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| Autor |
 Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5 |
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Slash
Aktiv 
Dabei seit: 23.03.2005
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Wohnort: Cuxhaven
 |  Beitrag No.2280, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-16
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Der 11er-Rahmen (2,2,2,1,1,2,1) ist z. B. eine ganz knappe Kiste. Geht nicht ÜS frei, würde mir aber intuitiv nicht einleuchten.
Ohne Programm würde ich so vorgehen, dass ich als Erstes die 2er-Elemente mit 0.1° Zwischenplatz zeichnen würde, und dann versuchen würde den Rest unterzubringen. Also 2er nebeneinander brauchen ja immer den meisten Winkelplatz.
Kann jemand geometrisch (einfach) begründen, warum dieser Rahmen nicht funktioniert?
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 Profil
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4288
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 | Beitrag No.2281, eingetragen 2022-04-16
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Der Rahmen (2,2,2,1,2,2,1) geht, da habe ich gegenüber (2,2,2,1,1,2,1) die vorletzte 1 durch 2 ersetzt. Ich gebe den aber zwecks besserer Beschreibung 1x zyklisch vertauscht ein als Rahmen (1,2,2,2,1,2,2):
$
%Eingabe war:
%
%Anfang für einen neuen, noch unbenannten Streichholzgraph
%
%
%
%
%
%
%
%P[2]=[50,-1.2789769243681803e-13]; P[1]=[0.00007615433561654958,0.08726641829491541]; D=ab(2,1); A(1,2); L(3,1,2); M(5,1,2,blauerWinkel); L(4,5,1); L(6,5,4); L(7,5,6); M(9,7,5,gruenerWinkel); L(8,9,7); L(10,9,8); L(11,9,10); M(13,11,9,orangerWinkel); L(12,13,11); L(14,13,12); L(15,13,14); M(17,15,13,vierterWinkel); L(16,17,15); Q(21,17,2,2*D,2*D); A(21,2); H(23,2,21,2); A(23,2); L(24,2,23); A(21,17); H(19,17,21,2); A(19,17); L(18,19,17); A(19,21); L(20,21,19); A(20,18); A(23,21); L(22,23,21); A(24,22);
%
%
%Ende der Eingabe.
\begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize]
\definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00}
\definecolor{Green}{rgb}{0.00,0.50,0.00}
\definecolor{Orange}{rgb}{1.00,0.64,0.00}
\definecolor{Violet}{rgb}{0.93,0.51,0.93}
%Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0);
\foreach \i/\x/\y in {
1/1.18599472774319414370/0.00174532836590086623,
2/2.18599320465648183642/0.00000000000000000000,
3/1.68750546490265374011/0.86689674893560397795,
4/1.58682351180239145094/0.91789831006143896008,
5/0.59299736387159707185/0.80694972877696213853,
6/0.99382614793079471216/1.72310271047250029852,
7/0.00000000000000000000/1.61215412918802347697,
8/0.97545774371217330856/1.83234084593532364771,
9/0.29704158157703619558/2.56701867393466631739,
10/1.27249932528920939312/2.78720539068196693222,
11/0.59408316315407194708/3.52188321868130849168,
12/1.34959370723822225102/2.86674673078151842631,
13/1.53920327666348155660/3.84860629873529092038,
14/2.29471382074763186054/3.19346981083550085501,
15/2.48432339017289116612/4.17532937878927334907,
16/2.40482036826522982409/3.17849475383508872639,
17/3.30785598780131762098/3.60806042966251538928,
18/2.45876170786543646329/3.07981909865918757063,
19/3.34077925981116363729/2.60860254752832254610,
20/2.49168497987528247961/2.08036121652499472745,
21/3.37370253182100965361/1.60914466539413036905,
22/2.37999512073211416663/1.72115172386369996715,
23/2.77984786823874552297/0.80457233269706518453,
24/1.78614045714985025803/0.91657939116663456058}
\coordinate (p-\i) at (\x,\y);
%Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle;
%gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle;
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
1/359.90/486.37/0.4/Blue,
7/306.37/432.72/0.4/Green,
11/252.72/379.07/0.4/Orange,
15/199.07/325.44/0.4/Violet}
\fill[\c!20] (p-\i) -- +(\a:\r cm) arc (\a:\b:\r cm) -- cycle;
%Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2);
\foreach \i/\j in {
1/2,
3/1, 3/2,
4/5, 4/1,
5/1,
6/5, 6/4,
7/5, 7/6,
8/9, 8/7,
9/7,
10/9, 10/8,
11/9, 11/10,
12/13, 12/11,
13/11,
14/13, 14/12,
15/13, 15/14,
16/17, 16/15,
17/15,
18/19, 18/17,
19/17, 19/21,
20/21, 20/19, 20/18,
22/23, 22/21,
23/2, 23/21,
24/2, 24/23, 24/22}
\draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j);
%Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt)
\foreach \i in {1,...,24}
\fill[red] (p-\i) circle (1.125pt);
%einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2);
%nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2);
%Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm);
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
1/359.90/486.37/0.4/Blue,
7/306.37/432.72/0.4/Green,
11/252.72/379.07/0.4/Orange,
15/199.07/325.44/0.4/Violet}
{
\draw[\c,thick] (p-\i) +(\a:\r cm) arc (\a:\b-4:\r cm);
\fill[\c!90!black] (p-\i) -- +(\b:\r cm) coordinate (pfeilspitze-\i) -- ([turn]-24.84:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]15.522:0.04cm) -- ([turn]-39.275:0.04cm) -- ([turn]15.522:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- (pfeilspitze-\i);
}
%Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1};
\foreach \i/\a in {
1/210,
2/330,
3/90,
4/36,
5/156,
6/96,
7/156,
8/343,
9/103,
10/43,
11/169,
12/289,
13/49,
14/289,
15/49,
16/235,
17/355,
18/122,
19/62,
20/182,
21/24,
22/84,
23/264,
24/144}
\node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i};
\end{tikzpicture}
$
Um davon ausgehend zum Rahmen (2,2,2,1,1,2,1) zu kommen, müsste ich die zwei rechten Rahmenteile von P2 über P21 nach P17 durch ein Zweier- und ein Einer-Rahmenstück ersetzen. Dazu entferne ich erstmal die Rahmenstücke von P2 nach P17:
$
%Eingabe war:
%
%Anfang für einen neuen, noch unbenannten Streichholzgraph
%
%
%
%
%
%
%
%P[2]=[50,-1.2789769243681803e-13]; P[1]=[0.00007615433561654958,0.08726641829491541]; D=ab(2,1); A(1,2); L(3,1,2); M(5,1,2,blauerWinkel); L(4,5,1); L(6,5,4); L(7,5,6); M(9,7,5,gruenerWinkel); L(8,9,7); L(10,9,8); L(11,9,10); M(13,11,9,orangerWinkel); L(12,13,11); L(14,13,12); L(15,13,14); M(17,15,13,vierterWinkel); L(16,17,15);
%
%
%Ende der Eingabe.
\begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize]
\definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00}
\definecolor{Green}{rgb}{0.00,0.50,0.00}
\definecolor{Orange}{rgb}{1.00,0.64,0.00}
\definecolor{Violet}{rgb}{0.93,0.51,0.93}
%Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0);
\foreach \i/\x/\y in {
1/1.18599472774319414370/0.00174532836590086623,
2/2.18599320465648183642/0.00000000000000000000,
3/1.68750546490265374011/0.86689674893560397795,
4/1.58682351180239145094/0.91789831006143896008,
5/0.59299736387159707185/0.80694972877696213853,
6/0.99382614793079471216/1.72310271047250029852,
7/0.00000000000000000000/1.61215412918802347697,
8/0.97545774371217330856/1.83234084593532364771,
9/0.29704158157703619558/2.56701867393466631739,
10/1.27249932528920939312/2.78720539068196693222,
11/0.59408316315407194708/3.52188321868130849168,
12/1.34959370723822225102/2.86674673078151842631,
13/1.53920327666348155660/3.84860629873529092038,
14/2.29471382074763186054/3.19346981083550085501,
15/2.48432339017289116612/4.17532937878927334907,
16/2.40482036826522982409/3.17849475383508872639,
17/3.30785598780131762098/3.60806042966251538928}
\coordinate (p-\i) at (\x,\y);
%Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle;
%gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle;
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
1/359.90/486.37/0.4/Blue,
7/306.37/432.72/0.4/Green,
11/252.72/379.07/0.4/Orange,
15/199.07/325.44/0.4/Violet}
\fill[\c!20] (p-\i) -- +(\a:\r cm) arc (\a:\b:\r cm) -- cycle;
%Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2);
\foreach \i/\j in {
1/2,
3/1, 3/2,
4/5, 4/1,
5/1,
6/5, 6/4,
7/5, 7/6,
8/9, 8/7,
9/7,
10/9, 10/8,
11/9, 11/10,
12/13, 12/11,
13/11,
14/13, 14/12,
15/13, 15/14,
16/17, 16/15,
17/15}
\draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j);
%Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt)
\foreach \i in {1,...,17}
\fill[red] (p-\i) circle (1.125pt);
%einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2);
%nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2);
%Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm);
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
1/359.90/486.37/0.4/Blue,
7/306.37/432.72/0.4/Green,
11/252.72/379.07/0.4/Orange,
15/199.07/325.44/0.4/Violet}
{
\draw[\c,thick] (p-\i) +(\a:\r cm) arc (\a:\b-4:\r cm);
\fill[\c!90!black] (p-\i) -- +(\b:\r cm) coordinate (pfeilspitze-\i) -- ([turn]-24.84:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]15.522:0.04cm) -- ([turn]-39.275:0.04cm) -- ([turn]15.522:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- (pfeilspitze-\i);
}
%Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1};
\foreach \i/\a in {
1/210,
2/330,
3/90,
4/36,
5/156,
6/96,
7/156,
8/343,
9/103,
10/43,
11/169,
12/289,
13/49,
14/289,
15/49,
16/235,
17/355}
\node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i};
\end{tikzpicture}
$
und stelle die 5 einstellbaren Winkel alle auf den kleinstmöglichen überschneidungsfreien Wert 120°:
$
%Eingabe war:
%
%Anfang für einen neuen, noch unbenannten Streichholzgraph
%
%
%
%
%
%
%
%P[2]=[50,-1.2789769243681803e-13]; P[1]=[0.00007615433561654958,0.08726641829491541]; D=ab(2,1); A(1,2); L(3,1,2); M(5,1,2,blauerWinkel); L(4,5,1); L(6,5,4); L(7,5,6); M(9,7,5,gruenerWinkel); L(8,9,7); L(10,9,8); L(11,9,10); M(13,11,9,orangerWinkel); L(12,13,11); L(14,13,12); L(15,13,14); M(17,15,13,vierterWinkel); L(16,17,15);
%
%
%Ende der Eingabe.
\begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize]
\definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00}
\definecolor{Green}{rgb}{0.00,0.50,0.00}
\definecolor{Orange}{rgb}{1.00,0.64,0.00}
\definecolor{Violet}{rgb}{0.93,0.51,0.93}
%Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0);
\foreach \i/\x/\y in {
1/0.99697547950765641467/0.00174532836590086623,
2/1.99697395642094410739/0.00000000000000000000,
3/1.49848621666711601108/0.86689674893560397795,
4/1.49848621666711556699/0.86689674893560408897,
5/0.49848773975382804080/0.86864207730150477804,
6/0.99999847691328758170/1.73379349787120795590,
7/0.00000000000000000000/1.73553882623710853395,
8/0.99999847691328769272/1.73379349787120795590,
9/0.50151073715945948539/2.60069024680681204487,
10/1.50150921407274684505/2.59894491844091124477,
11/1.00302147431891874874/3.46584166737651466761,
12/1.50150921407274684505/2.59894491844091124477,
13/2.00301995123220644146/3.46409633901061386752,
14/2.50150769098603475982/2.59719959007501088877,
15/3.00301842814549324601/3.46235101064471351151,
16/2.50150769098603387164/2.59719959007501088877,
17/3.50150616789932156436/2.59545426170911008867}
\coordinate (p-\i) at (\x,\y);
%Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle;
%gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle;
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
1/359.90/479.90/0.4/Blue,
7/299.90/419.90/0.4/Green,
11/239.90/359.90/0.4/Orange,
15/179.90/299.90/0.4/Violet}
\fill[\c!20] (p-\i) -- +(\a:\r cm) arc (\a:\b:\r cm) -- cycle;
%Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2);
\foreach \i/\j in {
1/2,
3/1, 3/2,
4/5, 4/1,
5/1,
6/5, 6/4,
7/5, 7/6,
8/9, 8/7,
9/7,
10/9, 10/8,
11/9, 11/10,
12/13, 12/11,
13/11,
14/13, 14/12,
15/13, 15/14,
16/17, 16/15,
17/15}
\draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j);
%Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt)
\foreach \i in {1,...,17}
\fill[red] (p-\i) circle (1.125pt);
%einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2);
%nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2);
%Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm);
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
1/359.90/479.90/0.4/Blue,
7/299.90/419.90/0.4/Green,
11/239.90/359.90/0.4/Orange,
15/179.90/299.90/0.4/Violet}
{
\draw[\c,thick] (p-\i) +(\a:\r cm) arc (\a:\b-4:\r cm);
\fill[\c!90!black] (p-\i) -- +(\b:\r cm) coordinate (pfeilspitze-\i) -- ([turn]-24.84:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]15.522:0.04cm) -- ([turn]-39.275:0.04cm) -- ([turn]15.522:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- (pfeilspitze-\i);
}
%Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1};
\foreach \i/\a in {
1/210,
2/330,
3/90,
4/30,
5/150,
6/30,
7/210,
8/270,
9/150,
10/30,
11/90,
12/210,
13/30,
14/270,
15/32,
16/30,
17/330}
\node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i};
\end{tikzpicture}
$
Jetzt ist zu sehen und bestimmt auch einfach zu beweisen, dass der Abstand P2-P17 gleich 3 ist und nicht weiter verringert werden kann. Das reicht nicht, um ein Kantenstück der Länge 1 und eins der Länge 2 einzusetzen.
