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Zahlentheorie » Primzahlen - sonstiges » Primzahleneigenschaften
Thema eröffnet 2016-08-05 20:02 von fermare
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Universität/Hochschule Primzahleneigenschaften
weird
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  Beitrag No.40, eingetragen 2016-08-15

\quoteon(2016-08-14 21:49 - Primentus in Beitrag No. 39) Das kommt der perfekten Primzahlformel schon sehr sehr nahe. Bei letzterer wäre es noch schön, wenn die Zwischenschritte mit dem Ergebnis 2 ganz entfallen würden und f(n) sozusagen die n-te Primzahl ausspuckt. Aber eine solche Formel wird es wohl so schnell nicht geben. \quoteoff Ok, heute ist dein Glückstag! Indem ich nämlich gerade Zeit habe und auch gut drauf bin, hab ich mich hingesetzt und - natürlich nach bekannten Vorlagen - die Formel von cyrix noch etwas modifiziert, dass sie als Wert für n auch wirklich die n-te Primzahl "ausspuckt". ;-) Zunächst braucht man dafür die "Primzahlzählfunktion" $\pi(x)$, welche für eine positive reelle Zahl $x$ die Anzahl aller Primzahlen $\le x$ angibt. Ich brauche sie nachfolgend nur für den Spezialfall, dass $x$ eine positive ganze Zahl $n$ ist, weshalb ich mich in meiner Implementierung auch nur auf diesen Fall beschränke. Daraus lässt sich dann eine Formel für die n-te Primzahl $p_n$ konstruieren, welche du bitte nachfolgendem und hoffentlich selbsterklärenden Programm entnehmen mögest! \sourceon Maple 2015 pi:=n->add(0^((k-1)!+1 mod k),k=2..n): t:=time():pi(100000),(time()-t)*'s' 9592, 33.297 s numtheory[pi](100000) 9592 nthprime:=n->1+add(floor(floor(n/(1+pi(k)))^(1/n)),k=1..2^n): seq(nthprime(n),n=1..10) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \sourceoff PS: Maple hat übrigens oben mit dem ohne(!) Klammern nachgestellten mod k überhaupt kein Problem, also solltest du auch keines damit haben. Und auch rein semantisch betrachtet kann man sich hier die Frage stellen: Welchen Sinn hätte denn der Bezug auf 1 allein, also dann 1 mod k, da dies ja immer 1 ergibt?! Da könnte man das mod k ja gleich ganz weglassen. :-D


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Primentus
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  Beitrag No.41, eingetragen 2016-08-15

\quoteon(2016-08-15 11:41 - weird in Beitrag No. 40) \sourceon Maple 2015 pi:=n->add(0^((k-1)!+1 mod k),k=2..n): \sourceoff \quoteoff Hallo weird, ich finde es sensationell, dass Du eine Primzahlfunktion entwickelt hast. Allerdings habe ich noch ein Verständnisproblem bei obenstehender Code-Zeile. Stimmt diese denn so? "add" ist sicher die Summenformel, aber der erzeugte Ausdruck 0^(irgendwas) hat doch immer Null als Ergebnis. So komme ich jedenfalls nicht auf die Anzahl Primzahlen bis zur Schranke n. Oder habe ich schon wieder etwas falsch gemacht? LG Primentus


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umlaufsatz
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  Beitrag No.42, eingetragen 2016-08-15

Hallo Primentus, ich kann kein Maple, aber üblicherweise ist „^“ ein XOR, was für mich hier auch danach aussieht. Edit: Sorry, ist gerade umgekehrt, stimmt also nicht :). Siehe unten bei cyrix. Aber man kann doch bestimmt auch in Maple aus einer Zahl ein Boolean machen können und dann negieren, oder? Und, wie cyrix schon geschrieben hat, ist die Formel halt nicht sensationell, weil sie sehr schwer auszurechnen ist und auf nicht so schwieriger Zahlentheorie basiert. Aber zugegeben: Ich wusste auch nicht, dass man einen Primzahltest mathematisch auch so concise aufschreiben kann :). Grüße umlaufsatz


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Ex_Senior
  Beitrag No.43, eingetragen 2016-08-15

\quoteon(2016-08-15 15:27 - Primentus in Beitrag No. 41) aber der erzeugte Ausdruck 0^(irgendwas) hat doch immer Null als Ergebnis. \quoteoff Üblicherweise setzt man $0^0:=1$. Cyrix


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weird
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  Beitrag No.44, eingetragen 2016-08-15

\quoteon(2016-08-15 15:27 - Primentus in Beitrag No. 41) [...] aber der erzeugte Ausdruck 0^(irgendwas) hat doch immer Null als Ergebnis. So komme ich jedenfalls nicht auf die Anzahl Primzahlen bis zur Schranke n. Oder habe ich schon wieder etwas falsch gemacht? \quoteoff Du musst hier so rechnen: 0^(positives irgendetwas)=0, aber 0^0:=1, wie schon von cyrix bemerkt. Ist damit alles klar? ;-)


