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 Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5 |
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haribo
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 |  Beitrag No.680, eingetragen 2017-02-05
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\quoteon(2017-02-05 08:18 - Slash in Beitrag No. 676)
Die Färbbarkeit die du meinst (soweit ich dich verstanden habe) ist ja immer auf die "normale" Knotenfärbbarkeit zu übertragen, indem man in jede Fläche einen Knoten setzt und daraus einen Graph bildet. Und dafür gibt es ganz strenge graphentheoretische Gesetze.
\quoteoff
nun es muss dabei wohl durch jede linie genau eine neue line gehen
die dualen punkte haben also eine wertigkeit entsprechend der anzahl der linien um die fläche im graphen
sonst wäre der duale graph ja nicht umkehrbar
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_stdual-graph.PNG
ich lande dann bei der nochmals reduzierten frage ob das dual einer linie mit einer umgebungsfläche so eine schlaufe (unten rechts) wird
und wie es sich dabei dann mit der färbbarkeit verhält, die duale linie hat ja an beiden enden zwangsläufig die gleiche farbe, was sie nicht darf
es müsste ein regenbogenfarbiger bunter-punkt sein
das problem dürfte schon irgendwer definiert haben, nehme ich an
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 | Beitrag No.681, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-06
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Also bei Wiki (hier) wird gesagt, dass so eine Schleife definiert sein kann oder auch nicht. Doch ob mit oder ohne - ich komme immer auf eine 2-Färbbarkeit. Denn die roten Punkte werden ja nicht verbunden (braun). Und ob der grüne Punkt mit sich selbst verbunden durch die Kante geht ist ja egal. Das wirkt sich nicht auf die roten aus. Mit anderen Worten, ob die Verbindungskante existiert oder nicht ist völlig egal für die Färbbarkeit der Flächen.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_dualgraph2.png
Bei dieser Landkarte mit zwei Ländern würde auch niemand darauf kommen die Fläche 1) verschieden zu färben.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_bsp2l_nder.png
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| Beitrag No.682, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-06
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Mal was anderes. ;-)
Mich würde interessieren, ob man mit dem Streichholzprogramm diese Art von 4/4 Graphen zurechbiegen kann. Da die Graphen (Kanten alle gleich 1) noch nicht vollständig sind, müsste man verschiedene Ideen durchrechnen lassen sie zu schließen.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_zum_testen_-_Slash.png
Der Kreisgraph ist natürlich simpel von der Idee, doch mit wie vielen Kanten ließe er sich realisieren?
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_Kreis_zum_testen_-_Slash.png
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| Beitrag No.683, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-06
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Frage zu Alt-Material:
Hatten wir diesen 4/5 mit 116 schon mal geprüft?
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_5_mit_116_-b_Slash.png
Sollte #633-1 nochmal mit aktuellem Programm geprüft werden oder war der erledigt?
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| Beitrag No.684, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-07
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Wenn man die Genauigkeit auf die Spitze treiben will. Oder: Knapp daneben ist auch vorbei. ;-)
Was so aussieht wie ein 3/4/6 ist in wirklichkeit ein 4/4 mit 54 Kanten mit einer Abweichung der inneren Kanten von der Einheitslänge ab der 10^1000sten Nachkommastelle. In der Mitte sind also 3, drum herum 12 und außen wieder 12 4er-Knoten.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_mit_54_falsch_-_Slash.png
Meine beste Näherung ist übrigens dieser Graph mit 84 Kanten. Er besitzt nur 4 etwas zu lange Kanten. Man kann ihn also auseinanderziehen und nur diese 4 Kanten ändern ihre Länge bzw. zusammenschieben und die 4 Kanten beliebig der Länge 1 annähern.
Während der 54er höchstens 42 korrekte Kanten enthalten kann, also ca. 22% der Kanten falsch sind, besitzt der 84er nur ca. 5% falsche Kanten.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_mit_84_falsch_-_Slash.png
Eventuell lässt er sich so verziehen, dass sogar nur 2 Kanten falsch sind, aber das müsste Stefan testen.
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haribo
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| Beitrag No.685, eingetragen 2017-02-07
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kannst du den 54er mal etwas verzerrt darstellen, das man ihn versteht?
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Slash
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| Beitrag No.686, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-07
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Das würde dann sehr übertrieben so aussehen.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_mit_54_grob_-_Slash.png
Da ja kein Such-Algorithmus unendlich genau rechnen kann, müsste ein solcher eigentlich genau diesen Graphen finden. Vorausgesetzt es werden diesbezüglich keine Schranken eingebaut und nur versucht einen 4/4 mit möglichst wenig Kanten zu finden.
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haribo
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| Beitrag No.687, eingetragen 2017-02-07
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\quoteon(2017-02-06 06:01 - Slash in Beitrag No. 682)
Der Kreisgraph ist natürlich simpel von der Idee, doch mit wie vielen Kanten ließe er sich realisieren?
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_Kreis_zum_testen_-_Slash.png
\quoteoff
im 18eck mit 108 hölzern lässte er sich das erste mal realisieren
der nachteil ist die inneren hölzer fallen zwangsweise übereinander und dann sind es immer 3er knoten im ersten ring... die roten radialen zeigen das problem
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_stkreisgraph.png
nachtrag: hier noch die ganze serie, dein skizzierter war also der im 24eck und es gibt wohl doch kleinere als der im 18eck
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_stkreisgraphen.png
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Wally
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 | Beitrag No.688, eingetragen 2017-02-07
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Hätte Nr. 686 bzw. 684 dann nicht eine zu große Winkelsumme?
Sieht eher wie Rundungsfehler aus, leider.
Wally
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| Beitrag No.689, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-07
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\quoteon(2017-02-07 22:08 - Wally in Beitrag No. 688)
Hätte Nr. 686 bzw. 684 dann nicht eine zu große Winkelsumme?
Sieht eher wie Rundungsfehler aus, leider.
\quoteoff
Die Kanten haben ja nicht alle Einheitslänge. Der Graph mit Einheitskanten ist ja nicht möglich. Es ist nur ein hypothetisches Beispiel dafür, dass man nicht auf endlich viele Nachkommastellen Genauigkeit vertrauen darf. Manche Kanten wären länger, manche kürzer. Aber man kann es eben so annähern, dass der Graph wie in #686 aussieht und trotzdem ein 4-regulärer planarer Graph ist - aber eben ohne Einheitskanten im Inneren.
Der Such-Algorithmus dafür würde also mit 4er-Knoten arbeiten und die Kanten dehnen bzw. stauchen. Mit den Winkeln dürfte es aber keine Probleme geben.
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Slash
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| Beitrag No.690, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-07
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\quoteon(2017-02-07 21:42 - haribo in Beitrag No. 687)
der nachteil ist die inneren hölzer fallen zwangsweise übereinander und dann sind es immer 3er knoten im ersten ring... die roten radialen zeigen das problem
\quoteoff
Ach ja, die 3er-Knoten hatte ich total übersehen.
...trotzdem schöne Traumfänger. :-)
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haribo
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| Beitrag No.691, eingetragen 2017-02-08
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\quoteon(2017-02-07 23:04 - Slash in Beitrag No. 689)
Die Kanten haben ja nicht alle Einheitslänge. Der Graph mit Einheitskanten ist ja nicht möglich. Es ist nur ein hypothetisches Beispiel dafür, dass man nicht auf endlich viele Nachkommastellen Genauigkeit vertrauen darf. Manche Kanten wären länger, manche kürzer. Aber man kann es eben so annähern, dass der Graph wie in #686 aussieht und trotzdem ein 4-regulärer planarer Graph ist - aber eben ohne Einheitskanten im Inneren.
\quoteoff
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st54-verkuerzt.PNG
hier eine variante die ohne verlängerungen auskommt, also nur mit verkürzungen arbeitet
welche aber immer noch 12 hölzer betrifft (rot)
hast du eine symetrische variante mit weniger veränderungen?
im beispiel sind die roten mit l=0.9 gezeichnet, aber natürlich funktioniert es genauso mit l=1-jota, also ist der summenfehler tatsächlich beliebig klein (12*jota)
im detail des javaprogramms hatten wir übrigends die "abweichungen" aufaddiert, eine verkürzung konnte nicht mit einer verlängerung ausgeglichen werden... ich bin also weiter auf fehlersuche...
haribo
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haribo
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| Beitrag No.692, eingetragen 2017-02-08
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http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st54-6verkuerzt.PNG
minimierung auf die summe 6*jota
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| Beitrag No.693, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-08
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zu #691: sehr schön
zu #692: SUPER! :-)
Man könnte noch unterscheiden zwischen Graphen mit 6 äußeren geraden Kanten der Länge 2 und eben gewinkelten wie in deinen Beispielen.
Schaffen wir es noch 54 Kanten zu unterbieten?
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haribo
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| Beitrag No.694, eingetragen 2017-02-08
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http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st54-6verkuerzt-sym.PNG
und nun als symetrische 6*jota variante
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.692 begonnen.]
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haribo
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| Beitrag No.695, eingetragen 2017-02-08
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nachtrag: 6 äußeren geraden Kanten der Länge 2 erfordert IMO mehr als 2 verschiedene längen, erst recht wenn aussen ein regelmässiges 6-eck vorliegen soll,
aber klar man kann die kürzeste als 1-jota bezeichnen und dafür sorgen das alle anderen eben die längen dazwischen haben (1-jota)
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Slash
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| Beitrag No.696, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-08
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Das wäre dann eine neue Kategorie von SHG: die beliebig kleinen fehlerhaften Graphen. Ein 4/4 mit 54 Kanten mit 6 fast Einheitskanten könnten wir als "Iota-Graphen" und 4/4 mit 54(~6) oder ähnlichem bezeichnen. Diese müssten natürlich immer flexibel sein.
Hier zwei weitere Beispiele für Iota-Graphen. Die Knoten der Rauten würden sich auf +Iota annähern.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_mit_94_4_kurz_-_Slash.png
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_mit_84_6_kurz_-_Slash.png
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haribo
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| Beitrag No.697, eingetragen 2017-02-08
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wie wir schon früher feststellten kann man ein viertel des harborth graphen auch derartig zusammenfalte das eine aus 12 dreiecken bestehende raute entsteht (blau im bild)
nimmt man 6 solche elemente dann entsteht ein jota-graph mit 156 hölzern, d.h. es gibt zwei fehlstellen die zusammenfallen würden wenn die raute ganz geschlossen wird... oder eben mit einigen jota elementen (warscheinlich 4, die mit x makierten) geschlossen werden kann
diese zeichnung hatte ich schon vor monaten angefertigt... hab jetzt nur die fehlstellen neu makiert...aus der serie was ist schon wirklich neu
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-jota156.png
nachtrag: die raute war in #176
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=216644&post_id=1594887
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haribo
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| Beitrag No.698, eingetragen 2017-02-08
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zu deinen teilgraphen in #682 hab ich auch noch einen offenen 92er beizutragen, die öffnungen sind 1, also kann man da auch zB. dreiecke einfügen...
wir kamen ursprünglich von 4-fach symetrischen mit 120+hölzern
dann fandest du einige 3-fach symetrische in den 110ern
und diese sind jetzt im grunde 2-fach symetrisch,
da könnte sich also was ergeben
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st92-teilgraph.png
irgendwann finden wir dann natürlich noch ganz unsymetrische....mit ungefähr 80+ hölzern, das ist aber noch geheim
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| Beitrag No.699, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-08
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\quoteon(2017-02-08 16:27 - haribo in Beitrag No. 698)
irgendwann finden wir dann natürlich noch ganz unsymetrische....mit ungefähr 80+ hölzern, das ist aber noch geheim
\quoteoff
Aber sicher! We are a winning team. 8-)
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| Beitrag No.700, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-09
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Hier noch ein 4/4 Iota-Graph mit 88 Kanten und nur 2 zu kurzen, wenn er denn flexibel ist.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_mit_88_Iota_2_-_Slash.png
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| Beitrag No.701, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-10
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So, mal was neues! :-)
Neuartige 4/5 mit 123 bis 127 Kanten und 2 bis 10 5er-Knoten. Erstmalig mit 11 äußeren 2er Kanten, gelungen durch eine Kombination von Kite und Triplet-Kite im Rahmen. Der 4/5 mit 124 schließt zudem eine Lücke in der unteren Liste.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_5_mit_123_und_127_Kanten_-_Slash.png
Die vielen Möglichkleiten von umsetzbaren Kanten erspare ich mir an dieser Stelle.
