC,\yC)$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
 
\end{document}


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1536 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Nuramon
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@Hyperplot: Das Dreieck soll gleichseitig sein. Trotzdem interessant, welche "Eier" da im Allgemeinen entstehen.



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HyperPlot
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2019-08-02 20:23 - Nuramon in Beitrag No. 1539 schreibt:
@Hyperplot: Das Dreieck soll gleichseitig sein. Trotzdem interessant, welche "Eier" da im Allgemeinen entstehen.

Ach so. Für

% Ecken
\pgfmathsetmacro\xA{0}
\pgfmathsetmacro\yA{0}
\pgfmathsetmacro\xB{1}
\pgfmathsetmacro\yB{0}
\pgfmathsetmacro\xC{0.5}
\pgfmathsetmacro\yC{sqrt(3)/2}

wird bei mir leider gar nichts gezeichnet.



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stpolster
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Zu der Aufgabe habe ich eine kleine Idee. Ob es etwas bringt, kann ich schlecht einschätzen.


Aufgabe 4 - 171224
Gegeben sei in einer Ebene $\epsilon$ ein gleichseitiges Dreieck $ABC$. Man ermittle die Menge aller derjenigen Punkte $X$ in $\epsilon$, für die $AX+BX=CX$ gilt.

<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\small, scale=1]
\coordinate(m) at (0,0);
\coordinate(a) at (210:2);
\coordinate(b) at (330:2);
\coordinate(c) at (90:2);
\coordinate(x) at (250:2);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- cycle;
\draw (m) circle (2);
\draw (a) -- (x) -- (b);
\draw (x) -- (c);
\foreach \P in {a,b,c,x,m}
\draw[fill=white] (\P) circle (0.05);
\node[left] at (a) {$A$};
\node[right] at (b) {$B$};
\node[above] at (c) {$C$};
\node[below] at (x) {$X$};
\node[right] at (m) {$M$};
\node[above] at ($(a)!0.5!(b)$) {$a$};
\node[right] at ($(c)!0.5!(b)$) {$a$};
\node[left] at ($(a)!0.5!(c)$) {$a$};
\node[above] at ($(a)!0.5!(x)$) {$x$};
\node[below] at ($(b)!0.5!(x)$) {$y$};
\node[left] at ($(c)!0.5!(x)$) {$z$};
\end{tikzpicture}
</math>
Liegt X auf dem Umkreis, so bilden das Dreieck und X ein Sehnenviereck. In dem sind die Diagonalen (X zwischen A und B) einmal a und einmal CX = z. Die Vierecksseiten sind a, a, AX = x und BX = y.
Nach dem Satz des Ptolemäus ist dann
$x \cdot a + y \cdot a = z \cdot a$ und damit das Gesuchte.
Ist X nicht zwischen A und B erhält man entweder $x \cdot a + z \cdot a = y \cdot a$ oder $y \cdot a + z \cdot a = x \cdot a$.

Nun weiß ich nicht, ob der Satz des Ptolemäus umkehrbar ist und vor allem wie man das für die Lösung konkret anwenden kann. Vielleicht hat von euch jemand eine Idee.

Mich verwirrt nur, dass es eine Aufgabe aus der II. Stufe war, Normalerweise sind die nicht ganz so schwer.

LG Steffen



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stpolster
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Ich habe nun Folgendes, ausgehend von ochens Lösung, in den Text aufgenommen:

Aufgabe 4 - 171224

Gegeben sei in einer Ebene $\epsilon$ ein gleichseitiges Dreieck $ABC$.
Man ermittle die Menge aller derjenigen Punkte $X$ in $\epsilon$, für die $AX + BX = CX$ gilt.

Lösung:
I. Wir skalieren das Dreieck bis es den Umkreisradius 1 hat und legen es in ein Koordinatensystem, sodass $A=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $B=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$ und $C=(1,0)$ gilt. Für die gesuchten Punkte $X=(x,y)$ folgt
\[\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}.\] Quadrieren beider Seiten ergibt
\[(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=(x-1)^2+y^2.\] Wenn wir die Quadrate subtrahieren, ausmultiplizieren und erneut zusammenfassen, erhalten wir
\[2\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=-(x + 2)^2 - y^2 + 3.\] Nochmaliges Quadrieren ergibt
\[4((x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2)((x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{\sqrt{3}}{2})^2)=(-(x + 2)^2 - y^2 + 3)^2.\] Multiplizieren wir dies wieder aus, erhalten wir
\[ 4 x^4 + 8 x^3 + 8 x^2 y^2 + 12 x^2 + 8 x y^2 + 8 x + 4 y^4 - 4 y^2 + 4 =x^4 + 8 x^3 + 2 x^2 y^2 + 18 x^2 + 8 x y^2 + 8 x + y^4 + 2 y^2 + 1.\] Wenn wir die rechte Seite subtrahieren und anschließend zusammmenfassen, bekommen wir als Ergebnis
\[3(x^2+y^2-1)^2=0.\] Alle Punkte $X$, die der Bedingung $|AX|+|BX|=|CX|$ genügen, liegen also auf dem Umkreis des Dreiecks $ABC$. \\[1.5ex]

II. Liegt ein Punkt $X$ auf dem Umkreis des Dreiecks $ABC$, so bilden das Dreieck $ABC$ und $X$ ein Sehnenviereck. In diesem sind die Diagonalen ($X$ liege zuerst zwischen $A$ und $B$) einmal $|AB| = a$ und einmal $|CX| = z$. Die Vierecksseiten sind $|CA| = a$, $|CB| = a$, $|AX| = x$ und $|BX| = y$.