P15-P4 = P13-P5 weil P13-P15 = P5-P4 und parallel
P17-P2 = P15-P4 weil P15-P17 = P4-P2 und beide parallel, P3 und P4 fallen zusammen
insgesamt P17-P2 = P13-P5 = Länge 3
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Slash
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| Beitrag No.2282, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-16
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Das ist eine gute Erklärung. Im Prinzip müsste so ein kleiner Beweis für jeden nicht ÜS freien Rahmen gegeben werden, was sehr aufwändig wäre.
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haribo
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| Beitrag No.2283, eingetragen 2022-04-17
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Glaub nicht, man muss nur eine Lösung des ÜS freien Rings zeigen, und hat danach eben eine gewisse Beweglichkeit, die man aber nicht in allen Details darstellen muss , meine ich
Nimm einen funktionierenden Ring, halt ein Element fest, dann muss jeder andere Berührk Noten jeweils linksimringlang und rechtsimringlang erreichbar sein
Das erfordert immer >= 6 rahmenelemente , und bei 7 ist die Beweglichkeit vorhanden aber nicht besonders groß,
Bei 6 Elementen ist es sofort klar dass sie jeweils symmetrisch Gleichklang sein müssen um geschlossen zu werden, symmetrisch ist dabei sowohl in dreiteilung oder in zweiteilung(gegenüberliegend) möglich
1,1,1,1,1,1 oder 1,n,1,n,1,n oder m,n,o,m,n,o geht immer ÜS frei
2,2,2,1,2,2,1 kannst du anders teilen dann ist eine Symmetrie direkt erkennbar 2,1,2,2,2,1,2 das erleichtert ne Argumentation , geht also aus symetrie gründen wenn man das mittlere Teil festhältund waagerecht anordnet und die Beweglichkeit auf beiden Seiten groß genug ist um über die Mittellinie hinaus zu kommen
2,1,2,4,2,1,2 geht sicherlich nicht
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StefanVogel
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| Beitrag No.2284, eingetragen 2022-04-17
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Könnte das funktionieren? Das fällt mir gerade so ein, ich habe es noch nicht weiter probiert: Man fügt die ersten 6 Rahmenstücke so weit wie möglich zusammen wie der dritte Rahmen #2281-3 und wenn der verbleibende Abstand kleiner ist als die Gesamtlänge der restlichen Rahmenstücke, geht dann der Rahmen überschneidungsfrei zu zeichnen?
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| Beitrag No.2285, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-17
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@ haribo: Das wäre dein allg. Ansatz mit den Polygonen. Auf jeden Fall gibt es bei 9 und 10 schon sehr knappe Lösungen und eben auch knappe Nicht-Lösungen für Rahmen. Aber wir werden das schon ausklamüsern.
@ Stefan: Klingt fürs Erste logisch. Auf die Schnelle sehe ich kein Gegenbeispiel.
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StefanVogel
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| Beitrag No.2286, eingetragen 2022-04-17
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Ein (extremes) Gegenbeispiel ist Rahmen (1,1,1,1,1,1,7), deshalb müsste man das mindestens reihum prüfen für alle 6 aufeinanderfolgende Rahmenstücke.
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haribo
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| Beitrag No.2287, eingetragen 2022-04-17
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Hm , leg den 7er von 0/0 bis 7/0 und hält ihn fest, dann kann man alle anderen von 0/0 linksherum aufs engste legen und schauen wo sie mit ihren enden die x-Achse schneiden, das ergibt den kleinsten x-Wert,
und dann suchen welchen maximalen x-wert sie erreichen wenn man sie maximal streckt( was maximal strecken genau bedeutet weiß ich auch nicht, aber dann hat man den Bereich innerhalb dessen man den 7er austauschen könnte auch wenn das gelegentlich die Rahmengesetze verändert...
Nochmal man muss das nur einmal prüfen und nicht für jeden einzelnen, ich würde vorerst den größten wählen zum Festhalten
Frostern übrigens!
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StefanVogel
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| Beitrag No.2288, eingetragen 2022-04-17
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Das wünsche ich auch.
\quoteon(2022-04-17 08:49 - StefanVogel in Beitrag No. 2286)
... für alle 6 aufeinanderfolgende Rahmenstücke.
\quoteoff
Oder 4 oder 5, in #2281-3 sind es 5.
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haribo
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| Beitrag No.2289, eingetragen 2022-04-17
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kein osterei, aber fast
für den maximallangen träger braucht man rechts und links zwei möglichst kleine (hier grün) und dann kann man die restlichen oben und unten geradeaus verteilen, sozusagen P auf der X-achse nach rechts schieben indem man von 0/0 aus linksrum die kette der vorhandenen rahmenelemente einmal staucht und einmal streckt
damit wird der maximal mögliche ÜS freie träger bei n randhölzern [abgerundet (n-4)/2]
ich hoffe doch das ihr schon anderwertig auf diese formel gekommen seid? und ich das übersehen hab
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-19er-maximal.JPG
bzw so meine ich es, den längsten träger auf die x-achse ausrichten und die restlichen oben gestreckt und gestaucht anordnen und schauen ob P auf der x-achse im bereich des ersten trägers ankommt
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| Beitrag No.2290, eingetragen 2022-04-17
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ganz stringent funst es so noch nicht, hier nochmal der geometrische versuch beim 11er
(2,2,2,1,1,2,1) aber ich ordne jetzt jeweils erst die grünen beiden zwei nachbarn an und schaue dann auf die gelben
ich nehme den ersten 2er (blau); klappe rechts und links je zwei grüne so eng wie möglich und schaue ob die restlichen gelben die lücke noch füllen können,
so knapp nicht funktionierend ist der doch gar nicht?
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-11er-imposible.JPG
man muss das wirlich nicht noch mit anderen blauen probieren, es kann nie gehen wenn es beim ersten versuch nicht passt
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| Beitrag No.2291, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-17
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Für ein längstes Rahmenstück hatte ich ja diese Formel angegeben. Das würde einen Fall wie (1,1,1,1,1,1,7) erledigen. Wie auch in #2289 2. und 3. Bild.
\quoteon(2022-04-07 13:36 - Slash in Beitrag No. 2245)
sei d die Anzahl der Dreiecke des längsten Rahmen-Elements, dann ist ein ÜS freier Rahmen nur möglich, wenn n / (d + 2) > 2 ist. Gilt n / (d + 2) = 2 fallen die Knoten zusammen, wie z.B. bei n = 6.