Kantenanzahl-Minimalitäts-Rekorde der (4,n)-regulären SHG.
4/4: 104, 108, 114, 120, 126, 130, 132, 134, ...
4/5: 115, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 131, 132, 133, 134, 135, ...
4/6: 117, 121, 122, 126, 128, ...
4/7: 159, 177, 185, 186, 201, 207, 213, ...
4/8: 126, 148, 168, ...
4/9: 273, 279, 283, 285, 295, 321, 339, 341, 343, ...
4/10: 231, ...
4/11: 813, 817, ... , 899, 1179...
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| Beitrag No.702, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-10
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Verkleinern führt zu einem 3er- bzw. 2er-Knoten, was auch ungewöhnlich ist.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_5_mit_3er_Knoten_-_Slash.png
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| Beitrag No.703, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-10
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Wird schon irgendwo für gut sein. ;-)
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_5_mit_147_-_Slash.png
Und noch mal mit unsymmetrischem Inneren.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_5_neu_II_-_Slash.png
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StefanVogel
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| Beitrag No.704, eingetragen 2017-02-11
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\quoteon(2017-02-06 06:01 - Slash in Beitrag No. 682)
Mich würde interessieren, ob man mit dem Streichholzprogramm diese Art von 4/4 Graphen zurechbiegen kann. Da die Graphen (Kanten alle gleich 1) noch nicht vollständig sind, müsste man verschiedene Ideen durchrechnen lassen sie zu schließen.
\quoteoff
Von sich aus fügt das Streichholzpgrogramm keine neuen Kanten hinzu, dafür fehlt ein Algorithmus.
Der #683 lässt sich nur bis auf zwei Kanten zurechtziehen.
\geo
ebene(354.02,488.42)
x(8.75,15.29)
y(10.3,19.32)
form(.)
#//Eingabe war:
#
#No.683
#
#
#
#
#P[1]=[-49,85]; P[2]=[0,62]; D=ab(1,2); A(2,1); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,4,5); L(7,6,5); M(8,1,3,blauerWinkel); L(9,1,8); L(10,9,8); L(11,9,10); L(12,10,8); N(13,12,3); L(14,12,13); N(15,13,6); A(7,15,ab(7,15,[1,15],"gespiegelt")); A(11,25,ab(11,25,[1,28],"gespiegelt")); L(55,52,54); N(56,54,41); L(57,41,39); A(12,57); A(14,57); A(26,55); A(28,55); A(14,56); A(28,56); R(12,57); R(14,57); R(26,55); R(28,55); R(14,56); R(28,56);
#
#
#//Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(9.094763055926972,11.570308984616478,P1)
p(10,11.145401847602608,P2)
p(9.915361902866813,12.14181360612098,P3)
p(10.820598846939841,11.716906469107109,P4)
p(10.905236944073028,10.720494710588737,P5)
p(11.72583579101287,11.291999332093237,P6)
p(11.810473888146056,10.295587573574867,P7)
p(9.861653370378455,12.21208717495992,P8)
p(8.922411996720488,12.555344574019422,P9)
p(9.689302311171971,13.197122764362863,P10)
p(8.750060937514004,13.540380163422363,P11)
p(10.628543684829939,12.853865365303363,P12)
p(10.88224182787993,11.88658192586434,P13)
p(11.593084787569115,12.589932682358082,P14)
p(11.797509816095436,12.289427441847753,P15)
p(14.509379170258216,11.605515158667682,P16)
p(13.609744076220828,11.16887263030341,P17)
p(13.681418101303397,12.166300740057924,P18)
p(12.781783007266009,11.729658211693653,P19)
p(12.710108982183442,10.73223010193914,P20)
p(11.882147913228621,11.293015683329381,P21)
p(13.734208285048089,12.23726677023868,P22)
p(14.668906672155394,12.592708643319218,P23)
p(13.893735786945271,13.224460254890214,P24)
p(14.828434174052575,13.579902127970756,P25)
p(12.959037399837964,12.869018381809676,P26)
p(12.717938850569858,11.898517743200502,P27)
p(11.998009917779344,12.592565530986844,P28)
p(9.069115941308363,15.514767132725439,P29)
p(9.96875103534575,15.95140966108971,P30)
p(9.897077010263184,14.953981551335195,P31)
p(10.79671210430057,15.390624079699467,P32)
p(10.868386129383136,16.38805218945398,P33)
p(11.696347198337955,15.827266608063738,P34)
p(11.76802122342052,16.824694717818254,P35)
p(9.844286826518488,14.88301552115444,P36)
p(8.909588439411184,14.5275736480739,P37)
p(9.684759324621309,13.895822036502905,P38)
p(10.619457711728613,14.251263909583445,P39)
p(10.86055626099672,15.221764548192619,P40)
p(11.580485193787231,14.527716760406276,P41)
p(11.780985295471142,14.830854849545368,P42)
p(14.483732055639608,15.54997330677664,P43)
p(13.578495111566578,15.974880443790514,P44)
p(13.663133208699767,14.978468685272139,P45)
p(12.757896264626737,15.403375822286012,P46)
p(12.67325816749355,16.399787580804382,P47)
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p(13.716841741188121,14.908195116433202,P49)
p(14.656083114846092,14.564937717373695,P50)
p(13.889192800394607,13.923159527030256,P51)
p(12.949951426736638,14.266416926089756,P52)
p(12.696253283686648,15.23370036552878,P53)
p(11.98541032399746,14.530349609035039,P54)
p(12.239108467047451,13.563066169596013,P55)
p(11.789315023651781,13.549764766615812,P56)
p(11.339386644519124,13.557216121797103,P57)
nolabel()
s(P1,P2)
s(P1,P3) s(P2,P3)
s(P3,P4) s(P2,P4)
s(P4,P5) s(P2,P5)
s(P4,P6) s(P5,P6)
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s(P1,P8)
s(P1,P9) s(P8,P9)
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s(P32,P34) s(P33,P34)
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s(P46,P48) s(P47,P48)
s(P43,P49)
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s(P49,P51) s(P50,P51)
s(P49,P52) s(P51,P52)
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s(P41,P57) s(P39,P57)
pen(2)
color(#0000FF) m(P3,P1,MA10) m(P1,P8,MB10) b(P1,MA10,MB10)
pen(2)
color(red) s(P12,P57) abstand(P12,P57,A0) print(abs(P12,P57):,8.75,19.319) print(A0,9.95,19.319)
color(red) s(P14,P57) abstand(P14,P57,A1) print(abs(P14,P57):,8.75,19.042) print(A1,9.95,19.042)
color(red) s(P26,P55) abstand(P26,P55,A2) print(abs(P26,P55):,8.75,18.764) print(A2,9.95,18.764)
color(red) s(P28,P55) abstand(P28,P55,A3) print(abs(P28,P55):,8.75,18.487) print(A3,9.95,18.487)
color(red) s(P14,P56) abstand(P14,P56,A4) print(abs(P14,P56):,8.75,18.21) print(A4,9.95,18.21)
color(red) s(P28,P56) abstand(P28,P56,A5) print(abs(P28,P56):,8.75,17.933) print(A5,9.95,17.933)
print(min=0.9796856309671984,8.75,17.656)
print(max=1.0000000000000047,8.75,17.379)
\geooff
\geoprint()
Der #633/1/#629/1/#611-1 ist nach aktueller Definition ein Iota-Graph, man kann die Kanten beliebig nahe zu 1 machen, jedoch bei exakt 1 fallen Knoten zusammen. Das Zusammenfallen der Knoten ist geometrisch beweisbar, in dem Ausschnitt
\geo
ebene(429.57,396.06)
x(8.24,12.28)
y(10.1,13.83)
form(.)
#//Eingabe war:
#
#No.611 Ausschnitt
#
#
#
#
#P[1]=[-47,37]; P[2]=[56,11]; D=ab(1,2); A(2,1); L(3,1,2); M(4,1,3,blauerWinkel); L(5,1,4); M(6,5,4,gruenerWinkel); L(7,5,6); L(8,7,6); L(9,7,8); N(10,4,3); N(11,6,4); N(12,8,11); L(13,10,3); L(14,10,13); M(15,14,13,180-blauerWinkel); M(16,14,13,-120); A(11,16); R(2,15); R(9,15); P[10]=[52.94,212.07]; P[11]=[43.94,224.07];
#
#
#//Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(9.557567444418508,10.348297969287557,P1)
p(10.527153683246032,10.103548044923327,P2)
p(10.254320215906013,11.065609321089884,P3)
p(9.716881012625588,11.335526001195651,P4)
p(8.782259673561525,10.97988158247648,P5)
p(9.47901244504903,11.697192934278807,P6)
p(8.509426206221507,11.941942858643037,P7)
p(9.20617897770901,12.659254210445363,P8)
p(8.236592738881487,12.904004134809593,P9)
p(10.498348499840088,11.996312171535466,P10)
p(10.413627372175547,12.109273675088186,P11)
p(10.140800316773074,13.014898629164533,P12)
p(11.188941554970077,11.421253739809055,P13)
p(11.348255123177157,12.408481771717149,P14)
p(12.04500789466466,13.125793123519475,P15)
p(10.572947352320172,13.040065384906072,P16)
nolabel()
s(P1,P2)
s(P1,P3) s(P2,P3)
s(P1,P4)
s(P1,P5) s(P4,P5)
s(P5,P6)
s(P5,P7) s(P6,P7)
s(P7,P8) s(P6,P8)
s(P7,P9) s(P8,P9)
s(P4,P10) s(P3,P10)
s(P6,P11) s(P4,P11) s(P16,P11)
s(P8,P12) s(P11,P12)
s(P10,P13) s(P3,P13)
s(P10,P14) s(P13,P14)
s(P14,P15)
s(P14,P16)
pen(2)
color(#0000FF) m(P3,P1,MA10) m(P1,P4,MB10) b(P1,MA10,MB10)
color(#008000) m(P4,P5,MA11) m(P5,P6,MB11) b(P5,MA11,MB11)
pen(2)
color(red) s(P2,P15)
color(red) s(P9,P15)
\geooff
\geoprint()
kann man von blauen und grünen Winkel ausgehend nach und nach alle 53 Innenwinkel bestimmen. Zusammen mit der Bedingung Winkel(P2,P15,P9)=60° erhält man Winkel(P11,P4,P10)=0°, die Punkte P10 und P11 fallen zusammen.