<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\small, scale=1]
\coordinate(m) at (0,0);
\coordinate(a) at (210:2);
\coordinate(b) at (330:2);
\coordinate(c) at (90:2);
\coordinate(x) at (250:2);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- cycle;
\draw (m) circle (2);
\draw (a) -- (x) -- (b);
\draw (x) -- (c);
\foreach \P in {a,b,c,x,m}
\draw[fill=white] (\P) circle (0.05);
\node[left] at (a) {$A$};
\node[right] at (b) {$B$};
\node[above] at (c) {$C$};
\node[below] at (x) {$X$};
\node[right] at (m) {$M$};
\node[above] at ($(a)!0.5!(b)$) {$a$};
\node[right] at ($(c)!0.5!(b)$) {$a$};
\node[left] at ($(a)!0.5!(c)$) {$a$};
\node[above] at ($(a)!0.5!(x)$) {$x$};
\node[below] at ($(b)!0.5!(x)$) {$y$};
\node[left] at ($(c)!0.5!(x)$) {$z$};
\end{tikzpicture}
</math>
Nach dem Satz des Ptolemäus für Sehnenvierecke ist dann
$x \cdot a + y \cdot a = z \cdot a$ womit sofort das Gesuchte ($a > 0$) $|AX|+|BX|=|CX|$ folgt.
Für $X = A$ bzw. $X = B$ ergibt sich mit $|AX| = 0$ und $|BX| = a$ bzw. mit $|BX| = 0$ und $|AX| = a$, dass die Punkte $A$ und $B$ ebenfalls zur Lösungsmenge gehören.

Liegt $X$ nicht zwischen $A$ und $B$ sondern auf den Kreisbögen $AC$ bzw. $BC$ erhält man für das Sehnenviereck nach dem Satz des Ptolemäus entweder $x \cdot a + z \cdot a = y \cdot a$ oder $y \cdot a + z \cdot a = x \cdot a$. Für derartige $X$ ist $AX + BX = CX$ nicht erfüllt.
Die Menge alle Punkte $X$ mit der geforderten Eigenschaft ist damit der Kreisbogen $AB$ inkl. seiner Randpunkte.

Die Darstellung der Kreisbögen wird hier nicht korrekt wiedergegeben.
Ich bitte um eine Überprüfung.

Danke
Steffen



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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1543, eingetragen 2019-08-03

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-03 09:56 - stpolster in Beitrag No. 1542 schreibt:
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\small, scale=1]
\coordinate(m) at (0,0);
\coordinate(a) at (210:2);
\coordinate(b) at (330:2);
\coordinate(c) at (90:2);
\coordinate(x) at (250:2);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- cycle;
\draw (m) circle (2);
\draw (a) -- (x) -- (b);
\draw (x) -- (c);
\foreach \P in {a,b,c,x,m}
\draw[fill=white] (\P) circle (0.05);
\node[left] at (a) {$A$};
\node[right] at (b) {$B$};
\node[above] at (c) {$C$};
\node[below] at (x) {$X$};
\node[right] at (m) {$M$};
\node[above] at ($(a)!0.5!(b)$) {$a$};
\node[right] at ($(c)!0.5!(b)$) {$a$};
\node[left] at ($(a)!0.5!(c)$) {$a$};
\node[above] at ($(a)!0.5!(x)$) {$x$};
\node[below] at ($(b)!0.5!(x)$) {$y$};
\node[left] at ($(c)!0.5!(x)$) {$z$};
\end{tikzpicture}
</math>

Die Darstellung der Kreisbögen wird hier nicht korrekt wiedergegeben.
Ich bitte um eine Überprüfung.

Inwiefern? Nur hier in der png-Umwandlung oder im PDF-Resultat?
\(\endgroup\)


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weird
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Aufgabe 5 - 271245
Es sei $(x_n)$ die durch
\[x_1 =1,\ x_2 =1, \ x_{n+1} = \frac{x_n +1}{ x_n +4 } \quad (n =2,3,4,...) \] definierte Zahlenfolge. Man untersuche, ob diese Folge konvergent ist, und ermittle, falls dies zutrifft, ihren Grenzwert.

Sorry, war leider ein ganz dummer Angabefehler von mir, die echte Aufgabe hat ja $x_{n-1}+4$ im Nenner!  frown



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stpolster
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\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-03 10:15 - HyperPlot in Beitrag No. 1543 schreibt:
Inwiefern? Nur hier in der png-Umwandlung oder im PDF-Resultat?

