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| Autor |
 Alte Olympiadeaufgaben |
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Ex_Senior
 |  Themenstart: 2019-04-22
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Hallo,
ich bin seit einiger Zeit an der Zusammenstellung von Lösungen zu alten Mathematik-Olympiadeaufgaben. Durch Manuela Kugel ( http://www.olympiade-mathematik.de/ ) wurden in extrem fleißiger Arbeit alle Aufgaben zusammengetragen. Bei einigen fehlen noch die Lösungen.
Ich habe nun begonnen, die eine oder andere Lösung zu ermitteln und in LaTex zu setzen. Das Bereitstellen aller Lösungen übersteigt aber mein Zeitvolumen und vor alle meine mathematischen Fähigkeiten.
Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.
Aufgaben ohne Lösungen findet man in den Texten http://www.olympiade-mathematik.de/ oder bei mir https://mathematikalpha.de/mathematikaufgaben . Es kann ja sein, dass Klassenstufe 9 zu einfach ist.
neuer Link: Download der ungelösten Aufgaben
Ich würde diese Lösungen in eine Datei übernehmen (Latex würde mir die Arbeit erleichtern) und wie gesagt, den "Löser" lobend erwähnen.
Sobald eine Klassenstufe eines Jahrgangs komplett ist, füge ich die PDF-Datei in die Datei der Aufgaben und stelle sie online.
Sollte jemand von euch Interesse haben, würde es mich freuen.
LG und schöne Rest-Ostern
Steffen
Alle eure Lösungen, inkl. der Aufgaben, findet ihr unter:
https://mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Sollte eine alte Datei angezeigt werden, bitte mit der F5-Taste im Browser die Datei erneut laden.
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8197
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-22
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Hallo Steffen,
\quoteon(2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart)
Aufgabe 060934:
Zeigen Sie, dass es unter allen Zahlen der Form 2p + 1, wobei p eine Primzahl ist, genau eine Kubikzahl gibt!
\quoteoff
\showon Das ist einfach.
Sei \(2p+1=a^3\). Dann ist \(a\) ungerade und es gilt \(p = \frac{a^3-1}2 = \frac{a-1}2(a^2+a+1)\). Da \(p\) prim, muss \(\frac{a-1}2=1\) oder \(a^2+a+1=1\) gelten. Da \(a^2+a+1>1\) folgt \(a=3\) und somit \(p=13\). In der Tat ist \(13\) prim und es gilt \(2\cdot13+1=3^3\).
\showoff
Grüße
StrgAltEntf
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pzktupel
Aktiv 
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2401
Wohnort: Thüringen
 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-22
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@StrgAltEntf
Das ist extrem elegant, gefällt mir ! https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/icon14.gif
@Steffen
Aufgabe 060931:
Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!
Als Laie würde ich sagen.
Alle Primzahlen sind der Form 6n-1 oder 6n+1 (außer 2 und 3), diese haben im Fall der Zwillinge einen Abstand von 2.
Da p1
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-22
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo stpolster,
ich habe mir mal Aufgabe 060931 angeschaut:
\quoteon
Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!
\quoteoff
Lösung:
\hideon
Für die Uni: (Das wäre dann so eine Einstiegs-Klausuraufgabe vom Typ "Beherrschen Sie Moduloarithmetik?")
Es ist zu zeigen, dass $p_1+p_2=0\mod12$. Dafür zeigen wir getrennt, dass $p_1+p_2=0\mod3$ und $p_1+p_2=0\mod 4$. (Das reicht wegen der Teilerfremdheit von 3 und 4).
$0\mod3$:
Es gilt $p_1,p_2>3$, also $p_1,p_2\neq0\mod3$. Das führt $p_2=1\mod3$ zum Widerspruch, denn dann wäre $p_1=p_2+2=1+2=3=0\mod 3$. Es muss also $p_2=-1\mod3$ sein. Dann ist $p_1=-1+2=1\mod3$, und damit $p_1+p_2=-1+1=0\mod3$.
$0\mod4$:
Da $p_1,p_2>2$ gilt $p_1=p_2=1\mod2$, und damit $p_1,p_2=\pm1\mod4$ (beachte, dass nicht unbedingt $p_1=p_2\mod4$). Falls $p_2=1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=3=-1\mod4$, und damit $p_1+p_2=0\mod4$. Ist hingegen $p_2=-1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=1\mod4$, und wieder $p_1+p_2=0\mod4$.
Für die Schule:
Wir zeigen, dass $p_1+p_2$ sowohl durch 4, als auch durch 3 teilbar ist. Da 4 und 3 teilerfremd sind, muss dann nämlich $p_1+p_2$ durch $4\cdot3=12$ teilbar sein.
Teilbarkeit durch 3:
Da beide Primzahlen größer als drei sind, sind sie nicht durch 3 teilbar. Damit ist $p_2$ entweder von der Form $p_2=3k+1$ oder $p_2=3k+2$ mit einer natürlichen Zahl $k$. Da $p_1-p_2=2$ ist $p_1=p_2+2$. Also ist $p_1$ von der Form $p_1=p_2+2=3k+1+2=3(k+1)$ oder $p_1=p2_+2=3k+2+2=3(k+1)+1$.
Der erste Fall kann nicht sein, denn dann wäre $p_1$ durch 3 teilbar, und somit keine Primzahl. Im zweiten Fall ist aber $p_1+p_2$ von der Form $p_1+p_2=3(k+1)+1+3k+2=2\cdot3(k+1)$, ist also durch 3 teilbar.
Teilbarkeit durch 4:
Da beide Primzahlen größer als 3 sind, sind sie nicht durch 2 teilbar. Damit ist $p_2$ von der Form $p_2=2k+1$. Dann ist $p_1=p_2+2=2k+3$. Dann ist $p_1+p_2=2k+1+2k+3=4k+4=4(k+1)$, also durch 4 teilbar.
Damit ist $p_1+p_2$ durch 3 und durch 4 teilbar, und damit auch durch $12$.