Die darauffolgenden Iota-Graphen bis #697 habe ich nicht gezeichnet, ich denke man sieht auch so, dass bei Kantenlänge 1 Knoten und Kanten zusammenfallen müssen.
Dass die Kreisgraphen in #687 funktionieren finde ich erstaunlich. Gibt es dafür eine geometrische Begründung? Übersehe ich da eine einfache Begründung? Das Streichholzprogramm sagt auf weit über 10 Nachkommastellen genau Länge 1, doch das zählt ja nicht.
#700 ist kein Iota-Graph. Der blaue Winkel in P1 wird benötigt, um Kante P15-P44 zu 1 zu machen, danach ist der Graph starr mit P6-P9=0,757.
\geo
ebene(307.05,393.51)
x(8.79,14.93)
y(10,17.87)
form(.)
#//Eingabe war:
#
#No.700
#
#
#
#P[1]=[0,0]; P[2]=[50,0]; D=ab(1,2); A(2,1); P[3]=[25,43.3]; A(1,3); A(2,3); L(4,3,2); L(5,4,2); M(6,1,3,blauerWinkel); N(7,6,3); L(8,1,6); N(9,8,7); L(10,8,9); N(11,10,7); L(12,10,11); L(13,12,11); L(14,12,13); Q(15,13,4,D,2*D); A(4,15); H(16,4,15,2); A(4,16); A(16,15); N(17,16,5); L(18,17,5); L(19,17,18); L(20,19,18); N(21,16,19); A(21,15); N(22,21,20); L(23,22,20); A(14,23,ab(23,14,[1,23])); A(15,44); A(22,37); R(15,44); R(22,37); R(6,9); R(29,32); A(6,9); A(29,32);
#
#
#//Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(10,10,P1)
p(11,10,P2)
p(10.5,10.866,P3)
p(11.499977999677323,10.866012701892219,P4)
p(11.999977999677323,10.000012701892219,P5)
p(10.250120331642613,10.9682147590793,P6)
p(10.75019995828345,11.834194185520115,P7)
p(9.286561588139602,10.700717940745141,P8)
p(9.786641214780438,11.566697367185956,P9)
p(8.786641219007597,11.566789314551551,P10)
p(9.750199962510608,11.83428613288571,P11)
p(9.036761550650208,12.535004073630851,P12)
p(10.00032029415322,12.80250089196501,P13)
p(9.286881882292821,13.503218832710154,P14)
p(11.00032028993687,12.802592721694378,P15)
p(11.250149144807096,11.834302711793297,P16)
p(11.750228669577378,10.968323226525008,P17)
p(12.713684847711184,10.700457228653313,P18)
p(12.463935517611237,11.668767753286103,P19)
p(13.427391695745044,11.400901755414406,P20)
p(11.963855992840957,12.534747238554392,P21)
p(12.927312170974764,12.266881240682697,P22)
p(13.927312166758414,12.266973070412064,P23)
p(13.214194049051235,15.770191903122216,P24)
p(12.214194049051235,15.770191903122216,P25)
p(12.714194049051237,14.904191903122218,P26)
p(11.714216049373912,14.904179201229997,P27)
p(11.214216049373912,15.770179201229997,P28)
p(12.964073717408622,14.801977144042915,P29)
p(12.463994090767788,13.935997717602099,P30)
p(13.927632460911633,15.069473962377074,P31)
p(13.427552834270797,14.203494535936258,P32)
p(14.427552830043638,14.203402588570667,P33)
p(13.463994086540627,13.935905770236506,P34)
p(14.177432498401027,13.235187829491366,P35)
p(13.213873754898016,12.967691011157205,P36)
p(12.213873759114366,12.967599181427843,P37)
p(11.964044904244139,13.935889191328918,P38)
p(11.463965379473859,14.801868676597206,P39)
p(10.500509201340051,15.069734674468902,P40)
p(10.750258531439998,14.101424149836113,P41)
p(9.786802353306191,14.369290147707808,P42)
p(11.250338056210278,13.235444664567824,P43)
p(10.286881878076471,13.503310662439521,P44)
nolabel()
s(P3,P1)
s(P1,P2) s(P3,P2)
s(P3,P4) s(P2,P4) s(P16,P4)
s(P4,P5) s(P2,P5)
s(P1,P6) s(P9,P6)
s(P6,P7) s(P3,P7)
s(P1,P8) s(P6,P8)
s(P8,P9) s(P7,P9)
s(P8,P10) s(P9,P10)
s(P10,P11) s(P7,P11)
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s(P12,P13) s(P11,P13)
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s(P13,P15) s(P44,P15)
s(P15,P16)
s(P16,P17) s(P5,P17)
s(P17,P18) s(P5,P18)
s(P17,P19) s(P18,P19)
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s(P16,P21) s(P19,P21) s(P15,P21)
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s(P26,P24)
s(P24,P25) s(P26,P25)
s(P25,P27) s(P26,P27) s(P38,P27)
s(P25,P28) s(P27,P28)
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s(P31,P33) s(P32,P33)
s(P30,P34) s(P33,P34)
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s(P36,P37)
s(P37,P38)
s(P28,P39) s(P38,P39)
s(P28,P40) s(P39,P40)
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s(P40,P42) s(P41,P42)
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pen(2)
color(#0000FF) m(P3,P1,MA10) m(P1,P6,MB10) b(P1,MA10,MB10)
pen(2)
color(red) s(P15,P44) abstand(P15,P44,A0) print(abs(P15,P44):,8.79,17.87) print(A0,10.09,17.87)
color(red) s(P22,P37) abstand(P22,P37,A1) print(abs(P22,P37):,8.79,17.57) print(A1,10.09,17.57)
color(red) s(P6,P9) abstand(P6,P9,A2) print(abs(P6,P9):,8.79,17.27) print(A2,10.09,17.27)
color(red) s(P29,P32) abstand(P29,P32,A3) print(abs(P29,P32):,8.79,16.97) print(A3,10.09,16.97)
print(min=0.7569638855146831,8.79,16.67)
print(max=1.0000711242753513,8.79,16.37)
\geooff
\geoprint()
Dann folgen noch mehrere acos(1/4)-Graphen, wo mit Button "acos(1/4)" und dem GAP-Programm alle Kantenlängen exakt 1 nachgerechnet werden können.
#701-1 und 2
\geo
ebene(326.58,427.83)
x(12.62,20.04)
y(11.45,21.18)
form(.)
#//Eingabe war:
#
#No.701-1 und 2
#
#
#
#
#P[1]=[222,64]; P[2]=[266,64]; D=ab(1,2); A(2,1); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); M(6,1,3,blauerWinkel); L(7,1,6); L(8,7,6); L(9,7,8); N(10,6,3); N(11,8,10); N(12,9,11); L(13,9,12); L(14,13,12); L(15,13,14); L(16,11,10); N(17,4,16); N(18,17,5); L(19,18,5); L(20,18,19); L(21,20,19); N(22,17,20); A(16,22); N(23,22,21); L(24,23,21); L(25,23,24); L(26,25,24); N(27,22,25); N(28,27,26); N(29,16,27); N(30,11,29); N(31,14,30); N(32,15,31); L(33,15,32); L(34,33,32); N(35,34,31); N(36,35,30); A(36,29); L(37,33,34); N(38,37,35); L(39,35,36); L(40,37,38); L(41,40,38); L(42,40,41); A(41,39); N(43,42,39); N(44,39,29); N(45,43,44); L(46,42,43); L(47,43,45); A(47,46); L(48,46,47); L(49,45,44); L(50,28,26); L(51,28,50); L(52,51,50); N(53,27,51); N(54,53,52); L(55,54,52); L(56,54,55); L(57,56,55); N(58,53,56); A(44,58); N(59,58,57); A(49,59); L(60,49,59); L(61,59,57); A(60,61); A(48,61); A(60,48); R(11,16); R(22,27); R(35,39); R(29,44);
#
#
#//Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(15.045454545454547,11.454545454545455,P1)
p(16.045454545454547,11.454545454545455,P2)
p(15.545454545454547,12.320570858329893,P3)
p(16.545454545454547,12.320570858329893,P4)
p(17.045454545454547,11.454545454545455,P5)
p(15.295454545454547,12.422791291097308,P6)
p(14.331929053892125,12.155174723767491,P7)
p(14.581929053892125,13.123420560319346,P8)
p(13.618403562329704,12.855803992989529,P9)
p(15.795454545454547,13.288816694881747,P10)
p(15.081929053892125,13.989445964103783,P11)
p(14.118403562329704,13.721829396773966,P12)
p(13.118403562329704,13.721829396773966,P13)
p(13.618403562329704,14.587854800558407,P14)
p(12.618403562329704,14.587854800558407,P15)
p(16.045454545454547,14.2570625314336,P16)
p(16.295454531026557,13.288816691156457,P17)
p(16.795454531026557,12.422791287372018,P18)
p(17.758980026576776,12.155174734399848,P19)
p(17.50898001214879,13.123420567226411,P20)
p(18.472505507699008,12.855804014254243,P21)
p(17.00898001214879,13.98944597101085,P22)
p(17.97250550769901,13.721829418038682,P23)
p(18.97250550769901,13.721829418038679,P24)
p(18.47250550769901,14.587854821823118,P25)
p(19.47250550769901,14.587854821823116,P26)
p(17.508980012148793,14.855471374795288,P27)
p(18.508980012148797,14.855471374795284,P28)
p(16.54545452236977,15.123087948546043,P29)
p(15.581929030807348,14.855471381216224,P30)
p(14.581929030807352,14.855471451002522,P31)
p(13.581929030807352,14.855471451002522,P32)
p(12.868403478808222,15.55610065867541,P33)
p(13.83192894728587,15.823717309119527,P34)
p(14.83192894728587,15.823717309119527,P35)
p(15.831928947285867,15.823717239333227,P36)
p(13.118403395286741,16.524346516792413,P37)
p(14.118403395286741,16.524346516792413,P38)
p(15.331929007722575,16.689742678010813,P39)
p(13.618403395286741,17.390371920576854,P40)
p(14.618403395286741,17.390371920576854,P41)
p(14.11840339528674,18.256397324361295,P42)
p(14.831928789060402,17.55576795555055,P43)
p(16.045454341059507,15.989113247650927,P44)
p(15.545454122397338,16.855138525190668,P45)
p(15.081928924201131,18.524013757209207,P46)
p(15.795454341059546,17.823384305284154,P47)
p(16.045454536637003,18.79163016849195,P48)
p(16.545454122397306,16.85513877768001,P49)
p(19.222505493271026,15.55610065464968,P50)
p(18.258979997720807,15.823717207621847,P51)
p(18.972505478843036,16.524346487476244,P52)
p(17.258979997720807,15.82371720762185,P53)
p(17.972505478843036,16.524346487476244,P54)
p(18.47250547884304,17.390371891260685,P55)
p(17.47250547884304,17.390371891260685,P56)
p(17.97250547884304,18.256397295045126,P57)
p(16.758979997720807,16.68974261140629,P58)
p(17.25897999772081,17.55576801519073,P59)
p(16.29545434174066,17.823384930723055,P60)
p(17.008979983292825,18.52401384801729,P61)
nolabel()
s(P1,P2)
s(P1,P3) s(P2,P3)
s(P3,P4) s(P2,P4)
s(P4,P5) s(P2,P5)
s(P1,P6)
s(P1,P7) s(P6,P7)
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s(P9,P12) s(P11,P12)
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s(P37,P38) s(P35,P38)
s(P35,P39) s(P36,P39)
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s(P40,P41) s(P38,P41) s(P39,P41)
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s(P42,P43) s(P39,P43)
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s(P43,P47) s(P45,P47) s(P46,P47)
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s(P45,P49) s(P44,P49) s(P59,P49)
s(P28,P50) s(P26,P50)
s(P28,P51) s(P50,P51)
s(P51,P52) s(P50,P52)
s(P27,P53) s(P51,P53)
s(P53,P54) s(P52,P54)
s(P54,P55) s(P52,P55)
s(P54,P56) s(P55,P56)
s(P56,P57) s(P55,P57)
s(P53,P58) s(P56,P58)
s(P58,P59) s(P57,P59)
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s(P59,P61) s(P57,P61)
pen(2)
color(#0000FF) m(P3,P1,MA10) m(P1,P6,MB10) b(P1,MA10,MB10)
\geooff
\geoprint()
#702
\geo
ebene(408.83,407.38)
x(8.22,15.52)
y(10.32,17.6)
form(.)