Ich habe mich blöd ausgedrückt. Ich meine die Bögen über den Buchstaben, z.B. AB im Text.
Im PDF stimmt es, denn da verwende ich ja dein  biggrin
\newcommand\myarc[2][]{\tikz[baseline]{%
\node[inner sep=0pt,anchor=base] (A) {$#2$};
\draw[transform canvas={yshift=1pt}, rounded corners=2pt]
(A.north west)  to[bend left=45, xshift=0.5pt,#1] (A.north east);
}}

LG Steffen
\(\endgroup\)


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HyperPlot
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\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-03 10:26 - stpolster in Beitrag No. 1545 schreibt:
Ich habe mich blöd ausgedrückt. Ich meine die Bögen über den Buchstaben, z.B. AB im Text.
Im PDF stimmt es, denn da verwende ich ja dein  biggrin
\newcommand\myarc[2][]{\tikz[baseline]{%
\node[inner sep=0pt,anchor=base] (A) {$#2$};
\draw[transform canvas={yshift=1pt}, rounded corners=2pt]
(A.north west)  to[bend left=45, xshift=0.5pt,#1] (A.north east);
}}


Ach so, wenn das hier verwendet werden soll, geht das nur im math-Tag, und zwar in der Form

<math>
\newcommand\myarc[2][]{\begin{tikzpicture}[baseline]
\node[inner sep=0pt,anchor=base] (A) {$#2$};
\draw[transform canvas={yshift=1pt}, rounded corners=2pt]
(A.north west)  to[bend left=45, xshift=0.5pt,#1] (A.north east);
\end{tikzpicture}}

\myarc{AB},~ \myarc{x},~ \myarc{\alpha}
</math>
MP
<math>
\newcommand\myarc[2][]{\begin{tikzpicture}[baseline]
\node[inner sep=0pt,anchor=base] (A) {$#2$};
\draw[transform canvas={yshift=1pt}, rounded corners=2pt]
(A.north west)  to[bend left=45, xshift=0.5pt,#1] (A.north east);
\end{tikzpicture}}
 
\myarc{AB},~ \myarc{x},~ \myarc{\alpha}
</math>
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1547, eingetragen 2019-08-03


Die nachfolgende Aufgabe ist eigentlich sehr leicht, aber offenbar scheuten hier alle - so wie auch ich bis jetzt - die damit verbundene Schreibarbeit.   biggrin

Aufgabe 6A - 111236A
Eine Menge $M$ von Elementen $u,v,w,...$ heißt eine Gruppe bezüglich einer Operation $A$, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
a) Jedem geordneten Paar $(u,v)$ von Elementen aus $M$ ist vermöge der Operation $A$ genau ein Element $w$ aus $M$ zugeordnet (man schreibt $u◦v = w)$.
b) Die Operation $A$ ist assoziativ, d.h., für alle Elemente $u,v,w$ aus $M$ gilt: $(u◦v)◦w = u◦(v◦w)$.
c) Zu je zwei Elementen $u$ und $v$ aus M existiert mindestens ein Element $x$ aus $M$, so dass $u◦x = v$ gilt, und mindestens ein Element $y$ aus $M$, so dass $y◦u = v$ gilt.

Es sei nun $K$ die Menge aller geordneten Paare $(a,b)$ reeller Zahlen $a$ und $b$, für die $a^2 +b^2 =1$ gilt. Ferner sei in $K$ eine Operation $A$ wie folgt definiert:
\[(a,b)◦(c,d)=(ac−bd,ad+bc)  \] Man beweise, dass $K$ eine Gruppe bezüglich $A$ ist.


Für die Lösung dieser Aufgabe erweist es sich als zweckmäßig, die Elemente von $K$ in der Form
\[(\cos\varphi,\sin\varphi)\quad (\varphi \in [0,2\pi)) \] anzuschreiben, wobei hier für jedes $(a,b)\in K$ in der umkehrbar eindeutigen Zuordnung $(a,b)\leftrightarrow \varphi$ der Winkel $\varphi\in [0,2\pi)$ jeweils eindeutig bestimmt ist. Die Verknüpfung $\circ$ ist für $\varphi,\psi\in [0,2\pi)$ gegeben durch
\[(\cos\varphi,\sin\varphi)\circ(\cos\psi,\sin\psi)=(\cos\varphi\cos\psi-\sin\varphi\sin\psi,\cos\varphi\sin\psi+\sin\varphi\cos\psi)\] wofür man bekanntlich auch einfacher
\[(\cos\varphi,\sin\varphi)\circ(\cos\psi,\sin\psi)=(\cos(\varphi+\psi),\sin(\varphi+\psi)))\] schreiben kann. Insbesondere gilt somit für $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$
\[((\cos\alpha,\sin\alpha)\circ (\cos\beta,\sin\beta))\circ (\cos\gamma,\sin\gamma)=(\cos((\alpha+\beta)+\gamma),\sin((\alpha+\beta)+\gamma))\] was also dann ident ist mit
\[(\cos\alpha,\sin\alpha)\circ ((\cos\beta,\sin\beta)\circ (\cos\gamma,\sin\gamma))=(\cos(\alpha+(\beta+\gamma)),\sin(\alpha+(\beta+\gamma)))\] und somit die Assoziativität von $\circ$ beweist.