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Primentus
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  Beitrag No.45, eingetragen 2016-08-15

\quoteon(2016-08-15 15:43 - cyrix in Beitrag No. 43) Üblicherweise setzt man $0^0:=1$. \quoteoff Danke - das war der entscheidende Hinweis. Das wusste ich noch nicht. Also Mathematica gibt jedenfalls bei der Eingabe von 0^0 immer "undefiniert" aus. @weird: Ja, dank cyrix' Hinweis habe ich es nun verstanden, wie die Potenz zu berechnen ist. Ich habe zwar kein Maple, aber ich konnte die Syntax vollständig entziffern. Damit ich es für mich reproduzieren kann, hab ich Deine Funktion mal nach Mathematica portiert. Und damit es auch dort funktioniert, muss man explizit erst die Definition $0^0:=1$ einführen. Scheinbar hat Maple diese schon standardmäßig drin. In Mathematica sähe der Code dann wie folgt aus: \sourceon Mathematica Unprotect[Power]; Power[0, 0] := 1; Protect[Power]; PiFkt[n_] := Sum[0^Mod[(k - 1)! + 1, k], {k, 2, n}] NthPrime[n_] := 1 + Sum[Floor[Floor[n/(1 + PiFkt[k])]^(1/n)], {k, 1, 2^n}] Table[NthPrime[n], {n, 1, 10}] \sourceoff Das Ergebnis ist: \sourceon Mathematica {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} \sourceoff Die Pi-Funktion habe ich vorsichtshalber mal in PiFkt umbenannt, da Pi in Mathematica schon für die Zahl Pi reserviert ist. Also ich muss sagen - für mich ist heute wirklich ein Glückstag. Ich freue mich riesig über Deine Formel bzw. Funktion, weird. Und ganz nebenbei bemerkt: bildet man die Quersumme der Ziffern des heutigen Datums (15.08.2016), kommt dort ebenfalls eine Primzahl heraus, und zwar die 23 - ausgerechnet diejenige mit den Ziffern der ersten beiden Primzahlen. Ist das nicht schön? :-) Und außerdem habe ich heute noch ein super Mittagessen gehabt (und bei mir ist heute auch noch Feiertag) - welchen schöneren Tag kann es da noch geben? :-) Vielen lieben Dank nochmal, weird! Aber auch danke an Dich, cyrix, für die wertvolle Vorarbeit. Ich hätte niemals gedacht (oder zumindest für sehr fraglich gehalten), dass so eine Formel überhaupt jemals aufgestellt werden kann. Ich finde das schon eine sensationelle Leistung! Allerdings habe ich natürlich auch festgestellt, dass aufgrund der Fakultät etwas größere Primzahlen nur noch sehr schwer bzw. langsam zu berechnen sind. Aber allein die Tatsache, dass es überhaupt eine solche Formel gibt, lässt mich schon staunen! Ich hätte ehrlich gesagt nicht gedacht, dass ich das noch erlebe. Wäre sowas denn nicht eine Veröffentlichung (von cyrix und weird) in der mathematischen Fachwelt wert oder haltet ihr das wirklich für so unspektakulär? Wilson hat die Grundlage geliefert, cyrix die Fortsetzungsarbeit und weird die perfekte Primzahlformel. Wahrscheinlich müsste man das halt dann noch als mathematische Formel umformulieren. Gibt es da für die Floor-Funktion auch einen mathematischen Ausdruck? @umlaufsatz: Danke für den Tipp wegen der XOR-Funktion. Hatte es kurz versucht, das ^ in ein XOR zu verwandeln, aber das machte irgendwie keinen Sinn, weil eine Zahl hätte herauskommen müssen und kein boolescher Wert. Aber cyrix hat ja dann den entscheidenden Hinweis gegeben. :-) Dass nicht so komplizierte Zahlentheorie in weird's Funktion enthalten ist, macht doch nichts. Und dass die Formel mit zunehmendem n langsam rechnet, ist zwar vielleicht ein Manko, aber allein die Existenz einer solchen Funktion ist absolut bewundernswert. @alle: Mathematica besitzt zwar schon eine interne Funktion Prime[n], welche die n-te Primzahl liefert, aber ich würde jede Wette eingehen, dass diese Werte schon im Vorfeld berechnet wurden, und Mathematica für die Ermittlung des Ergebnisses nur noch in einer internen Tabelle nachschaut. Es ist nämlich schon sehr verdächtig, dass selbst die milliardste Primzahl ohne augenscheinliche Berechnungszeit ausgespuckt wird: \sourceon Mathematica Timing[Prime[1000000000]] \sourceoff Ergebnis: \sourceon Mathematica {0. Second, 22801763489} \sourceoff Erst bei noch größeren Zahlen fängt es dann an, dass Mathematica mehrere Sekunden für die Ermittlung der n-ten Primzahl benötigt. Aber die Zeit ist immer noch so gering, dass das meines Erachtens keine Echtzeitberechnung sein kann, sondern nur ein Nachschauen in einer vorgefertigten Tabelle. LG Primentus [Die Antwort wurde nach Beitrag No.43 begonnen.]