#//Eingabe war:
#
#No.702 mit 3-er Knoten P56
#
#
#
#
#P[1]=[36,18]; P[2]=[92,18]; D=ab(1,2); A(2,1); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); M(6,1,3,blauerWinkel); L(7,1,6); L(8,7,6); L(9,7,8); N(10,6,3); N(11,8,10); N(12,9,11); L(13,9,12); L(14,13,12); L(15,13,14); N(16,14,11); N(17,15,16); L(18,15,17); L(19,18,17); L(20,18,19); L(21,19,17); N(22,21,16); L(23,21,22); N(24,20,23); L(25,20,24); L(26,25,24); A(26,23); L(27,25,26); N(28,26,22); N(29,27,28); L(30,27,29); L(31,30,29); L(32,30,31); N(33,31,28); N(34,32,33); L(35,32,34); L(36,35,34); L(37,35,36); Q(38,10,4,D,2*D); A(4,38); H(39,4,38,2); A(4,39); A(39,38); N(40,39,5); L(41,40,5); L(42,40,41); L(43,42,41); N(44,39,42); A(38,44); N(45,44,43); L(46,45,43); L(47,45,46); L(48,47,46); Q(49,38,47,D,2*D); A(47,49); H(50,47,49,2); A(47,50); A(50,49); N(51,50,48); L(52,51,48); L(53,51,52); L(54,53,52); N(55,50,53); N(56,55,54); A(54,37); A(56,37); A(55,36); A(49,55); A(49,33);
#
#
#//Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(10.642857142857142,10.321428571428571,P1)
p(11.642857142857142,10.321428571428571,P2)
p(11.142857142857142,11.18745397521301,P3)
p(12.142857142857142,11.18745397521301,P4)
p(12.642857142857142,10.321428571428571,P5)
p(10.892857142857142,11.289674407980426,P6)
p(9.92933165129472,11.022057840650609,P7)
p(10.17933165129472,11.990303677202462,P8)
p(9.2158061597323,11.722687109872645,P9)
p(11.392857142857144,12.155699811764864,P10)
p(10.679331651294723,12.8563290809869,P11)
p(9.7158061597323,12.588712513657082,P12)
p(8.7158061597323,12.588712513657084,P13)
p(9.215806159732303,13.454737917441522,P14)
p(8.215806159732303,13.454737917441523,P15)
p(10.179331651294723,13.72235448477134,P16)
p(9.179331651294723,13.722354484771342,P17)
p(8.4658061597323,14.422983753993378,P18)
p(9.42933165129472,14.690600321323195,P19)
p(8.715806159732299,15.391229590545231,P20)
p(10.142857142857144,13.989971052101161,P21)
p(11.142857142857144,13.98997105210116,P22)
p(10.642857142857144,14.855996455885599,P23)
p(9.679331651294723,15.123613023215414,P24)
p(9.42933165129472,16.09185885976727,P25)
p(10.392857142857144,15.824242292437454,P26)
p(10.142857142857142,16.79248812898931,P27)
p(10.892857142857142,14.958216888653013,P28)
p(10.642857142857135,15.926462725204868,P29)
p(11.142857142857142,16.7924881289893,P30)
p(11.642857142857135,15.926462725204859,P31)
p(12.142857142857142,16.79248812898929,P32)
p(11.892857142857142,14.958216888653006,P33)
p(12.39285714285715,15.82424229243744,P34)
p(13.106382634419564,16.52487156165948,P35)
p(13.356382634419571,15.55662572510763,P36)
p(14.06990812598199,16.25725499432967,P37)
p(11.642857142857142,13.123945648316719,P38)
p(11.892857142857142,12.155699811764864,P39)
p(12.392857142857142,11.289674407980426,P40)
p(13.356382634419564,11.022057840650609,P41)
p(13.106382634419564,11.990303677202462,P42)
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#P[1]=[10,10]; P[2]=[63,10]; D=ab(1,2); A(2,1); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); M(6,1,3,blauerWinkel); L(7,1,6); L(8,7,6); L(9,7,8); N(10,6,3); N(11,8,10); N(12,9,11); L(13,9,12); L(14,13,12); L(15,13,14); N(16,14,11); N(17,15,16); L(18,15,17); L(19,18,17); L(20,18,19); L(21,19,17); N(22,21,16); L(23,21,22); N(24,20,23); L(25,20,24); L(26,25,24); A(26,23); L(27,25,26); N(28,26,22); A(26,28); N(29,27,28); L(30,27,29); L(31,29,28); N(32,30,31); L(33,30,32); L(34,32,31); N(35,33,34); L(36,33,35); L(37,36,35); L(38,36,37); M(39,5,4,-blauerWinkel); N(40,4,39); L(41,40,39); L(42,39,5); N(43,41,42); L(44,43,42); L(45,41,43); N(46,45,44); A(46,45); L(47,46,44); L(48,46,47); L(49,48,47); L(50,46,48); N(51,45,50); L(52,51,50); N(53,52,49); L(54,53,49); L(55,53,54); L(56,55,54); A(52,55); N(57,51,55); N(58,57,56); L(59,58,56); Q(60,38,59,2*D,D); A(38,60); H(61,38,60,2); A(38,61); A(61,60); L(62,61,38); L(63,60,61); L(64,59,60); A(64,58); N(65,57,64); A(63,65); A(62,63); N(66,65,62); A(66,37); M(67,51,57,180-blauerWinkel); N(68,66,67); A(68,51); N(69,68,34); A(69,28); L(70,69,28); A(70,67); L(71,67,70); L(72,67,71); A(72,45); A(72,40); A(71,10); A(67,51);
#
#
#//Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(10.18867924528302,10.18867924528302,P1)
p(11.18867924528302,10.18867924528302,P2)
p(10.68867924528302,11.054704649067457,P3)
p(11.68867924528302,11.054704649067457,P4)
p(12.18867924528302,10.18867924528302,P5)
p(10.43867924528302,11.156925081834872,P6)
p(9.475153753720598,10.889308514505055,P7)
p(9.725153753720598,11.85755435105691,P8)
p(8.761628262158176,11.589937783727091,P9)
p(10.93867924528302,12.022950485619312,P10)
p(10.225153753720598,12.723579754841348,P11)
p(9.261628262158176,12.45596318751153,P12)
p(8.261628262158176,12.45596318751153,P13)
p(8.761628262158176,13.32198859129597,P14)
p(7.761628262158174,13.32198859129597,P15)
p(9.725153753720598,13.589605158625787,P16)
p(8.725153753720598,13.589605158625785,P17)
p(8.011628262158178,14.290234427847823,P18)
p(8.9751537537206,14.557850995177638,P19)
p(8.26162826215818,15.258480264399678,P20)
p(9.68867924528302,13.857221725955599,P21)
p(10.68867924528302,13.8572217259556,P22)
p(10.188679245283017,14.723247129740038,P23)
p(9.225153769671788,14.990863754500452,P24)
p(8.975153711959843,15.959109576151143,P25)
p(9.938679219473451,15.691493066251919,P26)
p(9.688679161761506,16.65973888790261,P27)
p(10.438678885386901,14.825467469582605,P28)
p(10.188678827674956,15.7937132912333,P29)
p(10.688679161761431,16.659738502132736,P30)
p(11.152204335188564,15.526096781334072,P31)
p(11.65220466927504,16.39212199223351,P32)
p(11.402204611563095,17.360367813884203,P33)
p(12.15220433518849,15.526096395564196,P34)
p(11.902204277476546,16.49434221721489,P35)
p(12.402204611563022,17.360367428114326,P36)
p(12.902204277476471,16.494341831445013,P37)
p(13.402204611562945,17.36036704234445,P38)
p(11.93867924528302,11.156925081834872,P39)
p(11.43867924528302,12.022950485619312,P40)
p(12.43867924528302,12.022950485619312,P41)
p(12.902204736845441,10.889308514505055,P42)
p(13.40220473684544,11.755333918289494,P43)
p(13.902204736845441,10.889308514505057,P44)
p(13.15220473684544,12.72357975484135,P45)
p(13.652204736845441,11.85755435105691,P46)
p(14.615730228407863,11.589937783727091,P47)
p(14.365730228407863,12.558183620278946,P48)
p(15.329255719970284,12.290567052949129,P49)
p(13.402204736845443,12.825800187608763,P50)
p(12.902204736845444,13.691825591393204,P51)
p(13.902204736845444,13.6918255913932,P52)
p(14.615730263034056,12.991196357434708,P53)
p(15.579255767822504,13.25881287714559,P54)
p(14.865730310886278,13.95944218163117,P55)
p(15.829255815674724,14.227058701342052,P56)
p(13.865730310886327,13.959441861767758,P57)
p(14.829255815674776,14.227058381478644,P58)
p(15.329255538664913,15.093083945194742,P59)
p(14.829257584042455,15.959110529875236,P60)
p(14.115731097802701,16.659738786109845,P61)
p(13.15220598617446,16.39212085087047,P62)
p(13.865732472414216,15.691492594635864,P63)
p(14.329255538667702,15.093086306991681,P64)
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p(12.652204660735054,15.526096212330183,P66)
p(11.902204736845492,13.691825899589775,P67)
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p(10.9386774838125,13.959438029504192,P70)
p(11.18868220746225,12.991192886181775,P71)
p(12.152209460495243,12.723580756267358,P72)
nolabel()
s(P1,P2)
s(P1,P3) s(P2,P3)
s(P3,P4) s(P2,P4)
s(P4,P5) s(P2,P5)
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pen(2)
color(#0000FF) m(P3,P1,MA10) m(P1,P6,MB10) b(P1,MA10,MB10)
\geooff
\geoprint()
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| Beitrag No.705, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-11
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Wie immer besten Dank für deine Prüfungen, Stefan!