Für den Punkt c) genügt es wegen der Kommutativät von $\circ$ nur die Lösbarkeit der ersten Gleichung zu zeigen. Diese folgt aber für $\mu, \nu\in [0,2\pi)$ sofort aus
\[(\cos \mu,\sin \mu)\circ (\cos(\nu-\mu),\sin(\nu-\mu))=(\cos\nu,\sin\nu)\]



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Kuestenkind
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Huhu,

bei dieser Aufgabe würde mich mal interessieren, wie viele (richtige) Lösungen es überhaupt gab. Kann man das irgendwo nachgucken eigentlich? Ich sage also schonmal vorweg, dass diese Lösung nicht von mir kommt. Ich liefere lediglich ein Bild, eine Übersetzung und etwas Erklärung. Falls du (Steffen) diese Lösung übernehmen möchtest, müsstest du also die Quelle angeben. Also: Übersetzt (und ergänzt) aus: L. J. Mordell: On Geometric Problems of Erdös and Oppenheim, The Mathematical Gazette Vol. 46, No. 357 (Oct., 1962), pp. 213-215.





Sei \(ABC\) ein Dreieck und \(O\) ein Punkt innerhalb des Dreiecks. Sei \(u\) das Lot von \(O\) auf die Seite \(AC\) und \(w\) das Lot von \(O\) auf die Seite \(AB\). Die Lotfußpunkte seien \(D\) und \(F\). Das Viereck \(AFOD\) ist dann offensichtlich ein Sehnenviereck und besitzt einen Umkreis. Die Strecke \(y:=OA\) ist offensichtlich Durchmesser, da die beiden Halbkreise Thaleskreise über der Strecke sind. Der Umkreis ist zudem Umkreis vom Dreieck \(AFD\). Für den Radius des Umkreises gilt somit:

\(\displaystyle \frac{DF}{\sin A}=2y\iff y\sin A =\frac{DF}{2}\)

Quadireren liefert:

\(\displaystyle y^2\sin^2 A =\frac{DF^2}{4}\quad(*)\)

Im Dreieck \(FOD\) gilt nach Kosinussatz nun:

\(\displaystyle DF^2=u^2+w^2-2uw\cos(\pi-A)=u^2+w^2+2uw\cos A\)

Setzen wir in \(*\) ein:

\(\displaystyle y^2\sin^2 A =\frac{u^2+w^2+2uw\cos A}{4}\)

\(\displaystyle 4y^2\sin^2 A =u^2+w^2+2uw\cos A \)

Nun ist \(\cos^2 x=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)\) und \(\sin^2 x=\frac{1}{2}\left(1-\cos 2x\right)\) womit \(\cos x=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\) folgt. Damit:

\(\displaystyle 4y^2\sin^2 A =u^2+w^2+2uw\left(\cos^2 \frac{A}{2}-\sin^2 \frac{A}{2}\right)=(u+w)^2\cos^2 \frac{A}{2}+(u-w)^2\sin^2 \frac{A}{2}\geq (u+w)^2\cos^2 \frac{A}{2} \)

Ziehen wir die Wurzel folgt somit:

\(\displaystyle 2y \sin A \geq (u+w) \cos \frac{A}{2} \)

Mit \(\frac{\sin x}{\cos \frac{x}{2}}=\sin \frac{x}{2}\) folgt dann:

\(\displaystyle 2y \sin \frac{A}{2} \geq (u+w)\)

Analoges Vorgehen für die anderen beiden Sehnenvierecke liefert mit Multiplikation der drei Ungleichungen:

\(\displaystyle 8xyz \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \geq (u+w)(v+w)(u+v)\) mt Gleichheit für \(u=v=w\).

Es ist sehr bekannt und einfach zu beweisen, dass \(\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}\), mit Gleichheit für \(A=B=C\), womit dann die Behauptung folgt. Dieses kann man z.B. so zeigen:

Wir setzen \(l=\frac{A}{2}\) und \(m=\sin \frac{B}{2}\), dann folgt:

\(\displaystyle \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}=\sin l \sin m \cos(l+m)\) mit \(0\leq l,m \leq \frac{\pi}{2}\). Damit folgt:

\(\displaystyle 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}=\sin l( \sin(l+m)-\sin l)\leq \frac{1}{4}\), da das Maximum für \(l+m=\frac{\pi}{2}, \, \sin l=\frac{1}{2}\) angenommen wird.

Gruß,

Küstenkind




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cyrix
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Alternativlösung zur 111236A:

Wir identifizieren dass Paar <math>(a,b)</math> reeller Zahlen mit der komplexen Zahl <math>a+ib</math>. Dann ist die beschriebene Verknüpfung <math>\circ</math> zweier Paare reeller Zahlen genau die Multiplikation der entsprechenden komplexen Zahlen und <math>K</math> genau die Menge der komplexen Zahlen vom Betrag 1. Diese bilden mit der Multiplikation eine Gruppe:
Für zwei komplexe Zahlen <math>u</math> und <math>v</math> mit <math>|u|=|v|=1</math> gilt <math>|u \cdot v|=|u| \cdot |v|=1\cdot 1=1</math>.
Die Multiplikation komplexer Zahlen ist assoziativ und kommutativ.
Für zwei komplexe Zahlen <math>u</math> und <math>v</math> mit <math>|u|=|v|=1</math> seien die komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> definiert durch <math>x:=y:=v \cdot \bar{u}</math>, wobei <math>\bar{u}</math> die zu <math>u</math> komplex konjugierte Zahl sei. Dann gilt wegen <math>|\bar{u}|=|u|=1</math> sowie <math>\bar{u} \cdot u=1^2</math> auch <math>|x|=|y|=1</math> und <math>u \cdot x= y \cdot u=v \cdot \bar{u} \cdot u=v \cdot 1^2=v</math>.