\quoteoff
Mit der Regel, dass ein 1er im Rahmen mind. 60° in Summe Abstand zu seinen Nachbardreiecken benötigt, könnten auf jeden Fall viele Rahmen formal ausgeschlossen werden. Da würde dann ja bereits das 3. Polygon mitspielen. Wie in #2290 würden die meisten kleinen Rahmen gar nicht erst schließen.
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| Beitrag No.2292, eingetragen 2022-04-17
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Beide Formeln sind gleich
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| Beitrag No.2293, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-17
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\quoteon(2022-04-17 16:15 - haribo in Beitrag No. 2292)
Beide Formeln sind gleich
\quoteoff
Dann müssen sie ja richtig sein 😎.
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| Beitrag No.2294, eingetragen 2022-04-19
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Wie kommt man zu einer vollständigen Liste der möglichen Rahmen bei gegebenem n?
Bisher sind wir uns nur über den größten Einzel-Träger einig
Hast du alle möglichen Rahmen für n=10;11;12 vollständig dargestellt?
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| Beitrag No.2295, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-19
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Das geht über die Kombinatorik, wobei von allen möglichen Permutationen viele ausgeschlossen werden können. Ich hatte hier mal um Hilfe gebeten, habe aber selbst noch keine Zeit und Muße gehabt, den Algorithmus zu programmieren.
Für bzw. bis n=10 hatte ich noch alle per Hand erstellt und probiert.
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| Beitrag No.2296, eingetragen 2022-04-19
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\quoteon(2022-04-19 08:05 - Slash in Beitrag No. 2295)
Das geht über die Kombinatorik, wobei von allen möglichen Permutationen viele ausgeschlossen werden können. Ich hatte hier mal um Hilfe gebeten, habe aber selbst noch keine Zeit und Muße gehabt, den Algorithmus zu programmieren.
Für bzw. bis n=10 hatte ich noch alle per Hand erstellt und probiert.
\quoteoff
ist #2237 die vollständige abbildung aller möglichen 10er?
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| Beitrag No.2297, eingetragen 2022-04-19
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bei grösseren n werden das viele varianten
hier mal die fortsetzung des bildes bei n=19 mit immernoch mindestens einem 7er träger, da gibts als nächstes dann auch diemöglichkeit 2 7er träger anzuordnen
und für die 8 gelben alleine acht zweiergruppen (orang/helblau) die alle als rahmen funktionieren würden
jeder träger kann dabei ja insich auch wieder in allerlei untergruppen geöffnet werden, schlicht indem man die innere verbindung [blau1] irgendwo wegnimmt
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-19er-varianten.JPG
das werden viele viele
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| Beitrag No.2298, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-19
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\quoteon(2022-04-19 10:12 - haribo in Beitrag No. 2296)
\quoteon(2022-04-19 08:05 - Slash in Beitrag No. 2295)
Das geht über die Kombinatorik, wobei von allen möglichen Permutationen viele ausgeschlossen werden können. Ich hatte hier mal um Hilfe gebeten, habe aber selbst noch keine Zeit und Muße gehabt, den Algorithmus zu programmieren.
Für bzw. bis n=10 hatte ich noch alle per Hand erstellt und probiert.
\quoteoff
ist #2237 die vollständige abbildung aller möglichen 10er?
\quoteoff
Nur die ÜS freien. Aber alles ohne Gewähr.
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| Beitrag No.2299, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-19
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\quoteon(2022-04-19 11:12 - haribo in Beitrag No. 2297)
bei grösseren n werden das viele varianten
\quoteoff
Auf jeden Fall. Also diese Brute-Force-Methode ginge vielleicht bis n=14 oder 15. Aber mit den nötigen Innenknoten wäre das bereits eine neue obere Schranke.
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| Beitrag No.2300, eingetragen 2022-04-22
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mal wieder am 4/9er rumgedocktert, gelb ist insich starr, blau hat einige beweglichkeit, ich vermute dass man mit blau entweder weiss oder rot passend hinschieben kann? wenn, wärs eine erhebliche verbesserung
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-4-9-versuch.JPG
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| Beitrag No.2301, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-23
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Moin haribo, das kannst leicht testen ohne Programm, da im Zentrum ja 4 gleichs. Dreiecke entstehen müssten, damit die rote Kante passt.
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haribo
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| Beitrag No.2302, eingetragen 2022-04-23
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Leicht nicht, gibt es noch Beweglichkeit wenn nur der rote eingepasst würde? Sowas kann nur Stefan abstrakt beantworten... es gibt in den blauen auch durchdrück Varianten, deren Auswirkung sind sehr schwer vorherzusagen für mich... aber auch extrem unwahrscheinlich wie alle unsymmetrischen konstruktionen, aber gerade darin liegt vermutlich die einzige verbesserungs Chance
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| Beitrag No.2303, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-23
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Ich würde den auch in 'ner halben Stunde mit dem Programm testen können, müsste ich aber heute Abend machen.
Meine Gedanken ohne Programm und nur mit CAD waren: von dem roten Punkt einen Kreis mit Radius des starren Teilgraphen aus 4 Dreiecken und dann den anderen großen Kite-Teilgraph mit den zwei Außenkanten passend legen. Dann abschätzen, ob die beiden übrigen Kanten noch passen könnten.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_35059_st-4-9-versuch2.JPG
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| Beitrag No.2304, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-23
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Könnte passen. Die roten Kanten wären aber vorgegeben. Da gibt es keine Beweglichkeit mehr für. Also dasselbe Problem wie bei den letzten Versuchen mit diesen Gurken.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_haribo_4_9_neu.png
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| Beitrag No.2305, eingetragen 2022-04-23
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ne leider nicht, 1,028
versetz den roten kreis um die schwarze strecke, dann schneidet er den einserkreis an der andockstelle...(kleinster kreis)
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-4-9-versuch2.JPG
trotzdem danke, ich hatte aktuell keine gute testkonstruktion erkannt
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| Beitrag No.2306, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-23
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Vielleicht kann man die Konstruktion etwas erweitern und auseinanderziehen, sodass das Mittelstück flexibel wird, dann ginge es.
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haribo
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| Beitrag No.2307, eingetragen 2022-04-23
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nur zu, du musst nur unter 273 bleiben, hast also ca 95 hölzer zum benutzen...
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StefanVogel
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| Beitrag No.2308, eingetragen 2022-04-24
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\quoteon(2022-04-23 15:10 - haribo in Beitrag No. 2302)
Leicht nicht, gibt es noch Beweglichkeit wenn nur der rote eingepasst würde? Sowas kann nur Stefan abstrakt beantworten...