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Slash
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  Beitrag No.46, eingetragen 2016-08-15

Ich möchte an dieser Stelle ein Buch empfehlen: Paulo Ribenboim - Die Welt der Primzahlen. Ich besitze es, habe es aber auch schon als (legales?) PDF in super Qualität im Netz gefunden. Gruß, Slash


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  Beitrag No.47, eingetragen 2016-08-15

@Slash: Vielen Dank für Deine Empfehlung. Da werde ich mich wohl mal auf die Suche begeben, denn die Primzahlen interessieren mich schon sehr. \quoteon(2016-08-15 11:41 - weird in Beitrag No. 40) PS: Maple hat übrigens oben mit dem ohne(!) Klammern nachgestellten mod k überhaupt kein Problem, also solltest du auch keines damit haben. Und auch rein semantisch betrachtet kann man sich hier die Frage stellen: Welchen Sinn hätte denn der Bezug auf 1 allein, also dann 1 mod k, da dies ja immer 1 ergibt?! Da könnte man das mod k ja gleich ganz weglassen. :-D \quoteoff Ja, ist mir dann auch aufgefallen, dass 1 mod n eigentlich nicht so viel Sinn ergibt, allerdings ganz weg lassen könnte man es dann doch nicht, denn für n=1 ist es immerhin 0. Also hat es nur FAST immer den gleichen Wert. ;-) Ich hatte nur gedacht, da MOD eine Divisionsoperation ist und damit eine Punktrechnung, dass diese dann gemäß "Punkt vor Strich" eine stärkere Bindung hätte als das Pluszeichen. Und in Mathematica fällt mir das so nicht auf, da MOD dort kein Infix-Operator ist, sondern als Funktion Mod[a, b] verwendet wird, so dass praktisch immer klar ist, was alles zu a gehört. Aber für die Zukunft weiß ich nun, wie ich es zu lesen habe. :-)


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Slash
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  Beitrag No.48, eingetragen 2016-08-15

Hier noch drei PDF Tipps, die wirklich gratis sind: 1) Die ersten 50 Millionen Primzahlen (keine Liste!) - Don Zagier 2) Über Primzahlerzeugende Folgen - Markus Schepke 3) Die Primzahlformel als Quantenbedingung der Zahlentheorie - Dr. Gabriel Foco Als Buch noch zu empfehlen: Gamma - Julian Havil Die sonstige wichtige und interessante Literatur ist wohl ohne Mathematikstudium und Spezialisierung auf Zahlentheorie nicht zu verstehen.


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fermare
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  Beitrag No.49, vom Themenstarter, eingetragen 2016-08-15

Ich hatte schon befürchtet, dass es vorbei ist, aber da geht es ja noch munter weiter. Arbeite gerade an einer neuen Grafik. Wird bald kommen Danke für die vielen Tips Primzahlen betreffend. Danke auch für die Formeln, auch wenn das mein Mathelatein etwas übersteigt. Was ist das Maple? Ein Programm? Klingt spannend, was Ihr da macht.


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Primentus
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  Beitrag No.50, eingetragen 2016-08-15

@Slash: Vielen Dank für die weiteren Empfehlungen. Ein abgeschlossenes Mathematikstudium kann ich auch nicht vorweisen - zwar ein Studium, indem es auch einiges an Mathematik gab, aber das ist mit einem Mathematikstudium sicherlich nicht zu vergleichen. Daher sind Bücher, die etwas allgemeinverständlicher geschrieben sind, genau das richtige für mich. Da dürfen zwar schon einige Formeln und mathematische Zusammenhänge vorkommen, aber wenn es zu sehr in Richtung Profi-Mathematiker geht, könnte es schon sein, dass ich da irgendwo aussteige. ;-) @fermare: Maple ist ein sog. Computeralgebra-System (CAS), wie z. B. auch Mathematica oder MuPAD oder Maxima und andere. Der Vorteil solcher Programme ist nicht nur, dass man damit intensive numerische Berechnungen, sondern auch symbolische Berechnungen durchführen kann. In einer CAS-eigenen Programmiersprache können praktisch Befehle eingegeben und Funktionen bzw. Prozeduren geschrieben werden und damit mathematische und naturwissenschaftliche Berechnungen durchgeführt werden. Solche Systeme sind wirklich sehr leistungsstark und gehen deutlich über die Funktionen eines herkömmlichen Taschenrechners hinaus. Und, ja, mit solchen Programmen zu hantieren, ist wirklich spannend. Aber das noch viel spannendere ist, dass weird damit eine Funktion entwickelt hat, die Primzahlen erzeugt, aber dabei im Gegensatz zu den Ausdrücken, die ich untersucht habe, weder Nicht-Primzahlen erzeugt noch Primzahllücken lässt - somit also die perfekte Primzahlformel darstellt, wie sie mir bis dahin noch nicht bekannt war und welche ich auch kaum für möglich gehalten hätte. LG Primentus [Die Antwort wurde nach Beitrag No.48 begonnen.]