Also bildet auch <math>K</math> bezüglich der Verknüpfung <math>\circ</math> eine Gruppe, <math>\Box</math>.

Cyrix



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cyrix
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Aufgabe 121236A: Es sei <math>f</math> eine Funktion, die für alle reellen Zahlen <math>x</math> definiert ist und die folgenden Eigenschaften hat:
(1) Für alle <math>x</math> gilt <math>f(x) =x \cdot f(x+ 1)</math>.
(2) Es gilt <math>f(1) = 1</math>.

a) Man ermittle alle ganzen Zahlen <math>n</math>, für die <math>f(n) = 0</math> gilt.
b) Es seien <math>m</math> und <math>n</math> beliebige ganze Zahlen, und es sei <math>f(x+m)</math> gegeben. Man berechne <math>f(x+n)</math>.
c) Man gebe eine spezielle Funktion <math>f_0</math> an, die die obigen Eigenschaften  besitzt, und zeichne den Graph dieser Funktion im Intervall  <math>-3 \leq x \leq 4</math>.

Lösung:

a) Induktiv zeigt man leicht für alle positiven ganzen Zahlen <math>n</math> die Gleichung <math>f(n)=\frac{1}{(n-1)!}\neq 0</math>: Sicherlich stimmt diese Aussage für <math>n=1</math>, denn <math>f(1)=1=\frac{1}{1}=\frac{1}{(1-1)!}</math>. Und gilt die Aussage für ein <math>n>0</math> so wegen <math>f(n+1)=\frac{1}{n} \cdot f(n)=\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(n-1)!}=\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n+1-1)!}</math> auch für <math>n+1</math>, also für alle positiven ganzen Zahlen.

Dagegen ist <math>f(0)=0\cdot f(1)=0</math> und somit folgt für alle negativen ganzen Zahlen <math>n</math> wegen <math>f(n)=n \cdot f(n+1)=n \cdot 0=0</math> auch <math>f(n)=0</math>. Es ist also <math>f(n)</math> für ganzzahlige <math>n</math> genau dann gleich Null, wenn <math>n</math> eine nichtpositive ganze Zahl ist.

b) Ist <math>x</math> eine ganze Zahl, so auch <math>n+x</math>. Dann ist <math>f(n+x)=0</math>, falls <math>n+x\leq 0</math> gilt, und sonst <math>f(n+x)=\frac{1}{(n+x-1)!}</math>. Sei ab nun <math>x\not\in\mathbb{Z}</math>.

Ist <math>m=n</math>, so gilt <math>f(n+x)=f(m+x)</math>.
Ist <math>n>m</math>, so erhält man durch wiederholtes Anwenden der Bedingung (1)
<math>f(n+x)=\frac{1}{n-1+x} \cdot \frac{1}{n-2+x} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{m+x} \cdot f(m+x).</math>
Und ist <math>n<m</math>, so erhält man durch wiederholtes Anwenden von (1)
<math>f(n+x)=(m-1+x) \cdot (m-2+x) \cdot \ldots \cdot (n+x) \cdot f(m+x).</math>

c) Die folgende Funktion <math>f_0</math> erfüllt alle genannten Eigenschaften:
<math>f_0(x):=\begin{cases} \frac{1}{(x-1)!} &,\text{ wenn }x\in\mathbb{Z}_{>0}\\ 0&,\text{ sonst}\end{cases}.</math>

Offenbar erfüllt <math>f_0</math> die Bedingung (2), da <math>f_0(1)=\frac{1}{0!}=1</math> gilt und, wie in Aufgabenteil a) nachgerechnet, auch die Bedingung (1) für alle ganzen Zahlen <math>x</math>. Ist dagegen <math>x\not\in\mathbb{Z}</math>, so gilt erst recht <math>0=f(x)=x\cdot 0= x \cdot f(x+1)</math>, sodass <math>f_0</math> eine solche Funktion ist.

<<Eine kleine Skizze dieser Funktion fehlt noch, damit die Aufgabenstellung vollständig erfüllt ist.>>



Aufgabe 141236A: Ein in einem industriellen Prozess eingebauter Messkomplex <math>M</math> ̈ubermittelt an eine ̈Übertragungseinheit <math>A_1</math> genau eins der beiden Signale <math>S_1</math> oder <math>S_2</math>, das dann von <math>A_1</math> zu einer Übertragungseinheit <math>A_2</math>, von <math>A_2</math> zu einer ̈Übertragungseinheit <math>A_3</math> und von <math>A_3</math> zu einem  Elektronenrechner <math>R</math> ̈ubermittelt wird.
Jede ̈Ubertragungseinheit <math>A_i</math> (<math>i= 1,2,3</math>) kann genau die Signale <math>S_1</math> oder <math>S_2</math> ̈ubermitteln. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass <math>A_i</math> statt des jeweils empfangenen Signals gerade das andere weitervermittelt, betrage 0,01.
Es sei nun bekannt, dass am Ende eines solchen Ablaufes durch <math>A_3</math> in den Rechner <math>R</math> das Signal <math>S_1</math> ̈ubertragen wurde. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass <math>M</math> zu Beginn dieses Ablaufes an <math>A_1</math> ebenfalls <math>S_1</math> ̈ubermittelt hatte?
Hinweis: <<Erklärungen zum Umgang mit Wahrscheinlichkeiten>>

Lösung:

Wir gehen davon aus, dass die Ereignisse einer fehlerhaften Weitergabe des empfangenen Signals für die drei Übertragungseinheiten stochastisch unabhängig voneinander sind.