\quoteoff
Das ist etwas für den Abzählreim, wenn ich diese Bezeichnung verwenden darf. Ein 4/9-regulärer Graph enthält eine gerade Anzahl von 9er-Knoten, also mindestens 2. Ein 4/4-regulärer Graph hat 3 Einsetzkanten (damit bezeichne ich Kanten, wenn man diese entfernt, wird der Graph nicht beweglich, um den Abstand auf 1 einstellen zu können). Ein 4/5-regulärer Graph enthält eine Einsetzkante mehr (ist ja ein starrer 4/4-Graph mit einer weiteren Kante), also 4 Einsetzkanten. Ein 4/6-regulärer Graph mit 2 6er-Knoten enthält 3+2=5 Einsetzkanten und so weiter, ein 4/9-regulärer Graph enthält dann 3+5=8 Einsetzkanten. Ein Doppelkite enthält eine Einsetzkante, jedes weitere angefügte Kite erzeugt eine weitere Einsetzkante, ein Dreifach-Kite hat also 2 und ein Vierfach-Kite 3 Einsetzkanten. In Graph #2235-11 (der unterste Graph) sind solche Einsetzkanten blau eingezeichnet. Graph #2304 enthält zwei Vierfach-Kites mit insgesamt 6 Einsetzkanten. Deshalb müssen im Zwischenraum noch 2 Einsetzkanten eingebaut werden (rot eingezeichnet). Das kann man mit Garantie erreichen, wenn man noch zwei Doppelkites einfügt irgendwo.
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Slash
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| Beitrag No.2309, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-24
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Vielleicht könnten die blauen 4er-Knoten ergeben, aber leider blieben dann noch die beiden roten 3er übrig. Aber im Sinne der Ideenfindung...
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_9_slash_22_1.png
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haribo
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| Beitrag No.2310, eingetragen 2022-04-24
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Hm, dann brauchen wir also ne neunfach-kite-Schlange für 8 einsatzkanten beim 4/9er... bzw die beiden 4fach-kites müssen durch einen weiteren miteinander verbunden werden, sehr interessanter ansatz
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StefanVogel
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| Beitrag No.2311, eingetragen 2022-04-24
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Wobei die 4fach-kites verlängern dazu führen würde, dass mehr als zwei 9-er Knoten entstehen, so dass eigentlich nur die Variante bleibt, in der Verbindung der beiden 4fach-kites irgendwie zwei separate Doppelkites mit zu verwenden.
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haribo
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| Beitrag No.2312, eingetragen 2022-04-24
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Och dass probieren wir erstmal ob es nicht doch nen 9fach kiter gibt... aber nicht heute
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haribo
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| Beitrag No.2313, eingetragen 2022-04-25
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Slash, Anstelle punktsymetrie die gespiegelt Variante verbessert es einiges, bringt beide Dreier in Nähe zueinander , im Sinne des Fortschritts...
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_3C175A65-6117-4974-BCC1-70BCC88D2849.jpeg
Im Sinne von Stefans Argumentation ist aber wohl der untere rechte kite so aufgebrochen dass ihm seine einsetzkante fehlt, ? Dann kann das scheints nix werden??? Ich versteh dies aber noch nicht genug, insbesondere nicht ob kites die einzig bekannte Konstruktion für einsetzer sind???
Die Flügelspitzen der kites kann man ohne einsetzkantenverlustigkeit stützen, das haben wir ja oft benutzt im 4/11er und 4/9er auch, in deinem(slash) konstrukt verliert also der oben recht kite darum nicht sein einsetzkante, was ja sehr gut ist
Merkwürdig auch, beim 4/10er hab ich’s nie hinbekommen gestützte kites zu integrieren
Und noch merkwürdiger , beim 4/7 verwenden wir ja gar keine kites,
Frage: welches sind denn dort die notwendigen sechs einsetz-Hölzer?
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haribo
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| Beitrag No.2314, eingetragen 2022-04-25
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\quoteon(2022-04-24 21:51 - haribo in Beitrag No. 2312)
Och dass probieren wir erstmal ob es nicht doch nen 9fach kiter gibt... aber nicht heute
\quoteoff
immerhin-schnellschuss-versuch...wären aber eher 10 kiter mit leider überschnitten in der mitten
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-4-9-fehlversuch.JPG
nachtrag: es ist etwas schlurig gezeichnet, der blaue teil hat einen achterknoten aber keine überschneidungen
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haribo
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| Beitrag No.2315, eingetragen 2022-04-26
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stefan, dieses konstrukt kann nicht passen oben in der mitte, aber wäre es denn im sinne des abzählreims ein neun-einsetzkanten-gebilde? oder muss der neunte kite auch mit zwei doppelenden an einen anderen kite anschliessen im sinne eines doppelkites?
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-neun-kites.JPG
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| Beitrag No.2316, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-26
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Habe mal das hier gebastelt. Nutzen?
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4_9_slash_idee.png
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haribo
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| Beitrag No.2317, eingetragen 2022-04-27
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Ja auch der nutzt um uns klarzumachen was Stefan entdeckt hat mit der notwendigen (? ) Anzahl der Einsetzkanten
4/9er braucht neun
Du hast hier evtl jetzt nur 6 in den sechs kites, um den einen 2er außen abzufangen gibt es die alte Konstruktion mit Krebsschere und großem Dreieck, also weiteren vier kites , gleichbedeutend mit 4! Weiteren einsetzkanten,
Dann wären es insgesamt 10, also einer Zuviel und der sorgt für die dann noch vorhandene , aber ja nicht wirklich notwendige, Beweglichkeit ( die Krebsscheren- Konstruktion berührt ja beweglich den vorhandenen 2er)
Diese Überlegung zeigt auf neue, und evtl. noch nicht richtig verstandene Art und weise, dass dein Konstrukt also garnicht nahe an einer Lösung dran sein kann weil ihm ja offenbar noch drei! Einsetzkanten fehlen
???
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| Beitrag No.2318, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-27
|
Ja, diese Einsetzkantengeschichte müssten wir mal genau ausarbeiten. Für diesen 4/9 ist leider nur ein Winkel nötig, aber 3 Messkanten. Kann also auch nichts werden.
84 Knoten, 82×Grad 4, 2×Grad 9, 0 Überschneidungen,
173 Kanten, minimal 0.85725711949450789096, maximal 1.00000000000001265654, Einsetzkanten=Beweglichkeit+8,
einzustellende Kanten, Abstände und Winkel:
|P83-P84|=1.00000000000001265654
|P83-P34|=0.99631568015846339037
|P37-P77|=0.85725711949450789096
nicht passende Kanten:
|P35-P78|=0.85725711949450877913
|P37-P77|=0.85725711949450789096
|P76-P84|=0.99631568015846405650
|P83-P34|=0.99631568015846339037
$
%Eingabe war:
%
%Fig.2a (2,4) mit 22 Knoten, Doppelkite
%
%
%
%
%P[1]=[648.4192065279024,168.31074392165726]; P[2]=[610.2568923593636,247.96251053436268];
%D=ab(1,2); A(2,1,Bew(1)); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,3,4); Q(7,1,6,ab(1,6,[1,6]),ab(1,2,3)); A(11,12,ab(5,12,[1,12]));
%A(5,12,ab(5,12,[1,10],"gespiegelt")); N(32,12,29);
%M(33,32,29,blue_angle,1); N(35,33,31); N(36,33,35);
%A(12,22,ab(22,12,[17,21])); N(42,37,40);
%A(42,36,ab(36,42,[1,42]));
%
%N(83,82,76); N(84,41,34);
%RA(83,84); RA(83,34); A(76,84);
%
%RA(37,77); A(35,78);
%
%//von Button Feinjustieren ausgewählte Einsetzkanten:
%R(83,34,"LightSlateGrey");
%R(37,77,"LightSlateGrey");
%
%
%
%Ende der Eingabe.
\begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize]
\definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00}
%Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0);
\foreach \i/\x/\y in {
1/10.15419670373943539232/3.29261590329602915617,
2/9.72211480459677090948/4.19445027413874083067,
3/9.15714427901236049934/3.36933918754441208421,
4/8.72506237986969601650/4.27117355838712242644,
5/9.29003290545410465029/5.09628464498144939654,
6/8.16009185428528560635/3.44606247179279412407,
7/8.33506795992697213649/2.46148979166477666070,
8/9.14973830909071317308/1.88156546712455630121,
9/9.24463233183320376440/2.87705284748040268639,
10/10.05930268099694124828/2.29712852294018254895,
11/9.96440865825445243331/1.30164114258433816218,
12/7.39491495424313605156/2.80224237918781327039,
13/8.32360180035586161296/0.15807091952282653624,
14/9.14400522930515968767/0.72985603105358143328,
15/8.23862308273915822099/1.15445368611015419802,
16/9.05902651168845096663/1.72623879764090970568,
17/8.15364436512245127631/2.15083645269748258144,
18/7.21014557916643017421/1.81946047152276002556,
19/6.76910685565679060005/0.92197239674683817423,
20/7.76687368976114722585/0.98876569552279258701,
21/7.32583496625150587533/0.09127762074687553739,
22/6.32806813214715635496/0.02448432197091826926,
23/7.35567703210863221841/5.60448475837563808710,
24/8.32285496878136932253/5.35038470167854463000,
25/7.61920889624225150527/4.63983406688868438295,
26/8.58638683291498772121/4.38573401019159003766,
27/7.88274076037586990395/3.67518337540173067879,
28/6.88283877858335468858/3.66118241802734356583,
29/6.15957374497698495475/4.35175297283139617122,
30/7.11925790534599389758/4.63283358820149082646,
31/6.39599287173962327557/5.32340414300553810278,
32/6.67164992063676809408/3.49281293399186854032,
33/6.11568568321378247532/4.32401914589519442700,
34/5.67382210663356367775/3.42693688673958263280,
35/5.43281073307589679189/5.05455443078852617589,
36/5.14158609306631309011/4.09789973391441986195,
37/5.56933872126783935386/0.67589024846124989843,
38/6.51283750722386223231/1.00726622963597245430,
39/6.95387623073350269465/1.90475430441189352848,
40/5.95610939662914518067/1.83796100563593878263,
41/6.39714812013878830754/2.73544908041185630410,
42/5.01261061067312230222/1.50658502446121733698,
43/0.00000000000000000000/2.31186885507960804276,
44/0.43208189914266414977/1.41003448423689747848,
45/0.99705242472707555912/2.23514557083122555881,
46/1.42913432386973915378/1.33331119998851588271,
47/0.86416379828533018692/0.50820011339418580398,
48/1.99410484945415000801/2.15842228658284263076,
49/1.81912874381246192357/3.14299496671086187050,
50/1.00445839464872199720/3.72291929125108023158,
51/0.90956437190623029565/2.72743191089523318027,
52/0.09489402274249356117/3.30735623543545642633,
53/0.18978804548498262594/4.30284361579129814857,
54/2.75928174949629934076/2.80224237918782481671,
55/1.83059490338357333528/5.44641383885281005206,
56/1.01019147443427548261/4.87462872732205365622,
57/1.91557362100027650520/4.45003107226548344499,
58/1.09517019205098242729/3.87824596073472616098,
59/2.00055233861698322784/3.45364830567815461748,
60/2.94405112457300477402/3.78502428685287650723,
61/3.38508984808264346000/4.68251236162879891367,
62/2.38732301397828772238/4.61571906285284505600,
63/2.82836173748793040517/5.51320713762876213337,
64/3.82612857159227726100/5.58000043640471865558,
65/2.79851967163080228573/0.00000000000000000000,
66/1.83134173495806606979/0.25410005669709123666,
67/2.53498780749718299887/0.96465069148695348211,
68/1.56780987082444589475/1.21875074818404627308,
69/2.27145594336356415610/1.92930138297390696422,
70/3.27135792515607892739/1.94330234034829363310,
71/3.99462295876244999349/1.25273178554424080566,
72/3.03493879839344105065/0.97165117017414703859,
73/3.75820383199981078448/0.28108061537009937370,
74/3.48254678310266507779/2.11167182438376821452,
75/4.03851102052565202882/1.28046561248044277193,
76/4.48037459710586993822/2.17754787163605501021,
77/4.72138597066353771226/0.54993032758711135610,
78/4.58485798247159426211/4.92859450991438752254,
79/3.64135919651557182775/4.59721852873966430053,
80/3.20032047300593269767/3.69973045396374411453,
81/4.19808730711028932348/3.76652375273969841629,
82/3.75704858360064664069/2.86903567796378133892,
83/4.71701676570216221762/3.14914474485150730487,
84/5.43717993803727317470/2.45534001352412989405}
\coordinate (p-\i) at (\x,\y);
%Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle;
%gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle;
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
32/120.80/123.78/0.4/Blue}
\fill[\c!20] (p-\i) -- +(\a:\r cm) arc (\a:\b:\r cm) -- cycle;
%Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2);
\foreach \i/\j in {
1/9, 1/10,
2/1,
3/1, 3/2,
4/3, 4/2,
5/4, 5/2, 5/24, 5/26,
6/3, 6/4, 6/7,
8/7,
9/7, 9/8,
10/8, 10/9,
11/8, 11/10, 11/14, 11/16,
12/7, 12/6, 12/17, 12/18, 12/27, 12/28, 12/39, 12/41,
13/20, 13/21,
14/13,
15/13, 15/14,
16/14, 16/15,
17/15, 17/16, 17/18,
19/18,
20/18, 20/19,
21/19, 21/20,
22/19, 22/21, 22/37, 22/38,
23/30, 23/31,
24/23,
25/23, 25/24,
26/24, 26/25,
27/25, 27/26, 27/28,
29/28,
30/28, 30/29,
31/29, 31/30,
32/12, 32/29,
33/32,
34/32, 34/33,
35/33, 35/31, 35/78,
36/33, 36/35, 36/78, 36/81,
37/38, 37/77,
39/38,
40/38, 40/39,
41/39, 41/40,
42/37, 42/40, 42/75, 42/77,
43/51, 43/52,
44/43,
45/43, 45/44,
46/44, 46/45,
47/44, 47/46, 47/66, 47/68,
48/45, 48/46, 48/49,
50/49,
51/49, 51/50,
52/50, 52/51,
53/50, 53/52, 53/56, 53/58,
54/48, 54/49, 54/59, 54/60, 54/69, 54/70, 54/80, 54/82,
55/62, 55/63,