\hideoff
Viele Grüße,
Vercassivelaunos
Nachtrag: Wenn man direkt verwendet, dass alle PZ außer 2 und 3 von der Form $6k\pm1$ sind, dann ist pzktupels Beweis natürlich um längen eleganter. Ich schätze aber mal, dass man das in der Olympiade erst zeigen müsste.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2401
Wohnort: Thüringen
| Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-22
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Danke Vercassivelaunos, ich habe es "gezeigt" in der Ergänzung.
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Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 890
Wohnort: Chemnitz
 | Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-22
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Ich hatte in meiner Olympiadensucht vor einigen Jahren unter anderem eine riesige Menge alter Aufgaben der Klassenstufen 10 und 11-12 (Landesrunde und nationale Runde) gelöst, meistens Zahlentheorie, Kombinatorik und Funktionalgleichungen. Am Anfang hatte ich ein paar Lösungen zur Kontrolle auch ins Matheboard und auf den Matheplaneten geschrieben.
Davon könnte ich ja dann mal die Links raussuchen und auch meine Notizen zu den anderen Aufgaben rauskramen. Ich hatte aber die Jahrgänge nicht flächendeckend bearbeitet, sondern Aufgaben nach Interesse ausgewählt.
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philippw
Senior 
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1198
Wohnort: Hoyerswerda
 | Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-22
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\quoteon(2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart)
Aufgabe 060932:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
Sind bei einem (nicht notwendigerweise regelmäßigen) Tetraeder ABCD die Umfänge aller seiner vier Seitenflächen untereinander gleich, dann sind diese Flächen zueinander kongruent.
\quoteoff
\showon 060932
Der Umfang sei u, die Seitenlängen seinen a,b,c,d,e,f, sodass u=a+b+c=a+e+f=b+d+f=c+d+e. Addiere die ersten beiden Umfänge und ziehe die anderen beiden Umfänge ab, und wir erhalten: 0=u+u-u-u=a+b+c+a+e+f-b-d-f-c-d-e=2a-2d, also a=d. Analog erhält man b=e und c=f. Also haben alle vier Dreiecke Seiten mit Längen a, b und c. Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen sind bekanntlich kongruent.
\showoff
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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\quoteon Aufgabe 060933:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
In keinem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse kleiner als das \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)-fache der Summe der Kathetenlängen.
\quoteoff
\hideon Nach Normierung der Hypotenuse auf 1 ist die Ungleichung $1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})$ zu zeigen, wobei $x,y$ die Kathetenlängen bezeichnet ($x^2+y^2 = 1$). Aus $0\leq x \leq 1$ folgt $\sqrt{2}-x>0$ und $1-x^2\geq 0$. Somit gilt die folgende Äquivalenz.
$1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})\iff\\ (\sqrt{2}-x)^2 \geq 1-x^2 \iff\\ 0\geq-1 +2\sqrt{2}x -2x^2 = -2(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2\iff\\ 0\leq(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.
Die letzte Zeile ist für alle $x\in\IR$ wahr. q.e.d.
\hideoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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\quoteon Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.
\quoteoff
Mehr Aufgaben!!! :-) :-) :-) Bei diesen Aufgabentypen wirst Du hier - denke ich - reichlich fleißige Helfer finden.
zu Aufgabe 060932: Ich vermute, dass die Behauptung immer noch gilt, wenn nur gefordert wird, dass die 4 Umkreisradien gleich sind. Ein Beweis oder Gegenbeispiel würde mich interessieren.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-22
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51263_10_55555555.png
\showon Aufgabe 020915
$
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$"
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};
% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);
\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A'}] (As) at (As-1);
\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B'}] (Bs) at (Bs-1);
% Dreieck DAA'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$", red, double,
] {angle =D--A--B}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$"
] {angle =As--A--D};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$", red, double,
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$", blue,
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel
% Dreieck DBB'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$", red, double,
] {angle =A--B--D}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$",
] {angle =D--B--Bs};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$", red, double,
] {angle =B--C--Yc}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$", blue,
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel
% Seitenlängen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};
\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];
%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\node[below of=D, xshift=-10mm,
anchor=north west, align=left,
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunächst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A'$ und $B'$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA'$ und $DBB'$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA'$ die Länge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB'$ Schenkel der Länge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A',B'$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthält.
};
\end{tikzpicture}
$
\showon LaTeX
\sourceon latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$"
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};
% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);
\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A'}] (As) at (As-1);
\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B'}] (Bs) at (Bs-1);
% Dreieck DAA'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$", red, double,
] {angle =D--A--B}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$"
] {angle =As--A--D};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$", red, double,
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$", blue,
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel
% Dreieck DBB'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$", red, double,
] {angle =A--B--D}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$",
] {angle =D--B--Bs};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$", red, double,
] {angle =B--C--Yc}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$", blue,
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel
% Seitenlängen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};
\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];
%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\node[below of=D, xshift=-10mm,
anchor=north west, align=left,
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunächst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A'$ und $B'$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA'$ und $DBB'$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA'$ die Länge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB'$ Schenkel der Länge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A',B'$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthält.
};
\end{tikzpicture}
\end{document}
\sourceoff
\showoff
\showoff
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Ex_Senior
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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Vielen Dank für die vielen Lösungen. Auf euch ist eben Verlass.
Ich werde alles so schnell wie möglich aufnehmen.
@Kornkreis: Danke für das Angebot. Jede Lösung ist herzlich willkommen.
@TomTom134: Mehr Aufgaben? :-) Ich habe noch eine große Menge.
Aufgabe 060935:
Auf dem Kreis k bewegen sich der Punkt A mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v1 und der Punkt B mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v2, wobei \(v_1 \neq v_2\) ist.