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fermare
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  Beitrag No.51, vom Themenstarter, eingetragen 2016-08-16

Danke für die verständliche Erklärung. Bis jetzt war mir die Leistung von Weird noch nicht so recht bewusst. Das ist extrem spannend Weird. Kann es zwar noch nicht nachvollziehen, aber wenn dem so ist, wie Ihr schreibt dann aber hallo. Super Leistung. Das muss gefeiert werden. Habe da allerdings noch eine Frage. Ein Programm bekommt doch eine Verfahrensanweisung, oder so nach dem Motto: wenn das > dann das,... Mit anderen Worten ist das Verfahren von Weird dann so etwas wie ein automatisierter Filter des Eratosthenes oder eine mathematische Formel?


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weird
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  Beitrag No.52, eingetragen 2016-08-16

\quoteon(2016-08-16 10:01 - fermare in Beitrag No. 51) Mit anderen Worten ist das Verfahren von Weird dann so etwas wie ein automatisierter Filter des Eratosthenes oder eine mathematische Formel? \quoteoff Es ist eine mathematische Formel, genauer die Formel (4) auf Seite 6 in dem sehr interessanten Paper von Schepke, das Slash in #48 zitiert hat, wofür ihm von meiner Seite Dank gebührt, da ich es noch nicht kannte. Ich hatte allerdings eine andere Quelle benutzt, in der die floor-Funktion doppelt angewandt wurde, was aber vermutlich(?) dasselbe Ergebnis liefert. (Wenn dies zutrifft, würde ich eigentlich der Einfachheit halber das "innere" floor in meiner Implementierung der Formel dann weglassen!)


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.53, eingetragen 2016-08-16

Die Formel ist ein ziemlich ineffizienter Primzahlfilter (mit immerhin sehr geringem Speicherbedarf und ohne Seiteneffekte). Eine Lösung der Form: prime_sievle = sievle(upperbound(n)); // sievle all primes up to some upperbound for n-th prime nth_prime = prime_sievle[n]; dürfte wesentlich effizienter sein. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.51 begonnen.]


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weird
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  Beitrag No.54, eingetragen 2016-08-16

\quoteon(2016-08-16 11:00 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 53) Die Formel ist ein ziemlich ineffizienter Primzahlfilter (mit immerhin sehr geringem Speicherbedarf und ohne Seiteneffekte). Eine Lösung der Form: prime_sievle = sievle(upperbound(n)); // sievle all primes up to some upperbound for n-th prime nth_prime = prime_sievle[n]; dürfte wesentlich effizienter sein. \quoteoff Um Fragen der Effizienz geht es hier erstmal nicht, sondern darum, dass es überhaupt sowas wie eine Formel (wohlgemerkt, nicht Algorithmus oder ein Computerprogramm!) gibt, in die man die positive ganze Zahl n einsetzt und die dann die n-te Primzahl "ausspuckt". Und ja, in diesem Sinne leistet die von mir angegebene Formel tatsächlich das Gewünschte. Immerhin kann man damit den Irrglauben, der gar nicht so selten ist, dass es solche Formeln nicht gibt oder sie zumindestens nicht bekannt sind, klar widerlegen. Dass ihr praktischer Nutzen ansonsten gleich null ist, steht aber außer Frage!


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.55, eingetragen 2016-08-16

Hier noch eine recht minimalistisch formulierte, rekursive Funktion: $ \begin{array}{rcl} \operatorname{f}(1,p,0,p-1)&=&p\\ \operatorname{f}(n,p,0,p-1)&=&\operatorname{f}(n-1,p+1,p,1)\\ \operatorname{f}(n,p,0,m)&=&\operatorname{f}(n,p+1,p,1)\\ \operatorname{f}(n,p,k,m)&=&\operatorname{f}(n,p,k-1,k\cdot m \mod p)\\ \\ \operatorname{nthPrime}(n) &=& \operatorname{f}(n,2,1,1) \\ \end{array} $


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Primentus
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  Beitrag No.56, eingetragen 2016-08-16