Ich schlage vor, dass wie einen "Iota-Graphen" doch besser in "Epsilon-Graphen" umbenennen, da in der Mathematik ε zur Bezeichnung einer beliebig kleinen Zahl größer als null dient. Der Buchstabe Iota ist ja eher in der Literatur und (Umgangs)sprache angesiedelt. In einer Veröffentlichung käme das bei den Profis besser an, wie auch (4,n) statt 4/n. Hier im Thread, wo wir uns fast blind verstehen, ist es ja eigentlich egal, aber außerhalb würde ich dann eben auf Epsilon zurückgreifen.
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haribo
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| Beitrag No.706, eingetragen 2017-02-11
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\quoteon(2017-02-11 06:38 - StefanVogel in Beitrag No. 704)
Dass die Kreisgraphen in #687 funktionieren finde ich erstaunlich. Gibt es dafür eine geometrische Begründung? Übersehe ich da eine einfache Begründung? Das Streichholzprogramm sagt auf weit über 10 Nachkommastellen genau Länge 1, doch das zählt ja nicht.
\quoteoff
danke der nachfrage,
also erlich, ich hab den 18er kreisgraphen grob passend hingeschoben (natürlich nur den einen teil zwischen den beiden radialen) und hatte dann nen winkel von 20,2° und hab es dann einfach mit 20° ausprobiert...
auch die serie der anderen kreisgraphen mit winkeln 360/(6n) hab ich nicht weiter hergeleitet
es muss aber ne herleitung geben, und wir finden die
haribo
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| Beitrag No.707, eingetragen 2017-02-11
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http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_stkreisgraph24.png
ausgehend von dem kleinsten kreisgraph im 6-eck polygon (oben rechts) kann man erkennen das immer ein umkreis auch um den 3-uhr punkt geschlagen werden kann (???)
den gleichen kreis kann man auch um alle grösseren kreisgraphen schlagen, und sogar wieder mit einem kreisgraph als inhalt ausfüllen, (rechter bildteil)
beim kreisgraph existieren viele paralelle kanten, ich hab sie teilweise gleichfarbig angelegt(links)
durch diesen eingesetzten kreis kann man in die grösseren kreisgraphen, welche ja alle in einem regelmässigen 6n-polygon liegen, auch immer das blaue gleichseitige dreieck anordnen (unten links)
das blaue dreieck, hier nochmal als detail vergrössert, passt in drei um die eckpunkte des dreiecks geschlagene kreisbögen (gelb), die wiederum alle von regelmässigen einheits-polygonen berührt werden
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_stkreisgraph24-detail.png
ohne es jetzt noch weiter auszuführen, dürfte sich über diesen ansatz der einheitspolygone, die exaktheit der kreisgraphen ausreichend darlegen lassen
haribo
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| Beitrag No.708, eingetragen 2017-02-11
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da taucht die frage auf wie es mit der elastizität dieses kreis-teil-häkel-topflappens bestellt ist?
kann man den evtl. irgendwie verziehen/umformen in einer art und weise dass zwischen den inneren dreierknoten weitere linien eingesetzt werden können?
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-elastisch.png
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| Beitrag No.709, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-11
|
Schöne Arbeit, haribo! :-)
Ich habe mit den 18er Kreisgraph-Elementen mal das hier gebastelt. Nach dem Motto - jede Idee zählt.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_Kreisgraph_Versuche_1_-_Slash.png
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StefanVogel
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| Beitrag No.710, eingetragen 2017-02-12
|
\quoteon(2017-02-11 17:06 - haribo in Beitrag No. 707)
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_stkreisgraph24-detail.png
ohne es jetzt noch weiter auszuführen, dürfte sich über diesen ansatz der einheitspolygone, die exaktheit der kreisgraphen ausreichend darlegen lassen
\quoteoff
Toller Beweis. Jeder 60°-Randstrang ist kongruent zu jedem Radialstrang, hat deshalb ebenfalls alles Kanten der Länge 1.
\quoteon(2017-02-11 17:15 - haribo in Beitrag No. 708)
da taucht die frage auf wie es mit der elastizität dieses kreis-teil-häkel-topflappens bestellt ist?
kann man den evtl. irgendwie verziehen/umformen in einer art und weise dass zwischen den inneren dreierknoten weitere linien eingesetzt werden können?
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-elastisch.png
\quoteoff
n=63 Knoten und k=120 Kanten, das liegt um 3 über der Grenze zum grünen Bereich k<2n-3, der Graph ist mindestens 3-fach beweglich. Bei der Eingabe habe ich deshalb versucht, mit drei beweglichen Winkeln in P1, P3 und P5 auszukommen
\geo
ebene(674.04,531.98)
x(6.59,14.55)
y(9.68,15.96)
form(.)
#//Eingabe war:
#
#No.708-2
#
#
#
#
#
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\geoprint()
und nach Eingabe dieser drei beweglichen Winkel sind alle weiteren Punkte ab P8 eindeutig bestimmt. Verändern der Winkel schafft aber nicht genug Platz für die inneren 3-er Knoten. Zum Beispiel alle drei beweglichen Winkel auf ein Drittel verkleinert ergibt
\geo
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x(6.44,14.7)
y(8.94,15.75)
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#No.708-2
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p(6.82727732016124,12.519893375846127,P50)
p(7.43549257885279,11.726121242866661,P51)
p(8.426847370641404,11.594912718761892,P52)
p(9.425865334522245,11.55060574590908,P53)
p(6.443958117530637,11.596277444360188,P54)
p(7.4353129093192525,11.46506892025542,P55)
p(8.434330873200093,11.420761947402605,P56)
p(9.433408879244485,11.463693728618413,P57)
p(6.826005598357153,10.67213474845543,P58)
p(7.825023562237993,10.627827775602615,P59)
p(8.824101568282385,10.670759556818425,P60)
p(7.287143616242248,9.78480632647121,P61)
p(8.28622162228664,9.827738107687018,P62)
p(7.823862632427049,8.941045283482369,P63)
nolabel()
s(P1,P2)
s(P1,P3)
s(P2,P4) s(P3,P4)
s(P3,P5)
s(P4,P6) s(P5,P6)
s(P5,P7)
s(P6,P8) s(P7,P8)
s(P8,P9) s(P7,P9)
s(P6,P10) s(P8,P10)
s(P4,P11) s(P10,P11)
s(P2,P12) s(P11,P12)
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s(P1,P33) s(P32,P33)
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s(P33,P36) s(P35,P36)
s(P1,P37) s(P36,P37)
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s(P36,P39) s(P38,P39)
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s(P1,P41) s(P40,P41)
s(P39,P42) s(P38,P42)
s(P40,P43) s(P42,P43)
s(P41,P44) s(P43,P44)
s(P1,P45) s(P44,P45)
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s(P44,P47) s(P46,P47)
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s(P49,P52) s(P51,P52)
s(P1,P53) s(P52,P53)
s(P51,P54) s(P50,P54)
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s(P53,P56) s(P55,P56)
s(P1,P57) s(P56,P57)
s(P55,P58) s(P54,P58)
s(P56,P59) s(P58,P59)
s(P57,P60) s(P59,P60)
s(P59,P61) s(P58,P61)
s(P60,P62) s(P61,P62)
s(P62,P63) s(P61,P63)
pen(2)
color(#0000FF) m(P2,P1,MA10) m(P1,P3,MB10) b(P1,MB10,MA10)
color(#008000) m(P4,P3,MA11) m(P3,P5,MB11) b(P3,MB11,MA11)
color(#FFA500) m(P6,P5,MA12) m(P5,P7,MB12) b(P5,MB12,MA12)
pen(2)
print(min=0.9999999999999991,6.44,15.746)
print(max=1.0000000000000007,6.44,15.569)
\geooff
\geoprint()
Der komplette Graph im 6i-Eck hat n=6*i2+1 Ecken und k=2*6*i2 Kanten, das ist nicht mehr im grünene Bereich, der vollständige Kreisgraph hat mindestens eine Einsetzkante, also eine Kante, wo sich beim Entfernen dieser Kante die Beweglichkeit nicht ändert.
Das extra GAP-Programm hat als Ergebnisse für den Kreis-Teil-Häkel-Topflappen #708 3-fach beweglich, dann diesen zum Kreisgraph vervollständigt starr, Kreisgraph ohne eine Randkante auch starr und Kreisgraph ohne zwei benachbarte Randkanten 1-fach beweglich.
EDIT: nein, einen Moment zu früh abgeschickt, "... diesen zum Kreisgraph vervollständigt starr", das hat das extra GAP-Programm als Ergebnis ausgegeben, ich muss das aber noch daraufhin untersuchen, ob durch das Runden der Punktkoordinaten Beweglichkeit verlorengeht. Es sieht ganz danach aus, denn als ich jetzt nochmal im vollständigen Kreisgraph die drei Winkel auf ein Drittel verringert habe, scheinen die Einsetzkanten ihre Länge 1 zu behalten:
\geo
ebene(699.52,658.65)
x(6.44,14.7)
y(7.97,15.75)
form(.)