Bewegen sich beide Punkte im gleichen Umlaufsinn (etwa im Uhrzeigersinn), so überholt der Punkt A den Punkt B jeweils nach 56 min. Bewegen sich beide Punkte in verschiedenem Umlaufsinn, so begegnen sie
einander jeweils nach 8 min. Dabei verringert bzw. vergrößert sich ihr auf der Kreislinie gemessener Abstand voneinander in je 24 s um 14 m.
a) Wie lang ist der Kreisumfang?
b) Wie groß sind die Geschwindigkeiten v1 und v2 (in m/min)?
Aufgabe 060936:
In einer Ebene sind ein Kreis k, eine Gerade g sowie ein Punkt A auf g gegeben.
Man konstruiere einen Kreis k', der erstens k berührt und zweitens g in A berührt. Man untersuche, wie viele solcher Kreise k' es bei den verschiedenen Lagemöglichkeiten von k, g und A geben kann.
Aufgabe 041034:
Von sechs Schülern einer Schule, die an der zweiten Stufe der Mathematikolympiade teilnahmen, erreichten zwei die volle Punktzahl. Die Schüler seien zur Abkürzung mit A, B, C, D, E und F bezeichnet.
Auf die Frage, welche beiden Schüler die volle Punktzahl erreicht haben, wurden die folgenden fünf verschiedenen Antworten gegeben:
(1) A und C,
(2) B und F,
(3) F und A,
(4) B und E,
(5) D und A.
Nun wissen wir, daß in genau einer Antwort beide Angaben falsch sind, während in den übrigen vier Antworten jeweils genau eine Angabe zutrifft.
Welche beiden Schüler erreichten die volle Punktzahl ?
Aufgabe 041031:
Ein Fußgänger geht (mit konstanter Geschwindigkeit) um 9.00 Uhr von A nach dem 12, 75 km entfernten B.
Auf der gleichen Straße fährt um 9.26 Uhr ein Straßenbahnzug von A nach B ab. Er überholt den Fußgänger um 9.36 Uhr und fährt nach 4 Minuten Aufenthalt in B wieder zurück. Dabei begegnet er dem Fußgänger um 10.30 Uhr.
a) Wieviel Kilometer legen der Fußgänger und der Straßenbahnzug durchschnittlich in der Stunde zurück?
b) In welcher Entfernung von A überholt der Straßenbahnzug den Fußgänger, und wo begegnet er ihm bei der Rückfahrt?
Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?
Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn \(a^2+b^2\) durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.
Aufgabe 041036:
Ein regelmäßiges Tetraeder habe die Höhe h. Ein Punkt im Innern des Tetraeders habe von den Seitenflächen die Abstände a, b, c und d.
Man beweise: a + b + c + d = h!
Nochmals vielen Dank.
Steffen
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Caban
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-22
|
Hallo
Lösungsvorschlag für 060935 a)
\showon
u=14m/(2/5 min)*56 min=1960 m
b) v_1-v_2=7/12
v_1+v_2=1960/(8*60)=49/12
v_1=140m/min
v_2=225m/min
\showoff
gruß Caban
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pzktupel
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| Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-22
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Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?
Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....
Mein Vorschlag dazu:
Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.
111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben
um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.
Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.
Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9
Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1
_________________________________
Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn a2+b2 durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.
Ja, ist richtig.
Wir betrachten die Restklasse bei a MOD 3, diese sind 0,1,2
Betrachtet wird a=0 MOD 3 und b=0 MOD 3
I (a+0)^2=a² -> MOD 3 REST 0
II (a+1)=a²+2a+1-> MOD 3 REST 1,da a(a+2) Teiler 3 hat
III(a+2)=a²+4a+4-> MOD 3 REST 1,da a(a+4) Teiler 3 hat
analog für b
I (b+0)^2=b² -> MOD 3 REST 0
II (b+1)=b²+2b+1-> MOD 3 REST 1,da b(b+2) Teiler 3 hat
III(b+2)=b²+4b+4-> MOD 3 REST 1,da b(b+4) Teiler 3 hat
Man erkennt,nur für a MOD 3=0 und b MOD 3=0 ist die Addition von a²+b² durch 3 teilbar.
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Ex_Senior
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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\quoteon @TomTom134: Mehr Aufgaben? :-) Ich habe noch eine große Menge.
\quoteoff
Das habe ich befürchtet. Es ist auf jeden Fall eine angenehme Abwechslung zu Dreiecken.
Da ich so vorlaut war:
Aufgabe 041032:
\hideon Die Zahl n hat die Quersumme 300. Da 300 durch 3 aber nicht durch 9 teilbar ist, gilt dieses auch für n. Daher kann n keine Quadratzahl sein.
\hideoff
Aufgabe 041035:
\hideon Wenn $a$ nicht durch 3 teilbar ist, hat a die Gestalt $3n+1$ oder $3n+2$. Durch quadrieren der Gleichungen sehen wir, dass $a^2$ dann in beiden Fällen die Gestalt $3m+1$ hat ($m=9n^2+6n$ oder $m=9n^2+12n$). Wenn $a$ und $b$ beide nicht durch 3 teilbar sind, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+2$. Wenn $a$ durch 3 teilbar und $b$ nicht durch 3 teilbar ist, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+1$. In beiden Fällen ist $a^2+b^2$ nicht durch 3 teilbar. Also folgt aus "$a^2+b^2$ durch 3 teilbar" bereits, dass $a$ und $b$ durch 3 teilbar sind.
\hideoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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Aufgabe 041036:
\hideon Das Volumen des Tretraeders ist gegeben durch $V=\frac{1}{3}G\cdot h$, wobei $G$ die Grundfläche bezeichnet. Durch einen Punkt im inneren zerfällt der Tetraeder in 4 Teiltetraeder mit Grundfläche $G$ und den Höhen $a,b,c,d$. Da der ganze Tetraeder regelmäßig ist, haben alle 4 Teilteraeder ebenfalls die Grundfläche $G$. Es gilt die Gleichung $V=V_a+V_b+V_c+V_d$, wobei $V_*$ das Volumen der Teiltetraeder mit der entsprechenden Höhe ist. Nach anwenden der Volumenformel erhalten wir
\[\frac{1}{3}G\cdot h=\frac{1}{3}G\cdot a+\frac{1}{3}G\cdot b+\frac{1}{3}G\cdot c+\frac{1}{3}G\cdot d\]
und nach kürzen $h=a+b+c+d$.