Das Ausgangssignal von <math>M</math> wird genau dann genauso von <math>R</math> empfangen, wenn entweder keine der Übertragungseinheiten eine fehlerhafte Übertragung des jeweils empfangenen Signals vornimmt, oder aber genau zwei. Der erste Fall tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>(1-0{,}01)^3=0{,}99^3</math> auf. Für den zweiten Fall gibt es genau drei Möglichkeiten, die beiden fehlerhaft sendenden Übertragungseinheiten auszuwählen und für jede dieser Möglichkeiten dann eine entsprechende Übertragungswahrscheinlichkeit von <math>0{,}99 \cdot 0{,}01^2</math>, sodass sich eine Gesamtwahrscheinlichkeit von
<math>P=\frac{99^3 + 3 \cdot 99 \cdot 1^2}{100^3}=\frac{99 \cdot (99^2+3)}{10^6}=\frac{99 \cdot 9804}{10^6}=\frac{970596}{10^6}=0{,}970596=97{,}0596\% .</math>


Cyrix



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1551, eingetragen 2019-08-04


Wow, Ihr wart fleißig in den zwei Wochen, die ich weg war!  smile
Ist die Datei mit den noch offenen Aufgaben auf aktuellem Stand?
Steffen: Meine Lösung zu 321233A ist vermutlich nicht komplett, nimm sie daher bitte vorläufig raus. Die Lösung von Nuramon allerdings, so beeindruckend sie sein mag, sprengt nach meinem Bauchgefühl den Rahmen dessen, was hier erwartet wird und werden kann, wenn man sie mit anderen Aufgaben des gleichen Niveaus vergleicht...

Ciao,

Thomas



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svrc
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Aufgabe 6A - 181236A

Aufgabentext:

Es sei \(\left( a_{n} \right)\) für \(n = 0, 1, 2, \ldots\) eine Folge reeller Zahlen, für die \(a_{0} = 0\) sowie \(a_{n+1}^3 = \frac{1}{2} \cdot a_{n}^2 - 1\) für alle \(n = 1, 2, 3, \ldots\) gelte.

Man zeige, dass es dann eine positive reelle Zahlen \(q < 1\) gibt, sodass
\[\left| a_{n + 1} - a_{n} \right| \leq q \cdot \left| a_{n} - a_{n - 1} \right| \] für alle \(n = 1, 2, 3, \ldots\) gilt. Man gebe eine derartige Zahl \(q\) an.

Lösungsvorschlag:

Zum Beweis benötigen wir zwei Aussagen.

Lemma 1:

Für alle reellen Zahlen \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt
\[a^{3} - b^{3} = \left( a - b \right) \cdot \left( a^{2} + a \cdot b + b^{2} \right).\]
Beweis - Lemma 1:

Der Beweis erfolgt durch Ausmultiplizieren:
\[\left( a - b \right) \cdot \left( a^{2} + a \cdot b + b^{2} \right) = a^{3} + a^{2} \cdot b + a \cdot b^{2} - a^{2} \cdot b - a \cdot b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3}.\]
Lemma 2:

Die Folge \(\left( a_{n} \right)\) ist beschränkt und es gilt
\[-1 \leq a_{n} \leq - \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\] für alle \(n = 1, 2, 3, \ldots \).

Beweis - Lemma 2:

Diese Aussage wird mittels vollständiger Induktion bewiesen.

Induktionsanfang: Es gilt \(a_{1}^{3} = \dfrac{1}{2} \cdot a_{0}^{2} - 1 = - 1\) und somit $-1 \leq a_{1} \leq - \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

Induktionsvoraussetzung: Es gelte $-1 \leq a_{n} \leq \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ für ein \(n \in \mathbb{N}\).

Induktionsschritt: Es gilt nach der Induktionsvoraussetzung
\[-1 \leq \dfrac{1}{2} \cdot \left( - \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)^{2} - 1 \leq \dfrac{1}{2} \cdot a_{n}^{2} - 1 = a_{n + 1}^{3} = \dfrac{1}{2} \cdot a_{n}^{2} - 1 \leq -\dfrac{1}{2}\] und somit
\[-1 \leq a_{n + 1} \leq -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}.\]
Lösung - Aufgabe 6A - 181236A:

Mit Lemma 1 und der Definition der Folge \( \left( a_{n} \right)\) sehen wir, dass
\[\left| a_{n + 1}^{3} - a_{n}^{3} \right| = \left| a_{n + 1} - a_{n} \right| \cdot \left| a_{ n + 1}^{2} + a_{n + 1} \cdot a_{n} + a_{n}^{2} \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \left| a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2} \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \left| a_{n} - a_{ n - 1} \right| \cdot \left| a_{n} + a_{n - 1} \right| \] für alle \( n = 1, 2, 3, \ldots\) gilt. Somit ergibt sich
\[\left| a_{n + 1} - a_{n} \right| \cdot \left| a_{ n + 1}^{2} + a_{n + 1} \cdot a_{n} + a_{n}^{2} \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \left| a_{n} - a_{ n - 1} \right| \cdot \left| a_{n} + a_{n - 1} \right|\] und daher wegen Lemma 2
\[ \left| a_{n + 1} - a_{n} \right| = \left| a_{n} - a_{n - 1} \right| \cdot \dfrac{\left| a_{n} + a_{n - 1} \right|}{2 \cdot \left| a_{n + 1}^{2} + a_{n + 1} \cdot a_{n} + a_{n}^{2} \right|} \] für alle \( n = 1, 2, 3, \ldots\), da der Bruch auf der rechten Seite wohldefiniert ist. Mit Lemma 2 kann die rechte Seite durch
\[\left| a_{ n + 1} - a_{n} \right| = \left| a_{n} - a_{n - 1} \right| \cdot \dfrac{\left| a_{n} + a_{n - 1} \right|}{2 \cdot \left| a_{n + 1}^{2} + a_{n + 1} \cdot a_{n} + a_{n}^{2} \right|} \leq \left| a_{n} - a_{n - 1} \right| \cdot \dfrac{\left| 2 \right|}{2 \cdot \left| 3 \cdot \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)^{2}\right|}\] nach oben abgeschätzt werden. Somit gilt
\[\left| a_{n + 1} - a_{n} \right| \leq \dfrac{\left( \sqrt[3]{2}\right)^{2}}{3} \cdot \left| a_{n} - a_{n - 1} \right|\] für alle \(n = 1, 2, 3, \ldots\) und wähle folglich \(q = \dfrac{\left( \sqrt[3]{2}\right)^{2}}{3} < 0,53\).

Kommentar:

Ich hoffe, dass sich keine dummen Fehler eingeschlichen haben.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1549 begonnen.]



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1553, eingetragen 2019-08-04


Gibt es eigentlich eine Musterlösung zu 321233A?



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1554, eingetragen 2019-08-04


@svrc: Schau in Lemma 2 noch einmal auf die Relationszeichen. M.E. muss da mal <math>\leq</math> statt <math>=</math> stehen. Sonst sieht es gut aus.

@MontyPythagoras: Bis auf die zuletzt gelösten drei Aufgaben ist Steffens Datei der noch ungelösten Aufgaben aktuell. (Sie enthält gerade noch 52 Aufgaben.)

@Nuramon: Frag mal Manuela aka mawi.

Cyrix



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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1555, eingetragen 2019-08-04


Besten Dank, cyrix. Das Relationszeichen ist geändert.



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1556, eingetragen 2019-08-04



Lösung - editiert am 05.08.2019
Für die arithmetische Folge gilt: \(a_{i+1}=a_i+d\).
Für die geometrische Folge gilt: \(b_{i+1}=b_i\cdot q\) mit \(q=\frac{b_{i+1}}{b_i}.\)
Mit \((3),(4),(5)\) lassen sich sich zunächst die Gleichungen für \(d\): \((i)\) und für \(q\): \((ii)\) ermitteln.  
\[\frac{b_2}{b_1}=q=\frac{\frac{a_2}{2}}{\frac{a_1}{-3}}=-\frac{3}{2}\frac{a_2}{a_1}\;\;\;\; \Large{;}\normalsize\;\;\;\;\frac{b_3}{b_2}=q=\frac{a_3}{\frac{a_2}{2}}=2\frac{a_3}{a_2}\] \[\frac{b_3}{b_2}=q=\frac{a_3}{\frac{a_2}{2}}=2\frac{a_3}{a_2}\;\;\;\; \Large{;}\normalsize\;\;\;\;-\frac{3}{2}\frac{a_2}{a_1}=\frac{2a_3}{a_2}\] \[-\frac{3}{2}\frac{a_2}{(a_2-d)}=2\frac{(a_2+d)}{a_2}\;\;\;\; \Large{;}\normalsize\;\;\;\;-\frac{3}{2}a_2^2=2(a_2+d)(a_2-d)\] \[-\frac{3}{2}a_2^2=2a_2^2-2d^2\;\;\;\; \Large{;}\normalsize\;\;\;\;
d=\pm\sqrt{7}\cdot\frac{a_2}{2}\;\;\;\;(i)\] \[q=2\frac{a_3}{a_2}=2\frac{a_2+d}{a_2}=a_2 \frac{(2+\sqrt{7})}{a_2}=\pm\sqrt{7}+2\;\;\;\;(ii)\] Aus der Summe der Glieder \(\sum_{i=1}^3 a_i\) berechnet sich \(b_2\) und daraus mit \((4)\) auch sofort \(a_2\).
\[a_1+a_2+a_3=a_2-d+a_2+a_2+d=3a_2=-\frac{3b_2}{2+\sqrt{7}}+2b_2+2b_2+\sqrt{7}b_2\] \[3a_2(2+\sqrt{7})=3b_2+2b_2(2+\sqrt{7})+b_2\sqrt{7}(2+\sqrt{7})  \] \[6b_2(2+\sqrt{7})=3b_2+4b_2+2b_2\sqrt{7}+2\sqrt{7}b_2+7b_2\] \[b_2=\sqrt{7}\;\;\;\; \Large{;}\normalsize\;\;\;\;a_2=2\sqrt{7}\] Für \(d=\pm7\) und \(q=\pm\sqrt{7}+2\), existieren jeweils zwei Lösungen woraus sich die nachstehenden Werte ergeben.
<math>
\begin{tabular}{||d|*{11}{|d|}}
\hline
d & a_1 & a_2 & a_3 & q & b_1 & b_2 & b_3 & a_1/b_1 & a_2/b_2 & a_3/b_3 \\
\hline
7 & 2\sqrt{7}-7 & 2\sqrt{7} & 2\sqrt{7}+7 & 2+\sqrt{7} & \sqrt{7}/(2+\sqrt{7}) & \sqrt{7} & \sqrt{7}\cdot(2+\sqrt{7}) & -3 & 2 & 1 \\
\hline
7 & -1,71 & 5,28 & 12,29 & 4,64 & 0,57 & 2,64 & 12,29 & -3 & 2 & 1 \\
\hline
-7 & 2\sqrt{7}+7 & 2\sqrt{7} & 2\sqrt{7}-7 & 2-\sqrt{7} & \sqrt{7}/(2-\sqrt{7})  & \sqrt{7} & \sqrt{7}\cdot(2-\sqrt{7})  & -3 & 2 & 1 \\
\hline
-7 & 12,29 &5,28 & -1,71 & -0,64 & -4,097  & 2,64 & -1,71  & -3 & 2 & 1 \\
\hline
\end{tabular}
</math>
LG Olga