56/55,
57/55, 57/56,
58/56, 58/57,
59/57, 59/58, 59/60,
61/60,
62/60, 62/61,
63/61, 63/62,
64/61, 64/63, 64/78, 64/79,
65/72, 65/73,
66/65,
67/65, 67/66,
68/66, 68/67,
69/67, 69/68, 69/70,
71/70,
72/70, 72/71,
73/71, 73/72,
74/54, 74/71,
75/74,
76/74, 76/75, 76/84,
77/73, 77/75,
78/79,
80/79,
81/79, 81/80,
82/80, 82/81,
83/82, 83/76, 83/84, 83/34,
84/41, 84/34}
\draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j);
%Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt)
\foreach \i in {1,...,84}
\fill[red] (p-\i) circle (1.125pt);
%einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2);
%nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2);
\draw[cyan,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-35) -- (p-78);
\draw[cyan,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-37) -- (p-77);
\draw[cyan,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-76) -- (p-84);
\draw[cyan,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-83) -- (p-34);
%Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm);
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
32/120.80/123.78/0.4/Blue}
{
\draw[\c,thick] (p-\i) +(\a:\r cm) arc (\a:\b-4:\r cm);
\fill[\c!90!black] (p-\i) -- +(\b:\r cm) coordinate (pfeilspitze-\i) -- ([turn]-24.84:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]15.522:0.04cm) -- ([turn]-39.275:0.04cm) -- ([turn]15.522:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- (pfeilspitze-\i);
}
%Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1};
\foreach \i/\a in {
1/55,
2/86,
3/266,
4/206,
5/86,
6/206,
7/175,
8/295,
9/115,
10/295,
11/295,
12/34,
13/334,
14/5,
15/245,
16/125,
17/125,
18/229,
19/94,
20/34,
21/214,
22/289,
23/46,
24/15,
25/135,
26/255,
27/31,
28/286,
29/166,
30/346,
31/166,
32/334,
33/343,
34/214,
35/103,
36/223,
37/169,
38/49,
39/34,
40/214,
41/154,
42/43,
43/146,
44/206,
45/146,
46/266,
47/266,
48/250,
49/355,
50/355,
51/295,
52/115,
53/115,
54/214,
55/154,
56/185,
57/5,
58/305,
59/169,
60/274,
61/274,
62/214,
63/34,
64/34,
65/226,
66/315,
67/75,
68/195,
69/75,
70/331,
71/346,
72/166,
73/346,
74/154,
75/163,
76/34,
77/283,
78/349,
79/229,
80/94,
81/34,
82/334,
83/106,
84/286}
\node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i};
\end{tikzpicture}
$
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Dito
84 Knoten, 82×Grad 4, 2×Grad 9, 0 Überschneidungen,
173 Kanten, minimal 0.80557510213894778506, maximal 1.00277769708778796698, Einsetzkanten=Beweglichkeit+8,
einzustellende Kanten, Abstände und Winkel:
|P34-P41|=0.99999999999999600320
|P40-P42|=0.80557510213894778506
|P84-P42|=1.00277769708778796698
|P78-P37|=0.85814604631696234094
nicht passende Kanten:
|P40-P42|=0.80557510213894778506
|P78-P37|=0.85814604631696234094
|P79-P35|=0.85814604631696267401
|P82-P84|=0.80557510213894800710
|P84-P42|=1.00277769708778796698
$
%Eingabe war:
%
%Fig.2a (2,4) mit 22 Knoten, Doppelkite
%
%
%
%
%P[1]=[648.4591579298925,168.3343056728587]; P[2]=[610.2891114282778,247.9824960747032];
%D=ab(1,2); A(2,1,Bew(1)); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,3,4); Q(7,1,6,ab(1,6,[1,6]),ab(1,2,3)); A(11,12,ab(5,12,[1,12]));
%A(5,12,ab(5,12,[1,10],"gespiegelt")); N(32,12,29);
%M(33,32,29,blue_angle,1); N(35,33,31); N(36,33,35);
%A(12,22,ab(22,12,[17,20]));
%N(41,39,12);
%RA(34,41); N(42,41,34); RA(40,42); N(43,37,40);
%A(43,36,ab(36,43,[1,43]));
%RA(84,42); RA(78,37); A(79,35);
%
%
%Ende der Eingabe.
\begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize]
\definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00}
%Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0);
\foreach \i/\x/\y in {
1/10.15508801281751338763/3.29287823118304423531,
2/9.72291913542574981477/4.19467092433039034916,
3/9.15802819290884428938/3.36950535121044758569,
4/8.72585931551708249287/4.27129804435779281135,
5/9.29075025803398624191/5.09646361747773557482,
6/8.16096837300017696748/3.44613247123785138015,
7/8.33603943804385139060/2.46157667181129102829,
8/9.15076571604804556159/1.88173092341829484297,
9/9.24556372543068150094/2.87722745149716718771,
10/10.06029000343487567193/2.29738170310417189057,
11/9.96549199405223973258/1.30188517502529910175,
12/7.39585357177531754758/2.80223858172915152309,
13/8.32479543902030449942/0.15815670449291929778,
14/9.14514371653627122782/0.73002093975910931078,
15/8.23972062252200565524/1.15453127040564873518,
16/9.06006890003797416000/1.72639550567183808205,
17/8.15464580602371036377/2.15090583631837661827,
18/7.21117898505712240365/1.81943885797030624474,
19/6.77022682466534941881/0.92190824999872811318,
20/7.76798721203871256336/0.98879778123161288228,
21/7.32703505164693869034/0.09126717326003694342,
22/6.32927466427357376944/0.02437764202715315617,
23/7.35634537872349536514/5.60447716345831015161,
24/8.32354781837874213579/5.35047039046802286322,
25/7.61997028040822144135/4.63985189361943906050,
26/8.58717272006346554747/4.38584512062915088393,
27/7.88359518209294751756/3.67522662378056619303,
28/6.88369455531756901934/3.66112922777265481500,
29/6.16036292082113678958/4.35163002178865099268,
30/7.12001996702053219224/4.63280319561548292739,
31/6.39668833252409996248/5.32330398963147732871,
32/6.67252193727888087693/3.49273937574514281579,
33/6.11571371029728894086/4.32338045248383640029,
34/5.67476154990551773238/3.42584984451225826874,
35/5.43348742143935048432/5.05452154064064629324,
36/5.14141380977392437046/4.09812569928168635158,
37/5.57048243002517828870/0.67571038743792921633,
38/6.51394925099176802519/1.00717736578599903474,
39/6.95490141138354012185/1.90470797375757650016,