\hideoff
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Ex_Senior
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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Hallo,
Danke für die weiteren Lösungen. Die Hilfe ist großartig.
Ich habe jetzt die Lösungen in einer Datei zusammengefasst.
siehe https://mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Ich werde auch die nachfolgenden Lösungen ergänzen und die Datei ständig aktualisieren.
Im Moment steht als Name des Lösenden euer Matheplanet-Name. Selbstverständlich ändere ich dies gern auf euren richtigen Namen ab. Schreibt einfach eine PN.
Da ich euch nicht zu viel "einspannen" möchte, werde ich ab und an einmal einige neue Aufgaben nennen. Vielleicht nehme ich auch Aufgaben der 4.Stufe, also etwas anspruchsvollere.
Vielen Dank nochmals.
Steffen
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pzktupel
Aktiv
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| Beitrag No.16, eingetragen 2019-04-22
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@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler. Bei der einen Wurzel müsste eine 9 statt 3 im Nenner stehen...oder das Wurzelzeichen kleiner darstellen.
Sehr lobenswert, Deine Bemühungen !
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Ex_Senior
| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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\quoteon(2019-04-22 16:02 - pzktupel in Beitrag No. 16)
@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler.
\quoteoff
Danke für den Hinweis. Ist korrigiert.
LG Steffen
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2547
| Beitrag No.18, eingetragen 2019-04-22
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Huhu Steffen,
ich hoffe du hattest schöne Ostertage! Zu Aufgabe 041034:
\hideon
Ein Anfang wäre es wohl Kandidat A zu betrachten, da dieser in 3 Aussagen vorkommt. Wenn A nun nicht volle Punktzahl hat, da muss von diesen 3 Aussagen eine mit beiden falschen Aussagen dabei sein. Wenn nun A und C beide falsch sind, dann müssten also F und D volle Punktzahl erhalten haben. Dann wären aber B und E beide leer ausgegangen, und somit hätten wir bei Aussage (4) wieder 2 verkehrte. Das funktioniert also nicht. Die gleiche Argumentation klappt auch für den Fall, dass A und F beide falsch sind und dass A und D beide falsch sind. A muss also volle Punktzahl erhalten haben und C, F und D nicht. Es fehlt dann also noch die Aussage, in der beide Angaben nicht stimmen. Nach Aussage (2) haben B und F volle Punktzahl erhalten und nach Aussage (4) B und E. B kann somit nicht volle Punktzahl erreicht haben, da in diesem Fall in beiden Aussagen eine Angabe richtig wäre. Somit hat B nicht volle Punktzahl erreicht. Dann hat E volle Punktzahl erreicht. Somit haben A und E volle Punktzahl erreicht.
\hideoff
Ich hoffe ich habe nichts übersehen. Ansonsten schiebe ich das einfach auf den Feiertag und das schöne Wetter!
Herzliche Grüße,
Küstenkind
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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
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| Beitrag No.19, eingetragen 2019-04-22
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\quoteon(2019-04-22 14:36 - pzktupel in Beitrag No. 12)
Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?
Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....
Mein Vorschlag dazu:
Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.
111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben
um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.
Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.
Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9
Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1
\quoteoff
Diese Lösung ist unvollständig. Es müsste auch noch der Fall betrachtet werden, in dem die Anzahl der Nullen ungerade ist. Ich sehe auf Anhieb keine Möglichkeit diese Lücke zu reparieren, die nicht auf Betrachtung des Rests modulo 9 hinausläuft (siehe TomTom314s Lösung). Vielleicht hat jemand eine andere Idee.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
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pzktupel
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| Beitrag No.20, eingetragen 2019-04-22
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Ok, Ergänzung.
Wenn die Anzahl der Nullen ungerade ist, dann folgt 100^n*10, n>0, n Element N
Die Wurzel aus 100^n*10 ist 10^n*Wurzel(10). Wurzel(10) ist kein natürlicher Wert, somit kommen nur gerade Anzahlen als Nullen in Betracht.
Nun noch die eine Null der (10^300-1)/9 zuweisen.
Dann ergibt sich 111...1110 , also (10^301-10)/9,
es müsste (10^301-10)=10*(10^300-1) eine Quadratzahl sein, was es nicht ist.
Eine Nicht-QZ mit 10 multipliziert ergibt nie eine QZ, außer 10 selbst.
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Ex_Senior
| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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Macht es euch doch nicht so schwer:
Die Zahl hat Quersumme 300, ist also durch 3, aber nicht 9 teilbar, und also keine Quadratzahl...
Cyrix
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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
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| Beitrag No.22, eingetragen 2019-04-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
\quoteon(2019-04-22 17:12 - pzktupel in Beitrag No. 20)
Ok, Ergänzung.
Wenn die Anzahl der Nullen ungerade ist, dann folgt 100^n*10, n>0, n Element N
Die Wurzel aus 100^n*10 ist 10^n*Wurzel(10). Wurzel(10) ist kein natürlicher Wert, somit kommen nur gerade Anzahlen als Nullen in Betracht.
\quoteoff
Das reicht auch nicht, du müsstest zeigen, dass $11\ldots 10$ (300 Einsen) keine Quadratzahl ist.
Aber ich sehe jetzt, wie man das retten kann: $11\ldots 10$ ist durch 10 aber nicht durch 100 teilbar.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.20 begonnen.]\(\endgroup\)
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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
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| Beitrag No.23, eingetragen 2019-04-22
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\quoteon(2019-04-22 17:20 - cyrix in Beitrag No. 21)
Macht es euch doch nicht so schwer:
Die Zahl hat Quersumme 300, ist also durch 3, aber nicht 9 teilbar, und also keine Quadratzahl...