Ja, wie weird schon sagte, ging es mir auch in allererster Linie darum, ob es eine Art Formel gibt, mit der die n-te Primzahl berechnet werden kann, wobei zu keinem Zeitpunkt Nicht-Primzahlen erzeugt werden dürfen oder Primzahllücken entstehen dürfen. Es ging weniger um einen in vielen Zeilen ausgearbeiteten Algorithmus, sondern etwas was man kurz und kompakt in einer Formel zusammentragen kann. Die Berechnungszeit der Formel ist hierbei erstmal zweitrangig. Natürlich kann man sich darüber ärgern, dass "Fakultät" und "hoch n" von der Berechnungszeit her ziemlich "böser" Natur sind, aber dass die Formel dadurch bedingt noch keinen so großen praktischen Nutzen hat, liegt ja in erster Linie an der heutzutage verfügbaren Rechnerleistung. Ich würde nicht ausschließen, dass es irgendwann in Zukunft vielleicht einmal Rechner gibt, die auch für immer noch größere n die Ergebnisse berechnen können und dass es vielleicht auch mal einen effizienten Algorithmus gibt, die Fakultäten noch anders zu berechnen als durch fortgesetzte Multiplikation. Wenn man sich mal mit sog. Vedischer Mathematik beschäftigt, stellt man fest, dass es ganz schön raffinierte Rechenregeln gibt, mit deren Hilfe sogar Kopfrechnen ausreicht wo man ansonsten eigentlich eher einen Taschenrechner benötigen würde. @weird: Wie es aussieht, kann man wohl tatsächlich das innere "Floor" weglassen, und dank der Empfehlungen von Slash weiß ich nun auch, welches mathematische Zeichen es für die Floor-Funktion gibt. Und um es für jedermann sichtbar zu machen, dass Deine Funktion auch wirklich eine Formel ist, möchte ich sie hier einmal groß und breit aufschreiben, was aber nicht heißen soll, dass ich die Formel als meine Leistung ausgeben möchte, aber es ist einfach eine so wunderschöne Formel, dass man es sich echt ausschneiden und über's Bett hängen könnte: LG Primentus


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MartinN
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  Beitrag No.57, eingetragen 2016-08-16

Ich muss hier zwar mal nachlesen ^^ Aber wenn ich m=1 einsetze, bekomme ich in der Summe des Nenners ein Problem :S Da stimmt die Formel iwie nicht ganz...


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  Beitrag No.58, eingetragen 2016-08-16

@MartinN: Hmm, aber wenn m=1 ist, fällt die Summenformel im Nenner ja weg, weil sie sozusagen erst gar nicht "ausgeführt" wird, weil die obere Grenze kleiner ist als die untere. Oder wird das aus mathematischer Sicht anders gehandhabt? LG Primentus


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MartinN
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  Beitrag No.59, eingetragen 2016-08-16

kA wie das mathematisch gehandhabt wird, man könnte wie bei Integralen die Summengrenzen vertauschen... was aber auch zu Problemen führt :D Aber - ich gehe mal davon aus, dass die Formel stimmt (konnte mich noch nicht weiter hiermit beschäftigen), dann: - lasst doch die 1 vor der Summe weg, und beginnt diese mit k = 1 Für k = 1 gilt ja immer: 0^(0!+1 mod 1) = 0^(2 mod 1) = 0^0 = 1 [also jene 1, die gerade gestrichen wurde) Lässt doch die Formel dann so wie sie ist / gemeint ist? Edit: Und soll das wirklich die n-te Wurzel sein? [ich muss mal nachlesen :D]


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Primentus
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  Beitrag No.60, eingetragen 2016-08-16

@MartinN: Ja, bei Integralen gibt es diese Vertauschung der Grenzen, das stimmt. Dadurch ändert sich das Vorzeichen des Integrals. Aber Mathematica gibt mir bei einer Summenformel immer 0 aus, wenn die obere Grenze kleiner als die untere ist. Hab das gerade mal getestet wie Du sagtest - die 1 im Nenner verschwinden zu lassen und dafür als k=1 in die Summenformel zu nehmen. Soweit ich sehen konnte, scheint das nichts an der Formel zu verändern. Könnte man also offensichtlich auch so schreiben, hast recht. Sähe sogar noch schöner aus. Es sei denn, jemand hat noch Einwände dagegen. Das Problem ist nur, dass man die Formel nicht für größere n überprüfen kann. LG Primentus P.S.: Ja, das mit der n-ten Wurzel stimmt so.