40/5.95714102401017875366/1.83781844252469150902,
41/6.39809318440195351485/2.73534905049627319329,
42/5.43843613820256255309/2.45417587666942882407,
43/5.01367420304358990535/1.50635146417662491025,
44/0.00000000000000000000/2.31159893227526413995,
45/0.43216887739176396144/1.40980623912792246699,
46/0.99705981990866832110/2.23497181224786345410,
47/1.42922869730043156089/1.33317911910051822844,
48/0.86433775478352736776/0.50801354598057624212,
49/1.99411963981733530993/2.15834469222045877146,
50/1.81904857477366066476/3.14290049164701912332,
51/1.00432229676946849217/3.72274624004001708499,
52/0.90952428738683066545/2.72724971196114429617,
53/0.09479800938263914512/3.30709546035413870513,
54/0.18959601876527315545/4.30259198843300971760,
55/2.75923444104219672823/2.80223858172915996079,
56/1.83029257379720933230/5.44632045896539285224,
57/1.00994429628124193776/4.87445622369920172900,
58/1.91536739029550728830/4.44994589305266163848,
59/1.09501911277954033785/3.87808165778647406796,
60/2.00044220679380302386/3.45357132713993397743,
61/2.94390902776039187216/3.78503830548800479505,
62/3.38486118815216485700/4.68256891345958337070,
63/2.38710080077880126836/4.61567938222669837955,
64/2.82805296117057514138/5.51320999019827340248,
65/3.82581334854394006229/5.58009952143115839363,
66/2.79874263409401935476/0.00000000000000000000,
67/1.83154019443877347229/0.25400677299028845413,
68/2.53511773240929239037/0.96462526983887142418,
69/1.56791529275404717403/1.21863204282916126608,
70/2.27149283072456631416/1.92925053967774418062,
71/3.27139345749994525647/1.94334793568565644684,
72/3.99472509199637748623/1.25284714166965938098,
73/3.03506804579698208357/0.97167396784282700217,
74/3.75839968029341431333/0.28117317382683393312,
75/3.48256607553863295479/2.11173778771316822400,
76/4.03937430252022444677/1.28109671097447463950,
77/4.48032646291199654343/2.17862731894605232696,
78/4.72160059137816379149/0.54995562281766474655,
79/4.58460558279233598711/4.92876677602038260062,
80/3.64113876182574625062/4.59729979767231178300,
81/3.20018660143397282170/3.69976918970073409554,
82/4.19794698880733552215/3.76665872093361997486,
83/3.75699482841556031687/2.86912811296203829059,
84/4.71665187461495172272/3.15030128678888265981}
\coordinate (p-\i) at (\x,\y);
%Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle;
%gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle;
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
32/120.81/123.84/0.4/Blue}
\fill[\c!20] (p-\i) -- +(\a:\r cm) arc (\a:\b:\r cm) -- cycle;
%Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2);
\foreach \i/\j in {
1/9, 1/10,
2/1,
3/1, 3/2,
4/3, 4/2,
5/4, 5/2, 5/24, 5/26,
6/3, 6/4, 6/7,
8/7,
9/7, 9/8,
10/8, 10/9,
11/8, 11/10, 11/14, 11/16,
12/7, 12/6, 12/17, 12/18, 12/27, 12/28, 12/39,
13/20, 13/21,
14/13,
15/13, 15/14,
16/14, 16/15,
17/15, 17/16, 17/18,
19/18,
20/18, 20/19,
21/19, 21/20,
22/19, 22/21, 22/37, 22/38,
23/30, 23/31,
24/23,
25/23, 25/24,
26/24, 26/25,
27/25, 27/26, 27/28,
29/28,
30/28, 30/29,
31/29, 31/30,
32/12, 32/29,
33/32,
34/32, 34/33, 34/41,
35/33, 35/31,
36/33, 36/35, 36/79, 36/82,
37/38,
39/38,
40/38, 40/39, 40/42,
41/39, 41/12,
42/41, 42/34,
43/37, 43/40, 43/76, 43/78,
44/52, 44/53,
45/44,
46/44, 46/45,
47/45, 47/46,
48/45, 48/47, 48/67, 48/69,
49/46, 49/47, 49/50,
51/50,
52/50, 52/51,
53/51, 53/52,
54/51, 54/53, 54/57, 54/59,
55/49, 55/50, 55/60, 55/61, 55/70, 55/71, 55/81,
56/63, 56/64,
57/56,
58/56, 58/57,
59/57, 59/58,
60/58, 60/59, 60/61,
62/61,
63/61, 63/62,
64/62, 64/63,
65/62, 65/64, 65/79, 65/80,
66/73, 66/74,
67/66,
68/66, 68/67,
69/67, 69/68,
70/68, 70/69, 70/71,
72/71,
73/71, 73/72,
74/72, 74/73,
75/55, 75/72,
76/75,
77/75, 77/76, 77/83,
78/74, 78/76, 78/37,
79/80, 79/35,
81/80,
82/80, 82/81, 82/84,
83/55, 83/81,
84/77, 84/83, 84/42}
\draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j);
%Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt)
\foreach \i in {1,...,84}
\fill[red] (p-\i) circle (1.125pt);
%einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2);
%nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2);
\draw[cyan,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-40) -- (p-42);
\draw[cyan,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-78) -- (p-37);
\draw[cyan,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-79) -- (p-35);
\draw[cyan,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-82) -- (p-84);
\draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-84) -- (p-42);
%Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm);
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
32/120.81/123.84/0.4/Blue}
{
\draw[\c,thick] (p-\i) +(\a:\r cm) arc (\a:\b-4:\r cm);
\fill[\c!90!black] (p-\i) -- +(\b:\r cm) coordinate (pfeilspitze-\i) -- ([turn]-24.84:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]15.522:0.04cm) -- ([turn]-39.275:0.04cm) -- ([turn]15.522:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- (pfeilspitze-\i);
}
%Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1};
\foreach \i/\a in {
1/55,
2/86,
3/266,
4/86,
5/15,
6/70,
7/310,
8/295,
9/115,
10/295,
11/295,
12/109,
13/334,
14/5,
15/185,
16/5,
17/349,
18/94,
19/214,
20/34,
21/214,
22/214,
23/46,
24/15,
25/135,
26/255,
27/31,
28/151,
29/166,
30/346,
31/166,
32/334,
33/343,
34/214,
35/103,
36/223,
37/169,
38/274,
39/34,
40/154,
41/154,
42/226,
43/43,
44/235,
45/146,
46/26,
47/326,
48/195,
49/250,
50/355,
51/55,
52/295,
53/235,
54/185,
55/10,
56/154,
57/125,
58/305,
59/185,
60/169,
61/274,
62/34,
63/214,
64/34,
65/34,
66/226,
67/195,
68/315,
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