Cyrix
\quoteoff
Dessen bin ich mir bewusst. Aber eine unvollständige Lösung so stehen zu lassen (insbesondere da stpolster sie schon übernommen hatte) wäre ja wohl schlimmer als diese zu reparieren.
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pzktupel
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| Beitrag No.24, eingetragen 2019-04-22
|
Das mit der Quersumme verstehe ich nicht !
Was ist mit dem Fall 111111111 ?? Ist auch keine QZ.
196 ist QZ mit Quersumme 16. 16 MOD 9<>0
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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Überlege kurz, wie man die Quersumme einer Zahl berechnet, was diese über deren Teilbarkeit durch 3 bzw. 9 aussagt, und warum eine Zahl, die durch 3 aber nicht 9 teilbar ist, keine Quadratzahl sein kann.
btw: TomTom314 hatte diese Lösung schon oben gepostet.
Cyrix
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pzktupel
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Dabei seit: 02.09.2017
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Wohnort: Thüringen
| Beitrag No.26, eingetragen 2019-04-22
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\quoteon(2019-04-22 17:29 - cyrix in Beitrag No. 25)
Überlege kurz, wie man die Quersumme einer Zahl berechnet, was diese über deren Teilbarkeit durch 3 bzw. 9 aussagt, und warum eine Zahl, die durch 3 aber nicht 9 teilbar ist, keine Quadratzahl sein kann.
btw: TomTom314 hatte diese Lösung schon oben gepostet.
Cyrix
\quoteoff
Okay verstehe.
Eine Zahl n MOD 3<>0 ist deren Quadrat nie durch 3 teilbar.
Eine Zahl n MOD 3=0 ist deren Quadrat durch 9 teilbar.
Wenn 3|Quersumme ( Regel für Teilbarkeit 3) bei einer Zahl vorliegt ist dessen Quadrat durch 9 und 3 teilbar.
Da QS=300, müsste dessen QS der Wurzel auch durch 3 teilbar sein...was im Quadrat dieser wieder die Teilbarkeit von 9 nach sich zieht.
Das liegt aber nicht vor wegen 300 MOD 9<>0
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Ex_Senior
| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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\quoteon(2019-04-22 17:21 - Nuramon in Beitrag No. 22)
Aber ich sehe jetzt, wie man das retten kann: $11\ldots 10$ ist durch 10 aber nicht durch 100 teilbar.
\quoteoff
Ich ergänze die Lösung durch:
Im Fall, dass die Anzahl der Nullen nach den 300 Einsen ungerade ist, kann ebenso keine Quadratzahl entstehen.
Liegt 11...10 vor, so ist die Zahl durch 10 aber nicht durch 100 teilbar und kein Quadrat. Liegen mehr als eine Null, aber ungeradzahlig viele vor, so hat die Zahl die Form
\[
11...10\cdot 10^{2k} ; k \in Z
\]
und deren Quadratwurzel die Gestalt $\sqrt{11...10} \cdot 10^k$ und ist damit keine Quadratzahl.
Dann müsste es vollständig sein.
LG Steffen
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Ex_Senior
| Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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Ich habe noch ein paar Aufgaben der Klassenstufe 12.
Aufgabe 041221:
Von einem Würfel mit der Kantenlänge a werden alle Ecken durch ebene Schnitte so abgetrennt, dass aus allen Seitenflächen des Würfels kongruente regelmäßige Vielecke entstehen.
Es ist der Rauminhalt des Restkörpers zu berechnen. Unterscheiden Sie die folgenden Fälle!
a) Es entstehen regelmäßige Vierecke.
b) Es entstehen regelmäßige Achtecke.
b) Gibt es noch andere Möglichkeiten?
Aufgabe 041225:
In einem spitzwinkligen Dreieck ABC ist der Punkt P zu konstruieren, von dem aus alle Seiten des Dreiecks unter gleich großen Winkeln erscheinen (d.h. \(\angle BPA = \angle CPB = \angle CPA\) ).
Aufgabe 041226:
Bestimmen Sie in der xy-Ebene die Menge aller Punkte, deren Koordinaten den beiden Ungleichungen
\(x^2 + y^2 < r^2\) und \(| y − x | > \frac{r}{2}\)
genügen (r > 0)!
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2547
| Beitrag No.29, eingetragen 2019-04-22
|
\quoteon(2019-04-22 18:35 - stpolster in Beitrag No. 28)
Aufgabe 041225:
In einem spitzwinkligen Dreieck [...]
\quoteoff
Kotz...
\hideon
https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Punkt
\hideoff
Küstenkind
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.30, eingetragen 2019-04-22
|
\quoteon(2019-04-22 18:35 - stpolster in Beitrag No. 28)
Aufgabe 041225:
In einem spitzwinkligen Dreieck ABC ist der Punkt P zu konstruieren, von dem aus alle Seiten des Dreiecks unter gleich großen Winkeln erscheinen (d.h. \(\angle BPA = \angle CPB = \angle CPA\) ).
\quoteoff
Es handelt sich um den 1. Fermat-Punkt.
Diesen erhält man, indem man über allen Dreiecksseiten gleichseitige Dreiecke konstruiert; und die neu enstandenen Ecken $A_1, B_1, C_1$ mit den gegenüberliegenden Ecken $A, B, C$ des Ausgangsdreiecks verbindet.
Zum Beweis, dass es sich um das isogonische Zentrum handelt betrachten wir ein Teildreieck $ACB_1$, dessen Umkreis mit Zentrum $U_1$ und das Poly-Drachenviereck $AF_1CB_1.$
Dabei nutzen wir, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel (Kreiswinkelsatz).
(Das kann man alles noch etwas genauer ausführen...)
Die Überlegung für die anderen Teildreiecke verläuft analog.