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MartinN
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  Beitrag No.61, eingetragen 2016-08-16

Ich versuche gerade die Summe "so" zu durchblicken... Wenn der Nenner N > n wird, dann wird ja automatisch $\lfloor\frac{n}{N}\rfloor = 0$ (unabhängig von der n-ten Wurzel)... Jetzt ist die Frage, ob man wirklich bis 2^n summieren muss, ehe der N > n werden kann. Im Nenner gibt $\sum\limits_{k=1}^m 0^{(k-1)!\mod k}$ die Anzahl der Zahlen < m an, welche nicht prim sind (mit Ausnahme von 4). Für jede Primzahl wäre (p-1)! nicht durch p teilbar - demnach der Rest r > 0 und somit 0^r = 0. Nur für k = 4 gilt dies nicht, da 3! mod 4 = 2 > 0. Ich frage mich aber gerade, warum die "+1" da noch steht - was diese bewirkt. Mag mir das jemand zusammenfassen ^^ Der Nenner ist aber mindestens 1, also steht dort höchstens: $\sqrt[n]{n/1}$, welches aber immer < 2 ist... denn $n < 2^n \forall n \in \IN^0$, wie man durch Induktion schnell zeigen kann... Kann man das nicht deutlich einfacher darstellen? Es sagt ja nix anderes aus: solange n/N >= 1 ist, nehme 1 dazu. Wenn n/N < 1, dann kann man aufhören mit der großen Summe. N ist dabei eine monotonsteigende Folge... Genügt es dann nicht jenes m zu ermitteln, für welches n/N < 1 wird? Und p_n = m+1 dann...


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Primentus
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  Beitrag No.62, eingetragen 2016-08-16

\quoteon(2016-08-16 21:36 - MartinN in Beitrag No. 61) Jetzt ist die Frage, ob man wirklich bis 2^n summieren muss, ehe der N > n werden kann. \quoteoff Bis 2^n muss man meines Erachtens deshalb summieren, weil $p_{n} \leq 2^{n}$ gilt. Das steht auf Seite 6 in dem Dokument, das Slash gepostet hatte (siehe hier). Ob die separate 1 im Nenner in der Form unbedingt stehen bleiben muss und ob man die Formel noch einfacher darstellen kann, weiß ich nicht. Da müssen die Profi-Mathematiker ran. Ich kann aber inzwischen noch mitteilen, dass sich die Gesamtformel auch "in einem Rutsch" als Mathematica-Funktion darstellen lässt (ohne separate Pi-Funktion): \sourceon Mathematica NthPrime[n_]:=1+Sum[Floor[(n/(1+Sum[0^Mod[(k-1)!+1,k],{k,2,m}]))^(1/n)],{m,1,2^n}] \sourceoff Allerdings ist es nach wie vor wichtig, dass die Definition $0^{0}:=1$ gesetzt sein muss. LG Primentus


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@Primentus Zunächst einmal hätte Maple auch mit deiner Version meiner Primzahlformel kein Problem: \sourceon Maple 2015 nthprime:=n->1+add(floor((n/(1+add(0^((k-1)!+1 mod k),k=2..m)))^(1/n)),m=1..2^n) / / | | | | | | n -> 1 + add|floor| | | \ \ /1\\ |-|| \n/| / n \ | |------------------------------------------------------| |, | / (`mod`(factorial(k - 1) + 1, k)) \| | \1 + add\0 , k = 2 .. m// / \ | | n| m = 1 .. 2 | | / seq(nthprime(n),n=1..10) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \sourceoff Wie du oben richtig vermutet hast, ist der Wert von "leeren Summen", welche sich hier für m=1 ergibt, prinzipiell 0 in der Mathematik und natürlich "weiß" das auch Maple (sowie vermutlich auch jedes andere CAS!). Die Abänderung, indem man die 1 im Nenner weglässt, und dafür die Summe bei k=1 beginnen lässt, würde ich aber eher nicht gut finden. Sie schaut in meinen Augen etwas "gekünstelt" aus und viele würden bei dieser "mod 1"-Rechnung wohl zuerst einmal ins Grübeln kommen. Außerdem ist mit der expliziten 1 im Nenner einmal prinzipiell und auf den ersten Blick gesichert, dass hier nicht durch 0 dividiert wird. ;-) Was man im Zusammenhang mit dieser Formel aber jedenfalls - und sei es auch nur beiläufig - erwähnen sollte ist, dass hier von der Konvention 0^0:=1 Gebrauch gemacht wird. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.60 begonnen.]


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willyengland
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  Beitrag No.64, eingetragen 2016-08-16

\quoteon(2016-08-15 19:54 - Slash in Beitrag No. 46) Ich möchte an dieser Stelle ein Buch empfehlen: Paulo Ribenboim - Die Welt der Primzahlen.\quoteoff Cool, danke! Interessant: "Wilson Primzahlen", Aha! Scheint ja eine extrem seltene Spezies zu sein. Man hat erst 3(!) gefunden: 5, 13, 563


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blindmessenger
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  Beitrag No.65, eingetragen 2016-08-16

Hat sich erledigt...