#//Eingabe war:
#
#No.708-2 vervollständigt
#
#
#
#
#
#P[1]=[36,135]; P[2]=[120,146]; D=ab(1,2); A(2,1); M(3,1,2,blauerWinkel); N(4,2,3); M(5,3,4,gruenerWinkel); N(6,4,5); M(7,5,6,orangerWinkel); N(8,6,7); L(9,8,7); L(10,6,8); N(11,4,10); N(12,2,11); N(13,1,12); L(14,11,10); N(15,12,14); N(16,13,15); N(17,1,16); L(18,15,14); N(19,16,18); N(20,17,19); N(21,1,20); L(22,19,18); N(23,20,22); N(24,21,23); N(25,1,24); L(26,23,22); N(27,24,26); N(28,25,27); N(29,1,28); L(30,27,26); N(31,28,30); N(32,29,31); N(33,1,32); L(34,31,30); N(35,32,34); N(36,33,35); N(37,1,36); L(38,35,34); N(39,36,38); N(40,37,39); N(41,1,40); L(42,39,38); N(43,40,42); N(44,41,43); N(45,1,44); L(46,43,42); N(47,44,46); N(48,45,47); N(49,1,48); L(50,47,46); N(51,48,50); N(52,49,51); N(53,1,52); L(54,51,50); N(55,52,54); N(56,53,55); N(57,1,56); L(58,55,54); N(59,56,58); N(60,57,59); L(61,59,58); N(62,60,61); L(63,62,61); N(64,1,60); N(65,64,62); N(66,65,63); L(67,66,63); N(68,1,65); N(69,68,66); N(70,69,67); L(71,70,67); N(72,1,69); N(73,72,70); N(74,73,71); L(75,74,71); N(76,1,73); N(77,76,74); N(78,77,75); L(79,78,75); N(80,1,77); N(81,80,78); N(82,81,79); L(83,82,79); N(84,1,81); N(85,84,82); N(86,85,83); L(87,86,83); N(88,1,85); N(89,88,86); N(90,89,87); L(91,90,87); N(92,1,89); N(93,92,90); N(94,93,91); A(94,9); A(91,9); N(95,1,93); N(96,95,94); A(96,7); N(97,1,96); A(97,5);
#
#
#//Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(10.424943340566637,11.593537527124887,P1)
p(11.416477801888789,11.72338132563136,P2)
p(11.424021346611028,11.636469308340697,P3)
p(12.415555807933181,11.766313106847171,P4)
p(12.42303931049187,11.592162335487874,P5)
p(13.41457377181402,11.72200613399435,P6)
p(13.414394102280484,11.460953811383112,P7)
p(14.405928563602636,11.590797609889588,P8)
p(14.022609360972037,10.667181678403647,P9)
p(14.023881082776114,12.514940305794342,P10)
p(13.024863118895276,12.559247278647163,P11)
p(12.025785112850885,12.516315497431352,P12)
p(11.034250651528732,12.386471698924879,P13)
p(13.562743064891027,13.402268727778566,P14)
p(12.563665058846635,13.359336946562754,P15)
p(11.572130597524483,13.229493148056282,P16)
p(10.962823286562386,12.43655897625629,P17)
p(13.026024048706223,14.246029770767406,P18)
p(12.034489587384071,14.116185972260933,P19)
p(11.425182276421973,13.323251800460943,P20)
p(10.887302330426223,12.48023035132954,P21)
p(12.417808790014675,15.039801903746874,P22)
p(11.808501479052577,14.246867731946882,P23)
p(11.270621533056831,13.403846282815477,P24)
p(10.808262543197248,12.517153458610823,P25)
p(11.426453998226059,15.171010427851638,P26)
p(10.888574052230313,14.327988978720235,P27)
p(10.42621506237073,13.44129615451558,P28)
p(10.042895859740119,12.517680223029643,P29)
p(10.427436034345218,15.215317400704455,P30)
p(9.965077044485637,14.3286245764998,P31)
p(9.581757841855026,13.405008645013865,P32)
p(9.963805322681544,12.48086594910911,P33)
p(9.428358028300828,15.172385619488637,P34)
p(9.045038825670215,14.248769688002703,P35)
p(9.427086306496735,13.324626992097945,P36)
p(9.888224324381829,12.437298570113725,P37)
p(8.436823566978674,15.042541820982173,P38)
p(8.818871047805192,14.118399125077417,P39)
p(9.280009065690285,13.231070703093195,P40)
p(9.816728081875087,12.387309660104354,P41)
p(7.827516256016576,14.249607649182185,P42)
p(8.28865427390167,13.362279227197963,P43)
p(8.825373290086473,12.518518184209121,P44)
p(9.43358854877802,11.724746051229655,P45)
p(7.289636310020829,13.406586200050779,P46)
p(7.826355326205633,12.562825157061937,P47)
p(8.43457058489718,11.76905302408247,P48)
p(9.425925376685797,11.637844499977701,P49)
p(6.82727732016124,12.519893375846127,P50)
p(7.43549257885279,11.726121242866661,P51)
p(8.426847370641404,11.594912718761892,P52)
p(9.425865334522245,11.55060574590908,P53)
p(6.443958117530637,11.596277444360188,P54)
p(7.4353129093192525,11.46506892025542,P55)
p(8.434330873200093,11.420761947402605,P56)
p(9.433408879244485,11.463693728618413,P57)
p(6.826005598357153,10.67213474845543,P58)
p(7.825023562237993,10.627827775602615,P59)
p(8.824101568282385,10.670759556818425,P60)
p(7.287143616242248,9.78480632647121,P61)
p(8.28622162228664,9.827738107687018,P62)
p(7.823862632427049,8.941045283482369,P63)
p(9.815636029604537,10.800603355324897,P64)
p(9.277756083608791,9.957581906193493,P65)
p(8.815397093749201,9.070889081988842,P66)
p(8.432077891118599,8.147273150502903,P67)
p(9.887063394570887,10.750516077993485,P68)
p(9.424704404711296,9.863823253788835,P69)
p(9.041385202080694,8.940207322302896,P70)
p(9.423432682907215,8.01606462639814,P71)
p(9.96258435070705,10.706844702920234,P72)
p(9.579265148076447,9.783228771434295,P73)
p(9.961312628902967,8.85908607552954,P74)
p(10.422450646788054,7.971757653545316,P75)
p(10.041624137936035,10.669921595638948,P76)
p(10.423671618762555,9.745778899734193,P77)
p(10.884809636647642,8.858450477749969,P78)
p(11.421528652832446,8.014689434761129,P79)
p(10.806990821393157,10.669394831220131,P80)
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p(11.804847855463048,8.938305366247068,P82)
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p(11.422800374636527,9.862448062151822,P85)
p(12.031015633328074,9.068675929172356,P86)
p(13.02237042511669,8.937467405067595,P87)
p(10.961662356751441,10.749776484136047,P88)
p(11.569877615442993,9.956004351156581,P89)
p(12.561232407231609,9.824795827051823,P90)
p(13.560250371112447,9.780488854198992,P91)
p(11.033158599258188,10.799765394145423,P92)
p(12.024513391046805,10.668556870040664,P93)
p(13.023531354927645,10.624249897187834,P94)
p(11.416298132355253,11.462329003020129,P95)
p(12.415316096236094,11.418022030167299,P96)
p(11.423961304447477,11.549230554272057,P97)
nolabel()
s(P1,P2)
s(P1,P3)
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s(P3,P5)
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s(P6,P8) s(P7,P8)
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\geooff
\geoprint()
Da muss ich mir nochwas einfallen lassen, wie ich das im extra GAP-Programm wenigstens als Hinweis ausgegeben bekomme, das war das mit den großen Koeffizienten der inversen Matrix Beitrasg No.377 letzter Absatz.
EDIT2: Die Beweglichkeit des Kreisgraphen lässt sich ähnlich zu #505-2 durch einen beweglichen Sektor beschreiben, nur dass diesmal der Sektor immer vom Mittelpunkt ausgeht und sich außerdem alle 60° wiederholt. Die orangen Kanten umrahmen den unveränderten Teil, violett die kongruent verschobenen Sektoren und die Kanten zwischen orange und violett haben sich alle um den gleichen Winkel gedreht. Erstaunlicherweise ist wieder ein beliebiger 60°-Randstrang, beispielsweise von P10 nach P26, kongruent zu den zugehörigen Radialsträngen vom Mittelpunkt zu P10 und P26. Diese Eigenschaft bleibt bei der Bewegung erhalten. Wäre schön, wenn sich das extra GAP-Programm auch dazu überreden ließe, solche Ergebnisse auszugeben anstatt "der Graph ist starr".
\geo
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| Beitrag No.711, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-12
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Die grüne Kante ist Symmetriegerade. Graph a lässt sich so zurchtziehen, dass die blaue Kante 1 wird. Ließen sich in Graph b dann auch noch die anderen beiden blauen Kanten auf 1 bringen, hätte man einen neuen 104er.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_neu_mit_104_Frage_-_Slash.png
Vielleicht lässt sich beim rechten Graph auch noch ein Dreieck aus dem Rahmen entfernen.
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haribo
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| Beitrag No.712, eingetragen 2017-02-12
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einer der beiden rauten-winkel bei l oder r wird in jedem fall >180°, also überschneidet sich die dazugehörige raute
drum gehts so noch nicht
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-gehtned.png
war auch son versuch, hat aber genau das gleiche problem...
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-feb17.PNG
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| Beitrag No.713, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-14
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Diese drei Graphen müssten auf Beweglichkeit untersucht werden. Auch wenn dafür ein, zwei Kanten aus dem Inneren entfernt werden müssen (bitte nicht aus der Hülle), vielleicht kann man sie ja an anderer Stelle unterbringen. ;-)
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_5_flex_test_1_-_Slash.png
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_5_flex_test_2_-_Slash.png
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_flex_test_1_-_Slash.png
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| Beitrag No.714, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17
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Wir sollten mal mit dem Streichholzprogramm alle möglichen Kombinationen von Hüllen aus 1er und 2er-Kanten bis 22 Kanten druchgehen um einen 4/4, 4/5 oder 4/6 mit weniger als 120 kanten zu finden. Darunter fallen z.B. der 114er und alle bis 121 kanten sowie die Graphen aus #701. Der Harborth allerdings nicht. Am aussichtsreichsten sind wohl die Graphen bei denen eine einzelne Kante zwischen 2er-Kanten liegt, wie eben beim 114er. Viele Dreiecke nebeneinander wie bei den Kreisgraphen werden wohl nicht zum Ziel führen.
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StefanVogel
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| Beitrag No.715, eingetragen 2017-02-18
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#713-1 ist von P1 bis P8 starr, dann folgt der bewegliche blaue Winkel nach P9, weiter eindeutig bis P12. P13 kann man nach beiden Seiten zeichnen, nach unten gezeichnet geht es irgendwann nicht weiter, also P13 nach oben. Danach eindeutig bis P29 und noch weiter bis P34. Bei P29 muss man dann die rote Kante P12-P29 auf Länge 1 justieren mit dem blauen Winkel. Als Winkelbereich ist 85° bis 95° möglich, begrenzt durch Länge P6-P12 kleiner 2 und P12 oberhalb P18. In diesem Bereich hat nur einmal P12-P29 die Länge 1. Der obere Bereich des Graphen von P35 bis P66 ist symmetrische Fortsetzung, da gibt es auch nur die eine Lösung. Der Graph ist bereits ohne die blauen Kanten starr. Gleiches Ergebnis auch mit dem extra GAP-Programm über Button "acos(1/4)", denn der Graph ist ein acos(1/4)-Graph (wo mit exakten Punktkoordinaten gerechnet werden kann), die Strecke P8-P12 ist parallel zu Strecke P2-P14 und hat die gleiche Länge und Dreieck P2-P7-P14 ist das für acos(1/4)-Graphen typische gleichschenklige Dreieck mit Seitenlängen 2-2-1.
\geo
ebene(425.02,499.15)
x(8.23,15.99)
y(10.18,19.29)
form(.)