$
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Kreis/.style={overlay,
draw=none},
]
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
% Rahmen
\clip[] ([shift={(-\b-1,1)}]C) rectangle ([shift={(\c,-\c)}]B);
% Fermat-Punkt F1
\draw[name path=kreisAb, Kreis] (A) circle[radius=\b];
\draw[name path=kreisCb, Kreis] (C) circle[radius=\b];
\path[name intersections={of=kreisAb and kreisCb, name=B1}];
\coordinate[Punkt={left}{B_1}] (B1) at (B1-1);
\draw[] (B1) -- (B);
\draw[] (B1) -- (A) -- (C) --cycle;
\draw[name path=kreisBa, Kreis] (B) circle[radius=\a];
\draw[name path=kreisCa, Kreis] (C) circle[radius=\a];
\path[name intersections={of=kreisBa and kreisCa, name=A1}];
\coordinate[Punkt={above}{A_1}] (A1) at (A1-1);
\draw[name path=A1A] (A1) -- (A);
\draw[] (A1) -- (B) -- (C) --cycle;
\draw[name path=kreisAc, Kreis] (A) circle[radius=\c];
\draw[name path=kreisBc, Kreis] (B) circle[radius=\c];
\path[name intersections={of=kreisAc and kreisBc, name=C1}];
\coordinate[Punkt={below}{C_1}] (C1) at (C1-2);
\draw[name path=C1C] (C1) -- (C);
\draw[] (C1) -- (A) -- (B) --cycle;
\path[name intersections={of=A1A and C1C, name=F}];
\coordinate[Punkt={right=4pt}{F_1}] (F) at (F-1);
% Umkreis um ACB1
\path[name path=AC] (A) -- (C);
\path[name path=B1L] (B1) -- ($(A)!(B1)!(C)$);
\path[name intersections={of=B1L and AC, name=L}];
\coordinate[Punkt={below}{}] (L) at (L-1);
\pgfmathsetmacro{\k}{2/3} %
\path[draw=none] (B1) -- ($(B1)!\k!(L)$) coordinate[Punkt={above}{U_1}] (U);
\pgfmathsetmacro{\R}{sqrt(3)*\b/3} %
\draw[densely dashed] (U) circle[radius=\R];
\draw[densely dashed] (U) -- (C);
\draw[densely dashed] (U) -- (A);
%%% Punkte
\foreach \P in {F,U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=7mm, angle eccentricity=1.5,
red, %"$60^\circ$",
pic text={$60^\circ$}, pic text options={yshift=2mm},
] {angle =A--B1--C};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.8,
red, double, %"$2\cdot 60^\circ$",
pic text={$2\cdot 60^\circ$}, pic text options={xshift=3mm, yshift=2mm},
] {angle =A--U--C};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.8,
red, double, %"$2\cdot 60^\circ$",
pic text={$120^\circ$}, pic text options={xshift=3mm, yshift=2mm},
] {angle =C--F--A};
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,xshift=39mm}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
PosUnten,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm} & \\
b = \b \text{ cm} & (1) \\
c = \c \text{ cm} & (3) \\
\alpha = \Alpha^\circ & (4) \\
\beta = \Beta^\circ & (5) \\
\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
%% Punkte
\foreach \P in {F}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
\showon LaTeX
\sourceon latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Kreis/.style={overlay,
draw=none},
]
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
% Rahmen
\clip[] ([shift={(-\b-1,1)}]C) rectangle ([shift={(\c,-\c)}]B);
% Fermat-Punkt F1
\draw[name path=kreisAb, Kreis] (A) circle[radius=\b];
\draw[name path=kreisCb, Kreis] (C) circle[radius=\b];
\path[name intersections={of=kreisAb and kreisCb, name=B1}];
\coordinate[Punkt={left}{B_1}] (B1) at (B1-1);
\draw[] (B1) -- (B);
\draw[] (B1) -- (A) -- (C) --cycle;
\draw[name path=kreisBa, Kreis] (B) circle[radius=\a];
\draw[name path=kreisCa, Kreis] (C) circle[radius=\a];
\path[name intersections={of=kreisBa and kreisCa, name=A1}];
\coordinate[Punkt={above}{A_1}] (A1) at (A1-1);
\draw[name path=A1A] (A1) -- (A);
\draw[] (A1) -- (B) -- (C) --cycle;
\draw[name path=kreisAc, Kreis] (A) circle[radius=\c];
\draw[name path=kreisBc, Kreis] (B) circle[radius=\c];
\path[name intersections={of=kreisAc and kreisBc, name=C1}];
\coordinate[Punkt={below}{C_1}] (C1) at (C1-2);
\draw[name path=C1C] (C1) -- (C);
\draw[] (C1) -- (A) -- (B) --cycle;
\path[name intersections={of=A1A and C1C, name=F}];
\coordinate[Punkt={right=4pt}{F_1}] (F) at (F-1);
% Umkreis um ACB1
\path[name path=AC] (A) -- (C);
\path[name path=B1L] (B1) -- ($(A)!(B1)!(C)$);
\path[name intersections={of=B1L and AC, name=L}];
\coordinate[Punkt={below}{}] (L) at (L-1);
\pgfmathsetmacro{\k}{2/3} %
\path[draw=none] (B1) -- ($(B1)!\k!(L)$) coordinate[Punkt={above}{U_1}] (U);
\pgfmathsetmacro{\R}{sqrt(3)*\b/3} %
\draw[densely dashed] (U) circle[radius=\R];
\draw[densely dashed] (U) -- (C);
\draw[densely dashed] (U) -- (A);
%%% Punkte
\foreach \P in {F,U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=7mm, angle eccentricity=1.5,
red, %"$60^\circ$",
pic text={$60^\circ$}, pic text options={yshift=2mm},
] {angle =A--B1--C};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.8,
red, double, %"$2\cdot 60^\circ$",
pic text={$2\cdot 60^\circ$}, pic text options={xshift=3mm, yshift=2mm},
] {angle =A--U--C};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.8,
red, double, %"$2\cdot 60^\circ$",
pic text={$120^\circ$}, pic text options={xshift=3mm, yshift=2mm},
] {angle =C--F--A};
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,xshift=39mm}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
PosUnten,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm} & \\
b = \b \text{ cm} & (1) \\
c = \c \text{ cm} & (3) \\
\alpha = \Alpha^\circ & (4) \\
\beta = \Beta^\circ & (5) \\
\gamma = \Gamma^\circ & (2) \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
%% Punkte
\foreach \P in {F}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}
\sourceoff
\showoff
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Ex_Senior
| Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22
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Ich habe jetzt in den Start des Threads die noch offenen Aufgaben gesetzt.