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MartinN
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  Beitrag No.66, eingetragen 2016-08-16

Das bei der Summe 0 rauskommt hat mMn weniger etwas mit den Grenzen zu tun, als mit der Definition... Schließlich ist auch: int(f(x),x,a,a) = F(a) - F(a-dx) = 0 \forall\ f(x),a Entsprechend könnte man auch eine unspezifische Summenformel definieren... Sei: sum(s(n),,) = S(n) so ergibt sich: sum(s(n),a,b) = S(b) - S(a-1) Und ausgerechnet für b = a-1 ergibt sich: sum(s(n),a,a-1) = S(a-1) - S(a-1) = 0 \forall\ s(n),a Wenn die Differenz größer wird, so kann man umformen: sum(s(n),a,a-k) = S(a-k) - S(a-1) = -1*(S(a-1) - S(a-k)) = -1*sum(s(n),a-k+1,a-1) So würde ich es zumindest definieren ^^ (oder habe es immer so angesehen) Mag ein Mathematiker sich dazu äußern? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.64 begonnen.]


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fermare
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  Beitrag No.67, vom Themenstarter, eingetragen 2016-08-16

Was für eine Freude ich habe, könnt Ihr kaum nachvollziehen. Eure Gespräche hier verfolgen zu dürfen und dieses Ergebnis meines kleinen Stiches in Eure Überschäumende Energie erleben zu dürfen, macht mich froh. Da vergesse ich gleich all meinen Frust, dass mein Versuch eine derart geringe Dichte erreicht hat und bin ein wenig stolz, Euch zu solchen Taten angestachelt zu haben. Ich kann zwar die Formel noch nicht nachprüfen, sie wird mir aber noch die eine oder andere Abendstunde versüßen. Herzlichen Dank Euch allen. Super super Super. Wenn die Formel sich als richtig auch in n bestätigt, dann ist eine meiner größten Fragezeichen aufgelöst und ich kann mich in neue Gebiete vorarbeiten. Wilsen Primzahlen, was ist das und warum sind die besonders? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.64 begonnen.]


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Primentus
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  Beitrag No.68, eingetragen 2016-08-17

\quoteon(2016-08-16 21:36 - MartinN in Beitrag No. 61) Im Nenner gibt $\sum\limits_{k=1}^m 0^{(k-1)!\mod k}$ die Anzahl der Zahlen < m an, welche nicht prim sind (mit Ausnahme von 4). \quoteoff Du hast nach der Fakultät noch das "+1" vergessen. Ich weiß nicht, ob das etwas an Deinen Betrachtungen ändert. @weird: Es freut mich, dass die Formel auch in Maple "in einem Rutsch" darstellbar und berechenbar ist. :-) LG Primentus


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MartinN
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  Beitrag No.69, eingetragen 2016-08-17

Der Rest meiner Betrachtung war unabhängig davon... Aber durch den Satz von Wilson wird das quasi umgestülpt (durch das +1). Statt alle Zahlen die nicht prim sind, zählt das nun alle Zahlen die prim sind :D Wobei ich erstmal für mich versuche den Satz von Wilson bzw. eher dessen Verallgemeinerung zu beweisen ^^


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Primentus
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  Beitrag No.70, eingetragen 2016-08-17

@MartinN: Okay, ich wollte es zumindest nur mal erwähnt haben, weil mir der kleine Fehler aufgefallen ist. Leider reicht mein mathematisches Wissen nicht aus, um all Deine mathematischen Ausführungen zu verstehen, diese kann ich nur teilweise nachvollziehen. Aber hoffentlich meldet sich noch einer der Mathematiker, die Dir dort weiterhelfen können. Ich finde Deine Gedankengänge und den Willen, die Dinge genau ergründen zu wollen, sehr gut! LG Primentus


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Slash
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  Beitrag No.71, eingetragen 2016-08-17

Ohne große Zahlentheoriekenntnisse kann jeder z.B. folgendes erforschen: Das Polynom $2n^2 - 2n + 53089$ liefert 634 Primzahlen für n=1,...,1000. 53089, 53093, 53101, 53113, ... Gibt es ein Polynom, welches mind. eine Primzahl mehr in den ersten 1000 Termen erzeugt? Diese Polynom liefert für n=0,...,56 immer Primzahlen. $\frac{1}{4}(n^5-133n^4+6729n^3-158379n^2+1720294n-6823316)$ Findet jemand ein Polynom für mind. 57 hintereinander erzeugte Primzahlen? Beides wäre ein neuer Weltrekord. Gruß, Slash


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gonz
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  Beitrag No.72, eingetragen 2016-08-17

Steckt da eigentlich etwas mehr dahinter, als dass diese Polynome zufällig mit "möglichst niedrigem grad möglichst viele Primzahlen für die ersten ganzzahligen Argumente" ergeben?