#//Eingabe war:
#
#No.713-1 und 713-2
#
#
#
#
#P[1]=[-97,224]; P[2]=[-77,173]; D=ab(1,2); A(2,1); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,4,5); L(7,6,5); L(8,3,4); M(9,8,4,blauerWinkel);L(10,8,9); L(11,10,9); L(12,11,9); N(13,6,12); N(14,13,7); L(15,14,7); L(16,14,15); L(17,16,15); N(18,13,16); N(19,18,17); L(20,19,17); L(21,19,20); L(22,21,20); N(23,18,21); N(24,23,22); L(25,24,22); L(26,24,25); L(27,26,25); L(28,24,26); N(29,23,28); A(12,29); R(12,29); Q(30,28,27,D,ab(8,1,[1,5])); A(1,34,ab(34,1,[1,34])); R(10,63,"blue"); R(11,62,"blue"); R(29,44,"blue"); R(43,30,"blue"); //R(29,30); R(23,12);
#
#W_tab.push([88.95502437185992,"+W60^2*Wbl^-2*"]); //winkel(9,8,4) für acos(1/4)-Graph umgerechnet
#
#//für 713-2 zusätzlich:
#//A(24,23); A(23,12);
#
#
#//Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(8.229325485230488,14.088980322766709,P1)
p(8.594413014048943,13.158007124279646,P2)
p(9.218115689771965,13.939668798084844,P3)
p(9.583203218590421,13.00869559959778,P4)
p(8.9595005428674,12.227033925792583,P5)
p(9.948290747408878,12.077722401110718,P6)
p(9.324588071685856,11.29606072730552,P7)
p(10.206905894313442,13.790357273402979,P8,nolabel)
print(\P8,10.2,13.7)
p(10.977062943717824,13.152502964604537,P9)
p(11.144382454348447,14.13840568869162,P10)
p(11.914539503752827,13.500551379893178,P11)
p(11.747219993122204,12.514648655806097,P12)
p(10.758429788580726,12.663960180487956,P13)
p(10.134727112857705,11.882298506682758,P14)
p(10.237354401870647,10.88757862674175,P15)
p(11.047493443042496,11.47381640611899,P16)
p(11.150120732055438,10.479096526177981,P17)
p(11.671196118765518,12.255478079924188,P18)
p(11.77382340777846,11.26075819998318,P19)
p(12.138910936596915,10.329785001496116,P20)
p(12.762613612319937,11.111446675301314,P21)
p(13.127701141138393,10.180473476814251,P22)
p(12.659986323306995,12.106166555242321,P23,nolabel)
print(\P23,12.3,12.1)
p(13.025073852125452,11.175193356755258,P24)
p(13.937840182310243,10.76671125619149,P25)
p(13.835212893297301,11.761431136132499,P26)
p(14.747979223482092,11.352949035568729,P27)
p(12.92244656311251,12.169913236696267,P28)
p(12.557359034294054,13.10088643518333,P29,nolabel)
print(\P29,12.3,13.0)
p(13.546149238835534,12.951574910501463,P30)
p(15.139747036739891,12.273013153168804,P31)
p(14.147064243069504,12.152261981989428,P32)
p(14.538832044416612,13.07232609063517,P33)
p(15.531514849997688,13.193077270768878,P34)
p(15.166427321179228,14.124050469255922,P35)
p(14.542724645456166,13.342388795450386,P36)
p(14.177637116637754,14.273361993937801,P37)
p(14.801339792360775,15.055023667742997,P38)
p(13.812549587819298,15.204335192424868,P39)
p(14.436252263542318,15.985996866230067,P40)
p(13.553934440914734,13.49170032013262,P41)
p(12.783777391510352,14.129554628931054,P42)
p(12.616457880879729,13.14365190484397,P43)
p(11.846300831475345,13.781506213642407,P44)
p(12.01362034210597,14.76740893772949,P45)
p(13.002410546647448,14.61809741304763,P46)
p(13.62611322237047,15.399759086852825,P47)
p(13.523485933357527,16.394478966793834,P48)
p(12.713346892185678,15.808241187416595,P49)
p(12.610719603172736,16.802961067357604,P50)
p(12.089644216462657,15.026579513611399,P51)
p(11.987016927449716,16.021299393552408,P52)
p(11.62192939863126,16.95227259203947,P53)
p(10.998226722908239,16.170610918234274,P54)
p(10.633139194089782,17.101584116721337,P55)
p(11.10085401192118,15.175891038293262,P56)
p(10.735766483102722,16.10686423678033,P57)
p(9.823000152917931,16.5153463373441,P58)
p(9.925627441930873,15.520626457403086,P59)
p(9.012861111746082,15.92910855796686,P60)
p(10.838393772115664,15.11214435683932,P61)
p(11.203481300934122,14.181171158352253,P62)
p(10.21469109639264,14.330482683034123,P63)
p(8.621093298488283,15.009044440366784,P64)
p(9.61377609215867,15.12979561154616,P65)
p(9.222008290811564,14.209731502900416,P66)
nolabel()
s(P64,P1) s(P66,P1)
s(P1,P2)
s(P1,P3) s(P2,P3)
s(P3,P4) s(P2,P4)
s(P4,P5) s(P2,P5)
s(P4,P6) s(P5,P6)
s(P6,P7) s(P5,P7)
s(P3,P8) s(P4,P8)
s(P8,P9)
s(P8,P10) s(P9,P10)
s(P10,P11) s(P9,P11)
s(P11,P12) s(P9,P12) s(P29,P12)
s(P6,P13) s(P12,P13)
s(P13,P14) s(P7,P14)
s(P14,P15) s(P7,P15)
s(P14,P16) s(P15,P16)
s(P16,P17) s(P15,P17)
s(P13,P18) s(P16,P18)
s(P18,P19) s(P17,P19)
s(P19,P20) s(P17,P20)
s(P19,P21) s(P20,P21)
s(P21,P22) s(P20,P22)
s(P18,P23) s(P21,P23)
s(P23,P24) s(P22,P24)
s(P24,P25) s(P22,P25)
s(P24,P26) s(P25,P26)
s(P26,P27) s(P25,P27)
s(P24,P28) s(P26,P28)
s(P23,P29) s(P28,P29)
s(P28,P30) s(P32,P30) s(P33,P30)
s(P27,P31)
s(P27,P32) s(P31,P32)
s(P31,P33) s(P32,P33)
s(P31,P34) s(P33,P34)
s(P34,P35)
s(P34,P36) s(P35,P36)
s(P35,P37) s(P36,P37)
s(P35,P38) s(P37,P38)
s(P37,P39) s(P38,P39)
s(P38,P40) s(P39,P40)
s(P36,P41) s(P37,P41)
s(P41,P42)
s(P41,P43) s(P42,P43)
s(P42,P44) s(P43,P44)
s(P42,P45) s(P44,P45) s(P62,P45)
s(P39,P46) s(P45,P46)
s(P40,P47) s(P46,P47)
s(P40,P48) s(P47,P48)
s(P47,P49) s(P48,P49)
s(P48,P50) s(P49,P50)
s(P46,P51) s(P49,P51)
s(P50,P52) s(P51,P52)
s(P50,P53) s(P52,P53)
s(P52,P54) s(P53,P54)
s(P53,P55) s(P54,P55)
s(P51,P56) s(P54,P56)
s(P55,P57) s(P56,P57)
s(P55,P58) s(P57,P58)
s(P57,P59) s(P58,P59)
s(P58,P60) s(P59,P60)
s(P57,P61) s(P59,P61)
s(P56,P62) s(P61,P62)
s(P61,P63) s(P65,P63) s(P66,P63)
s(P60,P64)
s(P60,P65) s(P64,P65)
s(P64,P66) s(P65,P66)
pen(2)
color(#0000FF) m(P4,P8,MA10) m(P8,P9,MB10) b(P8,MA10,MB10)
pen(2)
color(red) s(P12,P29) abstand(P12,P29,A0) print(abs(P12,P29):,8.23,19.292) print(A0,9.42,19.292)
color(#0000FF) s(P10,P63) abstand(P10,P63,A18) print(abs(P10,P63):,8.23,19.018) print(A18,9.42,19.018)
color(#0000FF) s(P11,P62) abstand(P11,P62,A18) print(abs(P11,P62):,8.23,18.744) print(A18,9.42,18.744)
color(#0000FF) s(P29,P44) abstand(P29,P44,A18) print(abs(P29,P44):,8.23,18.471) print(A18,9.42,18.471)
color(#0000FF) s(P43,P30) abstand(P43,P30,A18) print(abs(P43,P30):,8.23,18.197) print(A18,9.42,18.197)
\geooff
\geoprint()
In #713-2 ist Kante P23-P24 nach P23-P12 versetzt, auch das ist ein acos(1/4)-Graph mit dem Ergebnis "Graph ist starr".
Graph #713-3 ist von P1 bis P12 starr, dann folgt der bewegliche blaue Winkel von P8 nach P13 und dann ist bis P28 alles eindeutig bestimmt. Der blaue Winkel kann nur im Bereich 0° bis 22° variiert werden, sonst wird Abstand P12-P13 zu groß für zwei Kanten. In diesem Bereich gibt es nur eine Lösung für Abstand P14-P24 gleich Länge 1. Der Graph ist starr. Der Teilgraph von P1 bis P28 ist wieder ein acos(1/4)-Graph, ebenfalls mit dem Ergebnis "starr". Die obere Hälfte von P29 bis P56 ist symmentrische Ergänzung, insgesamt ist der Graph starr.
\geo
ebene(461.77,437.81)
x(8.14,15.48)
y(10.19,17.14)
form(.)
#//Eingabe war:
#
#No.713-3
#
#
#
#
#P[1]=[-117,202]; P[2]=[-92.5,144]; D=ab(1,2); A(2,1); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,3,4); Q(7,6,5,ab(2,1,3),ab(1,5,[1,6])); M(13,8,7,blauerWinkel); L(14,8,13); N(15,13,12); L(16,15,12); L(17,15,16); L(18,17,16); N(19,13,17); N(20,19,18); L(21,20,18); L(22,20,21); L(23,22,21); N(24,19,22); N(25,24,23); L(26,25,23); L(27,25,26); L(28,27,26); A(14,24); R(14,24);
#
#//obere Hälfte und Mitte
#A(1,28,ab(1,28,[1,28],"gespiegelt")); N(55,41,14); N(56,27,54);
#
#
#
#//Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(8.14174485330999,13.208269569498992,P1)
p(8.530866657531401,12.287083257464628,P2)
p(9.134076503260953,13.084665781103988,P3)
p(9.523198307482366,12.163479469069625,P4)
p(8.919988461752814,11.365896945430265,P5)
p(10.126408153211917,12.961061992708984,P6)
p(10.74786164959986,12.177610940104419,P7)
p(11.115623415583102,13.10753098154932,P8)
p(9.833925061724079,11.771753929148625,P9)
p(10.642375822635682,11.183190133649886,P10)
p(9.728439228712158,10.777333136312809,P11)
p(10.536889995671501,10.188769327195354,P12)
p(11.010137588618923,12.113110175094787,P13)
p(11.924074182542446,12.518967172431864,P14)
p(10.904651761654744,11.118689368640254,P15)
p(11.526105258042685,10.335238316035689,P16)
p(11.893867024025926,11.26515835748059,P17)
p(12.51532052041387,10.481707304876023,P18)
p(11.999352850990107,12.259579163935122,P19)
p(12.620806347378048,11.476128111330556,P20)
p(13.429257114337393,10.887564302213102,P21)
p(13.534742941301571,11.881985108667633,P22)
p(14.343193708260916,11.293421299550179,P23)
p(12.91328944491363,12.6654361612722,P24)
p(13.721740211872973,12.076872352154744,P25)
p(14.710955474244157,12.22334134099508,P26)
p(14.089501977856216,13.006792393599646,P27)
p(15.078717240227398,13.153261382439982,P28)
p(8.54542628849111,14.123169180871798,P29)
p(9.13591187626191,13.316120997282383,P30)
p(9.53959331144303,14.23102060865519,P31)
p(8.94910772367223,15.038068792244603,P32)
p(10.13007889921383,13.423972425065775,P33)
p(10.763878545928316,14.197469682866082,P34)
p(11.116846997583739,13.261834459001575,P35)
p(9.856493141063224,14.617769251076439,P36)
p(10.67417593192448,15.193438277270985,P37)
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nolabel()
s(P1,P2)
s(P1,P3) s(P2,P3)
s(P3,P4) s(P2,P4)
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s(P27,P28) s(P26,P28) s(P53,P28) s(P54,P28)
s(P1,P29)
s(P1,P30) s(P29,P30)
s(P29,P31) s(P30,P31)
s(P29,P32) s(P31,P32) s(P36,P32) s(P38,P32)
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s(P50,P52) s(P51,P52)
s(P50,P53) s(P52,P53)
s(P52,P54) s(P53,P54)
s(P41,P55) s(P14,P55)
s(P27,P56) s(P54,P56)
pen(2)
color(#0000FF) m(P7,P8,MA10) m(P8,P13,MB10) b(P8,MA10,MB10)
pen(2)
color(red) s(P14,P24) abstand(P14,P24,A0) print(abs(P14,P24):,8.14,17.142) print(A0,9.17,17.142)
print(min=0.9999999870952153,8.14,16.904)
print(max=1.0000000000000058,8.14,16.666)
\geooff
\geoprint()
\quoteon(2017-02-17 22:17 - Slash in Beitrag No. 714)
Wir sollten mal mit dem Streichholzprogramm alle möglichen Kombinationen von Hüllen aus 1er und 2er-Kanten bis 22 Kanten druchgehen um einen 4/4, 4/5 oder 4/6 mit weniger als 120 kanten zu finden.