Ich werde jeweils 6 Aufgaben dort aufnehmen und entsprechend erneuern.
Den Link zur PDF-Datei mit euren Lösungen setze ich auch in den 1.Thread.
Danke an alle für die vielen schon eingegangenen Lösungen.
Ihr seid toll.
LG Steffen
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ZePhoCa
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2010
Mitteilungen: 270
 | Beitrag No.32, eingetragen 2019-04-22
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Aufgabe 040935:
Zunächst lässt sich aus den Aussagen von Inge, Monika und Peter jeweils konkret eine Zahl mit den üblichen Formeln für Flächeninhalte etc. bestimmen:
Inge: $1/\pi$
Monika: $2 \sqrt{2}$
Peter: $\sqrt{3}$
Jetzt kommt es darauf an, wie die Aussage von Klaus, "Die Zahl ist durch 4 ohne Rest teilbar." gemeint ist. Natürlich ist jede reelle Zahl ohne Rest durch 4 teilbar, wenn der Komplementärteiler eine reelle Zahl sein darf. In dem Fall wäre aber die Aufgabe nicht eindeutig lösbar (sowohl $2 \sqrt{2}$ als auch $\sqrt{3}$ wären dann mögliche Lösungen). Es wird also gemeint sein "Die Zahl ist ein ganzzahliges Vielfaches von 4". Das trifft auf keine der obigen Zahlen zu und kann auch nicht sein, wenn die Zahl irrational ist. Damit ist diese Aussage falsch, die Aussage von Inge muss also stimmen, und die Aussagen von Günter und Bärbel treffen hier ebenfalls zu, die gesuchte Zahl ist also $1/\pi$.
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ZePhoCa
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2010
Mitteilungen: 270
| Beitrag No.33, eingetragen 2019-04-23
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Aufgabe 060936: (Die Lösung ist etwas kompliziert, vll findet ja jemand etwas leichteres/eleganteres)
Wir geben zunächst eine Konstruktionsvorschrift für den Mittelpunkt $M$ von $k'$ an falls $A$ nicht auf $g$ liegt und untersuchen dann, wieviele Möglichkeiten es gibt.
Wir konstruieren zunächst die zu $g$ senkrechte Gerade $h$ durch den Mittelunkt von $k$. Wir verschieben nun $g$ entlang dieser senkrechten um den Radius von $k$. Wir konstruieren nun die Orstlinie aller Punkte, die von der verschobenen Gerade und dem Mittelpunkt denselben Abstand haben. Dies ist eine Parabel, die symmetrisch bzgl. $h$ ist. Damit $k'$ nicht nur $g$ berührt, sondern dies auch in $A$ tut, konstruieren wir die zu $g$ senkrechte Gerade $l$ durch $A$. Weil $l$ zu $h$ parallel ist, hat diese genau einen Schnittpunkt mit der oben konstruierten Parabel. Dieser Schnittpunkt ist Mittelpunkt eines gewünschten Kreises (denn der Abstand von $M$ zum Mittelpunkt von $k$ ist gleich dem Abstand von $M$ zu $A$ plus dem Radius des Kreises $k$).
Nun zum eigentlichen Beweis. Wir unterscheiden drei Fälle:
1) $g$ ist Passante von $k$. Dann kann $k'$ sowohl $g$ als auch $k$ nur dann berühren, wenn $k'$ in der selben Halbebene bzgl. $g$ liegt wie $k$. Der Mittelpunkt $M$ von $k'$ muss außerdem auf einer zu $g$ senkrechten Geraden durch $A$ liegen, damit $k'$ die Gerade $g$ in $A$ berührt. Es gibt nun zwei prinzipielle Möglichkeiten, wie sich $k$ und $k'$ berühren können: Äußerlich (dann muss der Abstand von $M$ zum Mittelpunkt von $k$ gleich dem Abstand von $M$ zu $A$ plus dem Radius des Kreises $k$ sein) oder innerlich (dann muss der Abstand von $M$ zum Mittelpunkt von $k$ gleich dem Abstand von $M$ zu $A$ minus dem Radius des Kreises $k$ sein). Beide Fällen treten genau je einmal auf (für das äußerliche Berühren zeigt das die Konstruktion von oben, dass innerliche Berühren lässt sich analog begründen, hier muss nur $g$ zu Beginn anders verschoben werden), es gibt also genau zwei Möglichkeiten für $k'$.
2) $g$ ist Tangente an $k$. Ist $A$ der Berührpunkt von $k$ und $g$, so gibt es unendliche viele Möglichkeiten für $k'$ (jeder Kreis der $g$ in $A$ berührt berührt auch $k$). Ist $A$ nicht der Berührpunkt von $k$ und $g$, so gibt es genau eine Möglichkeite für $k$: Es gibt nämlich theoretisch wieder die Fälle des inneren und äußeren Berührens wie oben, das äußere Berühren tritt genau einmal auf, dass innere Berühren jedoch nicht, denn hier liegt $A$ auf der verschobenen Gerade, die konstruierte Ortslinie ist hier eine Senkrechte durch den Mittelpunkt von $k$ und diese hat mit der Senkrechten zu $g$ durch $A$ keinen Schnittpunkt.