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Slash
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  Beitrag No.73, eingetragen 2016-08-17

\quoteon(2016-08-17 05:18 - gonz in Beitrag No. 72) Steckt da eigentlich etwas mehr dahinter, als dass diese Polynome zufällig mit "möglichst niedrigem grad möglichst viele Primzahlen für die ersten ganzzahligen Argumente" ergeben? \quoteoff Etwas schon. Bei primzahlerzeugenden Polynomen gibt es einen Zusammenhang/eine Verbindung zu den Klassenzahlen quadratischer Körper. Das wird alles sehr genau in Ribenboims Buch beschrieben. Ich stecke aber auch nicht wirklich in der Materie drin. Man müsste mal nach Papern zu primzahlerzeugenden Polynomen suchen.


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  Beitrag No.74, eingetragen 2016-08-17

\quoteon(2016-08-17 05:59 - Slash in Beitrag No. 73) Etwas schon. Bei primzahlerzeugenden Polynomen gibt es einen Zusammenhang/eine Verbindung zu den Klassenzahlen quadratischer Körper. Das wird alles sehr genau in Ribenboims Buch beschrieben. Ich stecke aber auch nicht wirklich in der Materie drin. Man müsste mal nach Papern zu primzahlerzeugenden Polynomen suchen. \quoteoff Findest du Hier. Gruß Jürgen


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weird
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  Beitrag No.75, eingetragen 2016-08-17

\quoteon(2016-08-16 22:39 - MartinN in Beitrag No. 66) Das bei der Summe 0 rauskommt hat mMn weniger etwas mit den Grenzen zu tun, als mit der Definition... Schließlich ist auch: int(f(x),x,a,a) = F(a) - F(a-dx) = 0 \forall\ f(x),a Entsprechend könnte man auch eine unspezifische Summenformel definieren... [...] So würde ich es zumindest definieren ^^ (oder habe es immer so angesehen) Mag ein Mathematiker sich dazu äußern? \quoteoff Um ehrlich zu sein, kann ich mich schon mit deiner "Integralgleichung" wenig anfreunden, mit deinen nachfolgenden Analogieschlüssen also dann noch weniger. Ich sehe jetzt auch keinen Grund, von der üblichen Summendefinition $\sum_{k=a}^b f(k)$ abzuweichen, wobei hier $a$ und $b$ ganze Zahlen sind und $f$ eine beliebige Funktion ist, für welche die Werte $k=a,a+1,...,b$ im Definitionsbereich von $f$ liegen, wobei die "Bilder" in einem additiven Monoid (mit 0 als neutralem Element) liegen sollen, in der also insbesondere die "klammernfreie" Schreibweise von Summen Sinn macht. Algorithmisch geht bei dieser Definition wie folgt vor: 1. [Initialisierung] Setze $s\leftarrow 0$ und $k\leftarrow a$. 2. [Abbruchbedingung] Ist $k>b$ so STOPP, wobei der momentane Wert von s als Wert der Summe zurückgegeben wird. 3. [Summierung] Berechne $f(k)$ und setze $s\leftarrow s+f(k)$. 4. [Inkrementierung von $k$ und Rücksprung] Setze $k\leftarrow k+1$ und gehe zu 2. Wenn man sich streng an diese Anweisungen hält, kommt also für eine Summe der obigen Art, in der die Obergrenze b kleiner als a ist, dann tatsächlich 0 heraus, wie behauptet, und das ohne Hexerei! ;-)


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blindmessenger
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  Beitrag No.76, eingetragen 2016-08-17

Ich komme übrigens mit 8 GB Arbeitsspeicher bis zur Zahl 239854...


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weird
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  Beitrag No.77, eingetragen 2016-08-17

\quoteon(2016-08-17 09:22 - blindmessenger in Beitrag No. 76) Ich komme übrigens mit 8 GB Arbeitsspeicher bis zur Zahl 239854... \quoteoff Wobei? :-?


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blindmessenger
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  Beitrag No.78, eingetragen 2016-08-17

\quoteon(2016-08-12 19:17 - cyrix in Beitrag No. 35) $f(n)= \left((n-1)!+1\; \mathrm{MOD}\; n\right) \cdot (2-n) + n$, \quoteoff Wenn ich diese Formel mit Pari rechnen lasse...


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weird
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  Beitrag No.79, eingetragen 2016-08-17

\quoteon(2016-08-17 10:05 - blindmessenger in Beitrag No. 78) \quoteon(2016-08-12 19:17 - cyrix in Beitrag No. 35) $f(n)= \left((n-1)!+1\; \mathrm{MOD}\; n\right) \cdot (2-n) + n$, \quoteoff Wenn ich diese Formel mit Pari rechnen lasse... \quoteoff Achso, du steckst noch bei Beitrag #35. Also dann einfach mal weiterlesen, es wird dann noch richtig interessant. :-D


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