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cyrix
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@Olga: Beim Wurzelziehen verlierst du die negative Lösung bei <math>d=\pm \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot a_2</math>.

edit: Du hältst den Fall mit der negativen Lösung auch weiterhin nicht bis zum Ende durch. Mache doch eine Fallunterscheidung in d=+... und d=-...

Cyrix



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1558, eingetragen 2019-08-04


...ok, danke. Bessere ich nach.

Edit:
Ja, ich überarbeite die Aufgabe noch einmal komplett und korrigiere alles und füge noch Texte hinzu. Bin gerade erst zurück und hatte heute noch keine Zeit dafür. 04.08.2019 22:32

LG Olga



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1559, eingetragen 2019-08-04



Aufgabe 171236B: Ist <math>z</math> eine reelle Zahl, so bezeichnet <math>[z]</math> die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich <math>z</math> ist. Beispielsweise gilt <math>[\frac{7}{2}] = 3</math>; <math>[5] = 5</math>; <math>[-\pi] =-4</math>.
Man beweise: Für jede reelle Zahl <math>x</math> und jede positive ganze Zahl <math>n</math> gilt
<math>[x] +\left[x+\frac{1}{n}\right]+\dots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right]= [nx].</math>

Es ist <math>0\leq x-[x]<1</math>. Also existiert eine eindeutig bestimmte, positive ganze Zahl <math>k\leq n</math> mit <math>\frac{k-1}{n}\leq x-[x]<\frac{k}{n}</math> bzw. <math>[x]+\frac{k-1}{n}\leq x < [x]+\frac{k}{n}</math> sowie für alle ganzen Zahlen <math>i</math>:
<math>[x]+\frac{k-1+i}{n}\leq x+\frac{i}{n} < [x]+\frac{k+i}{n}.</math>

Da <math>[x]</math> eine ganze Zahl ist, ist für <math>0\leq i\leq n-k</math> wegen
<math>[x]\leq [x]+\frac{k-1+i}{n}\leq x+\frac{i}{n} < [x]+\frac{k+i}{n} \leq [x]+\frac{k+n-k}{n}=[x]+1</math>
also <math>\left[x+\frac{i}{n}\right]=[x]</math>.

Analog ist für <math>n-k+1=n-(k-1)\leq i \leq n-1</math> wegen
<math>[x]+1=[x]+\frac{k-1+n-k+1}{n}\leq [x]+\frac{k-1+i}{n}\leq x+\frac{i}{n} < [x]+\frac{k+i}{n} \leq [x]+\frac{k+n-1}{n}<[x]+\frac{n+n}{n}=[x]+2</math>
diesmal <math>\left[x+\frac{i}{n}\right]=[x]+1</math>.

Also ist
<math>[x] +\left[x+\frac{1}{n}\right]+\dots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right]= n \cdot [x] + k-1,</math>
da genau die <math>k-1</math> Summanden für <math>i=n-1</math> bis <math>i=n-(k-1)</math> den Wert <math>[x]+1</math> und die übrigen <math>n-k+1</math> Summanden den Wert <math>[x]</math> besitzen.

Weiterhin ist <math>n[x]+(k-1)\leq nx < n[x]+k</math>, also <math>[nx]=n[x]+k-1</math>, woraus direkt das Gewünschte folgt, <math>\Box</math>.

Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1557 begonnen.]



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