\quoteoff
Das Vorhaben halte ich für aussichtsreich, weil man bei kleineren Graphen häufig mit nur einem beweglichen Winkel auskommt. Dafür wäre im Streichholzprogramm noch ein Button "neue Eingabe mit möglichst wenig beweglichen Winkeln" nötig und dann muss damit der gesamte Winkelbereich automatisch durchsucht werrden nach möglichen Lösungen für Länge der Restkanten gleich 1 und noch die Varianten, wo man einen Punkt nach zwei Seiten zeichnen kann. Schließlich fehlt noch ein Algorithmus für "alle möglichen Kombinationen", doch da kommt es eingentlich nicht mehr auf die Punktkoordianten an sondern nur darauf, welche Punkte mit einer Kante verbunden sind. Die Punktkoordinaten zieht dann ein entsprechend angepasstens Streichholzprogramm passend zurecht bzw. stellt fest, dass das nicht geht. Um es am Beispiel #713-1 zu zeigen, der Rahmen wird mit exakten Kantenlängen vorgegeben und dann reicht es schon, wenn im Inneren nur skizzenhaft vorgegeben ist, wie die Punkte untereinander verbunden sind, die Punktkoordinaten sind beliebig.
\geo
ebene(425.02,544.15)
x(8.23,15.99)
y(10.18,20.11)
form(.)
#//Eingabe war:
#
#No.713-1 mit zufällig verschobenen inneren Punkten
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#D=54.78138369920943; P[22]=[3.127701141138393*D,0.1804734768142508*D]; P[20]=[2.1389109365969152*D,0.329785001496116*D]; A(20,22); N(21,20,22); N(19,20,21); N(17,20,19); M(16,17,20,blauerWinkel); N(15,17,16); N(14,15,16); N(7,15,14); M(6,7,15,gruenerWinkel); N(5,7,6); N(4,5,6); N(2,5,4); N(3,2,4); N(1,2,3); M(66,1,2,orangerWinkel); N(64,1,66); N(65,64,66); N(60,64,65); M(59,60,64,vierterWinkel); N(58,60,59); N(57,58,59); N(55,58,57); M(54,55,58,fuenfterWinkel); N(53,55,54); N(52,53,54); N(50,53,52); M(49,50,53,sechsterWinkel); N(48,50,49); N(47,48,49); N(40,48,47); M(39,40,48,siebenterWinkel); N(38,40,39); N(37,38,39); N(35,38,37); N(36,35,37); N(34,35,36); Q(27,34,22,2*D,2*D); A(27,34); A(27,22); H(25,22,27,2); A(25,22); L(24,22,25); H(31,34,27,2); A(31,34); L(33,31,34); A(31,27); L(32,27,31); A(32,33); A(25,27); L(26,25,27); A(24,26); Q(8,3,4,jam(0.9949552750049326)*D,jam(1.222711805502215)*D); Q(13,6,14,jam(1.0042445011379035)*D,jam(1.0004009609707658)*D); Q(18,16,19,jam(1.0363131074037093)*D,jam(0.9269834812855448)*D); Q(23,21,24,jam(1.0228169671511027)*D,jam(1.0715889649552197)*D); Q(28,24,26,jam(1.0086526248078167)*D,jam(1.0582767532759636)*D); Q(30,32,33,jam(0.8948492704791311)*D,jam(0.7578473742115632)*D); Q(41,36,37,jam(0.9113972905992102)*D,jam(0.9386175772421531)*D); Q(46,39,47,jam(0.892900689802025)*D,jam(0.8791369121947169)*D); Q(51,49,52,jam(0.828097953174486)*D,jam(0.9150125283487788)*D); Q(56,54,57,jam(0.3513215879251692)*D,jam(0.46115684155286124)*D); Q(61,57,59,jam(0.9980078955281544)*D,jam(1.0206720726241578)*D); Q(63,65,66,jam(1.0311880009617866)*D,jam(1.0024196775734984)*D); Q(29,23,28,jam(1.3556132631847193)*D,jam(1.2668793981169655)*D); Q(62,56,61,jam(1.5031276154616282)*D,jam(0.8639676892413024)*D); Q(12,29,13,jam(1.289159810022767)*D,jam(0.9258419039615375)*D); Q(45,62,46,jam(1.0067707693576373)*D,jam(1.0043813429019175)*D); Q(9,12,8,jam(1.0329641333476283)*D,jam(1.0433561665674578)*D); Q(10,8,9,jam(0.9234931601702868)*D,jam(0.7425292515638992)*D); Q(42,45,41,jam(1.0584804750988264)*D,jam(1.0602329968704847)*D); Q(43,41,42,jam(0.8350052318895883)*D,jam(0.738108989207795)*D); Q(11,9,12,jam(1.0166035950220969)*D,jam(0.7386348882760165)*D); Q(44,43,45,jam(0.907627030648188)*D,jam(1.311312576766322)*D);
#A(18,13); R(18,13,"green",jam(1.1304199019933494)*D);
#A(23,18); R(23,18,"green",jam(0.6768991048487978)*D);
#A(30,28); R(30,28,"green",jam(1.226836721077883)*D);
#A(51,46); R(51,46,"green",jam(0.9233410000204814)*D);
#A(56,51); R(56,51,"green",jam(1.3174885204724958)*D);
#A(63,61); R(63,61,"green",jam(1.0423708279692563)*D);
#A(11,10); R(11,10,"green",jam(1.0514361695955883)*D);
#A(44,42); R(44,42,"green",jam(1.132287017722825)*D);
#A(30,43); A(44,29); A(11,62); A(10,63);
#
#
#//Ende der Eingabe, weiter mit fedgeo:
p(8.229325485230486,14.088980322766709,P1)
p(8.594413014048943,13.158007124279646,P2)
p(9.218115689771963,13.939668798084842,P3)
p(9.58320321859042,13.00869559959778,P4)
p(8.9595005428674,12.227033925792583,P5)
p(9.948290747408876,12.077722401110716,P6)
p(9.324588071685856,11.296060727305518,P7)
p(10.205629843665745,14.061125766265302,P8)
p(10.911254633901736,13.292564938666889,P9)
p(11.127290175845346,14.0029720994171,P10)
p(11.927463640599061,13.320886734497831,P11)
p(11.695062912974052,12.619765204392037,P12)
p(10.769898914133016,12.655188450708366,P13)
p(10.134727112857705,11.882298506682758,P14)
p(10.237354401870647,10.88757862674175,P15)
p(11.047493443042496,11.47381640611899,P16)
p(11.150120732055438,10.479096526177981,P17)
p(11.798987433749513,12.187400065200372,P18)
p(11.773823407778458,11.26075819998318,P19)
p(12.138910936596915,10.329785001496116,P20)
p(12.762613612319937,11.111446675301314,P21)
p(13.127701141138393,10.180473476814251,P22)
p(12.469018680321408,12.091220406423433,P23)
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p(15.139747036739887,12.27301315316881,P31)
p(14.147064231158812,12.152261973035106,P32)
p(14.538832044416612,13.07232609063518,P33)
p(15.531514849997688,13.193077270768882,P34)
p(15.166427321179231,14.124050469255945,P35)
p(14.542724645456211,13.342388795450747,P36)
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p(12.867047679649335,14.220611453267765,P42)
p(12.810275429854084,13.484689044584258,P43)
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| Beitrag No.716, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-18
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Wir müssten uns dann ein Konzept überlegen. Ob wir erst mit kleinen oder großen Hüllen beginnen und die 1er-Kanten-Anzahl erst gering halten und dann steigern etc.
Hier mal eine Studie aus 18 Dreiecken(Kanten) in der Hülle. Links zwei 1er-Kanten, rechts sechs 1er-Kanten. Nur eine leichte Winkelveränderung führt zu unterschiedlichen Ergebnissen. Rechts die rote Hülle. Rechts ergibt sich nach Entfernen von ein paar Kanten ein fast 4/4 mit 82 Kanten und zwei 2er-Knoten.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_studie_aus_18_dreiecken_-_Slash.png
Richtig interessant wird es natürlich erst bei den unsymmetrischen Hüllen. Da erwarten uns bestimmt ein paar dicke Überraschungen.
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| Beitrag No.717, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-18
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Hier noch eine Studie aus 20 Dreiecken(Kanten) in der Hülle. Die Graphen sind wahrscheinlich nicht neu. Die Kombination aus abwechselnd einer 1er und zwei 2er-Kanten halte ich für vielversprechend.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_studie_mit_20_Kanten_-_Slash.png
Es kann auch sein, dass das Streichholzprogramm ein paar gute Teilgraphen findet (ohne etwas davon zu ahnen ;-) ), die wir dann neu kombinieren können.
Hier noch ein fast 4/5 mit zwei 3er-Knoten.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_5_mit_2_3er_Knoten_-_Slash.png
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| Beitrag No.718, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-20
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Ich habe mal wieder die Übersicht verloren. Dieser fast 4/4 mit 112 ist sicher einer von denen bei dem die Knoten zusammenfallen, wenn die Hülle geschlossen wird, oder? ...und wahrscheinlich ist auch die Idee nicht neu.
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_4_mit_112_fast_-_Slash.png
P.S.: Wer findet einen 4/5 mit 130 Kanten?
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haribo
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| Beitrag No.719, eingetragen 2017-02-20
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teste doch wieder mit lego auf erste plausibilität? haribo
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