3) $g$ ist Sekante an $k$. Ist $A$ einer der Schnittpunkte von $k$ und $g$ so gibt es keine Möglichkeit für $k'$ (denn jeder Kreis, der $g$ in $A$ berührt schneidet $k$ in $A$). Liegt $A$ außerhalb von $k$, so gibt es genau zwei Möglichkeiten (hier kann nämlich, anders als in Fall 1, der Kreis $k'$ in einer beliebigen Halbebene bzgl $g$ liegen, da $A$ außerhalb von $k$ liegt ist aber nur äußeres Berühren möglich). Analog dazu gibt es im Fall, dass $A$ in $k$ liegt auch genau zwei Möglichkeiten.
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Ex_Senior
| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23
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@ZephoCa: Danke. Beide Lösungen eingetragen.
Zwei neue Aufgaben sind verfügbar.
Die neu gelösten Aufgaben habe ich im ersten Beitrag nach hinten verschoben, damit man die Lösungen weiterhin der Aufgabenstellung zuordnen kann.
LG Steffen
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2800
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.35, eingetragen 2019-04-23
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Hallo
Lösung für Aufgabe 041226, durch eine Skizze erhalten.
Die gesuchte Fläche sind zwei Kreissegmente des Kreises mit dem Radius r und mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt M. Die Sehne des ersten Kreissegments liegt auf der Gerade y=x+r/2 und das Segment liegt oberhalb dieser Geraden. Die Sehne des zweiten Segments liegt auf der ersten Winkelhalbierenden, das Segment liegt unterhalb.
Gruß Caban.
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Ex_Senior
| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23
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zu 041042:
Wir unterscheiden zwei Fälle.
1. Fall: $x>0$. Dann ist die zu betrachtende Ungleichung äquivalent zu $x^2-2p^2<2px$ bzw. $(x^2-2px+p^2)<3p^2$, also $(x-p)^2<3p^2$ und damit $-\sqrt{3}p2px$, was sich analog äquivalent umformen lässt zu $(x-p)^2>3p^2$ bzw. ($x-p<-\sqrt{3}p$ oder $x-p>\sqrt{3}p$) und damit ($x<(1-\sqrt{3})p$ oder $x>(1+\sqrt{3})p$). Der zweite Teil entfäält aufgrund der Fallannahme, sodass die Lösungsmenge für diesen Fall $\{x| x<(1-\sqrt{3})p\}$ lautet.
Zusammen ergibt sich also in Abhängigkeit vom Parameter $p>0$ folgende Lösungsmenge:
$\{x\in \mathbb{R}| x<(1-\sqrt{3})p \vee 0
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Ex_Senior
| Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23
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Hallo,
ich habe den Text mit den gelösten Ausgaben noch einmal geändert und dabei vor allem die Aufgabenstellungen mit eingefügt. So muss man keinen zweiten Text dazuladen.
LG Steffen
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.35 begonnen.]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.38, eingetragen 2019-04-23
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\quoteon(2019-04-22 22:21 - stpolster in Beitrag No. 31)
Ich habe jetzt in den Start des Threads die noch offenen Aufgaben gesetzt.
Ich werde jeweils 6 Aufgaben dort aufnehmen und entsprechend erneuern.
Den Link zur PDF-Datei mit euren Lösungen setze ich auch in den 1.Thread.
\quoteoff
Ich fände irgendeine Art der Sortierung der Aufgaben gut.
Am einfachsten könnte die Ergänzung von Randnotizen sein.
Beispiel:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51263_11_55555555.png
\showon LaTeX
\sourceon latex
\documentclass[open=any]{scrreprt}
%\usepackage{showframe}
\def\Randbreite{3cm}
\def\Randnotizbreite{22mm}
\usepackage[left=\Randbreite, right=\Randbreite, % Beispiel
]{geometry}
\newcommand\Links[1]{\reversemarginpar\marginpar[%
\parbox{\Randnotizbreite}{\sffamily\bfseries\small #1}
]{}}
\newcommand\Rechts[1]{\marginpar{%
\parbox[t]{\Randnotizbreite}{\sffamily\bfseries\footnotesize #1}
}\normalmarginpar}
\newcommand\note[1]{\marginpar{
\parbox[l][][l]{1.0cm}{\sffamily\bfseries\footnotesize #1}
}}
\begin{document}
Aufgabe aus dem Bereich Geometrie. \Links{Geometrie Dreieck konstruieren}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
Aufgabe aus dem Bereich Zahlentheorie. \Rechts{Zahlentheorie}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
Aufgabe aus dem Bereich Algebra. \Links{Algebra}
\end{document}
\sourceoff
\showoff
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2547
| Beitrag No.39, eingetragen 2019-04-23
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Aufgabe 041031:
Diese Aufgabe ist wirklich sehr einfach. War die wirklich so in einer Olympiade? Ich schreibe nur einen Ansatz:
\hideon
Sei \(v_1\) die Geschwindigkeit des Fußgängers und \(v_2\) die Geschwindigkeit der Straßenbahn. Sei \(s_1\) die Strecke von A zum ersten Treffpunkt und \(s_2\) die Strecke von B bis zum zweiten Treffpunkt. Dann gilt:
\(\displaystyle (1):\quad v_1=\frac{s_1}{36}=\frac{12,75-s_2}{90}\)
\(\displaystyle (2):\quad v_2=\frac{s_1}{10}=\frac{12,75+s_2}{60}\)
Die Lösungen für dieses LGS sind \(s_1=3\) und \(s_2=5,25\)
Damit:
\(v_1=\frac{3\text{km}}{\frac{3}{5}\text{h}}=5\frac{\text{km}}{\text{h}}\)
\(v_2=\frac{12,75\text{km}+5,25\text{km}}{1\text{h}}=18\frac{\text{km}}{\text{h}}\)
Nun ist es doch mehr geworden als ein Ansatz, aber egal.
\hideoff
Gruß,
Küstenkind
@Steffen: Ich möchte nicht namentlich genannt werden. Kannst du bitte meinen Namen entfernen, falls du das online stellst? Danke!
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